专题02 以分段函数为背景的解不等式型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

2021年高考数学题型：不等式解题方法总结题型归纳任两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

整理了不等式解题方法总结，帮助广大高中学生学习数学知识!不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。

因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。

在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。

不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。

诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

知识整合1。

解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。

在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。

通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。

2。

整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。

方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。

3。

在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。

4。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。

2021年高考数学理科导数压轴题各种解法
以下是2021年高考数学理科导数压轴题的各种解法：
解法一：使用导数的定义求解
根据导数的定义，导数表示函数在某一点处的斜率，可以通过求取函数在该点的左导数和右导数的极限值来得到函数的导数。

首先，找到函数在给定点的左导数和右导数的表达式，然后计算它们的极限值，最终得到函数在该点的导数。

解法二：使用导数的性质求解
导数具有一系列的性质，包括线性性、常数因子性、乘积法则、和差法则、链式法则等。

通过运用这些性质，可以将复杂的函数通过简单的代数运算转化为更容易求导的形式，从而简化求解的过程。

解法三：使用隐函数求解
对于一些隐式定义的函数，可以通过求解隐函数的导数方程来得到导数。

具体的求解过程包括将隐函数对自变量求导，然后将求导结果代入到原方程中，进一步简化方程解的求取。

解法四：使用导数的几何意义求解
导数可以表示函数曲线在某一点处的切线的斜率，因此可以通过求取切线斜率的方式来得到导数。

根据函数的几何性质，寻找函数曲线在给定点的切线方程，然后计算切线方程的斜率，即可得到函数在该点的导数。

综上所述，针对2021年高考数学理科导数压轴题，可以运用
不同的解法来求解，其中包括导数的定义、性质、隐函数以及几何意义等多种方法。

具体选择哪种解法取决于题目的具体情况和自己的熟悉程度。

用思维导图解答压轴题㊀从通法到秒杀讲课比赛获奖作品系列之十六解决一类函数与导数压轴题的基本策略以２０２１年浙江省高考压轴题解析为例◉杭州第七中学㊀刘富裕摘要:本文中主要以构造函数㊁参变分离㊁数形结合㊁分析法㊁放缩法等基本方法,探析２０２１年浙江卷压轴题函数与导数的解法,并对试题难点及所考查的核心素养进行再反思和归纳,为新一轮高考复习的师生寻找一个解决这类问题的突破口,提供一个探究解法㊁启发教学的视角．关键词:函数零点;放缩法;分析法;双变量含参不等式１引言２０２１年浙江省压轴题表述简洁,立意新颖,知识交汇丰富,多层次多角度地考查了学生的数学思维和素养[１]．该题将函数㊁导数㊁函数的零点与不等式知识结合,考查学生灵活运用导数工具分析和解决问题的能力,对逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养要求较高,为高校选拔和学生进一步学习所需掌握的技能㊁思想㊁方法创造条件[２]．２原题设a ,b 为实数,且a ＞１,函数f (x )＝a x －b x ＋e２(x ɪR )．(１)求函数f (x )的单调区间;(２)若对任意b ＞２e ２,函数f (x )有两个不同的零点,求a 的取值范围;(３)当a ＝e 时,证明:对任意b ＞e ４,函数f (x )有两个不同的零点x １,x ２(x １＜x ２),且满足x ２＞b l n b２e２x １＋e ２b．(注:e ＝２．７１８２８ 是自然对数的底数)３题目剖析第(１)小题比较常规,主要考查函数单调性的问题,这里要注意的是对参数的讨论;第(２)小题涉及到函数零点求参数范围,也是浙江高考连续两年都涉及到的问题;第(３)小题属于双变量含参不等式的问题,这也是近几年高考的热点问题的．解题思路如图１:图１４㊀解法探析４．１㊀第(１)小题解法探究(直接求导,正负定界)由于f (x )＝a x －b x ＋e ２(x ɪR ),所以f ᶄ(x )＝a x l n a －b ．①若b ɤ０,则f ᶄ(x )＝a xl n a －b ＞０,所以f (x )在R 上单调递增;②若b ＞０,令f ᶄ(x )＞０,得x ＞l o g abl n a,所以f (x )在(－¥,l o g a b l n a )单调递减,(l o g abl n a,＋¥)单调递增．这种利用导函数来判断函数单调性是比较常规的题目,本小题要注意的是对参数b 的讨论,这里的难点是对指数函数的求导以及极值点的表示．４．２第(２)小题解法探究回归到原点,本小题主要涉及到知识点为函数零点．