2013年佛山市普通高中高三教学质量检测数学(佛山二模)

2013年普通高中高三教学质量检测化学测试2013．47．下列说法正确的是( )A．煤的气化是物理变化B．蛋白质、橡胶和塑料都是天然高分子C．乙烯与HCl加成后可得到聚氯乙烯的单体D．乙醇可以被氧化为乙酸，二者都能发生取代反应8．用n A表示阿伏加德罗常数的值。

下列叙述正确的是( )A．1mol·L-1的Na2CO3溶液中所含钠离子总数为2n AB．标准状况下，22.4L CH4分子中含质子总数为10n AC．室温下，28g乙烯和丙烯的混合物中含有的碳原子数为n AD．常温常压下，33.6L 氯气与足量的铝充分反应，转移电子数为3n A9．下列反应的离子方程式正确的是( )A．向稀氨水中加入稀盐酸OH－+ H+ = H2OB．硫化亚铁溶于稀硝酸中：FeS+2H+=Fe2++H2S↑C．碳酸钙溶于醋酸中CaCO3 + 2H+ = Ca2+ + H2O + CO2↑D．碳酸氢钙溶液跟稀硝酸反应HCO3－+ H+ = H2O + CO2↑10．1～18号元素的离子a W3＋、b X＋、c Y2－、d Z－都具有相同的电子层结构，下列关系正确的是( ) A．质子数b＞c B．离子的还原性Y2－< Z－C．原子半径X＜W D．氢化物的稳定性H2Y＞HZ11．下表中，对陈述I、Ⅱ的正确性及两者间是否具有因果关系的判断都正确的是( )22(双选）．常温下有0.1mol·L-1的NaHA溶液，其pH=9，下列说法正确的是（）A．c(Na+)=c(HA—)+c(A2—)+c(H2A) B．c(HA—)＞c(Na+)＞c(OH—)＞c(H+)C．c(Na+)＞c(HA－)＞c(OH－)＞c(H2A) D．c(H+)+2c(H2A)= c(OH－) +c(A2－)23（双选）．反应A(g)+B(g)C(g) +D(g)过程中的能量变化如图所示，下列说法正确的是( )A．该反应是放热反应B．加入催化剂后，反应加快，△E减小C．反应物的总键能大于生成物的总键能D．反应达到平衡时，升高温度，A的转化率增大三、非选择题：30．（16分）丙卡巴肼用于治疗何杰金氏病，其主要合成工艺路线如下：（1）丙卡巴肼的分子式为，原料A的名称为。

yxoA321B佛山市2013届高三第二次质量检测理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．设全集)},1ln(|{},0)3(|{,--==>--==x y x B x x x A R U 则 右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．}0|{>x x B ．}03|{<<-x x C ．}13|{-<<-x xD ．}1|{-<x x2．50<<x 是不等式4|4|<-x 成立的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．若复数(a 2 - 4a +3)+(a -1)i 是纯虚数,则实数a 的值为( )A.1B.3C.1或3D.-1 4．函数()26ln f x x x =-+的零点一定位于下列哪个区间A. (1,2)B.(2,3)C.()3,4D. ()4,5 5．已知点P (sin α– cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是A ．)45,()43,2(ππππ⋃ B ．)45,()2,4(ππππ⋃C ．)23,45()43,2(ππππ⋃D ．),43()2,4(ππππ⋃6．偶函数))((R x x f ∈满足：0)1()4(==-f f ，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式0)(3<x f x 的解集为A. ),4()4,(+∞⋃--∞B. )4,1()1,4(⋃--C. )0,1()4,(-⋃--∞D. )4,1()0,1()4,(⋃-⋃--∞ 7．)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤，对任意正数b a ,，若b a <，则必有（ ）A. )()(a bf b af ≤B. )()(b af a bf ≤C. )()(b f a af ≤D. )()(a f b bf ≤8．函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB,点A 坐标为(1,2),点B 坐标为(3,0).定义函数()()(1)g x f x x =⋅-.则函数g (x )最大值为( )A.0B.2C.1D.4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．dx x ⎰-2024=10．若x 、y 满足(22)1()1,12020-+-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤y x y x y x 则的取值范围是 。

佛山市2013届普通高中高三教学质量检测二英语本试卷共10页，满分135分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上．用2B铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上，并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案答在试题卷上无效．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考试结束后，将答卷和答题卡一并交回．I 语言知识及应用（共两节，满分45分）第一节完形填空（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从1～15各题所给的A、B、C和D项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

How can you tell if someone's lying? The answer is, they're probably not.Traditional economics says that people are 1 human beings who will lie if it's to their advantage. A recent university study has shown that, actually, we're pretty 2 --especially when we're at home.Researchers in Germany 3 people at home and asked them to toss (投掷) a coin. There was a strong 4 incentive(刺激) to lie about the result: if the coin landed tails-up, the participants would receive money, while if the coin landed heads-up, they would get nothing. Because they were on the phone,they knew there was no 5 of getting caught if they lied.And yet people told the 6 . Over hundreds of tosses, a coin willland tails-up about 50% of the time. In this 7 over half the people asked (55.6%) said that the coin landed heads-up, which meant they would receive nothing.Previous studies had found that people were more 8 . In those laooratory studies, 75% of people reported a 9 coin and asked for a reward. So the research team thinks it's being in our own homes that makes us play fair, although it's not yet clear why.In fact both types of study show people are surprisingly 10 . Even in the laboratory, 25% of people 11 a reward by telling the truth. The researchers say this is because honesty is 12 valued in human society. We care about our 13 and our sense of ourselves as decent(体面的)people. So lying has a psychological 14 and it seems this cost is more important than the financial benefits of 15 .1.A.poor B.kind C.generous D.reasonable2.A.honest B.strict C.calm D.afraid3.A.visited B.saw C.phoned D.caught4.A.mental B.financial C.technical cational5.A.idea B.need C.evidence D.risk6.A.difference B.truth C.story D.secret7.A.case B.interview C.speech D.study8.A.faithful B. grateful C.disappointed D.dishonest9.A.missing B.losing C.winning D.shining10.A.reliable B.greedy C.brave D.wealthy11.A.received B.refused C.won D.required12.A.highly B.normally C.formally D.poorly13.A.money B.family C.jobs D.reputation14.A.reason B.effect C.cost D.function15.A.studying B.lying C.phoning D.reporting第二节语法填空（共10小题；每小题1.5分，满分15分）阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，在空格处填入一个适当的词或使用括号中词语的正确形式填空，并将答案填写在答题卷标号为16-25的相应位置上。

2013广东佛山二模数学试题及答案一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．的算术平方根为( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.据济宁市旅游局统计，2012年春节约有359525人来济旅游，将这个旅游人数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为( )A．3.59×B．3.60×C．3.5 ×D．3.6 ×3．下列运算正确的是( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是( )5．下列事件中确定事件是( )Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖Ｃ．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有个球Ｄ．掷一枚六个面分别标有，，，，，的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上6.若式子有意义，则x的取值范围为（）A.x≥2B.x≠3C.x≥2或x≠3D.x≥2且x≠37．已知且，则的取值范围为( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8.二次函数的图像与图像的形状、开口方向相同，只是位置不同，则二次函数的顶点坐标是（）A.( )B.( )C.( )D.( )9. 如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为(2，0)．若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，则A2点的坐标为（）Ａ．2 Ｂ．2 -1Ｃ．2 Ｄ．2 -110．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）A. B.注意事项：1．第Ⅱ卷共6页．用0.5mm黑色墨水签字笔答在答题卡上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．考试期间，一律不得使用计算器．第II卷（非选择题共70分）得分评卷人二、填空题（本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上）11.分解因式：2 2＋4 ＋2＝．12．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为cm．13. 化简的结果是_______________．14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于15. 将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是cm三、解答题（本大题共8个小题．共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）得分评卷人18. （本题满分6分）(1) (3分)一个人由山底爬到山顶，需先爬的山坡，再爬的山坡，求山的高度（结果可保留根号）．BC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD,并给出证明.你添加的条件是: ．证明:。

南海区2013届普通高中高三质量检测理科数学试题(定稿2012.8 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9},全集U = A ⋃B ,则集合(B A C U ⋂为( A .{}3,5B .{}3,5,8C .{}3,7,8D .{}4,5,82.已知复数z 的实部为-1,虚部为2,则zi5等于(A .i -2B .i +2C .i --2D .i +-2 3. 下列函数中,是奇函数且在区间(0,1内单调递减的函数是( A .12log y x = B .1y x=C .3y x =D .x y tan = 4.等比数列123{},4,2,n n a n S a a a 的前项和为且成等差数列.若141,a S =则=( A .7 B .8C .15D .165.下列命题的说法正确的是(A.命题―若21x =,则1x =‖的否命题为:―若21,x =则1x ≠‖; B.―1x =-‖是―2560x x --=‖的必要不充分条件;C.命题―,x R ∃∈使得210x x ++<‖的否定是:―x R ∀∈D.命题―若x y =,则sin sin x y =‖的逆否命题为真命题6. 已知向量||1,||||1a b a b -=== ,则2(a b + 的值为( A. 2 B.C. 3D.7.如图是―二分法‖解方程220x -=上满足((0f a f b <A .((0;f b f m a m <= B .((0;f a f m m a <= C .((0;f a f m a m <=D .((0;f b f m b m <=8.用(C A 表示非空集合A 中的元素个数,定义((,((((,((C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩当当,若{1,2}A =,2{||1|1}B x x ax =++=,且1A B *=,由a 的所有可能值构成的集合是S ,那么(C S 等于(A .4 B. 3 C .2 D . 1 二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分 (一必做题(9~13题9.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤001y x y x y ,求y x 2123+的最大值是10.91(xx -展开式中的常数项为 (用数字作答 11.不等式124x x -++>的解集为 12. 已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示: 在原三棱锥中给出下列命题: ①BC ⊥平面SAC ;②平面SBC ⊥平面SAB ; ③SB ⊥AC .其中所有正确命题的代号是13.已知抛物线x y 42=的焦点为F ,过抛物线在第一象限部分上一点P 的切线为l ,过P 点作平行于x 轴的直线m ,过焦点F 作平行于l 的直线交m 于M ,若4=PM ,则点P 的坐标为 (二选做题(14、15题,考生只能从中选做一题 14.(坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程是212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数。

