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电介质中静电场高斯定理9-4

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介质的极化和介质中的高斯定理

介质的极化和介质中的高斯定理

部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0

大学物理 导体和电介质中的静电场

大学物理 导体和电介质中的静电场

x
(1 2)S q (3 4)S q
1


2


3


4

q S

q S
0
1 4 0
2 3
ⅠⅡ Ⅲ
2 q / S
3 q / S
----电荷分布在极板内侧面
2020/1/14
由场强叠加原理有:
E1


2 2 0

3 2 0
2 2 0

3 2 0

4 2 0
2 0
q1 q2
2 0 S
E3

1 2 0

2 2 0

3 2 0

4 20/1/14
导体和电介质中的静电场
例: 点电荷 q = 4.0 × 10-10C, 处在不带电导体球壳的 中心，壳的内、外半径 分别为: R1=2.0 × 10-2m , R2=3.0 × 10-2m．
0
+ +
+
+ -
-
-q
+
+ -
+
Q
+
+
q
-+
+q
-
－-q-
S
+
++
qi 0
S内
结论
空腔内有电荷q时，空腔内表面感应出等值异号 电量-q，导体外表面的电量为导体原带电量Q与感应 电量q的代数和.
2020/1/14
导体和电介质中的静电场
3. 静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系
3. 导体的静电平衡条件 导体内电荷的宏观定向运动完全停止.

有电介质的高斯定理

有电介质的高斯定理

εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b

大学物理介质中的高斯定理

大学物理介质中的高斯定理

r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D

dS

4
r
2

D

q
S
R2
R1 r2
D1

q 4r 2
D2

q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
上海交通大学 董占海
28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
上海交通大学 董占海
40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D

i
0
d
2
上海交通大学 董占海
d


r
0
Ox
23
xd 2
E

D
0r

0 x

有电介质时的高斯定理

有电介质时的高斯定理
3.电位移线起于正的自由电荷而止于负的自由电荷.
∬ΣD→ ⋅ dS→ = Q0
Processing math: 100%
问题分析
εr− 1
由于Q = εr Q0, 真空电容率ε = ε0εr 从而：
def
定义:点位移矢量:D = ε
从而上式简化为:
有电介质时的高斯定理
Q0
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0εr
∬ ∑ ΣD→ ⋅ dS→ = i=1Q0i
说明:
1. 电位移矢量D→ = ε0εrE→ = εE→ = P→ + ε0E→ 2.公式考虑了极化电荷的影响。
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面利用高斯定律有
有电介质时的高斯定理
问题引入：
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例，在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面, 利用高斯定律有： 1
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0 (Q0 − Q′)
其中，Q0表示自由电荷，Q′表示极化电荷。 可见在电介质中计算电场与Q′有关，直接计算很困难。

静电场中的电介质及高斯定理

静电场中的电介质及高斯定理

EM
λ = 2πε 0 ε r a
= a处
D( r )
E( r )
λ = EM εr a 2 πε 0
击穿电压： 击穿电压： a 1 b R2 U V M = E M ε r a (ln ln + ln ) + R1 ε r a b 若有两层介质，则要判断哪层先击穿！ 若有两层介质，则要判断哪层先击穿！ o 曲线如图。 （3） D( r ), E ( r ),V ( r )曲线如图。 ）
E
线
+ + + -q + - + - - - εr + + + + + + -q + - + - - εr + - + +
D线起于
自由正电 自由正电 止于自 荷,止于自 止于 负电荷. 由负电荷 不会在没 有电荷的 地方中断. 地方中断
D
线
有介质时的高斯定理 以平行板电容器为例，作高斯面如图： 以平行板电容器为例，作高斯面如图：
±
±
不显电性 位移极化
E0 ≠ 0
宏观效果—— 宏观效果 均匀介质表面上出现正、负束缚电荷（极化电荷）。 均匀介质表面上出现正、负束缚电荷（极化电荷）。 为什么微波炉可以加热食物？ 问：为什么微波炉可以加热食物？
' 2、束缚电荷产生场 E ' 影响原来的场 E = E 0 + E = E0 / ε r 外部：改变场； 外部：改变场； ' + + + E + E0 E 内部：削弱场。 + 内部：削弱场。 +
6-2 静电场中的电介质 1、电介质的极化 、 有极分子（ 有极分子（如