对于函数零点的问题,可以从函数零点自身性质㊁对应方程的根以及函数图象的交点这三个方面去切入,找到解题突破口．４．２．１极限叙述㊁进阶放缩图２从题目原点出发,明确已知条件,再由第(１)问可得函数f (x )在(－¥,x ０)单调递减,在(x ０,＋¥)上单调递增,另外l i m x ң－¥f (x )＞０,l i m x ң＋¥f (x )＞０(如图２),所以根据函数零点存在性及单调性可知:函数f (x )恒有两个零点等价于f (x ０)＜０恒成立．即∀b ＞２e ２,f (l o g ab l n a )＝b l n a －b l o g abl n a＋e ２＜０恒成立．使用换底公式再去分母化简为:f (x ０)＝b l n a －b l n b －l n (l n a )l n a＋e ２＜０⇔[１＋l n (l n a )]b －b l n b ＋e ２l n a ＜０．图３记上述不等式左侧为g (b ),则其导函数为g ᶄ(b )＝l n (l n a )－l n b ,b ＞２e ２．易知g (b )在(０,l n a )单调递增,在(l n a ,＋¥)单调递减．又因为g m a x (b )＝g (l n a )＝l n a ＋e ２l n a ＞０,所以结合函数图象(如图３)可知:∀b ＞２e ２,g (b )＜０恒成立⇔l n a ɤ２e ２,g (２e ２)ɤ０．{由g (２e ２)＝e ２[２l n (l n a )＋l n a －２l n ２－２]ɤ０,可得２l n (l n a )＋l n a －２l n ２－２ɤ０,即２l n (l n a )＋l n a ɤ２l n ２＋２．又因为函数y ＝２l n x ＋x 在x ɪ(０,＋¥)上单调递增,结合l n a ɤ２e ２,０＜l n a ɤ２,所以１＜a ɤe ２．这种方法是从零点自身性质出发,结合函数单调性,把 函数有两个零点 转化为 恒成立问题 ,进而求参数的取值范围．过程中涉及到构造函数,并把b 看作变量,体现了双参主元的思想[３]．上述方法运算量比较大,我们还可以对其进一步改进与优化．f (x ０)＝b l n a －b l n b －l n (l n a )l n a＋e ２＝b l n a [１－l n (bl n a)]＋e ２＜０．令x ＝bl n a ɪ(０,＋¥),设函数g (x )＝x (１－l n x )＋e ２,则g ᶄ(x )＝－l n x ．由g ᶄ(x )＝０,得x ＝１．则g (x )在x ɪ(０,１]上单调递增,在x ɪ(１,＋¥)上单调递减．又l i m x ң０g (x )＝e ２,且g (e ２)＝０,所以g (x )＜０当且仅当x ＞e ２．由f (x ０)＝g (b l n a )＜０,得∀b ＞２e ２,bl n a＞e ２恒成立．所以(bl n a)m i n ＞e ２,即２e ２l n aȡe ２,从而１＜a ɤe ２．以上过程,首先是从函数零点出发,然后使用极限叙述㊁进阶放缩的方法,最后通过恒成立问题求出参数的取值范围[４]．在此过程中,也涉及到换元㊁构造函数㊁数形结合等方法,主要考查了学生的数学运算㊁直观想象㊁逻辑推理等核心素养．４．２．２换元转化,构造函数由于f (x )有两个不同的零点,等价于方程a x －b x ＋e ２＝０(x ＞０)有两个不同的根,进而等价于e x l n a－b x ＋e ２＝０(x ＞０)有两个不同的根．令t ＝x l n a ,则e t－b t l n a ＋e ２＝０,即b l n a ＝e t ＋e ２t．设g (t )＝e t＋e ２t ,t ＞０,则问题等价于g (t )＝b l n a 有两个不同的根．g ᶄ(t )＝e tt －(e t＋e ２)t ２＝e t(t －１)－e２t２．记h (t )＝e t (t －１)－e ２,则h ᶄ(t )＝e t (t －１)＋e t １＝e tt ＞０．又h (２)＝０,所以t ɪ(０,２)时,h (t )＜０,t ɪ(２,＋¥)时,h (t )＞０．则g (t )在(０,２)上单调递减,在(２,＋¥)上单调递增．所以b l n a ＞g (２)＝e ２,即l n a ＜b e ２．又b ＞２e ２,所以b e ２＞２．因此l n a ɤ２,即１＜a ɤe ２．此方法把函数零点转化成对应方程的根,从方程根这个角度切入,然后通过换元㊁二次构造函数,利用函数单调性求参数范围．过程中涉及到等价转换㊁二次构造㊁二次求导等方法,对学生的数学运算㊁逻辑推理的核心素养有较高的要求．但考场上时间有限,我们需要一种简化运算的方法．接下来,我们尝试从函数图象入手．４．２．３分参思想,利用切点函数f (x )有两个零点,等价于函数f (x )与x 轴有两个交点,但与x 轴交点无法求得．设h (x )＝a x ,g (x )＝b x －e ２,则转化为两函数图象有两个不同的交点．设切点坐标P (x ０,y ０),画出函数图象(图４)．图４发现当b 为定值时,随着a 的变化,两函数图象交点个数是不确定;而当a 为定值时,无论b 如何变化,函数图象始终有两个零点．所以,对于∀b ＞２e ２,两函数有两个交点时,当且仅当g (x ０)＞y ０．由于两函数相切于P (x ０,y ０),且在切点处导数值相等(即切线斜率),所以a x ＝y ０,b x ０－e ２＝a x ,a x l n a ＝b ．ìîíïïïï从而a x l n a x －e ２＝a x ．令t ＝a x ,则t l n t －e ２＝t ,切点坐标为P (l o g ae ２,e ２)．由g (l o g a e ２)＝b l o g ae ２－e ２＞e ２,b ＞２e ２,得l o g ae ２ȡ１,从而１＜a ɤe ２．这种方法是从函数图象切入,把函数零点问题转化为两函数有两个交点．从两函数相切逆推到函数图象相交的情况,从而求出参数a 的取值范围．