广东省2013届高三最新文科试题精选（21套含八大市区的二模等）分类汇编5：数列一、选择题1 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学文试题）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则“10a >”是“32S a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2 ．（广东省汕头市潮阳黄图盛中学2013届高三4月练习数学(文)试题）在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n+=++,则n a =（ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++3 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（文）试题）各项互不相等的有限正项数列{}n a ,集合{},,2,1,...n a a a A = ,集合{(,)i j B a a =},,,1,i j i j a A a A a a A i j n ∈∈-∈≤≤,则集合B 中的元素至多有( )个.（ ）A ．2)1(-n n B ．121--nC ．2)1)(2(-+n n D ．1-n4 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（文）试题）如图,在区域}0,0|),{(≥≥y x y x 内植树,第一棵树在)1,0(1A 点,第二棵树在)1,1(1B 点,第三棵树在)0,1(1C 点,第四棵树在)0,2(2C 点,接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一棵树,那么,第2011棵树所在的点的坐标是 （ ）A ．)44,13(B ．)44,12(C ．)43,13(D ．)43,14(5 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（文）试题）在等差数列{}n a 中,0>n a ,且301021=+++a a a ,则65a a ⋅的最大值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．36 6 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（文）试题）如下图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有(1,)n n n N *>∈个点,相应的图案中总的点数记为n a ,则233445201220139999a a a a a a a a ++++=（ ）A ．20102011 B ．20112012 C ．20122013 D ．20132012(一)必做题(11-13题) 7 ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（文）试题）在等差数列{a n }中,首项a 1=0,公差d≠0,若 a k =a 1+a 2+a 3++a 10,则k= （ ） A ．45 B ．46 C ．47 D ．48 8 ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（文）试题）某种动物繁殖数量少(只)与时间x(第x 年)的关系式为y = alog 2(x +1),设这种动物 第一年繁殖的数量为100只,则第15年它们繁殖的数量为 （ ） A ．300 只 B ．400 只 C ． 500 只 D ．600 只9 ．（广东省韶关市2013届高三年级第一次调研测试数学文试题）设{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n项的和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误．．的是 （ ） A ．d <0 B ．a 7=0 C ．S 9>S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 10．（广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第25项为 （ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．8 11．（2012年广东省深圳市沙井中学高三（文)高考模拟卷 ）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图1中的1,3,6,10,,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ） A ．1125 B ．1024 C ．289 D ．1378 12．（2012年广东省深圳市沙井中学高三（文)高考模拟卷 ）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且32124a a a ,,成等差数列,==411S a 则若, （ ）A ．7B ．8C ．15D ．16二、填空题13．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）已知等差数列{}n a 的首项11=a ,前三项之和93=S ,则{}n a 的通项____=n a .14．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学文试题（WORD 版））数列}{n a 的项是由1或2构成,且首项为1,在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2,即数列}{n a为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,,记数列}{n a 的前n 项和为n S ,则20S =___;2013S =___.15．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学文试题）已知公比为2的等比数列{}n a 中,2581114172013a a a a a a a ++++++=,则该数列前21项的和21S =___________.16．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（文）试题）在等差数列{n a }中,152533,66a a ==,则35a =________.17．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（文）试题）若a ,b ,c 成等比数列,则函数c bx ax x f ++=2)(的图像与x 轴交点的个数为_______.18．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（文）试题）设等比数列{n a }的公比q=2,前n 项和为n S ,则42S a =___ 19．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（一）测试数学（文）试题）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是3a 与7a 的等比中项,832S =,则10S 等于_______________.20．（广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）若等比数列{n a }中54a =,则28a a ⋅等于_________. 三、解答题21．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11=a ,且对任意正整数n ,点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上. ⑴求数列{}n a 的通项公式;⑵若2n n na b =,求数列{}n b 的前n 项和.22．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学文试题（WORD 版））在等差数列{}n a 中,125a a +=,37a =,记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)是否存在正整数m 、n ,且1m n <<,使得1S 、m S 、n S 成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m 、n 的值;若不存在,请说明理由.23．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学文试题）环保刻不容缓,或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计20年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2m ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积a 2m ,前四年每年以100%的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加a 2m .设第n (1,N n n ≥∈且)年新城区的住房总面积为n a 2m ,该地的住房总面积为n b 2m .(1)求{}n a 的通项公式;(2)若每年拆除4a 2m ,比较+1n a 与n b 的大小.24．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学文试题（WORD 版））数列{}n a 的前n 项和n S ,1a t =,点(n S ,1n a +)在直线y=2x+1上,( ,2,1=n ) (1) 若数列{}n a 是等比数列,求实数t 的值; (2) 设n b =31(1)log n n a ++,数列{1}nb 前n 项和n T .在(1)的条件下,证明不等式n T <1; (3) 设各项均不为0的数列{}nc 中,所有满足10i i c c +<的整数i 的个数称为这个数列{}n c 的“积异号数”, 在(1)的条件下,令n c =4n nna na -( ,2,1=n ),求数列{}n c 的“积异号数”25．（广东省汕头市潮阳黄图盛中学2013届高三4月练习数学(文)试题）等差数列{}n a 的各项均为正数,13a =,前n 项和为n S ,{}n b 为等比数列, 11b =,且2264,b S = 33960b S =. (1)求n a 与n b ; (2)求和:12111nS S S +++.26．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学文试题）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项12a =,n S 为其前n 项和,若15S ,3S ,23S 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2log n n b a =,11n n n c b b +=,记数列{}n c 的前n 项和n T . 若对n N *∀∈,(4)n T k n ≤+ 恒成立,求实数k 的取值范围.27．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学文试题）各项为正数的数列{}n a 满足2421n n n a S a =--(*n ∈N ),其中n S 为{}n a 前n 项和. (1)求1a ,2a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)是否存在正整数m 、n ,使得向量22n a m +=(，)a 与向量53n n a a +=-+(，)b 垂直?说明理由.28．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学文试题（WORD 版））已知函数f(x)=x 2-2x+4,数列{n a }是公差为d 的等差数列,若1(1)a f d =-,3(1)a f d =+ (1)求数列{n a }的通项公式;29．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（文）试题）设{}n a 为等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知7157,75S S ==. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ;(2)设82na nb =⋅,n T 为数列{}n n b +的前n 项和,求n T .30．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（文）试题）已知等差数列{}n a 的首项1a =1,公差0d >,且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)设数列{}n c 对任意n ∈N +均有3121123...n n nc c c c a b b b b +++++=成立,求1232012...c c c c ++++.31．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（文）试题）已知数列{}na是各项均不为0的等差数列,公差为d ,n S 为其前n 项和,且满足221n n a S -=,n *N ∈.数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n *N ∈,n T 为数列{}n b 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ;(2)若对任意的n *N ∈,不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立,求实数λ的取值范围;(3)是否存在正整数,m n (1)m n <<,使得1,,m n T T T 成等比数列?若存在,求出所有,m n 的值;若不存在,请说明理由.2013届高三六校第一次联32．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（文）试题）数列{a n }的前S n 项和为存在常数A ,B ,C ,使得a n +S n =A 2 +Bn + C 对任意正整数 N 都成立.(1)若,C = 1,设b n =a n +n,求证:数列{b n }是等比数列;(2)在(1)的条件下,c n =(2n+1)b n ,数列{c n }的前n 项和为T n ;,证明:T n <5;(3)若C= 0, {a n }是首项为1的等差数列,若对任意的正整数n 都成立,求实数λ的取值范围.(注:)33．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（文）试题）已知函数213()22f x x x =+,数列{n a }的前n 项和为n S ,点(,)n n S (*)n N ∈都在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{n a }的通项公式n a ; (2)令12nn n a b +=,n T 是数列{n b }的前n 项和,求n T ; (3)令34．（广东省韶关市2013届高三年级第一次调研测试数学文试题）设等差数列}{n a 的公差0≠d ,等比数列}{n b 公比为q ,且11a b =,33b a =,57b a = (1)求等比数列}{n b 的公比q 的值;(2)将数列}{n a ,}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ,是否存在正整数,,λμω(其中λμω<<)使得,,λμω和,,c c c λμωλμω+++都构成等差数列?若存在,求出一组,,λμω的值;若不存在,请说明理由.韶关市2013届高三年级第一次调研(期末)测35．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（文）试题）设}{n a 是各项都为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且111,a b ==,3513,a b +=5321.a b +=(1)求数列}{n a ,{}n b 的通项公式;(2)设数列}{n a 的前n 项和为n S ,求数列{}n n S b ⋅的前n 项和n T .36．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（一）测试数学（文）试题）数列{}n b 的首项11b =,前n 项和为n S ,对任意的n N *∈,点(,)n n S ,(4,10)都在二次函数2y ax bx =+的图像上,数列{}n a 满足2n nnb a =. (1) 求证:数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2) 令11(1)1n nc n a =-⋅+,1231111n nR c c c c =++++,求对n N *∀∈,n m R >都成立的最小正整数m .37．（广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程220()n n x x b n N *-+=∈的两根,且11a =.(1)求证: 数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列;(2)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,求n S ;(3)问是否存在常数λ,使得0n n b S λ->对任意n N *∈都成立,若存在,求出λ的取值范围; 若不存在,请说明理由.惠州市2013届高三第一次模拟考试试38．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（文）试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12a =,28a =,()11452n n n S S S n +-+=≥,n T 是数列{}2n a log 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求n T ; (3)求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值.39．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（文）试题）数列{}n a 的前n 项和为22n n S a =-,数列{}n b 是首项为1a ,公差不为零的等差数列,且1311,,b b b 成等比数列.(1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (3)求证:3121235nnb b b b a a a a ++++<. 40．（2012年广东省深圳市沙井中学高三（文)高考模拟卷 ）已知数列{}na 满足:13a =,11232,n n n n a a a a n N ++++=+∈,记21n n n a b a -=+. (1) 求证:数列{}n b 是等比数列;(2) 若n t a 4⋅≤对任意n N +∈恒成立,求t 的取值范围;(3)证明:.432321+>+⋅⋅⋅+++n a a a a n广东省2013届高三最新文科试题精选（21套含八大市区的二模等）分类汇编5：数列参考答案一、选择题 1. C2. A 211ln(1)1a a =++,321ln(1)2a a =++,,11ln(1)1n n a a n -=++- 1234ln()()()()2ln 1231n na a n n ⇒=+=+- 3. A 解析:利用特殊值法进行求解.设集合{}1,2,3A =,则由{(2,1),(3,2),(3,1)}B =知C 不正确;设集合{}1,2,3,4A =,则由{(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}B =知B,D 不正确;故选A4. A5. C6. B7. B8. B9. C10. 【解析】数字共有n 个,当数字6n =时,有12345621+++++=项,所以第25项是7,故选C. 11. A 12. C 二、填空题13. 12-n 14. 36;3981 15.91216. 99解析1:由11351143313.223.234 3.3992466 3.3a d a a a d d +==-⎧⎧⇒⇒=-+⨯=⎨⎨+==⎩⎩解析2: 25153.32515a a d -==-,35251099a a d =+=.解析2:由等差数列的性质可知152535,,a a a 成等差数列,所以25153535299a a a a =+⇒= 17. 0 18.15219. 60 20. 16 三、解答题21.解:⑴因为点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上,所以0221=-++n n S a ,当1>n 时,0221=-+-n n S a ,两式相减得02211=-+--+n n n n S S a a ,即0221=+-+n n n a a a ,n n a a 211=+又当1=n 时,022221212=-+=-+a a S a ,122121a a ==所以{}n a 是首项11=a ,公比21=q 的等比数列 , {}n a 的通项公式为1)21(-=n na . ⑵由⑴知,124-==n n n n na b ,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,则 12244143421--+-++++=n n n n n T , 2344143244--+-++++=n n n n n T ,两式相减得 123441414153----++++=n n n n n T ,14343316-⨯+-n n , 所以,数列{}n b 的前n 项和为14943916-⨯+-=n n n T . 22. (本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得11,3.a d =⎧⎨=⎩所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-.所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N (2)因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 1223341111111n n n n n S a a a a a a a a a a -+=+++++ 1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 假设存在正整数m 、n ,且1m n <<,使得1S 、m S 、n S 成等比数列,则21m n S S S = 即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭ 所以224361m n m m =-++. 因为0n >,所以23610m m -++>.即23610m m --<.因为1m >,所以113m <<+<. 因为*m ∈N ,所以2m = 此时22416361m n m m ==-++ 所以存在满足题意的正整数m 、n ,且只有一组解,即2m =,16n =23. ⑴设第n 年新城区的住房建设面积为n λ2m ,则当14n ≤≤时,12n n a λ-=;当5n ≥时,(4)n n a λ=+所以, 当14n ≤≤时,(21)n n a a =-当5n ≥时,2489(4)n a a a a a a n a =+++++++ (29222)n n a +-=(列式1分) 故2(21)(14),922(5).2n n a n a n n a n ⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩ ⑵13n ≤≤时,11(21)n n a a ++=-,(21)644n n b a a na =-+-,显然有1n n a b +<4n = 时,1524n a a a +==,463n b b a ==,此时1n n a b +<516n ≤≤ 时,2111122n n n a a ++-=,29226442n n n b a a na +-=+-(每式1分) 1(559)n n a b n a +-=-所以,511n ≤≤时,1n n a b +<;1216n ≤≤时,1n n a b +>.17n ≥时,显然1n n a b +> (对1-2种情况给1分,全对给2分)故当111n ≤≤时,1n n a b +<;当 12n ≥时,1n n a b +>24.25. (1)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,则d 为正整数,3(1)n a n d =+-,1n n b q -=依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩① 解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=(2)35(21)(2)n S n n n =++++=+ ∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++ 26.解:(1) 15S ,3S ,23S 成等差数列∴ 312253S S S =+即21111112()53()a a q a q a a a q ++=++化简得 2260q q --=解得:2q =或32q =- 因为数列{}n a 的各项均为正数,所以32q =-不合题意 所以{}n a 的通项公式为:2n n a =(2)由2log n n b a =得 2log 2n n b =n =∴ 11n n n c b b +=111(1)1n n n n ==-+- ∴ 1111112231n T n n =-+-++-+111n =-+1n n =+ (4)1n k n n ≤++ ∴ (1)(4)n k n n ≥++254n n n =++ 145n n=++ 445259n n n n ++≥⋅+=,当且仅当4n n=,即2n =时等号成立 ∴11495n n≤++ ∴ k 的取值范围1[,).9+∞ 27.28.解:(1)1(1)a f d =-=d 2-4d+7,3(1)a f d =+=d 2+3, 又由312a a d =+,可得d=2,所以,1a =3,na =2n+1 (2)n S =(321)(2)2n n n n ++=+,11111()(2)22n S n n n n ==-++所以,1211111111111(1)2324352n S S S n n ++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+ =1311()2212n n --++≥1311()221112--++=1329.解: ( 1) 设等差数列{}n a 的公差为d ,则11(1)2n S na n n d =+-,∵7157,75S S ==, ∴⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ∴121a d =-⎧⎨=⎩. ∴1(1)213n a a n d n n =+-=-+-=-(2)由(1)得3382222n a n n n b -=⋅=⨯= ∴231222322n n T n =++++++++ 23(123)(2222)n n =+++++++++12(12)(1)212nn n -=++-212222n nn+=++-30. .解:(1)由已知得2b =2a =1d +, 3b =5a 14d =+,2b =14a 113d =+,由于{}n b 为等比数列,所以2324b b b =⋅.∴2(14)d +=(1)(113)d d ++, 0,2d d >∴=∴21n a n =- . zxxk 又2b =2a =3,3b = 5a =9 ,∴数列{n b }的公比为3,∴n b =3⋅23n -=13n -(2)由11c b +22c b ++nnc b =1n a + , (1)当1n =时,11c b =2a =3, ∴1c =3当1n >时,11c b +22c b ++11n n c b --= n a , (2) 由(1)-(2)得 nn c b =1n a +-n a =2 ,∴n c =2n b =2⋅13n -, (2)n ≥∴n c =13,123,2n n n -=⎧⎨⋅≥⎩∴123c c c +++2012c =3+2⋅3+2⋅23++2⋅20113=1+2⋅03+2⋅3+2⋅23++2⋅20113=1+2⋅20121313--=2012331.解:(1)在221n n a S -=中,令1=n ,2=n , 得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a解得11=a ,2=d ,21n a n ∴=- 又21n a n =-时,2n S n =满足221n n a S -=,21n a n ∴=- 111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+,111111(1)2335212121n n T n n n ∴=-+-++-=-++(2)①当n 为偶数时,要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立,即需不等式(8)(21)8217n n n n n λ++<=++恒成立828n n +≥,等号在2n =时取得.∴此时λ 需满足25λ<②当n 为奇数时,要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立,即需不等式(8)(21)8215n n n n nλ-+<=--恒成立 82n n -是随n 的增大而增大, 1n ∴=时82n n -取得最小值6-. ∴此时λ 需满足21λ<-.综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-(3)11,,32121m n m n T T T m n ===++, 若1,,m n T T T 成等比数列,则21()()21321m n m n =++, 即2244163m n m m n =+++. 由2244163m n m m n =+++,可得2232410m m n m -++=>,即22410m m -++>,∴11m -<<+又m ∈N ,且1m >,所以2m =,此时12n =.因此,当且仅当2m =, 12n =时,数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列[另解] 因为1136366n n n =<++,故2214416m m m <++,即22410m m --<,∴11m -<<+以下同上 ).32.33.34.解:(1)设11a b ==,a ,由题意⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq da aq 62420,d ≠∴1q =±不合题意故311142=--q q ,解得22=q 2±=∴q (2)答:不存在正整数,,λμω(其中λμω<<)使得,,λμω和,,c c c λμωλμω+++均构成等差数列 证明:假设存在正整数,,λμω满足题意 设11a b ==,a 且m n b a =,故 1)1(-=-+m aqd n a ,又a a aq d =-=22 2a d =∴- 1)2(211-±=-+∴m n 即2112)1(1+-±=+m m n*1N n ∈+ 1(1)0m -∴±> 1221-=∴+m n m 为奇数，且令)(12*N k k m ∈-=,则2111(2k k m b a a ---=⋅=⋅a c n n 12-=∴若存在正整数,,λμω满足题意,则11122(2)(2)(2)a a a μλωμλωμλω---=+⎧⎨⋅+=⋅++⋅+⎩11222μλω--∴=+,又112222("")λωλωλω+--+≥===当且仅当时取又λμ≠,1122222λωμλω+--∴=+>又xy 2=在R 上为增函数,2λωμ+∴>,与题设2λωμ+=矛盾,∴假设不成立故不存在,,λμω满足题意35.解:(1)设数列}{n a 的公比为(0),q q >数列{}n b 的公差为d ,依题意得:421221(1')1413(2')d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩(1')2(2')⨯-得422280q q --=22(4)(27)0q q ⇒-+=∵0q > ∴2q =,将2q =代入(1')得2d = ∴12,2 1.n n n a b n -==- (2)由题意得1122n n n T S b S b S b =+++11122123312()()()n n a b a a b a a a b a a a b =++++++++++1212121212(21)(21)(21)222()n n n n n b b b b b b b b b =-+-++-=⋅+⋅++⋅-+++令1212222,n n S b b b =⋅+⋅++⋅ -------------------------------------① 则231122222n n S b b b +=⋅+⋅++⋅------------------------------------②①-②得:12312222222(21)2,n n S n +-=+⋅+⋅+⋅--⋅2312(1222)(21)2n n S n +-=++++--2112[12(21)](21)2n n n -+=+---⋅ ∴1(23)26,n S n +=-⋅+又212(121)2n n n b b b n +-+++==,∴12(23)26n n T n n +=-⋅+- 36.解:(1)证明:∵11b =,∴11S =∴点(1,1),(4,10)都在二次函数2y ax bx =+的图像上,1,16410a b a b ∴+=+=,解得:11,22a b == ∴21122n S n n =+ 则2n ≥时,2111(1)(1)22n S n n -=-+- ∴2211111(1)(1)2222n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦; 又11b =也适合,所以()n b n n N *=∈,则11n n b b --=∴数列{}n b 是首项为1,公差为1的等差数列 又2n n n b a =,∴2n n n a = (2)11211(1),112n n n n n n c n a n c +=-⋅=∴=++∴2312311112341+=+++,2222n n n n R c c c c +=+++……+①∴234+112341+++,22222n n n R +=…+② 两式相减,得:23111111122222n n n n R ++=++++-……,∴322n n nR +=- ∵30,,3,32n nn n N R m *+>∴∀∈<∴= 37. (1)证明:1,n n a a +是方程220()nn x x b n N *-+=∈两根,112nn n n n n a a b a a +-⎧+=∴⎨=⎩111111222(2)3331111222333n n n n n n n n n nn n n a a a a a a +++-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯ 故数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列,首项121,33a -=公比为-1的等比数列 (2)由(1)得1112(1)33n n n a --⨯=⨯-,即12(1)3n nn a ⎡⎤=--⎣⎦ 123n n S a a a a =++++ {}1231231(2222)(1)(1)(1)(1)3n n ⎡⎤=+++--+-+-++-⎣⎦=12(12)1[1(1)]3121(1)n n ⎡⎤-----⎢⎥---⎣⎦ =11(1)12232n n +⎡⎤----⎢⎥⎣⎦(3)11211112(1)2(1)2(2)199n n n n n nn n n b a a ++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==--⨯--=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 要使0n n b S λ->对任意n N *∈都成立,即2111(1)12(2)1220932n n n n λ++⎡⎤--⎡⎤------>⎢⎥⎣⎦⎣⎦(*)对任意n N *∈都成立 ①当n 为正奇数时,由(*)得2111(221)(21)093n n n λ+++---> 即111(21)(21)(21)093n n n λ++-+--> 1210,n +->1(21)3n λ∴<+对任意正奇数n 都成立.当且仅当1n =时,1(21)3n+有最小值1,1λ∴<②当n 为正偶数时,由(*)得2111(221)(22)093n n n λ++---->即2112(21)(21)(21)093n n n λ++---> 1210,n +-> 11(21)6n λ+∴<+对任意正偶数n 都成立.当且仅当2n =时,11(21)6n ++有最小值32,32λ∴<综上所述,存在常数λ,使得使得0n n b S λ->对任意n N *∈都成立,λ的取值范围是(,1)-∞38. (本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识,考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解:∵当2n ≥时,1145n n n S S S +-+=, ∴()114n n n n S S S S +--=- ∴14n n a a += ∵12a =,28a =, ∴214a a =∴数列{}n a 是以12a =为首项,公比为4的等比数列. ∴121242n n n a --=⋅=(2) 解:由(1)得:2122221n n a n log log -==-, ∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++-()1212n n +-=2n =(3)解: 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222222131411234n n ----=⋅⋅⋅⋅()()2222132********n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅12n n+=令12n n +10102013>,解得:42877n < 故满足条件的最大正整数n 的值为287 39.解析:(1)∵22n n S a =-,∴当1n =时,1122a a =-,解得12a =;当2n =时,212222S a a a =+=-,解得24a =; 当3n =时,3123322S a a a a =++=-,解得38a =(2)当2n ≥时,111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-,得12n n a a -=又11122a S a ==-,12a =,∴数列{n a }是以2为首项,公比为2的等比数列,所以数列{n a }的通项公式为2nn a =112b a ==,设公差为d ,则由1311,,b b b 成等比数列,得2(22)2(210)d d +=⨯+, 解得0d =(舍去)或3d =,所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =- (3)令312123n n n b b b b T a a a a =++++123258312222nn -=++++, 121583122222n n n T --=++++, 两式式相减得1213333122222n n n n T --=++++-, ∴131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--,又3502n n +>,故5n T <.-- 40. (1)证明:11232,n n n n a a a a +++=+∴2231++=+n n n a a a22222321+-=-++=-+n n n n n a a a a a ① ,2)1(4122311++=+++=++n n n n n a a a a a , ∴12411211+-⋅=+-++n n n n a a a a 即n n b b 411=+,且4112111=+-=a a b∴数列{}n b 是首项为41,公比为41的等比数列. (2)由(1)可知1241)41(411+-===-n n n n n a a b ∴14421-⋅+=n n n a由n n t a 4⋅≤得144124)14(421-+=-⋅+≥n n n n nt 易得14412-+n n 是关于n 的减函数. ∴431441214412=-+≤-+n n,∴43≥t . (3)2413322.41414n n n n na ⋅+==+>+-- 1222333333(2)(2)(2)2()444444n n n a a a n ∴++⋅⋅⋅+>++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+=11()3134221()2.144414n n n n n -+⋅=+-≥+-12332.4na a a a n ∴+++⋅⋅⋅+>+。

