概率论练习题解答

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

习 题 二（A ）三、解答题1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律； (2) 写出X 的分布函数．解: (1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有1-612⨯C （这里12C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为612⨯C 多算了一次）或1512+⨯C 种，故{}36113615361-611212=+⨯=⨯==C C X P ,其他结果类似可得.(2)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 363243 36273236202136111 0 x x x x x x x ，，，，，，，2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．解：注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}1261299510===C X P . 3．设随机变量X 的分布律为0;,2,1,0,!}{>===λλΛk k ak X P k为常数，试求常数a ．解：因为1!==-∞=∑λλae k ak k，所以λ-=e a .4．设随机变量X 的分布律为(1) 求X 的分布函数；(2) 求}21{≤X P ，}2523{≤<X P ，}32{≤≤x P ．解：(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 132432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x F ，(2) {}41121=-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X p X P 、 {}2122523===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<X P X P , {}{}{}{}{}{}43323232==+=====≤≤X P X P X X P X P Y . 5．设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,21}{===k k X P k求： (1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3的倍数}解：(1) {}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i iX P ΛΛ偶数， (2) {}{}16116151212121211415432=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-=≤-=≥X P X P ，(3) {}7121121121lim 21333313=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞=∑i i i i X P 的倍数.6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率． 解：(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P . (2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率．解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，B X , {}{}∑=--=≤-=≥10400400,98.002.01112k k k kC X P X P由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X 近似服从泊松分布P (λ)（其中λ=400×0.02），所以P {X ≥2}∑=--≈18!81k k e k ， 查表泊松分布函数表得：P {X ≥2}9972.028.01=-≈8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，B X 则指示灯发出信号的概率{}{})7.03.07.03.07.03.0(131********55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=1631.08369.01=-=.9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y ≥ 1}． 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则51)(xex F --=，{}2)10(110-=-=>e F X P ，()25~-e B Y ，,则50,1,k ,)1()(}{5225Λ=-==---kk k e e C k Y P .0.516711}0{-1}1{52=--===≥-）（e Y P Y P 10．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2||,02||,cos )(ππx x x a x f ，试求： (1) 系数a ； (2) X 落在区间)4,0(π内的概率．解：(1) 由归一性知：⎰⎰-∞+∞-===222cos )(1ππa xdx a dx x f ，所以21=a .(2) .42|sin 21cos 21}40{404===<<⎰πππx xdx X P . 11．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F 试求：(1) 系数A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度． 解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-→+→，即A=1.（2）{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F .（3）X 的概率密度⎩⎨⎧<<='= ,010,2)()(x x x F x f .12．设随机变量X 服从(0，5)上的均匀分布，求x 的方程02442=+++X Xx x 有实根的概率．解：因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他05051)(x x f若方程024422=+++X Xx x 有实根，则03216)4(2≥--=∆X X ，即0)1)(2(≥+-X x ，得2≥X 或1-≤X ，所以有实根的概率为{}{}53510511252152==+=-≤+≥=⎰⎰-∞-x dx dx X P X P p 13．设X ～N (3，4)(1) 求};3{},2{},104{},52{>>≤<-≤<X P X P X P X P (2) 确定c 使得};{}{c X P c X P ≤=>(3) 设d 满足9.0}{≥>d X P ，问d 至多为多少? 解: (1) 因为4)(3~，N X所以}1235.0{}23523232{}52{≤-<-=-≤-<-=≤<X P X P X P5328.016915.08413.01)5.0()1()5.0()1(=-+=-+=--ΦΦΦΦ{}=≤<-104X P )234()2310(----=ΦΦ 9996.019998.021)5.3(2)5.3()5.3(=-⨯=-=--=ΦΦΦ{}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-= [])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0={}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=.(2){}{}c X P c X P ≤-=>1，则{}21=≤c X P 21)23()(=-Φ==c c F ，经查表得21)0(=Φ，即023=-c ，得3=c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。

1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。

2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。

现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。

求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。

2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。

根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。

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概率论习题一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|).P B A B ⋃=6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 假设,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B =9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 . 11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。