总体上看,第(２)小题主要是双参数求参数取值范围的问题,我们首先从数学原点和题目原点出发,分别利用零点存在性质得到不等关系㊁利用函数最值性质得到不等关系㊁利用切点性质得到不等关系,最后求出参数的取值范围．在此过程中主要考查学生的逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养．４．３第(３)小题解法探究第(３)小题是不等式的证明,可以从原点出发,挖掘已知条件,类比第(２)小题的做法去切入;也可以从要证明的结论切入,对其变形㊁等价㊁或简化等．４．３．１参变分离,分析求证从参数b 入手．a ＝e 时,f (x )＝e x －b x ＋e ２有２个不同零点x １,x ２(x １＜x ２)．由于e x ＋e ２＝b x ,则x ＞０．结合函数图象(图５),知f (２)＝e ２－２b ＋e ２＜０,则x １＜２＜x ２．图５因为f (x １)＝f (x ２)＝０,所以b ＝e x ＋e ２x １＝e x ＋e ２x ２,b ＝e x ＋e ２x ２＜２ex x ２．则由b ＝e x ＋e ２x １＜２e２x １,得x １＜２e ２b．所以要证x ２＞b l n b ２e２x １＋e ２b ,只需证x ２＞l n b ＋e２b ．由f (x )单调性及f (x ２)＝０,则只需证f (l n b ＋e２b)＜f (x ２)＝０．只需证e l n b ＋e－b (l n b ＋e ２b)＋e ２＜０．只需证el n b ＋e＜b l n b (两边同时取对数)．只需证l n b ＋e ２b＜l n b ＋l n (l n b )⇔e ２＜b l n (l n b )．又因为b ＞e ４,所以b l n (l n b )＞e ４l n ４＞e ２显然成立．证毕．首先把函数零点转化为对应方程的根,分离参数b ,利用数形结合求出x １的取值范围,进而使用放缩法和分析法证明了结论．这里的f (２)＜０是很难想得到的,我们采用数形结合的方法去处理,主要考查学生直观想象能力．上述方法是从参数考虑,对不等式x ２＞b l n b ２e２x １＋e２b 的证明,也可以尝试从x １,x ２上考虑．４．３．２变量分离,分析求证结合第(２)问可知,当a ＝e 且b ＞e ４时,f (x )恒有两个不同的零点．由于f (２)＝２(e ２－b )＜０,可得x １＜２;由于f (x １)＝a x －b x １＋e ２＝０,得b x １＝a x ＋e ２,所以,对待证不等式右侧替换和放大:b l n b ２e ２x １＋e ２b ＝l n b ２e２ (e x ＋e ２)＋e ２b ＜l n b ＋e ２b ．所以,只需证明x ２＞l n b ＋e２b,接下来方法同解法１．此方法把函数零点转化成对应方程的根,和解法１不同的是此方法分离的是b x １,进而对要证的不等式放大,最后用分析法求得结果．主要考查学生的逻辑推理㊁数学运算等核心素养,同时也要求学生对放缩法和分析法掌握得比较熟练．以上两种方法分别是从参数b 和变量x １,x ２考虑,方法很巧妙,但运算量非常大．类比第(２)小题,我们用数形结合来简化运算,此题也可以尝试去从函数图象这个角度切入．４．３．３数形结合,分析求证图６由a ＝e ,f (x )＝e x－b x ＋e ２,∀b ＞e ４知x ０＝l n b ,故f (x )恒有两个零点x １,x ２(x １＜x ２),且x ２＞l n b ＞４,结合函数图象(见图６):f (０)＝１＋e ２＞０,f (１)＝e ＋e ２－b ＜e ＋e ２－e ４＜０,知０＜x １＜１．由０＝f (x １)＝e x －b x １＋e ２,得b x １＝e x ＋e ２＜e ２＋e ．故要证x ２＞b l n b ２e２x １＋e２b ,只需证b l n b ２e ２x １＋e ２b ＜l n b ２e ２(e ２＋e )＋e２e４＜l n b ．只需证(e ２－e )l n b ＞２．而b ＞e ４,知(e ２－e )l n b ＞４(e ２－e )＞２成立．因此x ２＞b l n b ２e２x １＋e２b 得证．从函数图象切入,利用函数图象估计x １的范围,再用代数的方法去验证,然后用放缩㊁分析法求证．体现了数形结合的思想,这个过程中主要考查了学生直观想象的核心素养．纵观第(３)小题,主要是考查双变量含参不等式化为含参数的零点问题,这里的变量又是函数零点,所以将函数零点与对应方程的根互相转化,进而用分析法求证．５反思总结本题是函数与导数的压轴题,对于此类题目,我们需要 回归原点 ．这里的 原点 ,一方面是指试题涉及的 数学的原点 ,即概念㊁定义㊁公式㊁定理㊁基本知识和思想;另一方面是指给出的 试题的原点 ,包括涉及的题型㊁结构,数据㊁条件,变形㊁推论等．以后遇到此类问题时,我们可以从方程㊁不等式㊁切线㊁最值㊁极值等等切入,最后落脚点都是函数[５]．坚定函数思想㊁明确函数意识是求解这类问题的基本．解题过程有如下感悟:导数大题运算繁,双参函数定主元;复杂算式需变换,先猜后证变简单．这也充分考查了学生逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养,同时对学生的创新能力的要求也越来越高[６]．参考文献:[１]洪昌强．立足能力考查彰显函数思想蕴含特色文化 北京㊁浙江近３年高考压轴题(理)比较分析[J ]．中学教研(数学),２０１８(６):４４Ｇ４７．[２]曹凤山,朱伟义．核心素养下求解函数与导数压轴题的几个关键词[J ]．数学通讯．２０２１(５)．[３]鲁如明．浙江省２０１２㊁２０１３理科数学高考压轴题看主元思想[J ]．数学教学与研究,２０１４(９):１０６Ｇ１０７．[４]林国夫．对２０１５年浙江省高考数列压轴题放缩策略的思维探析[J ]．中学数学教学,２０１５(４):１９Ｇ２０．[５]曹凤山．曹凤山讲怎样解题[M ]．杭州:浙江大学出版社,２０２０．[６]文卫星．构建生态课堂落实核心素养[J ]．中学数学教学参考,２０２０(１３):５５Ｇ５６．Z。