2013年佛山市高三质量检测（二）数学(理科）第21题别解 广东佛山市三水区三水中学 吴超21．设x e x x f 2120)(-=，记)(0x f 的导函数)()(10x f x f ='，)(1x f 的导函数)()(21x f x f ='，·······，)(1x f n -的导函数)()(1x f x f n n ='-．（1）求)(3x f 的值；（2）用n 表示)0(n f ；（3）设)0()0()0(132++++=n n f f f S ，是否存在*N n ∈，使得n S 最大？证明你的结论．（1）（2）同原解答．对于（3）本文给出不同于答案的两种解答．指导思想是先求和，再求最值．解：（1）3)0(3-=f ；（2）设x n n n n e c x b x a x f 2111211)()(-----++=的导函数 为x n n n n e c x b x a x f 212)()(-++=，由)()(1x f x f n n ='-，得121--=n n a a ，11212---=n n n b a b ，1121---=n n n c b c ，解得2)21)(1(---=n n n n c ， 2)21)(1()0(---==n n n n n c f ； （3）方法一（利用裂项抵消求和）利用待定系数法可得])2(164218)2(16)1(42)1(18[271)21)(1()0(21211n n n n n n n n n n f -++--+-+-=-+=--+ )0()0()0(132++++=n n f f f S++--= 27616[271])2(164218)2(16)1(42)1(18212n n n n n n -++--+-+--])2(82198[2722n n n -++-=，要求n S 的最大值，只需求n n n )2(82192-++的最小值，显然当n 为奇数时，n n n )2(82192-++为负数，当n 为偶数时，n n n )2(82192-++为正数，所以只需考虑n 为奇数时的情形，即只需考虑n n n 282192++的最大值即可，记nn n n b 282192++=，则由 1328436865798219228)2(21)2(9222222≤++++=++⨯++++=++n n n n n n n n b b n n n n ，得 022≥-+n n ，解得2-≤n 或1≥n ．当1=n 时，1931==b b ，当3≥n ，且n 为奇数时，2+>n n b b ，即 >>>753b b b ，所以当1=n 或3=n 时，n S 取得最大值2．方法二（两次利用错位相减法求和）1210)21)(1()21()1()21(32)21(21---++--++-⨯⨯+-⨯⨯=n n n n n n n S ，则 n n n n n n n S )21)(1()21()1()21(32)21(2121111-++--++-⨯⨯+-⨯⨯=-- ， 两式相减得n n n n n n S )21)(1(])21()21(2[222311-+--++-⨯+=- ① 设 11)21()21(2--++-⨯=n n n T ，n n n T )21()21(2212-++-⨯=- ， 两式相减得n n n n T )21()21()21(12312---++-+-=- n n n )21()21(1])21(1[)21(122-------+-=-， 化简得n n n T )21(94695-++-=，代入 ① 得])2(82198[2722n n n n S -++-=，以下同上．。