9-6有电介质时的高斯定理 电位移


∫∫ D S
S1
= D 1 S＝S σ
σ σ E1 = = ε 1 ε r 1ε 0
v v v v 再利用 D 1＝ ε 1 E 1 , D 2＝ ε 2 E 2 可求得
σ σ E2 = = ε 2 ε r 2ε 0
方向都是由左指向右。 方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理 电位移
负两极板A、 间的电势差为 （2）正、负两极板 、B间的电势差为 ）
例题9-6 一半径为 的金属球，带有电荷 0,浸埋在均匀 一半径为R的金属球 带有电荷q 浸埋在均匀 的金属球， 例题 无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场 ），求球外任一点 “无限大”电介质（电容率为 ），求球外任一点 的场 强及极化电荷分布。 强及极化电荷分布。 P 根据金属球是等势体， 解: 根据金属球是等势体，而 ε r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 称分布， R Q0 球对称性， 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 斯定理来。 S 如图所示， 如图所示，过P点作一半 点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 径为 并与金属球同心的闭合 球面S， 球面 ，由高斯定理知
4εr（εr 2 1) 3 ′ σ 上负下正 σ2 = ε0 (εr2 1)E2 = εr1εr 2 +εr1εr3 + 2εr 2εr3
′ σ3 = ε0 (εr3 1)E3 =
4εr（εr3 1) 2 σ εr1εr 2 + εr1εr3 + 2εr 2εr3
上负下正
有电介质时的高斯定理 电位移
r r 由 P = ε0 (εr 1)E 得电极化强度矢量的分布
P=
r r 由 σ′ = P n 得束缚电荷的分布

静电场-高斯定理

感谢观看
电容器极板间电场分布
极板间相互作用力计算
理介
第 推质
四 章
广中 及高 应斯用定Fra bibliotek电介质极化现象及极化强度矢量引入
为了描述电介质极化 的程度和方向，引入 极化强度矢量P，其 大小与电偶极矩成正 比，方向由负电荷指 向正电荷。
在电场作用下，电介质内部正负电荷中心发生相对 位移，形成电偶极子，从而产生宏观上的电极化现 象。
高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它表述了静电场中电场强度与电荷分布之间的关系。
高斯面选取原则及技巧
高斯面选取应遵循简单、对称、便于计算等原则。
02
在实际问题中，常根据电荷分布和电场强度的对称性来选取高斯面，以便简化计算。
03
高斯面的形状和大小应根据具体问题灵活选择，可以是平面、球面、柱面等。
高斯定理物理意义阐释
高斯定理反映了静电场的空间分布特性，即电场 强度与电荷分布之间的定量关系。
高斯定理为求解复杂静电场问题提供了一种有效 的方法，即通过选取适当的高斯面来简化计算。
高斯定理揭示了静电场的有源性，即静电场是由 电荷产生的。
高斯定理在电磁学中的地位
高斯定理是电磁学四大基本定理之一，是静 电场理论的基础。 高斯定理在电磁学中具有重要的地位，它不 仅适用于静电场，还可推广应用于恒定电场、 恒定磁场以及时变电磁场等领域。
要点一
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，包括高斯定理、 安培环路定律、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培定律。
要点二
高斯定理在麦克斯韦方程组中的地 位
高斯定理是麦克斯韦方程组中的重要组成部分，它描述了电荷分 布与电场之间的关系，为电磁场理论奠定了基础。

09介质中的高斯定理电位移矢量


3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理 1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理 φ =
r r ∫∫ E ⋅ dS =
S
∑q
ε0
在介质中，高斯定理改写为： 在介质中，高斯定理改写为：
自由电荷 总场强
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
S
ε0
∑ (q
S
0
+q )
'
束缚电荷
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
v = εE
电常量。 电常量。
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 εr 的介 ： 质球中心， 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 区的 、 、 。 在介质球内、 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 高斯球面。 R
r r ∫∫ D ⋅ dS = ∑q0
S
r r r 球面上各点D大小相等 D 大小相等， 球面上各点 大小相等， // dS , cosθ = 1 II 2 ∑q0 D4πr = q0 , ∴ D = 高斯面 4πr 2 q q I区： 1 = 区 D II区： 2 = 区 D 2 4πr2 4πr
dr =
q 4πε 0r
9
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面 ： ， 电荷密度为 σ0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 εr 的 电介质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电 电介质。 点的场强 ； 电容器的电 容。 ①. 过 P1 点作高斯柱面 左右底面分别经过导体 点作高斯柱面, 解： d' − σ 和 P1 点。 σ
r r φD = ∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S