专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）一、函数及其表示①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求值域④抽象函数的值域⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数二、函数的基本性质①单调性（复合函数的单调性）②函数的值域（复合函数的值域）③恒成立（能成立）问题④奇偶性⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂三、分段函数①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数四、函数的图象①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂五、二次函数①二次函数的单调性②二次函数的值域（最值）六、指对幂函数①单调性②值域③图象④复合型七、函数与方程①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求参数③分段函数的零点（根）的问题④二分法八、新定义题①高斯函数②狄利克雷函数③劳威尔不动点④黎曼函数⑤纳皮尔对数表⑥同族函数⑦康托尔三分集⑧太极图一、函数及其表示1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数()f x x =，()2g x ax x =-，其中0a >，若[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则=a （）A ．32B ．43C ．23D ．123．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()lg g x f x =的定义域为______．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．5．（2022·全国·高三专题练习）设2()lg2xf x x+=-，则2(()2x f f x +的定义域为_______.6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数()f x =______．7．（2022·上海·高三专题练习）函数y =_____.8．（2022·上海·模拟预测）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________.9．（2022·全国·高一）函数2y =的值域是________________．10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.二、函数的基本性质1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数()()2ln 122x xf x x -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是A ．()(),11,-∞-+∞U B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()(),21,-∞-⋃+∞2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（）A ．[)(]1034-⋃，，B ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[)43--，D ．[)10-，3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()22ln 1f x x x x =-+-，若实数a 满足()()121f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()40,11,3⎛⎫⎪⎝⎭4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，当[2x ∈，4]时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩ ，()1g x ax =+，若对1[2x ∀∈，4]，2[2x ∃∈-，1]，使得21()()g x f x ，则正实数a 的取值范围为（）A ．(0，2]B ．(0，7]2C ．[2，)+∞D ．7[2，)+∞5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x=-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．187．（2022·河北·高三阶段练习）函数()212x ax bf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为2，且在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，则a 的范围是______，4b a+的最小值为______.8．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域()(),00,D =-∞⋃+∞，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+-，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >m 的取值范围是______．9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数2231()2--=ax x y 在区间（-1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是________.12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为______．13．（2022·全国·高三专题练习）设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______.14．（2022·上海·高三专题练习）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =_____________15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1a <-）如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，则a 的取值范围为_____________.16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.三、分段函数1．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·河南·二模（理））已知函数1,01()ln ,1x x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，若()()f a f b =，且a b ¹，则()()bf a af b +的最大值为（）A ．0B ．(3ln 2)ln 2-⋅C ．1D ．e3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（）A ．(],3-∞B ．(],5-∞C ．[)3,+∞D ．[)5,+∞4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数()()222,1e ,1xx ax a x f x a R ax x ⎧-+≤=∈⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,e D ．[]0,e6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()22,,14,,xx a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-+≥⎩则当5a =时，函数()f x 有______个零点；记函数()f x 的最大值为()g a ，则()g a 的值域为______.7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()2ln ,021,0x x f x kx x x ⎧>=⎨+-≤⎩，给出下列命题：（1）无论k 取何值，()f x 恒有两个零点；（2）存在实数k ，使得()f x 的值域是R ；（3）存在实数k 使得()f x 的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当1k =时，若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是()0,2.其中，所有正确命题的序号是___________.8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四、函数的图象1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2sin 62()41x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图象大致是（）A．B ．C ．D ．2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数()f x 的图像如图，则该函数的解析式可能是（）A ．ln xe x⋅B ．ln xx e C ．ln xx e +D ．ln xe x-3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()f x =（）A ．B ．C ．D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．五、二次函数1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++（其中0ac <）存在零点，且经过点()1,3和()1,3-．记M 为三个数a ，b ，c 的最大值，则M 的最小值为（）A ．32B ．43C ．54D ．652．（2022·浙江·高三专题练习）设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值．若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是（）A ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎣D ．24⎡⎤+⎣⎦3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数()()y f x y g x ==，，若存在0x ，使()()00 f x g x =-，则称()()()()0000M x f x N x g x --，，，是函数()f x 与()g x 图象的一对“雷点”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，恒有()()1f x f x +=，且当10x -<≤时，()f x x =．若()()()2120g x x a x =++-<<，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在一对“雷点”，则实数a 的取值范围为____________________．6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数21()43f x ax ax =++的定义域为(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是___________.7．（2022·湖北·一模）若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，当12x x D -∈时，都有()()12f x f x D -∈，则称函数f （x ）是关于D 关联的.已知函数()f x 是关于{4}关联的，且当[)4,0x ∈-时，()26f x x x =+.则：①当[)0,4x ∈时，函数()f x 的值域为___________；②不等式()03f x <<的解集为___________.六、指对幂函数1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a <<2．（2022·山东·模拟预测）若282log 323log +=⋅+a b a b ，则（）A ．12b a b<<B ．2<<+b a b C ．23b a b<<D ．1132b a b<<3．（2022·广东·模拟预测）已知()222022log f x x x =+，且()60.20.2log 11,lg ,4102022a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系是__________.（用“<”连接）4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()14log 321x x λ+⋅≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，则实数λ的取值范围是______．5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数()21949192120212049x f x x x x=--+，[]1949,2022α∃∈，对[],2049m β∀∈，()()f f αβ<都成立，则m 的取值范围（用区间表示）是_______6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.7．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______.七、函数与方程1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2221,12810,1x x x f x x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩，若函数()()1g x f x x a =+--恰有两个零点则实数a 的取值范围是()A ．()723,4,48∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭B ．23,48⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知1120xx +=，222log 0x x +=，3233log 0x x --=，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数2()(1)1x f x m x x =--+在区间(1,1)-上有2个零点()1212,x x x x <，则21e xx +的取值范围是（）A ．(1,e 1)-B ．(2,e 1)+C ．(1,)+∞D ．(e 1,)-+∞4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a<<5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()22,22cos π,24xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨<≤⎪⎩，实数123,,x x x ，4x 是函数()y f x m =-的零点，若1234x x x <<<，则132314242222x x x x x x x x +++++++的取值范围为（）A ．[)16,20B ．()C ．[)64,80D ．()6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数()2222x xf x --=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的解集不可能是（）A ．{}1,3B ．{}1,2,3C ．{}0,2,4D ．{}1,2,3,47．（2022·陕西·模拟预测（理））已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．108．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e 9e 42x a a xf x x x --=++--有零点，则实数=a ___________.9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________.八、新定义题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（）A ．{0，1-}B ．{1-，1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,23．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为()0,1,x Qf x x Q ∉⎧=⎨∈⎩，关于狄利克雷函数()f x ，下列说法不正确的是（）．A ．对任意x ∈R ，()()1f f x =B ．函数()f x 是偶函数C ．任意一个非零实数T 都是()f x 的周期D ．存在三个点()()11,A x f x 、()()22,B x f x 、()()33,C x f x ，使得ABC 为正三角形4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为{}0,1B ．()f x 的值域为[]0,1C ．x R ∃∈，()()0f f x =D ．任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：()[]1,,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 20225f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．25C ．25-D ．15-6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是()1T ℃，空气的温度是()0T ℃，经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式1034log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度约是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃7．（2022.安徽.淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112...19202122232425 (2048)4096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,468．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式3104log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，设536N =，则N 所在的区间为（e 2.71828= 是自然对数的底数）（）A ．()1718,e eB ．()1819,e eC ．()1920,e eD ．()2122,e e10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e 为底数的自然对数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数）x1.3102 3.190 3.797 4.71557.397ln x0.27000.69311.1600 1.33421.550 1.60942.001A ．3.797B ．4.715C ．5D ．7.39711．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，21,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet ），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：1,()0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：,,(),,a x Q D x b x Q ∈⎧=⎨∉⎩（其中,a b ∈R ，且a b ¹）.以下对()D x 说法正确的有（）A ．()D x 的定义域为RB ．()D x 是非奇非偶函数C ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性D ．任意非零有理数均是()D x 的周期15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()sin f x x x=+B ．()23f x x x =--C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x=+B ．()23f x x x =--C ．()x f x x=-D ．()ln 1f x x =+17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第1次操作；再将剩下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n 的最小值为____________．(lg 20.30=，lg 30.47=)19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n 次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是不可以再约分的真分数或者上的无理数，则1R π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式如下：()[]1,,,0,0,10,1.q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩都是正整数，是既约真分数或上的无理数若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()220f x f x ++-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()202220225f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭___________.22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()1,(,00,101q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩都是正整数，是既约真分数），或（，）上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数21y x =+，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的序号是______.①函数()3f x x =是圆O 的一个太极函数；②圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数()sin f x x =是圆O 的一个太极函数；④函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件.26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点．现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数()22f x x =-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值：(3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．。