2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}N x x x A ∈≤<-=,21，集合{}3,2=B ，则AB 等于A ．{}3,2,1 B ．{}3,2,1,0 C ．{}2 D ．{}3,2,1,0,1- 2．已知复数z 的实部为1，且2z =，则复数z 的虚部是A． BC． D．3．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是A ．1x ∀>，210x -> B ．1x ∀>，210x -≤ C ．1x ∃>，210x -≤D ．1x ∃≤，210x -≤4．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是A ．30B ．60C ．70D ．805．函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，]11[，-∈x ,则 A ．()f x 为偶函数，且在]10[，上单调递减; B ．()f x 为偶函数，且在]10[，上单调递增; C ．()f x 为奇函数，且在]01[，-上单调递增; D ．()f x 为奇函数，且在]01[，-上单调递减.90 110 周长(cm)100 120第4题图6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S a >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7．已知幂函数()f x x α=，当1x >时，恒有()f x x <，则α的取值范围是 A ．01α<< B ．1α<C ．0α>D ．0α<8．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是A ．①④B ． ②③C ．②④D ． ①③9．直线0102=-+y x 与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个10．已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l ．设l 是长为2的线段，点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积为A. πB. 2πC. 2π+D. 4π+ 二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题(11～13题)11．已知向量,a b满足1,==a b ()-⊥a b a ,则向量a 与b 的夹角为 . 12．已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上,则圆C 的方程为 . 13．将集合{22st+|0s t ≤<且,s t Z ∈}中的元素按上小下大， 左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于 第i 行第j 列的数记为ij b （0i j ≥>）,则43b = . (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A B 、，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为 ． 15．（几何证明选讲）如图，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ， AD CE ⊥于D ， 若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．35691012第13题图PABCD 1A 1B 1C 1D 第18题图三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限， 已知(1,3)A -.（1）若OA OB ⊥,求tan α的值. （2）若B 点横坐标为45,求AOB S ∆.17．（本题满分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA 表示走D 路从甲到丙，再走D 路回到甲，然后走A 路到达乙）;（2）假设从甲到乙方向的道路B 和从丙到甲方向的 道路D 道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道18．（本题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 已知底面ABCD 的正方形， 侧棱1D D 垂直于底面ABCD ，且13D D =．（1）点P 在侧棱1C C 上，若1CP =， 求证：1A P ⊥平面PBD ；（2）求三棱锥11A BDC -的体积V ．19．（本题满分14分）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点()1,0F , 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，直线l 过点(4,0)M .（1）写出抛物线2C 的标准方程；（2）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值.20．（本题满分14分）环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计20年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2m ，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积a 2m ，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加a 2m .设第n (1,N n n ≥∈且)年新城区的住房总面积为n a 2m ，该地的住房总面积为n b 2m . （1）求{}n a 的通项公式；（2）若每年拆除4a 2m ，比较+1n a 与n b 的大小. 21．（本题满分14分）已知函数1()ln f x x x a =-+，ln ()xg x x a=+，a 是常数. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若()g x 有极大值，求a 的取值范围.文科数学评分参考一、填空题 BDBCACBDBD二、填空题11．4π 12．()()22115x y -+-= 13．2014．sin()42πρθ+=（或1cos sin =+θρθρ） 15．13三、解答题16．⑴解法1、由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα， ……1分(1,3)OA =-，(cos ,sin )OB αα= ……2分OA OB ⊥，得0OA OB ⋅= ……3分∴cos 3sin 0αα-+=，1tan 3α= ……4分解法2、由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα ……1分 3OA k =-， tan OB k α= ……2分 ∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ⋅=- ……3分3tan 1α-=-， 得1tan 3α= ……4分解法3、 设) , (y x B ，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、由⑴OA == 记AOx β∠=， (,)2πβπ∈∴sin10β==，cos 10β==-（每式1分） ……6分∵1OB = 4cos 5α=，得3sin α==（列式计算各1分） ……8分43sin sin()10510510AOB βα∠=-=⨯+=（列式计算各1分） ……10分∴11sin 12210AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯32=（列式计算各1分） ……12分 解法2、由题意得：AO 的直线方程为30x y += ……6分则3sin 5α== 即43(,)55B （列式计算各1分） ……8分又OA==∴113222AOBS AO d∆=⨯==（每式1分）…12分解法3、3sin5α==即43(,)55B（每式1分）……6分即：(1,3)OA=-，43(,)55OB=， (7)分OA==1OB=，4313cosOA OBAOBOA OB-⨯+⨯⋅∠===9分（模长、角的余弦各1分）∴sin AOB∠==……10分则113sin1222AOBS AO BO AOB∆=∠==（列式计算各1分）……12分解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2个1分，3-5个2分，5-7个3分，7-11个4分，）……5分共12种情况……6分⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC ……7分共4种情况，……8分所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率41123P==（文字说明1分）……12分18．⑴解法1、依题意，1CP=，12C P=，在Rt BCP∆中，PB==……1分同理可知，1A P==1A B==（每式1分）……3分所以22211A P PB A B+=，……4分则1A P PB⊥，……5分同理可证，1A P PD⊥，……6分由于PB PD P=，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，……7分所以，1A P⊥平面PBD．……8分解法2、由1A P PB⊥（或1A P PD⊥）和BDPA⊥1证明1A P⊥平面PBD（证明任何一个线线垂直关系给5分，第二个线线垂直关系给1分）⑵解法1、如图1，易知三棱锥11A BDC-的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即11111114A BDC ABCD ABCD A ABDV V V---=-（文字说明1分）……11分1C1D1CN()1111432AB AD A A AB AD A A⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭……13分1323== ……14分解法2、依题意知，三棱锥11A BDC -的各棱长分别是112AC BD ==，1111A B A D C B C D ====1分）……10分如图2，设BD 的中点为M ，连接11A M C M ，，则1A M BD ⊥，1C M BD ⊥，且11A M C M =于是BD ⊥平面11A C M ，……12分设11A C 的中点为N ，连接MN ，则11MN AC ⊥，且3MN ===， 则三角形11A C M 的面积为11111123322A C M S AC MN ∆==⨯⨯=， ……13分 所以，三棱锥11A BDC -的体积111132233A C M V S BD ∆==⨯⨯=． ……14分19．⑴由题意，抛物线2C 的焦点()1,0F ，则1,22pp == ……2分 所以方程为：24y x =． ……3分 ⑵解法1、设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n， ……4分因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221n m k n k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩（每方程1分）……6分即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ……7分将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k-=⋅++，所以21k =（列式计算各1分）……9分 联立 2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥，……12分 注意到221b a=-，即2217a ≥，所以a ≥，即2a ……13分 因此，椭圆1C ……14分 解法2、设2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为O P 、两点关于直线l 对称，则=4OM MP =， ……5分即4=，解之得4m =± ……6分即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限，且直线与抛物线交于,A B 如图.则11ABOPk k =-=,于是直线l 方程为4y x =-（讨论、斜率与方程各1分） ……9分联立 222241y x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， ……12分注意到221b a =-，即2217a ≥，所以a ≥，即2a ……13分 因此，椭圆1C……14分20．⑴设第n 年新城区的住房建设面积为n λ2m ，则当14n ≤≤时，12n n a λ-=；……1分当5n ≥时，(4)n n a λ=+. ……2分所以, 当14n ≤≤时，(21)n n a a =- ……3分当5n ≥时，2489(4)n a a a a a a n a =+++++++ (2922)2n n a +-=（列式1分）……5分 故2(21)(14),922(5).2n n a n a n n a n ⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩ ……6分⑵13n ≤≤时，11(21)n n a a ++=-，(21)644n n b a a na =-+-，显然有1n n a b +< ……7分 4n = 时，1524n a a a +==，463n b b a ==，此时1n n a b +<. ……8分 516n ≤≤ 时，2111122n n n a a ++-=，29226442n n n b a a na +-=+-（每式1分）……10分 1(559)n n a b n a +-=-. ……11分 所以,511n ≤≤时，1n n a b +<；1216n ≤≤时，1n n a b +>.17n ≥时，显然1n n a b +>……13分（对1-2种情况给1分，全对给2分）故当111n ≤≤时，1n n a b +<；当 12n ≥时，1n n a b +>. ……14分21．⑴222211(21)()()()x a x a f x x x a x x a +++'=+=++ ……1分设22()(21)h x x a x a =-++，其判别式22(21)441a a a ∆=+-=+ ……2分①当14a ≤-时，0,∆≤2()0,()0h x x x a ≥->，()0f x '∴≥,)(x f 在定义域()0,+∞上是增函数； ……3分当0∆>时，由22()(21)0h x x a x a =-++=解得：12212122a a x x +-+==（每个根1分）……5分②当104a -<<时，0∆>，210a +>；又22(21)(41)40a a a +-+=>，210a ∴+>，故210x x >>，即()h x 在定义域()0,+∞上有两个零点122121,22a a x x +++==在区间()10,x 上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>， )(x f 为()10,x 上的增函数在区间()12,x x 上，()0h x <，2()0x x a ->，()0f x '∴<，)(x f 为()12,x x 上的增函数 在区间()2,x +∞上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>,)(x f 为()2,x +∞上的增函数. ……6分③当0a =时，120,1x x ==，在区间()0,1上，()0h x <，2()0x x a ->，()0f x '∴<；在区间()1,+∞上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>， ……7分④当0a >时，函数)(x f 的定义域是()()0,,a a +∞，()0h a a =-<，()h x 在()0,a 上有零点1212a x +=在(),a +∞上有零点221,2a x +=；在区间()10,x 和()2,x +∞上，()0f x '>，)(x f 在()10,x 和()2,x +∞上为增函数；在区间()1,x a 和()2,a x 上，()0f x '<，)(x f 在()1,x a 和()2,a x 上位减函数. ……8分综上: 当14a ≤-时,函数)(x f 的递增区间是()0,+∞；当104a -<<时, )(x f 的递增区间是()10,x 和()2,x +∞,递减区间是()12,x x ；当0a =时，)(x f 的递减区间是()0,1；递增区间是()1,+∞；当0a >时，)(x f 的递减区间()1,x a 和()2,a x ,递增区间是()10,x 和()2,x +∞. ……9分⑵当0a ≤时，()g x 的定义域是()0,+∞，当0a >时，()g x 的定义域是()()0,,a a +∞，2(1ln )()()x x ag x x x a --'=-，令()(1ln )t x x x =-，则()ln t x x '=-（每个导数1分） ……11分 在区间()0,1上，()ln 0t x x '=->，()(1ln )t x x x =-是增函数且0()1t x <<；在区间()1,+∞上，()ln 0t x x '=-<，()(1ln )t x x x =-是减函数且()1t x <；当1x =时，(1)1t =. ……12分 故当1a ≥时，()0g x '≤，()g x 无极大值；当01a <<时，()0t a a -≠，方程()t x a =在区间()0,1和()1,+∞上分别有一解,x x '''，此时函数()g x 在x x ''=处取得极大值； ……13分当0a ≤时，方程()t x a =在区间[),e +∞上有一解x '''，此时函数()g x 在x x '''=处取得极大值.-∞. ……14分综上所述，若()g x有极大值，则a的取值范围是(),1。