那么(|)P C AB = 。

12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相表示为互不相容事件的和是 。

15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。

二、选择题1、下面四个结论成立的是〔 〕.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A--=-⋃=∅⊂=∅⋃-=-⋃=若且则2、设()0,P AB =则以下说法正确的选项是〔 〕...()0()0.()()A AB B ABC P A P BD P A B P A ==-=和不相容 是不可能事件或3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为〔 〕1..21211.0.5.21nn A B n n n C D n -++++ 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有〔 〕.()()..()().()()A P AB P A B B AC P A P BD P AB P A ⋃=∈==5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则以下等式成立的是〔 〕.A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1.D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有〔 〕.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ).D P (A ∪B )=17、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =〔 〕.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D8、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为〔 〕.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375 .D 0.50 9、设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =〔 〕.A .B .C 0.9 .D 110、已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则以下等式成立的是〔 〕.A ()()()P A B P A P B ⋃=+ .B ()1()()P A B P A P B ⋃=- .C ()()()P A B P A P B ⋃=.D ()1P A B ⋃=11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则〔 〕．.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立.D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=〔 〕．.A )()(B P A P - .B )()()(AB P B P A P +-.C )()(AB P A P -.D )()()(B A P A P A P -+则P 〔AB 〕取到最大值时是〔 〕.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D14、某人忘记了 号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。

概率论复习题一、填充题：1.设事件A 与B 互不相容，3.0)(,2.0)(==B P A P ，则=⋃)(B A P _0.5___。

2. 设事件A 与B 相互独立，8..0)(,5.0)(==B P A P ，则=⋃)(B A P 0.9 ，=-)(B A P 0.1 。

P(A)5.0)(＝B P ×(1-0.8)3．设5.0)(=A P ，4.0)(＝B P ，8.0)|(=A B P ，则=)(B A P Y 0.7 。

4．已知3.0)(,6.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P _0.3； 0.6×(1-0.3/0.6) =+)|()|(B A P B A P ____1_____。

5. 从1，2，3，4，5中同时任取3个数，求其中至少含有1个偶数的概率为_9/10__。

6．设一射手进行5次独立射击，每次击中目标的概率0.7,恰有3次命中的概率是23353.07.0C ⨯⨯。

7.一盒晶体管内有6个正品，4个次品，作不放回抽样，每次任取一个，取两次。

则第二次才取到正品的概率 4/15 ，第二次取到的是正品的概率 3/5 。

8. 设随机变量X 服从二项分布)2.0,100(b ，则=>}1{X P 991008.0208.01⨯--。

9．设随机变量X 服从（0，1）上的均匀分布，则=<<}3421{X P __1/2____。

10.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2/1}0{==X P ，则λ=ln2，=>}1{X P _1/2×(1-ln2)__。

11、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0001)(5x x ex F x，则X 的概率密度 )(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000515x x e x，，。

12．X 为连续随机变量，对任意实数C ，=≠}{C X P __1__。

13．设μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则=-))((X E X E __0__，=-))((X E X D 2σ。

概率论习题解答（第5章）第5章习题答案三、解答题1. 设随机变量X 1，X 2，…，X n 独⽴同分布，且X ～P (λ)，∑==ni i X n X 11，试利⽤契⽐谢夫不等式估计}2|{|λλ<-X P 的下界。

解：因为X ～P (λ)，∑∑===?===n i i n i i n nX E n X n E X E 111)(1)1()(λλλλn n nX D n X n D X D n i i n i i 11)(1)1()(2121====∑∑==由契⽐谢夫不等式可得nn X P 4114/1}2|{|-=-≥<-λλλλ 2. 设E (X ) = – 1，E (Y ) = 1，D (X ) = 1，D (Y ) = 9，ρ XY = – 0.5，试根据契⽐谢夫不等式估计P {|X + Y | ≥ 3}的上界。

解：由题知()()()Y X Y X E E E +=+=()11+-=0Cov ()Y X ,=()()Y D X D xy ??ρ=()915.0??-= -1.5()()()()()75.1291,2=-?++=++=+Y X Cov Y D X D Y X D所以{}{}97303≤≥-+P =≥+)(Y X Y X P 3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100⼩时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独⽴的．求这16只元件的寿命的总和⼤于1920⼩时的概率．解：设i 个元件寿命为X i ⼩时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，则X 1 ，X 2 ，... ，X 16独⽴同分布，且 E (X i ) =100，D (X i ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，4161161106.1)(,1600)(?==∑∑==i i i i D E X X ，由独⽴同分布的中⼼极限定理可知：∑=16i iX近似服从N ( 1600 , 1.6?10000)，所以>∑=1920161i i X P =≤-∑=19201161i i X P ???-≤?--=∑=16000016001920100006.116001161i i X P()8.01Φ-==1- 0.7881= 0.21194. 某商店负责供应某地区1000⼈商品，某种商品在⼀段时间内每⼈需要⽤⼀件的概率为0.6，假定在这⼀时间段各⼈购买与否彼此⽆关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某⼀时间段内每⼈最多可以买⼀件）．解：设商店应预备n 件这种商品，这⼀时间段内同时间购买此商品的⼈数为X ，则X ~ B （1000，0.6），则E (X ) = 600，D (X ) = 240，根据题意应确定最⼩的n ，使P {X ≤n }= 99.7%成⽴. 则P {X ≤n })75.2(997.0)240600(240600240600ΦΦP ==-≈-≤-=n n X 所以6.64260024075.2=+?=n ，取n =643。