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题12 多次使用基本不等式[真题再现]例1 （2020·江苏考试研究会·14）设41(0,0)x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++- 的最小值为 . 【答案】45【分析】所求22221x s ys xy st t ++-变形为2221x y s xy st t ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭.三次使用基本不等式，第一次，在条件41(0,0)x y x y +=>>下，求2x yxy+最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件0s t >>下，求2st t -最小值，为达到消t 的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式()()222+==24t s t s st t t s t -⎡⎤--≤⎢⎥⎣⎦；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得. 【解析】由题x +4y =1(x ＞0，y ＞0)，x 2+y xy =x 2+(x +4y )y xy =x y +1+4y x ≥4+1=5，当且仅当x =13，y =16时，“=”成立． 因为0＜t ＜s ，则1ts －t 2=4s 2－(s －2t )2≥4s 2，当且仅当s =2t 时，“=”成立． 于是x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2≥5s 2+4s 2≥45， 当且仅当x =13，y =16，s =255，t =55时，“=”成立．所以x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2的最小值为45．点评:多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.例2 （2020·徐州打靶卷·14）已知正数a ,b 满足aba+2b ≥1，则(a +1)2+(b +2)2的最小值是 ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2【答案】22+12√2【解析】由平方均值不等式得√(a+1)2+(b+2)22≥(a+1)+(b+2)2，当且仅当a =b +1时，“=”成立由aba+2b ≥1变形得2a +1b ≤1所以a +b ≥(a +b )(2a +1b )=3+(2ba +ab )≥3+2√2 ，当且仅当a =√2b ，即a =2+√2 ，b =1+√2时，“=”成立将a =2+√2 ，b =1+√2代入得(a +1)2+(b +2)2=22+12√2. 所以(a +1)2+(b +2)2的最小值是22+12√2． 例3已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，那么ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．【答案】10＋5【分析】a 、b 间有制约条件“a ＋b ＝2”，“c ”为独立变量，故将所求变形为ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2，先求出a b ＋1ab的最小值即可. 【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋1ab －12＝a b ＋(a ＋b )24ab －12＝a b ＋a 2＋2ab ＋b 24ab －12＝5a 4b ＋b 4a ≥52，当且仅当b ＝5a 时等号成立．又因为c ＞2，由不等式的性质可得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2≥52c ＋5c －2.又因为52c ＋5c －2＝52(c －2)＋5c －2＋5≥10＋5，当且仅当c ＝2＋2时等号成立， 所以ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为10＋ 5.点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.[强化训练]1.（2020·扬州五月调研·12）已知x ＞0，y ＞0，则16y x x xy++的最小值为 ． 2.已知0a b >>，则264()a b a b +-的最小值为 ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33.（2019·苏北三市第一学期期末联考·14）已知0x >，0y >，0z >，且36x z ++=，则323x y z ++的最小值为 ．4. （2020·海安中学12月考·11） 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 5.（2020·镇江八校第二次联考·13） 已知正数,a b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为 ． 6. 若0x y >>3232x xy y +-的最小值为 ▲ ．【答案或提示】1.【答案】2【解析】所求变形为16116=()y x x y x xy x y++++ ∵y ＞0 ∴161628y y y y+≥⋅=，当且仅当4y =时，等号成立， ∵x ＞0，168y y+≥ ∴1688242y x x x x xy x x++≥+≥⋅=22x = ∴16y x x xy++的最小值为2，当且仅当22x =，4y =成立． 2.【答案】32【解析】∵22()()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时，等号成立，∴22222646446432()4a a a ab a b a ⨯+≥+≥⋅=-，当且仅当4a =时，等号成立，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4∴264()a b a b +-的最小值为32，当且仅当4a =，2b =成立．3. 【答案】374【解析】先减元323x y z ++＝323(63)x y x ++-＝3233453()4x x y -+-+令3()3f x x x =-，23345()(4g y y =+， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，所以，min ()f x ＝f （1）＝－2 当y ＝332时，()g y 有最小值：min 45()4g y = 所以323x y z ++的最小值为－2＋454＝374.4.21．【解析】由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，化为11x y x y xy y x +-==+，为求x 的最小值，将含“x ”项用“y ”的函数表示得：11x y x y x xy y+-==+ ∵112y y y y+≥⋅（当且仅当1y =，“=”成立） ∴12x x-≥，解得21x +．∴实数x 21． 5.【答案】2【解析】将已知条件2(2)4a b a b +=视为关于b 的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.由2(2)4a b a b +=解得24=a b a a+-+∴22244=2a a b a a a++=+，当且仅当2a =.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！56. 【答案】10【提示】4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()2f x x x≥+，再利用导数知识解决.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6。