2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学（文科）本试卷共4页21小题满分150分考试用时120分钟注意事项：2013-4-181．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目 2选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4．请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷交回 参考公式：棱锥的体积公式：． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，集合，则等于 A． B． C． D． 2．已知复数，且，则复数A． B． C． D． 3．已知命题：，，那么是 A．，B．， C．，D．，4．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是 A．30 B．60 C．70 D．80 5．函数，,则 A．为偶函数，且在上单调递减; B．为偶函数，且在上单调递增; C．为奇函数，且在上单调递增; D．为奇函数，且在上单调递减. 6．设等比数列的前项和为，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7．已知幂函数，当时，恒有，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题： ① 若 则 ②若，，则 ③ 若，则 ④若，则 其中真命题的序号是 A．①④ B． ②③ C．②④ D． ①③ 9．直线与不等式组表示平面区域的公共点有 A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 10．已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．设是长为2的线段，点集所表示图形的面积为 A. B. C. D. 二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题(11～13题) 11．已知向量满足, ,则向量与的夹角为经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为 . 13．将集合{|且}行第列的数记为（）,则=. (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为． 15．（几何证明选讲）， 直线与圆O相切于点， 于D， 若，设，则______． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限， （1）若,求的值. （2）若点横坐标为,求. 17．（本题满分12分） 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班， （1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）; （2）假设从甲到乙方向的道路B和从丙到甲方向的 道路D道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道 相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？ 18．（本题满分14分）如图，四棱柱中， 是边长为的正方形， 垂直于底面，且． （1）点棱上， 求证：平面的体积．已知椭圆和抛物线有公共焦点, 的中心和的顶点都在坐标原点，直线过点 （）的标准方程； （）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值. 某地，，预计年后该地将.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积，每年以的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加.设第)年新城区的住房总面积为，该地的住房总面积为. （）求； （）若每年拆除，比较与的大小. ，，是常数. （1）求的单调区间； （2）若有极大值，求的取值范围. 2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学（文科） 评分BDBCACBDBD 二、填空题 11． ． ．．） 15． 16．，， ……1分 ， ……2分 ，得 ……3分 ∴， ……4分 解法2、 由题可知：， ……1分 ， ……2分 ∵，∴ ……3分 ， 得 ……4分 解法3、 设，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分） ⑵解法1、 由⑴， 记， ∴，（每式1分） ……6分 ∵ ，得（列式计算各1分） ……8分 （列式计算各1分） ……10分 ∴（列式计算各1分） ……12分 解法2、 由题意得：的直线方程为 ……6分 则 即（列式计算各1分） ……8分 则点到直线的距离为（列式计算各1分） ……10分 又，∴（每式1分）…12分 即 （每式1分） ……6分 即：， ， ……7分 ，，……9分 （模长、角的余弦各1分） ∴ ……10分 则（列式计算各1分） ……12分 解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分） 17．李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC共12种情况 ……6分 从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC 分共种情况，8分 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率12分 1．解，，在中， ……1分 同理可知，， （每式1分） ……3分 所以， ……4分 则， ……5分 同理可证，， ……6分 由于，平面，平面， ……7分 所以，平面．解（或）和证明平面解如图1，易知三棱锥的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即（文字说明1分）……11分 ……13分 ……14分 解法2、 依题意知，三棱锥的各棱长分别是 ，（每式1分）……10分 如图2，设的中点为，连接， 则，，且， 于是平面， ……12分 设的中点为，连接，则，且， 则三角形的面积为， ……13分 所以，三棱锥的体积．19．由题意，抛物线的，则 ……2分 所以方程为：．解设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以即，解之得， 将其代入抛物线方程，得，所以 联立 ，消去，得 ……11分 由，得， 注意到，即，所以，即， 因此，椭圆长轴长的最小值为.14分 解法2、 设 ，因为两点关于直线对称，， ……5分 即，解之得 ……6分 即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于 如图.则,于是直线方程为（讨论、斜率与方程各1分） ……9分 联立 ，消去，得 ……11分 由，得， 注意到，即，所以，即， 因此，椭圆长轴长的最小值为.14分 20．设第年新城区的住房建设面积为，则当时，；当时，. 所以, 当时， ⑵时，，，显然有 时，，，此时. 时，，10分 . ……11分 所以,时，；时，.时，显然13分 （对1-2种情况给1分，全对给2分） 故当时，；当 时，. 14分 21． ……1分 设，其判别式 ……2分 ①当时，，,在定义域上是增函数；……3分 当时，由解得： （每个根1分）……5分 ②当时，，；又，，故，即在定义域上有两个零点 在区间上，，，， 为上的增函数 在区间上，，，，为上的增函数 在区间上，，，,为上的增函数.……6分 ③当时，，在区间上，，，；在区间上，，，， ……7分 ④当时，函数的定义域是，，在上有零点，在上有零点；在区间和上，，在和上为增函数；在区间和上，，在和上位减函数. ……8分 综上: 当时,函数的递增区间是；当时, 的递增区间是和,递减区间是；当时，的递减区间是；递增区间是；当时，的递减区间和,递增区间是和. ……9分 ⑵当时，的定义域是，当时，的定义域是，，令，则（每个导数1分） ……11分 在区间上，，是增函数且； 在区间上，，是减函数且； 当时，. ……12分 故当时，，无极大值； 当时，，方程在区间和上分别有一解，此时函数在处取得极大值；……13分 当时，方程在区间上有一解，此时函数在处取得极大值. 综上所述，若有极大值，则的取值范围是. ……14分 丙 甲 乙 第17题图 第15题图 第13题图 第4题图 80 0.04 0.02 0.01 130 120 100 频率/组距 90 第18题图 （第8题图1） （第18题图2）。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编17：导数与积分（2）一、选择题1 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是（ ）A ．1B ．4πC ．3D ．2【答案】D2 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图所示,图中曲线方程为21y x =-,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是【答案】C3 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=x-1C ．y=x+1【答案】C4 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动,某时刻P 与坐标原点重合(如图),设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =,关于函数()y f x =的有下列说法:①()f x 的值域为[0,2];②()f x 是周期函数;③( 1.9)()(2013)f f f π-<<;④69()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为: （ ）A ．0B ．C ．2D ．3【答案】C5 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））已知函数()yf x =的图象如图1所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是【答案】A二、填空题6 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）计算________.【答案】2e ;7 ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy中,直线a y =(0>a )与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328,则=a _______. 【答案】28 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）不等式211x -<的解集为(),a b ,计算定积分)2b ax dx -=⎰_______.【答案】139．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）若直线2y x m =+是曲线ln y x x=图1A ．B ．C ．D ．O x P A 第8题图的切线,则实数m 的值为_________.【答案】e -分析:设切点为000(,ln )x x x ,由1(ln )ln ln 1y x x x x x x''==+=+ 得0ln 1k x =+, 故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-,整理得00(ln 1)y x x x =+-, 与2y x m =+比较得00ln 12x x m+=⎧⎨-=⎩,解得0e x =,故e m =-10．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）10x cos ⎰d x =______________.【答案】1sin11．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）20(3sin )x x dx π+=⎰________________.【答案】2318π+解析:22220033(3sin )(cos )|128x x dx x x πππ+=-=+⎰.12．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））曲线y= x 3-x + 3在点(1,3)处的切线方程为_______【答案】21x y -+13．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））若直线y kx =与曲线ln y x =相切,则k =__________________.【答案】1e14．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）计算= ________.【答案】2e .三、解答题15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知函数()ln f x x =,2()()g x f x ax bx =++,函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系;(2)试讨论函数()g x 的单调性; (3)证明:对任意*n N ∈,都有()211ln 1ni i n i=-+>∑成立.【答案】解:(1)依题意得2()ln g x x axbx =++,则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得:'(1)120g a b =++= ∴21b a =--(2)由(1)得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--=∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时,210ax -<在(0,)+∞上恒成立, 由'()0g x >得01x <<,由'()0g x <得1x >, 即函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当0a >时,令'()0g x =得1x =或12x a=, 若112a <,即12a >时,由'()0g x >得1x >或102x a <<,由'()0g x <得112x a<<,即函数()g x 在1(0,)2a ,(1,)+∞上单调递增,在1(,1)2a单调递减;若112a >,即102a <<时,由'()0g x >得12x a>或01x <<,由'()0g x <得112x a<<, 即函数()g x 在(0,1),1(,)2a +∞上单调递增,在1(1,)2a单调递减;若112a =,即12a =时,在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥, 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,综上得:当0a ≤时,函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当102a <<时,函数()g x 在(0,1)单调递增,在1(1,)2a 单调递减;在1(,)2a+∞上单调递增;当12a =时,函数()g x 在(0,)+∞上单调递增, 当12a >时,函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增,在1(,1)2a单调递减;在(1,)+∞上单调递增.(3)证法一:由(2)知当1a =时,函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增,2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-,即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---,令*11,x n N n =+∈,则2111ln(1)n n n+>-, 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i=-+>∑ 【证法二:构造数列{}n a ,使其前n 项和ln(1)n T n =+, 则当2n ≥时,111ln()ln(1)n n n n a T T n n-+=-==+, 显然1ln 2a =也满足该式, 故只需证221111ln(1)n n n n n-+>=- 令1x n=,即证2ln(1)0x x x +-+>,记2()ln(1)h x x x x =+-+,0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x +=-+=-+=>+++,()h x 在(0,)+∞上单调递增,故()(0)0h x h >=,∴221111ln(1)n n n n n -+>=-成立,2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】 【证法三:令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑,则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++ 令11,1x n =++则(1,2]x ∈,*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增, 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->, ∴数列()n ϕ单调递增,又(1)ln 20ϕ=>,∴()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】 16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知x a a x a x x f ln )()12(21)(22+++-=(0>x ,a 是常数),若对曲线)(x f y =上任意一点) , (00y x P 处的切线)(x g y =,)()(x g x f ≥恒成立,求a 的取值范围.江门市2013年高考模拟考【答案】解:依题意,xaa a x x f +++-=2/)12()()(00x f y =,曲线)(x f y =在点) , (00y x P 处的切线为))((00/0x x x f y y -=- ,即))((00/0x x x f y y -+=,所以))(()(00/0x x x f y x g -+= 直接计算得)1)(ln ()12(21)(002200-++++--=x x x a a x a x x x x g , 直接计算得)()(x g x f ≥等价于0)1)(ln ()(2100220≥+-++-x xx x a a x x 记)1)(ln ()(21)(00220+-++-=x xx x a a x x x h ,则 )1)(()11)(()()(020020/xx aa x x x x a a x x x h +--=-++-=若02≤+a a ,则由0)(/=x h ,得0x x = ,且当00x x <<时,0)(/<x h ,当0x x >时,0)(/>x h ,所以)(x h 在0x x =处取得极小值,从而也是最小值,即0)()(0=≥x h x h ,从而)()(x g x f ≥恒成立 .若02>+a a ,取a a x +=20,则0)1)(()(020/≥+--=xx aa x x x h 且当01x x ≠时0)(/>x h ,)(x h 单调递增 ,所以当00x x <<时,0)()(0=<x h x h ,与)()(x g x f ≥恒成立矛盾,所以02≤+a a ,从而a 的取值范围为01≤≤-a17．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+ 都成立. 【答案】(本小题主要考查导数、函数的单调性、不等式、最值、方程的根等知识,考查化归转化、分类讨论、数形结和的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力) 解:(1)()'121,f x x x a=--+ 0x = 时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴=故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意 (2)由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+--由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-= 令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增; 当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩,解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+(3) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由(1)知()()()'231x x f x x -+=+,令()'0fx =得,0x =或32x =-(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增;当0x >时, ()'0fx <,()f x 单调递减.()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值. ()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立)对任意正整数n ,取10x n=> 得,2111ln 1,n n n⎛⎫+<+⎪⎝⎭ 211ln n n n n++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭.故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n++++++>++++=+ . 18．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知二次函数()21fx x a x m =+++,关于x的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+,其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.(1)求a 的值;(2)k k (∈R )如何取值时,函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点,并求出极值点;(3)若1m =,且x 0>,求证:()()1122nn ng x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *). 