有介质时的高斯定理

（1）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 重合的称为无极分子（如H2、 CH4、CO2）
无极分子在电场中, 正负电荷中心会被
拉开一段距离,产生 感应电偶极矩，这
称为位移极化。
无极分子
l
q q
p ql
感应电偶极矩
（2）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 不重合的称为有极分子（如 HCl、H2O、NH3 ）
例如左图的左右表面 上就有极化电荷。
正是这些极化电荷 的电场削弱了电介 质中的电场。
电介质的击穿
当外电场很强时，电介质的正负电中心 有可能进一步被拉开,出现可以自由移动的 电荷,电介质就变为导体了，这称为击穿。
电介质能承受的最大 电场强度称为该电介质 的击穿场强, 或介电强度。
例如. 空气的击穿场强 约 3 kV/mm.
介质中的高斯定理又写为： sD dS q内
… 的高斯定理
即通过任意封闭面的电位移的通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
说明： 1.它比真空中的E 的高斯定律更普遍,当没有电介质
时, 即r=1, 就过渡到真空中的高斯定律了。
2.如果电场有一定的对称性,我们就可以先从 D 的高
斯定理求出 D 来；然后再求出 来。
实验：插入电介质后，电压变小
U U0
r
Q Q Q Q
r>1……介质的
相对介电常数 （相对电容率）
r 随介质种类和
状
U
为什么插入电介质 会使电场减弱？
1电介质的极化
电介质这类物质中，没有自由电子, 不导电， 但可以极化。 电介质分子可分为有极和无极两类:
有极分子在电场中， 固有电偶极矩会转向 电场的方向，这称为 转向极化。
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1.有电介质时的高斯定理
1 E dS ( q q ) 0 0 S in S
电位移
同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场自由电荷 总电场 束缚电荷
由电荷守恒定律和面上束缚 电荷，得面内束缚电荷
高斯
有电介质时的高斯定理
电位移
q dS in
（2）有极分子的取向极化
无外电场时，有极分子电偶极矩取向不同， 但是 p 0 整个介质不带电。 在外电场中有极分子的固有的等效电偶极矩 要受到一个力矩作用，电偶极矩方向转向和外电场 方向趋于一致。
+
+
+
+ + +
+
+ ƻ
+
+ + + +
+
+ E外
+ +
极化的效果：出现极化电荷或束缚电荷 有极分子电介质也存在位移极化，但取向极化 是主要的，它比位移极化约大一个数量级。
S S
S
P en dS
P dS
S
( 0 E P ) dS q0 代入得 S Sin 定义：电位移矢量 D E P 0

S
D dS q0
Sin
有介质时 的高斯定 理
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等 于该面包围的自由电荷的代数和。
H H
+
H
H
+
C
+
H C H
+
H
H
C H4
电介质的极化
2. 电介质的极化
（1）无极分子的位移极化
加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电 荷中心不再重合，出现等效电偶极矩。
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
E外
极化的效果：出现极化电荷或束缚电荷
电介质的极化
e ：介质的电极化率
电极化强度矢量
均匀电介质被均匀极化后，极化电荷只在电介质 表面。
可以证明极化电荷面密度与电极化强度的关系：
' P en
电介质被非均匀极化后，极化 电荷不只在电介质表面，电介质体 内也存在极化电荷。

en
E
P
l
dS
§9-6 有电介质时的高斯定理 电位移
§9-4 9-6电介质中静电场高斯定理
电介质：电中性的分子中，带负电的电子 ( 或负 离子 ) 与带正电的原子核 ( 或正离子 ) 束缚得很紧， 不能自由运动 绝缘体，无自由电荷。 原子，分子的电偶极子模型： 每一个分子中的正电荷集中于一点，称为正电荷 中心；负电荷集中于另一点，称为负电荷中心 — 两者构成电偶极子 等效电偶极矩
p qre
1. 有极分子和无极分子电介质
有极分子— 极性电介质 分子正负电重心不重合 例如 HCl、 H2O、CO 有等效电偶极矩
H
.
O .
.
H
+H
O
p
+
H2 O 等效电偶极矩 ~ 10–30 C· m
H
无极分子 — 非极性电介质 分子正负电中心重合 无等效电偶极矩
例如 H2、O2、CO2、CH4
电极化强度矢量
3. 电极化强度矢量
（1） 电极化强度矢量
P
p V
单位体积内分子电矩的矢量和。
束缚电荷电场 均匀极化就是介质中各点电极化矢量都相同 总电场
（2） 空间任一点总电场
E E0 E
外电场
（3）各向同性电介质电极化强度与总电场的关系
P e 0 E
2. D、E、P 三矢量之间关系
各向同性电介质电极化强度与总电场的关系
D 0 E e 0 E 0 1 e E D 0E P D 0 1 e E 0 r E E
其中
P e 0 E
r 1 e
相对介电常数或相对电容率 绝对介电常数或电容率
r 0 (1 e ) 0