专题02 以分段函数为背景的解不等式型[高考真题]（2020·新课标卷Ⅰ·理数·12）已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．[强化训练]1.（2020·扬州三检·12）已知函数，则关于x 的不等式的解集为 ．2. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝Error!则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)3.已知f (x )＝(x ＋1) |x |－3x ．若对于任意x ∈R ，总有f (x )≤f (x ＋a )恒成立，则常数a 的最小值是______．4.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .5.（2020·镇江·高三上学期期末·12）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ．6.已知函数，则不等式的解集为__________.()|31|2|1|f x x x =+--()y f x =()(1)f x f x >+222()1122x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，(1)(2)f x f x -<-)0(1|)|1()(>+-=a x a x x f )()(x f a x f ≤+R x ∈a )(x f R 0>x x x x f 42-=)(x x f >)(|2|)(-=x x x f )1()2(f x f ≤-解析：专题02 以分段函数为背景的解不等式型[高考真题]【答案】（1）略；（2）. 【分析】（1）略；（2）在同一直角坐标系内作出函数、的图象，根据图象即可解出．【解析】（1）略；（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()f x ()1f x +()f x 1()1f x+。

2021年高考数学重难点复习妙解函数不等式一．方法综述对于仅利用函数的奇偶性、单调性即可求解的不等式问题，师生已有应对的良好方法，重在应用转化与化归思想，转化成解答具体不等式或不等式组问题.在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数、导数、不等式交汇的重要题型，这类问题由于涉及抽象函数，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍，不能从容应对不等式的求解问题．实际上，根据所给不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．常见的构造函数方法有如下几种：(1)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx .(2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；②对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数()()()()()0f x F x g x g x ≠＝． (3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数①对于不等式'()xf x ＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝()xf x ；②对于不等式'()xf x －f(x)>0(或<0)，构造函数()()()0f x F x x x ≠＝； ③对于不等式'()xf x ＋()nf x >0(或<0)，构造函数F(x)＝()n x f x ；④对于不等式'()xf x －()nf x >0(或<0)，构造函数()()()0n f x F x x x ≠＝； ⑤对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝()x e f x ；⑥对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数()()xf x F x e ＝； ⑦对于不等式f(x)＋f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝sin ()xf x ；⑧对于不等式f(x)－f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数()()()sin 0sin f x F x x x≠＝； ⑨对于不等式f′(x)－f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝cos ()xf x ； ⑩对于不等式f′(x)＋f(x)tan x>0(或<0)，构造函数()()()cos 0cos f x F x x x≠＝． ⑪(理)对于不等式f′(x)＋()kf x >0(或<0)，构造函数F(x)＝()kx e f x ；⑫(理)对于不等式f′(x)－()kf x >0(或<0)，构造函数()()kx f x F x e＝； 二．解题策略类型一 构造具体函数求解【例1】【2020届河北冀州中学期中】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时()()0f x f x '+>，若(21)(1)a e f a f a ++…，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，2]3 B ．2[,0]3- C ．[0，)+∞ D ．(-∞，0]【答案】B【解析】Q 2()()x f x e f x -=，∴()()()x x xf x e f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，当0x <时()()0f x f x '+>，∴()[()()]0x g x e f x f x '''=+>，即函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减， (21)(1)a e f a f a ++Q …，211(21)(1)a a e f a e f a ++∴++…，(21)(1)g a g a ∴++…，|21||1|a a ++„， 解可得，203a -剟，故选B ． 【指点迷津】对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质——单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.对于复合函数问题，先换元，再构造函数，是常用的方法.。