【答案】(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+. ∴2a =-(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为11x ,=<21x ,=>则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-,则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点若k >时,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**)方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-.∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++令T 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++ , 则T 122412n nn n n n n n C xC x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x 0>, ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅ ()1212n n n n C C C -=+++()012102n n n n n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n =-∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立;② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22k ≥⋅-+122k +=-也就是说,当1n k =+时,不等式也成立.由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立19．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==,且最小值是14-.(1)求()f x 的解析式; (2)设常数1(0,)2t ∈,求直线l :2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ;(3)已知0m ≥,0n ≥,求证:211()()24m n m n +++≥【答案】解:(1)由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==.设()(1)(0)f x ax x a =-≠,则221()()24af x ax ax a x =-=--又()f x 的最小值是14-,故144a -=-.解得1a =.∴2()f x x x =-;(2)依题意,由22x x t t -=-,得x t =,或1x t =-.(1t - ｔ) 由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232ttx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰(3)∵()f x 的最小值为14-,故14m -,14n -∴12m n +-≥-,故12m n ++≥∵1()02m n +,102m n ++, ∴11()()22m n m n +++=∴211()()24m n m n +++≥20．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）设()x g x e =,()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ,其中,a λ是常数,且01λ<<.(1)求函数()f x 的极值;(2)证明:对任意正数a ,存在正数x ,使不等式11x e a x--<成立; (3)设12,λλ∈+R ,且121λλ+=,证明:对任意正数21,a a 都有:12121122a a a a λλ≤λ+λ.【答案】解析:(1)∵()[(1)]()f x g x a g x λλλλ'''=+--,由()0f x '>得,[(1)]()g x a g x λλ''+->,∴(1)x a x λλ+->,即(1)()0x a λ--<,解得x a <, 故当x a <时,()0f x '>;当x a >时,()0f x '<; ∴当x a =时,()f x 取极大值,但()f x 没有极小值(2)∵111x x e e x x x----=, 又当0x >时,令()1xh x e x =--,则()10xh x e '=->, 故()(0)0h x h >=,因此原不等式化为1x e x a x--<,即(1)10x e a x -+-<, 令()(1)1x g x e a x =-+-,则()(1)xg x e a '=-+, 由()0g x '=得:1xe a =+,解得ln(1)x a =+,当0ln(1)x a <<+时,()0g x '<;当ln(1)x a >+时,()0g x '>. 故当ln(1)x a =+时,()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++,令()ln(1),01a s a a a a =-+>+,则2211()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++. 故()(0)0s a s <=,即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<.因此,存在正数ln(1)x a =+,使原不等式成立(3)对任意正数12,a a ,存在实数12,x x 使11x a e =,22x a e =, 则121122112212xx x x a a e ee λλλλλλ+=⋅=,12112212x x a a e e λλλλ+=+,原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+,11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+由(1)()(1)()f x g a λ≤-恒成立,故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-, 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=, 即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+, 即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+,故所证不等式成立21．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知函数321,(1)()(1),(1)x x ax bx x f x c e x -⎧-++<⎪=⎨-≥⎪⎩在32,0==x x 处存在极值. (1)求实数b a ,的值;(2)函数)(x f y =的图像上存在两点B A ,使得AOB ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形,且斜边AB 的中点在y 轴上,求实数c 的取值范围; (3)当e c =时,讨论关于x 的方程()f x kx =()k R ∈的实根的个数.【答案】解(1)当1x <时,2()32f x x ax b '=-++.因为函数f(x)在20,3x x ==处存在极值,所以(0)0,2()0,3f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得1,0a b ==. (2) 由(1)得321,(1),()(1),(1),x x x x f x c e x -⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩根据条件知A,B 的横坐标互为相反数,不妨设32(,),(,()),(0)A t t t B t f t t -+>.若1t <,则32()f t t t =-+,由AOB ∠是直角得,0OA OB ⋅= ,即23232()()0t t t t t -++-+=,即4210t t -+=.此时无解;若1t ≥,则1()(1)t f t c e -=-. 由于AB 的中点在y 轴上,且AOB ∠是直角,所以B 点不可能在x 轴上,即1t ≠. 由0OA OB ⋅= ,即2321()(1)t t t t c e --++⋅-=0,即()11(1)1t c t e -=+-..因为函数()1(1)1t y t e -=+-在1t >上的值域是(0,)+∞,所以实数c 的取值范围是(0,)+∞.(3)由方程()f x kx =,知32,(1),(1)x x x x kx e e x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩,可知0一定是方程的根,所以仅就0x ≠时进行研究:方程等价于2,(10),,(1).x x x x x k e e x x ⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且构造函数2,(10),(),(1),x x x x x g x e e x x⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且对于10x x <≠且部分,函数2()g x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分, 当12x =时取得最大值14,其值域是1(,0)(0,]4-∞ ; 对于1x ≥部分,函数()x e e g x x -=,由2(1)()0x e x e g x x-+'=>,知函数()g x 在()1,+∞上单调递增.所以,①当14k >或0k ≤时,方程()f x kx =有两个实根; ②当14k =时,方程()f x kx =有三个实根; ③当104k <<时,方程()f x kx =有四个实根.22．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知a <2,(1) 求f(x)的单调区间; (2)若存在x 1∈[e,e2],使得对任意的x 2∈[—2,0],f (x 1)<g(x 2)恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】23．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））定义(,)|||ln |x x y e y y x y ρ=---,其中,x R y R +∈∈.(1)设0a >,函数()(,)f x x a ρ=,试判断()f x 的定义域内零点的个数; (2)设0a b <<,函数()(,)(,)F x x a x b ρρ=-,求()F x 的最小值; (3)记(2)中最小值为(,)T a b ,若{}n a 是各项均为正数的单调递增数列,证明:1111(,)()ln 2nii n i T a aa a ++=<-∑.【答案】24．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间;(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M .【答案】设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M . 解:(1)由1()3f '=0,得a =b .当0a =时,则0b =,()f x c =不具备单调性 故f (x )= ax 3-2ax 2+ax +c .由()f x '=a (3x 2-4x +1)=0,得x 1=13,x 2=1列表:由表可得,函数f (x )的单调增区间是(-∞,13)及(1,+∞) .单调减区间是1[,1]3(2)当0a =时,()f x '=2bx b -+ 若0b = ()0f x '=,若0b >,或0b <,()f x '在[0,1]是单调函数,'(0)(1)f f '-=≤()f x '≤(0)f ',或'(1)f -=(0)f '≤()f x '≤(1)f '所以,()f x '≤M当0a >时,()f x '=3ax 2-2(a +b )x +b =3222()33a b a b aba x a a++---. ①当1,033a b a b a a++≥或≤时,则()f x '在[0,1]上是单调函数,所以(1)f '≤()f x '≤(0)f ',或(0)f '≤()f x '≤(1)f ',且(0)f '+(1)f '=a >0.所以M -()f x '<≤M②当013a ba +＜＜,即-a <b <2a ,则223a b ab a +--≤()f x '≤M . (i) 当-a <b ≤2a 时,则0<a +b ≤32a. 所以 (1)f '223a b ab a +--=22223a b ab a --=223()3a a b a -+≥214a >0.所以 M -()f x '<≤M (ii) 当2a <b <2a 时,则()(2)2a b b a --<0,即a 2+b 2-52ab <0. 所以223a b ab b a +--=2243ab a b a -->22523ab a b a-->0,即(0)f '>223a b ab a +-.所以 M -()f x '<≤M综上所述:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M25．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=.(1)若()()f x g x ≥对于定义域内的任意x 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x ,且11(0,)2x ∈,证明:123()()ln 24h x h x ->-; (3)设1()()()2ax r x f x g +=+对于任意的(1,2)a ∈,总存在01[,1]2x ∈,使不等式2()(1)r x k a >- 成立,求实数k 的取值范围.【答案】解析:(Ⅰ)由题意:)()(x g x f ≥⇔≥-ax x 2x ln ,)0(>x分离参数a 可得:)0(ln >-≤x xx x a设x x x x ln )(-=φ,则22/1ln )(x x x x -+=φ由于函数2x y =,x y ln =在区间),0(+∞上都是增函数,所以函数1ln 2-+=x x y 在区间),0(+∞上也是增函数,显然1=x 时,该函数值为0 所以当)1,0(∈x 时,0)(/<x ϕ,当),1(+∞∈x 时,0)(/>x ϕ所以函数)(x φ在)1,0(∈x 上是减函数,在),1(+∞∈x 上是增函数 所以1)1()(min ==φφx ,所以1)(min =≤x a φ即]1,(-∞∈a(Ⅱ)由题意知道:x ax x x h ln )(2+-=,且)0(,12)(2|>+-=x x ax x x h所以方程)0(0122>=+-x ax x 有两个不相等的实数根21,x x ,且)21,0(1∈x , 又因为,2121=x x 所以),1(2112+∞∈=x x ,且)2,1(,122=+=i x ax i i而)ln ()()(112121x ax x x h x h +-=-)ln (2222x ax x +--]ln )12([12121x x x ++-=]ln )12([22222x x x ++--212122lnx x x x +-=22222221ln )21(x x x x +-=2222222ln 41x x x --=,)1(2>x设)1(,2ln 41)(222≥--=x x x x x u ,则02)12()(322/≥-=x x x u所以2ln 43)1()(-=>u x u ,即2ln 43)()(21->-x h x h(Ⅲ))21()()(ax g x f x r ++=21ln2++-=ax ax x 所以12)(|++-=ax a a x x r 12222++-=ax x x a ax 1)22(22+--=ax a a x ax 因为(1,2)a ∈,所以21212212222=-≤-=-a a a a 所以当),21(+∞∈x 时,)(x r 是增函数,所以当01[,1]2x ∈时, 21ln1)1()(max 0++-==a a r x r ,(1,2)a ∈所以,要满足题意就需要满足下面的条件:)1(21ln12a k a a ->++-,令)1(21ln 1)(2a k a a a --++-=ϕ,(1,2)a ∈即对任意(1,2)a ∈,)1(21ln1)(2a k a a a --++-=ϕ0>恒成立 因为)122(11222111)(2/-++=+-+=+++-=k ka a aa a ka ka ka a a ϕ分类讨论如下:(1)若0=k ,则1)(/+-=a aa ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意(2)若0<k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.(3)若0>k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,那么当1121>-k 时,假设t 为2与121-k中较小的一个数,即}121,2min{-=k t ,则)(a ϕ在区间})121,2min{,1(-k 上递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.综上可得⎪⎩⎪⎨⎧≤->11210k k 解得41≥k ,即实数k 的取值范围为),41[+∞26．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知函数32(),()ln ,(0)f x x x bx g x a x a =-++=>.(1)若()f x 存在极值点,求实数b 的取值范围;(3)当b=0时,令(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩.P(11,()x F x ),Q(22,()x F x )为曲线y=()F x 上的两动点,O 为坐标原点,请完成下面两个问题:①能否使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y 轴上?请说明理由. ②当1<12x x <时,若存在012(,)x x x ∈,使得曲线y=F(x)在x=x 0处的切线l ∥PQ, 求证:1202x x x +<【答案】27．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a (1,2,n = ).(1)求12,a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立.【答案】解:(1)解法1:∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---当1n =时,1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴1111()28a f ==, 当2n =时,2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴2211()216a f ==【解法2:当1n =时,21()(1)f x x x =-,则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=-- 当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减,∴1111()28a f ==, 当2n =时,222()(1)f x x x =-,则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减,∴2211()216a f ==】 (2)令'()0n f x =得1x =或2n x n =+,∵当3n ≥时,1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >,当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <, 故()n f x 在2nx n =+处取得最大值,即当3n ≥时,22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)nn n n +=+,------(*) 当2n =时(*)仍然成立,综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩(3)当2n ≥时,要证2241(2)(2)n n n n n +≤++,只需证明2(1)4n n +≥∵01222(1)()()n nnn n n C C C nnn+=+++ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=∴对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立 28．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知函数2()1f x a bx x =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若关于x 的方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,求实数k 的值; (3)数列{}n a 满足12(2)a f =,1(),n n a f a n N *+=∈, 求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+的整数部分.惠州市2013届高三第一次模拟考【答案】解: (1) f'(x)=2ax+b ,依题设,有`(3)5(3)7f f =⎧⎨=⎩,即659317a b a b +=⎧⎨++=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩2()=1f x x x ∴-+(2)方程()=k x f x e ∴,即21k xx x e -+=,得2k (1)xx x e -=-+, 记2F(x)(1)xx x e -=-+,则22F'(x)=(21)(1)(32)(1)(2)x x x x x e x x e x x e x x e -------+=--+=---令F'(x)=0,得121,2x x ==当x 变化时,F'(x)、F(x)的变化情况如下表:∴当1x =时,F(x)取极小值1e ;当2x =时,F(x)取极大值23e作出直线y x =和函数2F(x)(1)xx x e -=-+的大致图象,可知当1k e =或23k e =时,它们有两个不同的交点,因此方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,(3) 12(2)3a f ==,得1312a >>,又21()1n n n n a f a a a +==-+.22121(1)0n n n n n a a a a a +∴-=-+=->,11n n a a +∴>>由211n n n a a a +=-+,得11=(1)n n n a a a +--,111111(1)1n nnnnaa a a a+∴==----,即111111nnn aa a+=---122013122320132014111111111()()()111111S a aaa aaaaa∴=+++=-+-++-------12014201411111122a aa=-=-<---又1211242637211S a a>++==>即12S <<,故S 的整数部分为. l4分。