《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ ）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（ ） （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。

一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

2 ⎪⎨ ⎪1 算了一次）或C 15 1种，故 P 1 2 2 ,其他结果类似 ⎩习 题 二（A ）三、解答题1. 一颗骰子抛两次，以 X 表示两次中所得的最小点数(1) 试求 X 的分布律； (2) 写出 X 的分布函数．解: (1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36 种，如果 X=1，则表明两次中至少有一点数为 1，其余一个 1 至 6 点均可，共有C 1 ⨯ 6 -1（这里C 1 指任选某次点22数为 1，6 为另一次有 6 种结果均可取，减 1 即减去两次均为 1 的情形，因为C 1 ⨯ 6 多⨯ + { = } = C 1 ⨯ 6 -1 = C 1⨯ 5 + 1 =11可得. (2)2⎧ 0 于 x < 136 36 36 ⎪P {X = 1}于1 ≤ x < 2 ⎪P {X = 1} + P {X = 2} 于 2 ≤ x < 3 F (x ) = ⎪P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} 于 3 ≤ x < 4⎪P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} + P {X= 4}于 4 ≤ x < 5 ⎪P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} + P {X = 4} + P {X = 5}于 5 ≤ x < 6 ⎪于 x ≥ 6X⎪ ⎨36 ⎪36 k != 10⎧ 0 于 ⎪11x < 1 ⎪ 于1 ≤ x < 2 ⎪36 ⎪ 20于 2 ≤ x < 3 ⎪36 = ⎪ 27 于⎪ ⎪32 于⎪3 ≤ x <4 4 ≤ x <5 ⎪35 于 5 ≤ x <6 ⎪36 ⎪⎩1 于 x ≥ 62. 某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各 5 只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出 5 只球，若 5 只球同色，则获奖 100 元，否则无奖， 以 X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求 X 的分布律．解：- 199i注意，这里 X 指的是赢钱数，X 取 0-1 或 100-1，显然 P {X = 99} =2 1 .5 126 3 k．设随机变量 X 的分布律为 P {X = k } = a k ! , k = 0,1,2, ;> 0 为常数，试求常数 a ．∞k--解：因为∑ a= ae k =0= 1 ，所以a = e .4．设随机变量 X 的分布律为X -1 2 3 p i1/41/21/4(2) 求 P {X ≤ 1}， P {3 < X ≤ 5}， P {2 ≤ x ≤ 3} ．2 2 2 解：C22 222 22i 2 ∞ ⎭ - ⎪ 0于x -10于 1 x -1(1) P { X 1}于 F ( x ) x 2 于 4 x 2 ， P { X } P { X 2}于 2 x 33于2 x 3 1于 x 34 1于x 3⎧ ≤ 1 ⎫ = p {X= -1} = 1 、 P ⎧ 3 < X ≤ 5 ⎫ = P {X = 2} = 1 ,(2) P ⎨X ⎬⎩ ⎭ ⎨ ⎬ 4 ⎩ ⎭2 P {2 ≤ X ≤ 3} = P {{X = 2} {X = 3}} = P {X = 2}+ P {X= 3} = 3. 45. 设随机变量 X 的分布律为 P {X = k } =1 , k = 1,2, 求： 2k(1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3 的倍数}解：(1) P {X = 于于} = 1+ 1 + + 1⎛ 1 ⎛ 1 ⎫ ⎫1 ⎪ + = lim ⎝ ⎭ ⎪ = 1 ，22 24 22ii →∞ ⎝1 ⎪ 3 22 ⎪(2) P X 1 X 1 1 11 11 15 1 ， 22 1⎡ 23⎛ 1 ⎫i ⎤ 24 16 163 ⎢1 - 3 ⎪ ⎥ (3) P {X = 3于于于}= ∑ 1 = lim 2 ⎢⎣ ⎝ 2 ⎭ ⎥⎦ = 1 . i =1 23i i →∞1 -1 7 236. 某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为 0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）(1) 求某一天中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到一次紧急呼救的概率． 解：(1) X ~ P (0.5t ) = P (1.5) P {X = 0}= e -1.5 .(2) 0.5t = 2.5P {x ≥ 1}= 1 - P {x = 0}= 1 - e -2.5 .7. 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.02，独立射击 400 次，试求至少击中 2 次的概率．