专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津理科06】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52，c＝0.50.2．而log25＞log24＝2，∴．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．2．【2019年天津理科08】已知a∈R．设函数f（x）若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a恒成立，令g（x）（1﹣x2）≤﹣（22）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a恒成立，令h（x），则h′（x），当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．3．【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，故选：C．4．【2019年全国新课标2理科12】设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）解得m或m，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m．故选：B．5．【2019年新课标1理科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．6．【2019年浙江06】在同一直角坐标系中，函数y，y＝1og a（x）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y，y＝1og a（x），当a＞1时，可得y是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．【2019年浙江09】设a，b∈R，函数f（x）若函数y＝f（x）﹣ax﹣b 恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，y′＝x2﹣（a+1）x，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3．故选：C．8．【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．9．【2018年新课标2理科11】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．10．【2018年新课标3理科12】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【解答】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，∴，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．11．【2018年上海16】设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1），，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x＝0或者x＝1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．12．【2018年北京理科04】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．13．【2018年天津理科05】已知a＝log2e，b＝ln2，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a＝log2e＞1，0＜b＝ln2＜1，c log23＞log2e＝a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．14．【2017年新课标1理科05】函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．15．【2017年新课标1理科11】设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴3y，2x，5z．∵，．∴lg0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴1，可得2x＞3y，1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．16．【2017年浙江05】若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x为对称轴的抛物线，①当1或0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m＝|f（1）﹣f（0）|＝|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m＝f（0）﹣f（），故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m＝f（1）﹣f（）＝1+a，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．17．【2017年北京理科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：A．18．【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．19．【2017年天津理科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log25.1），b ＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，∴g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）＝xf（x）偶函数，∴a＝g（﹣log25.1）＝g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选：C．20．【2017年天津理科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3a≤x2﹣x+3，即有﹣x2x﹣3≤a≤x2x+3，由y＝﹣x2x﹣3的对称轴为x1，可得x处取得最大值；由y＝x2x+3的对称轴为x1，可得x处取得最小值，则a①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣（x）a≤x，即有﹣（x）≤a，由y＝﹣（x）≤﹣22（当且仅当x1）取得最大值﹣2；由y x22（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2a≤2②由①②可得，a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y＝|a|当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，由2x﹣1，可得x，切点为（，）代入y a，解得a；当x＞1时，y＝x的导数为y′＝1，由1，可得x＝2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y a，解得a＝2．由图象平移可得，a≤2．故选：A．21．【2019年全国新课标2理科14】已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣e ax．若f（ln2）＝8，则a＝．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，又∵当x＜0时，f（x）＝﹣e ax，∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．故答案为：﹣322．【2019年江苏04】函数y的定义域是．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．23．【2019年江苏14】设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x），g（x）其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x），x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k，∴k．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．24．【2018年江苏05】函数f（x）的定义域为．【解答】解：由题意得：log2x≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．25．【2018年江苏09】函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x），则f（f（15））的值为．【解答】解：由f（x+4）＝f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）＝f（16﹣1）＝f（﹣1）＝|﹣1|，f（）＝cos（）＝cos，即f（f（15）），故答案为：26．【2018年浙江11】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z＝81时，x＝，y＝．【解答】解：，当z＝81时，化为：，解得x＝8，y＝11．故答案为：8；11．27．【2018年浙江15】已知λ∈R，函数f（x），当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．【解答】解：当λ＝2时函数f（x），显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．28．【2018年上海04】设常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）＝1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）＝3，解得a＝7．故答案为：7．29．【2018年上海07】已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．30．【2018年上海11】已知常数a＞0，函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q＝36pq，则a＝．【解答】解：函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：1，解得：2p+q＝a2pq，由于：2p+q＝36pq，所以：a2＝36，由于a＞0，故：a＝6．故答案为：631．【2018年北京理科13】能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．【解答】解：例如f（x）＝sin x，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）＝sin x．32．【2018年天津理科14】已知a＞0，函数f（x）．若关于x的方程f（x）＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，得x2+ax+a＝0，得a（x+1）＝﹣x2，得a，设g（x），则g′（x），由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，得x2﹣ax+2a＝0，得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，当x≠2时，a设h（x），则h′（x），由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）33．【2017年江苏14】设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x），其中集合D＝{x|x，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x），第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x），此时f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y＝lgx无交点；故f（x）的图象与y＝lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是8，故答案为：834．【2017年新课标3理科15】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是．【解答】解：若x≤0，则x，则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，此时x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，此时f（x）+f（x）＞1恒成立，综上x，故答案为：（，+∞）．35．【2017年浙江17】已知a∈R，函数f（x）＝|x a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．【解答】解：由题可知|x a|+a≤5，即|x a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x5，又因为1≤x≤4，4≤x5，所以2a﹣5≤4，解得a，故答案为：（﹣∞，]．36．【2017年上海08】定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若g（x）为奇函数，则f﹣1（x）＝2的解为．【解答】解：若g（x）为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）＝3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）＝﹣g（x），则g（x）＝f（x）＝1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），且f﹣1（x）＝2，可由f（2）＝1﹣3﹣2，可得f﹣1（x）＝2的解为x．故答案为：．37．【2017年上海09】已知四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【解答】解：给出四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从四个函数中任选2个，基本事件总数n，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）．故答案为：．38．【2019年江苏18】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB （AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•1，解得x2，Q（，0），由﹣17＜﹣8，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．39．【2018年上海19】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f （x ）＝2x90＞40，即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40；当30＜x ＜100时，g （x ）＝（2x 90）•x %+40（1﹣x %）x +58；∴g （x ）；当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减； 当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数(()sin ln f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．4C ．2±D ．4±【答案】C 【解析】依题意，函数()f x 为偶函数.由于()sin m x x =为奇函数，故(()ln g x ax =也为奇函数.而(()ln g x ax -=-+，故((()()ln ln 0g x g x ax ax -+=-+++=，即()222ln 140x a x +-=，解得2a =±.故选：C.2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（ ） A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数， 所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ）A ．()()()320log 2log 3f f f <<-B ．()()()32log 20log 3f f f <<-C ．()()()23log 3log 20f f f -<<D ．()()()32log 2log 30f f f <-<【答案】C 【解析】∵f （x ）为偶函数∴()()22f log 3?f log 3-= ∵320log 21,log 31,< f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴()()()23f log 3f log 2f 0<<，即()()()23f log 3f log 2f 0-<<故选：C4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】A【解析】1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -=（ ）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -【答案】B 【解析】因为()()()()22222213log log log 42222x xf x f x x x -++-=+==--- 故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b - 故选：B6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()21x f x x =-，则（ ）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D 【解析】由题意知：()()()()()()222222122111x x x x x x xf x x x x ----'===---当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误； 当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；()()()22221x f x f x x --=≠--，则()f x 不关于1x =对称，C 错误； ()()()()2211114x x f x f x xx+-++-=+=-，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （ ）A ．2019B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【解析】由()()()42f x f x f x +=-+=得：()f x 的周期为4 又()f x 为奇函数()11f ∴=，()()200f f =-=，()()()3111f f f =-=-=-，()()400f f ==即：()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()()()1232019505123440f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅=⨯+++-=⎡⎤⎣⎦本题正确选项：B8．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程2121x kx x -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,0-C ．()0,4D ．()()0,11,4【答案】D 【解析】 解：y 211111111x x x x x x x -+-⎧==⎨----⎩，＞或＜，＜＜， 画出函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象，由图象可以看出，y ＝kx ﹣2图象恒过A （0，﹣2），B （1，2），AB 的斜率为4，①当0＜k ＜1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；②当k ＝1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有1个不同的实数根；③当1＜k ＜4时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；④当k 0≤时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点.因此实数k 的取值范围是0＜k ＜1或1＜k ＜4. 故选：D ．9．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴若011,0,122m nm n m n -⎛⎫⎛⎫<-<>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭充分性成立， 若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则01122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0,m n m n -<<必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