佛山二模数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. -πC. 0D. 1+i2. 已知函数f(x)=2x^2+3x-2，求f(-2)的值。

A. -14B. -10C. -6D. 23. 已知点A(1,2)和点B(4,6)，求直线AB的斜率。

A. 1B. 2C. 3D. 44. 一个圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。

A. 23B. 25C. 27D. 296. 已知三角形ABC的三个内角分别为30°、60°和90°，求角A的正弦值。

A. 1/2B. √3/2C. 1/√2D. √2/27. 已知向量a=(3,4)和向量b=(-1,2)，求向量a与向量b的点积。

A. -2B. 0C. 2D. 108. 已知函数y=x^3-6x^2+9x+2，求导数y'。

A. 3x^2-12x+9B. x^2-4x+3C. 3x^2-12x+6D. x^2-4x+29. 已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求g(π/4)的值。

A. √2B. 1C. 2D. 010. 已知集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，求集合A和集合B的交集。

A. {1}B. {2,3}C. {4}D. {1,2,3}二、填空题（每题4分，共20分）11. 求方程x^2-4x+4=0的根。

___________________________12. 已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项a5的值。

___________________________13. 已知函数h(x)=x^2-4x+7，求h(x)的最小值。

___________________________14. 已知向量c=(1,-1)和向量d=(2,3)，求向量c与向量d的叉积。

2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测数 学（理科） 评分一、填空题 CDBCABBC二、填空题9．∀x ∈R ，x e >0 10．4π11．8 12．()()22115x y -+-= 13．8014．sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1cos sin =+θρθρ） 15．13三、解答题16．⑴解法1、由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα， ……1分(1,3)O A =-，(cos ,sin )O B αα=……2分 O A O B ⊥，得0OA OB ⋅=……3分∴cos 3sin 0αα-+=，1tan 3α= ……4分解法2、由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα ……1分 3O A k =-， tan OB k α= ……2分 ∵O A O B ⊥，∴1O A O B K K ⋅=- ……3分3tan 1α-=-， 得1tan 3α=……4分解法3、 设) , (y x B ，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、由⑴OA == 记AOx β∠=， (,)2πβπ∈∴sin 10β==cos 10β==-（每式1分） ……6分∵1O B = 4cos 5α=，得3sin 5α==（列式计算各1分） ……8分43sin sin()10510510AO B βα∠=-=+=（列式计算各1分） ……10分∴11sin 12210AOB S AO BO AO B ∆=∠=⨯⨯32=（列式计算各1分） ……12分解法2、由题意得：A O 的直线方程为30x y += ……6分则3sin 5α==即43(,)55B （列式计算各1分） ……8分则点B 到直线A O的距离为d ==1分） ……10分又OA==∴11322102AO BS AO d∆=⨯=⨯=（每式1分）…12分解法3、3sin5α==即43(,)55B（每式1分）……6分即：(1,3)O A=-，43(,)55O B=，……7分OA==1O B=，4313cos10O A O BAO BO A O B-⨯+⨯⋅∠===……9分（模长、角的余弦各1分）∴sin10AO B∠==……10分则113sin122102AO BS AO BO AO B∆=∠=⨯⨯=（列式计算各1分）……12分解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17．⑴因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是110和15，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是111130.152102520⋅+⋅==（列式计算各1分）……2分所以李生小孩能够按时到校的概率是10.1585%-=；……3分⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是1720，……4分丙到甲没有遇到拥堵的概率也是1720，……5分甲到乙遇到拥堵的概率是11111123103103515⋅+⋅+⋅=，……6分甲到乙没有遇到拥堵的概率是21311515-=，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是17171337570.82020156000⋅⋅=<，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）……8分⑶依题意ξ可以取0,1,2. ……9分(0)Pξ==13172211520300⋅=,(1)Pξ==21713373152********⋅+⋅=,(2)Pξ==2361520300⋅=,…11分分布列是：22173685170+1+2=30030030030060Eξ=⨯⨯⨯=. ……12分ABE CDF图甲 1A EFBC1DG图乙 GMHH18．⑴证明：在图甲中，易知//AE D F ,从而在图乙中有11//A E D F ， ……1分因为1A E ⊄平面1C D F ，1D F ⊂平面1C D F ，所以1//A E 平面1C D F （条件2分）……4分 ⑵解法1、如图,在图乙中作G H EF ⊥，垂足为H ，连接1A H ，由于1A G ⊥平面E B C F ，则1A G EF ⊥， ……5分 所以E F ⊥平面1A G H ，则1EF A H ⊥， ……6分 所以1A H G ∠平面B E F C 与平面11A EFD 所成二面角的平面角， ……8分图甲中有EF AH ⊥，又G H E F ⊥，则A GH 、、三点共线， ……9分设C F 的中点为M ，则1M F =，易证A B G E M F ∆≅∆，所以，1BG M F ==，AG =……11分（三角形全等1分）又由A B G A H E ∆∆ ，得1AB AE A H AH AG===， ……12分于是，HG AG AH =-=……13分在1Rt A G H ∆中，112cos 3H G A G H A H∠==，即所求二面角的余弦值为23．……14分解法2、如图,在图乙中作G H E F ⊥，垂足为H ，连接1A H ，由于1A G ⊥平面E B C F ，则1A G E F ⊥， ……5分所以E F ⊥平面1A G H ，则1EF AH ⊥，图甲中有EF AH ⊥，又GH EF ⊥，则A G H 、、三点共线， ……6分设C F 的中点为M ，则1M F =，易证A B G E M F ∆≅∆，所以1BG M F ==，则AG =又由A B G A H E ∆∆ ，得16ABAE A H AH AG===， ……7分于是，HG AG AH =-=在1Rt A G H ∆中，1A G === ……8分作//G T B E 交E F 于点T ，则T G G C ⊥，以点G 为原点，分别以1G C G T G A 、、所在直线为x y z 、、轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)G 、(1,1,0)E -、(2,2,0)F 、1(0,0,A ，则1(1,3,0)(EF EA ==-，（坐标系、坐标、向量各1分） ……11分E 图丙显然，1(0,G A =是平面B E F C 的一个法向量， ……12分设(,,)n x y z = 是平面11A EFD 的一个法向量，则130,0n E F x y n E A x y ⎧=+=⎪⎨=-++=⎪⎩ ，即3,x y z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，不妨取1y =-，则(3,1,n =-， (13)分设平面B E F C 与平面11A EFD 所成二面角为θ，可以看出，θ为锐角，所以，11|030(12|2c o s 3||||G A n G A n θ⨯+⨯-== ，所以，平面B E F C 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值为23． ……14分19．⑴由题可知，圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等 ……2分由抛物线定义知,C 的轨迹2C 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线 ……4分 （确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）所以动圆圆心C 的轨迹2C 的方程为24y x =. ……5分 ⑵解法1、 设(,)P m n ，则O P中点为(,)22m n， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221n m k n k m⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m kk n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（中点1分，方程组2分，化简1分） (8)分将其代入抛物线方程，得：222288()411k kkk-=⋅++，所以21k =. ……9分联立 2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， (12)分注意到221b a =-，即2217a ≥，所以2a ≥，即2a ≥……13分因此，椭圆1C此时椭圆的方程为22+1171522xy=. ……14分解法2、设2,4m P m ⎛⎫⎪⎝⎭ ，因为O P 、两点关于直线l 对称，则=4OM M P =， ……6分即4=，解之得4m =± ……7分即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限，且直线与抛物线交于,A B .则11AB O Pk k =-=,于是直线l 方程为4y x =-（斜率1分，方程1分） ……9分联立 222241y x x yab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， (12)分注意到221b a =-，即2217a ≥，所以2a ≥，即2a ≥……13分因此，椭圆1C此时椭圆的方程为22+1171522xy=. ……14分20．⑴由题意知03612 633x x x ≤<⎧⎪⎨--≥⎪+⎩或361163x x ≤≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩ (2)分解得13x ≤<或34x ≤≤，即14x ≤≤ ……3分能够维持有效的抑制作用的时间：413-=小时. ……4分 ⑵由⑴知，4x =时第二次投入1单位固体碱，显然()g x 的定义域为410x ≤≤ ……5分 当46x ≤≤时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故()g x =1 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(4)626(4)3x x ⎡⎤---⎢⎥-+⎣⎦=116331x x ---; ……6分当610x <≤时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故 当67x <≤时， (4)6()26(4)3x g x x -=---+ =86361x x ---; ……7分当710x <≤时， 45()1636x x g x -=-=- ; ……8分所以1164633186()673615 71036xx x xg x x x xx ⎧--≤≤⎪-⎪⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩ ……9分当46x ≤≤时， 116()331x g x x =---=101610()3313x x --+≤--103-当且仅当1631x x -=-时取“=”,即1[4,6]x =+（函数值与自变量值各1分）……11分当610x <≤时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当67x <≤时， 2261(5)(7)()0(1)66(1)x x g x x x +-'=-=>--，所以()g x 为增函数;当710x <≤时，()g x 为减函数;故 m ax ()g x =1(7)2g =， ……12分又10117(=03266---=>,所以当1x =+时，水中碱浓度的最大值为103-……13分答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放1+小时后,水中碱浓度的达到最大值为103-……14分21．⑴易得,()1221122xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, ……1分()12221224xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……2分()122313382xf x x x e-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,所以3(0)3f =- ……3分 ⑵不失一般性，设函数()21111()x n n n n f x a x b x c e λ----=++⋅的导函数为()2()xn n n n f x a x b x c eλ=++⋅，其中1,2,n = ，常数0λ≠，0001,0a b c ===.对1()n f x -求导得：2111111()[(2)()]x n n n n n n f x a x a b x b c e λλλλ------'=⋅++⋅++⋅⋅ ……4分 故由1()()n n f x f x -'=得：1n n a a λ-=⋅ ①，112n n n b a b λ--=+⋅ ②， ……5分 11n n n c b c λ--=+⋅ ③ 由①得：,n n a n N λ=∈ ， ……6分 代入②得：112n n n b b λλ--=⋅+⋅，即112nn nn b b λλλ--=+，其中1,2,n =故得：12,n n b n n N λ-=⋅∈. ……7分 代入③得：212n n n c n c λλ--=⋅+⋅，即1212nn nn c c nλλλ--=+，其中1,2,n = .故得：2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈， ……8分 因此(0)n f =2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈. 将12λ=-代入得：21(0)(1)()2n n f n n -=--，其中n N ∈. ……9分（2）由（1）知111(0)(1)()2n n f n n -+=+-，当2(1,2,)n k k == 时，21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<，2212210,k k k k S S S S --∴-<<，故当n S 最大时，n为奇数. ……10分当21(2)n k k =+≥时，21212221(0)(0)k k k k S S f f +-++-=+ ……11分 又2221(0)(21)(22)()2k k f k k +=++-，21211(0)2(21)()2k k f k k -+=+-221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22kk k k f f k k k k -++∴+=++-++-211(21)(1)()2k k k -=+--<，2121k k S S +-∴<，因此数列{}21(1,2,)k S k += 是递减数列 (12)分又12(0)2S f ==，3234(0)(0)(0)2S f f f =++=， ……13分 故当1n =或3n =时，n S 取最大值132S S ==. ……14分⎧⎪⎨⎪⎩。