1 -4005 ⎪解：设射击的次数为 X ，由题意知 X ~ B (400，0.2),1P {X ≥ 2}= 1- P {X ≤ 1}= 1- ∑C k0.02k 0.98400-k , k =0由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且 X 近似服从泊松分布 P (λ)（其中λ=400×0.02），所以查表泊松分布函数表得：P {X ≥2}8k e 8k !P {X ≥2} ≈ 1- 0.28 = 0.99728. 设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号．现进行 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．解：设 X 为事件 A 在 5 次独立重复实验中出现的次数， X ~ B (5于0.3) 则指示灯发出信号的概率p = P {X ≥ 3}= 1 - P {X < 3}= 1 - (C 0 0.300.75 + C 1 0.310.74 + C 2 0.320.73 )555= 1 - 0.8369 = 0.1631 .9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X （以分钟计）服从参数为 5 指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟，他就离开．他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出 Y 的分布律，并求 P {Y ≥ 1}．- x解：因为 X 服从参数为 5 的指数分布，则 F (x ) = 1 - e5， P {X > 10}= 1 - F (10) = e -2 ，Y ~ B (5 于 e -2 ),则 P {Y = k } = C k (e -2 )k (1 - e -2 )5-k , k = 0,1, 5 . P {Y ≥ 1} = 1- P {Y = 0} = 1-于 1- e -2于5 = 0.5167⎧a cos x , 10.设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) = ⎨ | x |≤ 2 ，试求：(1) 系数 a ；(2) X 落在区间(0,) 内的概率．4⎪ 0, ⎩ | x |> 2解：(1) 由归一性知：1 =+∞f (x )dx -∞ 2a cos xdx = 2a ，所以 a = 1. - 22⎰ ⎰ ， =0 ⎨ ⎨ ⎨ ≤ 1 1 2 (2) . P {0 < X < } = 4 4 cos xdx = 0 2sin x | 4 = 2 ⎧0, . 4 x < 0 11. 设连续随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) = ⎪ Ax 2, ⎪⎩1, 0 ≤ x < 1x ≥ 1 试求：(1) 系数 A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度．解 （1）由 F (x )在 x =1 的连续性可得lim F (x ) = lim F (x ) = F (1) ，即 A=1.x →1+x →1-（2）P {0.3 < X < 0.7}= F (0.7) - F (0.3) = 0.4 . （3）X 的概率密度 f (x ) = F '(x ) =⎧2x ,0 < x < 1.⎩0,12. 设随机变量 X 服从(0，5)上的均匀分布，求 x 的方程 4x 2 + 4 X x + X + 2 = 0 有实根的概率．⎧1解：因为 X 服从（0，5）上的均匀分布，所以 f (x ) = ⎪5 ⎪⎩0 < x < 5其他 若 方 程 4x 2 + 4 X x 2 + X + 2 = 0 有 实 根 ， 则 ∆ = (4 X )2 - 16 X - 32 ≥ 0 ， 即(x - 2)( X +1) ≥ 0 ，得 X ≥ 2 或 X ≤ -1，所以有实根的概率为 p = P {X ≥ 2}+ P {X ≤ -1}= 51dx + -1 0dx = 1 x 5 = 313．设 X ～N (3，4)⎰2 5 ⎰-∞5 2 5(1) 求 P {2 < X ≤ 5}, P {-4 < X ≤ 10}, P { X (2) 确定 c 使得 P {X > c } = P {X ≤ c };> 2}, P {X > 3}; (3) 设 d 满足 P {X > d } ≥ 0.9 ，问 d 至多为多少?解: (1) 因为X ~ N (3于4) 所以 P {2 < X ≤ 5} = P {2 -3 < X - 3 5 - 3} = P {-0.5 < X - 3 ≤ 1} 2 2 2 2(1) (0.5) (1) (0.5) 1 0.8413 0.6915 1 0.5328⎰ 0( P {- 4 < X ≤ 10} = = 10 - 3) -( - 4 - 3)2 2P {X =(3.5) -(-3.5) = 2(3.5) - 1 = 2 ⨯ 0.9998 - 1 = 0.9996> 2}= 1 - P {X ≤ 2} = 1 - P {- 2 ≤ X ≤ 2}= 1 - [F (2) - F (-2)] = 1 - [ Φ(-0.5) - Φ(-2.5) ] = 1 - [ Φ(2.5) - Φ(0.5) ] = 1 - 0.3023 = 0.6977P {X > 3} = 1 - P {X ≤ 3} = 1 - F (3) = 1 - Φ(0) = 1- 0.5 = 0.5 .(2)P {X > c }= 1- P {X ≤ c }，则 P {X ≤ c } = 1 = F (c ) = Φ( c - 3) = 1，经查表得2 2 2Φ(0) = 1 ，即 c - 3= 0 ，得c = 3 ；由概率密度关于 x=3 对称也容易看出。