专题02“三招五法〞轻松破解含参零点问题一．方法综述函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考察函数、导数、方程与不等式等根底知识，又能考察分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地表达试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性〔可借助于导数〕探寻解题思路，或利用数形结合思想、别离参数方法来求解．具体的，〔1〕分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；〔2〕利用零点存在的判定定理构建不等式求解；〔3〕别离参数后转化为函数的值域〔最值〕问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；〔4〕转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二．解题策略类型一“第一招〞带参讨论【例1】【湖南省澧县一中2021届一轮第一次检测】函数f(x)=,如果函数f〔x〕恰有两个零点，那么实数m的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：根据与-2，0和4的大小关系逐一判断的零点个数即可得出结论．假设，那么在上有2个零点0，在上无零点，符合题意；∴或．故答案为：．【指点迷津】质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进展分类讨论，并逐一求解．【举一反三】【江苏省扬州中学2021届高三10月月考】定义在上的函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设假设方程无实根，那么实数的取值范围是_________【答案】【解析】∴p〔t〕=t2+2mt+m2﹣m+1．p〔p〔t〕〕=[p〔t〕]2+2mp〔t〕+m2﹣m+1，假设p〔p〔t〕〕=0无实根，即[p〔t〕]2+2mp〔t〕+m2﹣m+1①无实根，方程①的判别式△=4m2﹣4〔m2﹣m+1〕=4〔m﹣1〕．1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，方程①有两个实根，即②，只要方程②无实根，故其判别式，即得③，且④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．综上，m的取值范围为m＜2．类型二“第二招〞数形结合【例2】【2021年天津卷理】，函数假设关于的方程恰有2个互异的实数解，那么的取值范围是______________.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如下图，考察临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【指点迷津】f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为根本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数．2.先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．交点的横坐标即零点.【举一反三】【2021届同步单元双基双测AB卷】函数，假设函数有三个零点，那么实数的取值范围为____．【答案】.【解析】分析：求出函数|f〔x〕﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．当x＜0时，≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈〔﹣，0]．综上，范围是.故答案为：.类型三“第三招〞别离参数【例3】【广东省惠州市2021届10月调研】函数是定义在上的偶函数，且，假设函数有 6 个零点，那么实数的取值范围是〔〕A． B．C． D．【答案】D【解析】函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，函数F〔x〕=f〔x〕﹣m有六个零点，那么当x≥0时，函数F〔x〕=f〔x〕﹣m有三个零点，令F〔x〕=f〔x〕﹣m=0，即m=f〔x〕，②当x≥2时，f 〔x 〕=＜0，且当x→+∞，f 〔x 〕→0，∵f′〔x 〕=，令f′〔x 〕==0，解得x=3，当2≤x＜3时，f′〔x 〕＜0，f 〔x 〕单调递减， 当x≥3时，f′〔x 〕≥0，f 〔x 〕单调递增， ∴f 〔x 〕min =f 〔3〕=﹣，故f 〔x 〕在[2，+∞〕上的值域为[﹣，0〕， ∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m ＜0时，当x≥0时，函数F 〔x 〕=f 〔x 〕﹣m 有三个零点， 故当﹣＜m ＜0时，函数F 〔x 〕=f 〔x 〕﹣m 有六个零点， 应选D. 【指点迷津】1.别离参数法，先将参数别离，转化成求函数值域〔最值〕问题加以解决；2.通过将原函数中的变参量进展别离后变形成g(x)＝l(a)，那么原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题． 【举一反三】【2021 年天津卷理】函数()()22,2,{2,2,x x f x x x -≤=->函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，假设函数()()y f x g x =-恰有4个零点，那么b 的取值范围是〔 〕A．7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．7,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭C．70,4⎛⎫⎪⎝⎭D．7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D类型四“三招五法〞一题多解【例4】【2021年全国卷Ⅰ】函数f(x)＝ax3－3x2＋1，假设f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，那么a的取值范围为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【答案】B【解析】法一单调性法：利用函数的单调性求解由得，a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a.当a>0时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；x∈〔0，2a〕，f′(x)<0；x∈〔2a，＋∞〕，f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和2a，＋∞上单调递增，在〔0，2a〕上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．当a<0时，x ∈〔－∞，2a 〕，f′(x)<0；x ∈〔2a，0〕，f′(x)>0；x ∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在〔－∞，2a 〕和(0，＋∞)上单调递减，在〔2a ，0〕上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x 0且x 0>0，只需f 〔2a〕>0，即a 2>4，解得a<－2.法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零． 当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得aa <－2时，满足题意．法四 别离参数法：参变别离，化繁为简.易知x ≠0，令f (x )＝0，那么331a x x ＝－，记331()g x x x ＝－，2'234333(1)()x g x x x x--=-+=，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如下图，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.【指点迷津】f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解． 2. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，假设方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，假设方程不易解或不可解，那么将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也表达了数形结合思想的应用.【举一反三】【2021课标3，理11】函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，那么a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】方法一：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee--+=+，那么()()211111111x x x x x x eg x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，方法二：由函数f (x )有零点，得211(2)0x x x x a e e －－＋－＋＋＝有解， 即211()(110)x x x a e e －－＋－－＋＋＝有解，令1t x ＝－，那么上式可化为2(10)t t t a e e －－＋＋＝，即21t tt a e e--+＝. 令21t tt e e--+h(t)＝，易得h (t )为偶函数， 又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，那么此交点的横坐标为0， 所以10122a -＝＝，应选C. 方法三：由()112()02.x x f x a ee x x ⇔－－＋＝＋＝－＋111122x x x x e e e e ≥⋅－－＋－－＋＋＝，当且仅当1x =时取“＝〞． 2221)11(x x x ≤－＋＝－－＋，当且仅当1x =时取“＝〞．假设a >0，那么112()x x a e e a ≥－－＋＋， 要使f (x )有唯一零点，那么必有21a ＝，即12a ＝. 假设a ≤0，那么f (x )的零点不唯一． 综上所述，12a ＝. 三．强化训练1．【2021年新课标I 卷理】函数 ．假设g 〔x 〕存在2个零点，那么a 的取值范围是A ． [–1，0〕B ． [0，+∞〕C ． [–1，+∞〕D ． [1，+∞〕【答案】C【解析】2.【安徽省肥东县高级中学2021届8月调研】函数，假设函数有两个零点，那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】假设函数有两个零点，那么函数的图象与有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数的图象与的图象如下：3.【黑龙江省2021年仿真模拟〔十〕】函数，假设关于的方程有8个不等的实数根，那么的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】绘制函数的图象如下图，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.此题选择D选项.4．【2021届同步单元双基双测AB卷】函数的定义域为实数集,,对于任意的都有,假设在区间函数恰有三个不同的零点, 那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，应选：5.【安徽省肥东县高级中学2021届8月调研】定义在上的函数，满足，且当时，，假设函数在上有零点，那么实数的a取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】因为当时，，所以时，所以，此时，故．所以在上的图象如图，要使函数在上有零点，只要直线与的图象有交点，由图象可得，所以使函数在上有零点，那么实数的取值范围是．应选：B．6.【安徽省皖中名校联盟2021届10月联考】设函数假设互不相等的实数满足那么的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设，的图像如下图，7.【安徽省六安市舒城中学2021届仿真〔三〕】函数，关于方程有三个不同实数解，那么实数的取值范围为( ) A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，即那么大致图象如下图设，①当有一个根为时，，解得，此时另一个根为，满足条件②根不是时，那么满足即综上所述，故实数的取值范围为应选8.【四川省双流中学2021届一模】对于函数和，设，假设所有的，都有，那么称和互为“零点相邻函数〞.与互为“零点相邻函数〞，那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】【2021年浙江卷】λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．假9．设函数f(x)恰有2个零点，那么λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.10.【安徽省定远重点中学2021届第一次月考】函数，定义函数，给出以下命题：①；②函数是偶函数；③当a＜0时，假设0＜m＜n＜1，那么有F〔m〕﹣F〔n〕＜0成立；④当a＞0时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为________________________ ．【答案】②③④【解析】∴F(m)−F(n)<0成立．故③正确对于④，由于，且函数，∴当x>0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x>0时，F(x)的最小值为F(1)=1，∴当x>0时，函数F(x)的图象与y=2有2个交点，又函数F(x)是偶函数，∴当x<0时，函数F(x)的图象与y=2也有2个交点，画出图象如以下图：故当a>0时，函数y=F(x)−2有4个零点．所以④正确．综上可得②③④正确．。