2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测数学（文科）2013.4本试卷共 4 页， 21 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．参考公式：棱锥的体积公式：V 1 Sh．3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A x 1x 2, x N ，集合 B2,3 ，则A B等于A ．1,2,3B ．0,1,2,3C．2D．1,0,1,2,32．已知复数z的实部为1，且z 2 ，则复数 z 的虚部是A ．3B．3i C．3i D ．3．已知命题 p ： x1， x2 1 0 ，那么p 是3A ．x 1， x2 1 0B．x 1， x2 1 0C．x 1， x2 1 0D．x 1 ， x2 1 04．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100 株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这 100 株树木中，底部周长小于110cm的株数是A ．30B． 60C． 70D． 805．函数f (x) sin x， x[ 1，1] ,则2A ．f ( x)为偶函数，且在[ 0，1]上单调递减 ;频率 / 组距0.040.020.01B ．f ( x)为偶函数，且在[ 0，1]上单调递增 ;8090 100110 120 130 周长 (cm) C．f ( x)为奇函数，且在[1，0] 上单调递增;第 4题图第 1页共 10页6．设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则“ a 10 ”是“ S 3 a 2 ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7 f ( x) x，当 x 1时，恒有 f ( x) x，则 的取值范围是．已知幂函数A ． 01B ．1C ．D ．8．设 m 、 n 是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：① 若 // , // , 则 //②若， m // ，则 m③ 若 m, m // ，则④若 m // n, n，则 m //其中真命题的序号是A ．①④B ． ②③C ．②④D ． ①③x 0．直线 2x y 10 0 与不等式组y表示平面区域的公共点有9x y 24x 3 y 20A ．0 个B ． 1 个C ． 2 个D ．无数个10．已知平面上的线段l 及点 P ，在 l 上任取一点 Q ，线段 PQ 长度的最小值称为点P 到线段 l 的距离，记作 d (P, l ) ．设 l 是长为 2 的线段，点集 D { P | d (P,l )1} 所表示图形的面积为A.B. 2C. 2D.4二、填空题： 本大共 5 小题 ． 考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．（一）必做题 (11 ～ 13 题 )11a ,b 满足 a 1, b 2 , a b a,则向量 a与 b 的夹角为.．已知向量12．已知圆 C 经过点 A(0,3) 和 B(3,2) , 且圆心 C 在直线 yx 上 , 则圆 C 的方程为 .13．将集合 { 2 s2 ts t 且 s, tZ } 中的元素按上小下大，3|05 6左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于91012第 i 行第 j 列的数记为 b ij（ ij 0 ）, 则 b 43 =.( 二 ) 选做题 (14 ～ 15 题，考生只能从中选做一题 )第 13 题14．（ 坐标系与参数方程 ）在极坐标系中，设曲线 C 1 :2sin 与 C 2 :2cos 的交点分别为 A 、 B ，则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为B图．15．（ 几何证明选讲 ）如图 ，圆 O 的直径 AB9 ，O直线 CE 与 圆 O 相切于点 C ， ADCE 于 D ，图若 AD 1 ，设ABC ，则sin______．三、解答题：本大题共6小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12 分）在平面直角坐标系xOy 中，以 Ox 为始边，角的终边与单位圆O 的交点 B 在第一象限，已知 A( 1,3) .（1）若OA OB , 求tan的值 .（2）若B点横坐标为4, 求S AOB . 517．（本题满分 12 分）市民李生居住在甲地 , 工作在乙地 , 他的小孩就读的小学在丙地, 三地之间的道路情况如图所示. 假设工作日不走其它道路 , 只在图示的道路中往返 ,每次在路口选择道路是随机的. 同一条道路去程与回程是否堵车互不影响 .假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，（ 1）写出李生可能走的所有路线；（比如 DDA 表示走 D 路从甲到丙，再走 D 路回到甲，然后走 A 路到达乙） ;A D（ 2）假设从甲到乙方向的道路 B 和从丙到甲方向的乙B甲丙道路 D 道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道EC相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？第17 题图18．（本题满分 14 分）如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 D1 D 垂直于底面ABCD ，且 D1D 3 ．D1C1 A1B1（ 1）点P在侧棱 C1C 上，若CP1，求证： A1 P 平面PBD；P（ 2）求三棱锥A1D C BDC1的体积V．A B第 18题图19．（本题满分14 分）已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点 F 1,0 , C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，直线l 过点M (4, 0).（ 1）写出抛物线C2的标准方程；（ 2）若坐标原点O 关于直线 l 的对称点P在抛物线 C2上，直线 l 与椭圆 C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值 .20．（本题满分14 分）环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计20 年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为 64a m2，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积 a m2，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加 a m2.设第 n (n 1, 且 n N )年新城区的住房总面积为 a n m2，该地的住房总面积为b n m2.（1）求a n的通项公式；（2）若每年拆除4a m2，比较a n+1与b n的大小 .21．（本题满分 14 分）已知函数 f ( x) ln x1， g(x)ln x， a 是常数.x a x a （1）求f (x)的单调区间；（2）若g( x)有极大值，求a的取值范围 .文科数学评分参考一、填空题BDBCACBDBD二、填空题11．12． x2 y 2513． 2041114． sin() 2 （或 sincos） 15．1432三、解答题 16．⑴解法 1、由题可知： A( 1,3) ， B(cos ,sin ) ， ⋯⋯ 1 分OA( 1,3) ， OB (cos ,sin )⋯⋯ 2 分OAOB ，得 OA OB 0⋯⋯ 3 分∴cos3sin0 ， tan1⋯⋯ 4 分3解法 2、由题可知： A( 1,3) ， B(cos ,sin )⋯⋯ 1 分kOA3 ，kOBtan⋯⋯ 2 分 ∵ OAOB ，∴ K OA K OB1⋯⋯ 3 分3tan1，得 tan1⋯⋯ 4 分3解法 3、设 B( x , y) ，（列关于 x 、y 的方程组 2 分，解方程组求得 x 、y 的值 1 分，求正切 1 分）⑵解法 1、由⑴ OA( 1)2(3) 210 ， 记 AOx，( , )2∴ sin3 310， cos 110（每式 1 分）⋯⋯ 6 分10 101010∵ OB 1cos4，得 sin 1 cos 23（列式计算各 1 分）⋯⋯ 8 分5 5sin AOBsin()3 104 10 3 3 10（列式计算各 1 分）⋯⋯ 10 分10 5105 10∴ S AOB1AO BO sin AOB 1 10 13 103（列式计算各 1 分） ⋯⋯ 12 分 解法 2、 2210 2由题意得： AO 的直线方程为 3x y 0⋯⋯ 6 分则 sin1 cos 23即 B( 4 , 3 ) （列式计算各 1 分）⋯⋯ 8 分·4 3 3则点 B 到直线 AO 的距离为 d5 553 （列式计算各 1 分）⋯⋯ 10 分101010又 OA( 1)2(3) 210 ，∴ S AOB1 AO d 1 10 3 103 （每式 1 分） ⋯12 分 解法 3、22102sin123即 B(4 3（每式 1 分）⋯⋯ 6 分cos5, )5 5即： OA ( 1,3) ， OB( 4 , 3) ，⋯⋯ 7 分5 543OA OB 13 10OA(2210 ， OB1 ， cos AOB55⋯⋯ 9 分1) (3)OA OB10110（模长、角的余弦各 1 分）∴ sinAOB1 cos 2AOB3 10⋯⋯ 10 分10则 S AOB 1 AOBO sinAOB1 10 1 3 103（列式计算各 1 分）⋯⋯ 12 分2210 2解法 4、根据坐标的几何意义求面积（求 B 点的坐标 2 分，求三角形边长 2 分，求某个 内角的余弦与正弦各 1 分，面积表达式 1 分，结果 1 分）17．⑴李生可能走的所有路线分别是： DDA ，DDB ，DDC ，DEA ，DEB ，DEC ，EEA ，EEB ，EEC ，EDA ，EDB ，EDC （1-2 个 1 分， 3-5 个 2 分， 5-7 个 3 分， 7-11 个 4 分，） ⋯⋯ 5 分 共 12 种情况⋯⋯ 6 分 ⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有： DEA ，DEC ，EEA ，EEC ⋯⋯ 7 分 共 4 种情况，⋯⋯ 8 分 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率P41（文字说明 1 分） ⋯⋯ 12 分18．⑴解法 1、123依题意， CP 1， C 1P 2 ，在 Rt BCP 中， PB12 122⋯⋯ 1 分 同理可知， A 1P 22 222 2 ， A 1B321210 （每式 1 分）⋯⋯ 3 分 所以 A 1P 2 PB 2 A 1B 2 ，⋯⋯ 4 分 则 A 1 P PB ，⋯⋯ 5 分 同理可证， A 1P PD ，⋯⋯ 6 分由于 PB PD P ， PB 平面 PBD ， PD 平面 PBD ， ⋯⋯ 7 分 所以， A 1P 平面 PBD ． ⋯⋯ 8 分 解法 2、 由 A 1 P PB （或 A 1P PD ）和 A 1 P BD 证明 A 1P 平面 PBD （证明任何一个线线垂直关系给 5 分，第二个线线垂直关系给1 分）⑵解法 1、如图 1，易知三棱锥 A 1 BDC 1 的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即 V A BDC V ABCD A B C D 4V A ABD （文字说明 1 分） ⋯⋯ 11 分 D 1 C 1N1AB AD A 1A4 11AB AD A 1 A ⋯⋯ 13 分3 21 2 32⋯⋯ 14 分23解法 2、依题意知，三棱锥 A 1 BDC 1 的各棱长分别是1 1 BD2 ， A 1B A 1D C 1B C 1D11 （每式 1 分） ⋯⋯10 分AC如图 2，设 BD 的中点为 M ，连接 A 1M ，C 1 M ，则 A 1MBD ， C 1M BD ，且 AM C M10 ，11于是 BD 平面 AC 11M ，⋯⋯ 12 分设 AC的中点为 N ，连接 MN ，则 MN AC ，且 MNA 1M 2 A 1 N 210 1 3 ，111 1则三角形 AC 1 M 的面积为 S A C M1AC 1 1 MN12 3 3 ，⋯⋯ 13 分11122所以，三棱锥 A 1 BDC 1 的体积 V1S A 1C 1M BD1 32 2 ． ⋯⋯ 14 分3319．⑴由题意，抛物线 C 2 的焦点 F 1,0 ，则p1, p2⋯⋯ 2 分22所以方程为：4x ．⋯⋯ 3 分y⑵解法 1、设 P(m, n) ，则 OP 中点为 ( m , n) ，⋯⋯ 4 分2 2nm 4)2 k(因为 O 、 P 两点关于直线 yk( x4) 对称，所以2（每方程 1 分） ⋯⋯ 6 分nk 1m即 kmn 8km8k 2，解之得1 k 2，⋯⋯ 7 分m nk 0n8k1 k 2将其代入抛物线方程，得： (8k 2 ) 2 4 8k 22 ，所以 k 2 1 （列式计算各 1 分） ⋯⋯ 9 分 1 k 1 kyk(x 4)22 2222 2联立22⋯⋯ 11 分xy，消去 y ，得： (ba )x8a x16aa b 0a 2b 2 1由( 8a 2 ) 2 4(b 2 a 2 )(16a 2 a 2 b 2 ) 0 ，得 a 2b 2 16，⋯⋯ 12 分注意到 b 2a 21 ，即 2a 217 ，所以 a34，即 2a34 ，⋯⋯ 13 分2因此，椭圆 C 1 长轴长的最小值为 34.⋯⋯ 14 分解法 2、设 P m 2 , m ，因为 O 、 P 两点关于直线 l 对称，则 OMMP =4 ，⋯⋯ 5 分4m 22即4 m 2 4 ，解之得 m 4 ⋯⋯ 6 分4即 P(4, 4) , 根据对称性 , 不妨设点 P 在第四象限，且直线与抛物线交于 A, B 如图 . 则11 , 于是直线 l 方程为 y x4 （讨论、斜率与方程各 1 分）⋯⋯ 9 分kABkOPy x 4联立x 2 y 222 2222 2，消去 y ，得： (b a )x8a x 16aa b 0a2b21由( 8a 2 ) 2 4(b 2 a 2 )(16a 2 a 2 b 2 ) 0 ，得 a 2 b 216，注意到 b 2 a 2 1 ，即 2a 2 17，所以 a34 ，即 2a34 ，2因此，椭圆 C 1 长轴长的最小值为34 .yly⋯⋯ 11 分 ⋯⋯ 12 分 ⋯⋯ 13 分⋯⋯ 14 分BO FMxO FMxPAP20．⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为n m2，则当 1 n4 时， n 2n 1 a ；⋯⋯ 1 分当 n 5 时， n (n 4)a .⋯⋯ 2 分 所以 , 当 1 n 4 时， a n (2 n 1)⋯⋯ 3 分a当 n 5 时， a n a 2a4a 8a 9 a ⋯ (n4)an29n 22a （列式 1 分） ⋯⋯ 5 分2故 a n(2n 1)a(1 n4),⋯⋯ 6 分n 29n 22a(n5).2 (2n 1 1) a ， b n (2n 1)a 64a⑵ 1 n 3 时， a n 1 4na ，显然有 a n 1 b n⋯⋯ 7 分n4 时， a n 1 a5 24a ， b n b 4 63a ，此时 a n 1 b n .⋯⋯ 8 分5 n 16 时， a n 1n 2 11n12a ，b nn 2 9n 22 a 64a 4na （每式 1 分） ⋯⋯ 10 分a n 1b n (5n 59)a .22⋯⋯ 11 分所以 , 5 n 11 时， a n 1 b n ； 12 n 16 时， a n 1 b n . n 17 时，显然 a n 1 b n ⋯⋯ 13 分（对 1-2 种情况给 1 分，全对给 2 分）故当 1 n 11 时， a n 1 b n ；当 n 12 时， a n 1b n.⋯⋯ 14 分-21．⑴ f ( x)11x 2 (2a 1)x a 2⋯⋯ 1 分x ( x a) 2 x(x a)2设 h( x) x 2 (2a 1)x a 2 ，其判别式(2a 1)2 4a 24a 1⋯⋯ 2 分①当 a1时，0, h( x)0, x(x a) 2 0 ， f ( x)0 , f (x) 在定义域 0,上是增函4⋯⋯ 3 分数；当0 时，由 h(x)x2(2a 1)x a20 解得： x 12a 14a 1, x 2 2a14a122（每个根 1 分） ⋯⋯ 5 分②当1 0 时，0 2a 1 0 ；又 (2a 1) 2 (4a 1) 4a 20 ， 2a14a 10 ，4故 x 2x 1 0 ，即 h( x) 在定义域 0,上有两个零点 x 12a 14a1, x 22a 1 4a1a) 222 在区间 0,x 1 上， h( x) 0 ， x( x 0 ， f (x) 0 ， f ( x) 为 0,x 1 上的增函数在区间 x 1 , x 2 上， h(x) 0 ， x(x a)2 0 ， f ( x) 0 ， f (x) 为 x 1 , x 2 上的增函数在 区间 x 2 ,上， h(x )0， x(xa)20 ， f ( x)0 , f ( x) 为 x 2 ,上的增 函数.⋯⋯ 6 分③当 a0 时， x 1 0, x 2 1，在区间 0,1 上， h(x)0 ， x(x a)20 ，f (x)0 ；在区间 1,上， h( x) 0 ， x( x a)20 ， f ( x)0 ，⋯⋯ 7 分④当 a 0 时，函数 f ( x) 的定义域是 0, aa, ， h(a)a0 ， h( x) 在 0,a 上有零点 x 1 2a 14a1，在 a,上有零点 , x 22a 12 4a1；在区间 0, x 1 和 x 2 ,上，2f ( x)0 ， f ( x) 在 0, x 1 和 x 2 ,上为增函数；在区间 x 1 , a 和 a, x 2 上， f ( x) 0 ， f ( x) 在x 1, a 和 a, x 2 上位减函数 .⋯⋯ 8 分综上 : 当 a1时, 函数 f ( x) 的递增区间是 0,；当1 a0 时 ,f (x) 的递增区间44是 0,x 1 和 x 2 , , 递减区间是 x 1 , x 2 ；当 a时， f ( x) 的递减区间是 0,1 ；递增区间是1, ； 当 a0 时 ， f ( x)的 递 减 区 间 x 1 , a 和 a, x 2 ,递 增 区 间 是 0,x 1和x 2 ,.⋯⋯ 9 分 ⑵当 a0 时， g (x) 的定义域是 0,，当 a 0 时， g( x) 的定义域是 0, aa,，g ( x)x(1 ln x)a，令 t (x) x(1 ln x) ，则 t (x)ln x （每个导数 1 分）⋯⋯ 11 分x(x a)2在区间 0,1 上， t ( x) ln x0 ， t ( x) x(1 ln x) 是增函数且 0 t (x) 1；在区间 1,上， t (x)ln x 0 ， t( x) x(1ln x) 是减函数且 t (x) 1 ；当 x 1时， t(1) 1.⋯⋯ 12 分故当 a 1 时， g (x)0 ， g (x) 无极大值；当 0 a 1时， t( a) a 0 ，方程 t (x)a 在区间 0,1 和 1,上分别有一解 x , x ，此时函数 g( x) 在 x x 处取得极大值；⋯⋯ 13 分当 a0 时，方程 t (x) a 在区间 e, 上有一解 x ，此时函数 g (x) 在 xx处取得极大第 9 页 共 10 页值.综上所述，若 g ( x) 有极大值，则a的取值范围是,1 .⋯⋯14分第 10页共10页-。

佛山一中2013届高三第二次段考数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．函数y A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则AB =( )A ．11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知数列{}n a 的通项公式是()()11nn a n =-+，则12310a a a a ++++=( )A ．55-B ．5-C ．5D ．573．函数sin2y x x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值（ ） A ．1 B ．2 CD4．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （ ） A ．37 B ．73 C ．43D ．345. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输 出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．15D ．76．设a ，b 为正实数，则“a b <”是“11a b a b-<-” 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数， 即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()2011f x =( )A ．sin cos x x +B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x --8. 设双曲线22221 x yb-=（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y= x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )AB．2 C D9．点P是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D-内一点，且满足1312423AP AB AD AA=++，则点P到棱AB的距离为( )A．56B．34CD10．如果函数()f x x=()0a>没有零点，则a的取值范围为( )A．()0,1B．()0,1()2,+∞C．()0,1),2(+∞⋃D．(()2,+∞二、填空题：（每小题5分，共20分）11．若tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭=3，则atan的值为．12．若关于x的不等式()21m x x x->-的解集为{}12x x<<，则实数m的值为．13．已知空间四边形ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，且AB＝2，BC CD AD＝．14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()*,p q p q p q⨯≤∈N且是正整数n的最佳分解时，我们规定函数()pf nq=，例如()3124f=.关于函数()f n有下列叙述：①()177f=，②()3248f=，③()4287f=，④()914416f=.其中正确的序号为（填入所有正确的序号）．三、解答题（共80分）15．（本小题满分12分）如图1，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．60ABC东南西北α16．（本小题满分12分）雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示。