高中数学选修2-1北师大版 曲线与方程(第一课时)教案

由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质一、教学目标：1.初步掌握求曲线的方程的方法；2.能利用方程讨论曲线的简单性质 二、教学重难点：1.初步掌握求曲线的方程的方法；2.能利用方程讨论曲线的简单性质 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：曲线的方程，方程的曲线的概念 （二）、探究新课1、求解曲线方程的一般步骤.例1、设A 、B 两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 解：设M （x,y ）是线段AB 的垂直平分线上任意一点，也就是点M 属于集合{}|||| MB MA M P ==.由两点间的距离公式，点M 所适合条件可表示为：2222)7()3()1()1(-+-=+++y x y x将上式两边平方，整理得：x +2y －7=0 ① 我们证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M 1的坐标（x 1,y 1）是方程①的解，即x +2y 1－7=0 x 1=7－2y 1点M 1到A 、B 的距离分别是;)136(5 )1()28( )1()1(121212121211+-=++-=+++=y y y y y x A M ,)136(5 )7()24( )7()3(11121212121211B M A M y y y y y x B M =∴+-=-+-=-+-=即点M 1在线段AB 的垂直平分线上.由（1）、（2）可知方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x,y )=0; （4）化方程f (x,y )=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程. 例2、长为2a (a 是正常数)的线段AB 的两端点,A B 分别在相互垂直的两条直线上滑动，求线段AB 中点M 的轨迹．解：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，设M 的坐标为(,)x y ，∵ABC ∆是直角三角形，M 为斜边AB 的中点，所以12OM AB a ==即a =两边平方，得222x y a +=所以，动点M 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆．例3、求平面内到两定点,A B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹方程． 解：以,A B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立（如图）直角坐标系x O y ，令2A B a =，则,A B 两点的坐标分别为(,0),(,0)a a -．设M 点坐标为(,)x y ，依据题意，点M 满足2MAMB=由MA MB ==2=，化简整理，得222331030x y ax a +-+=．所以，动点M 的轨迹方程为222331030x y ax a +-+=． 2、利用方程研究曲线的性质：【例4见教材第85页例题】（三）小结：本节课我们学习了求曲线的方程的方法以及利用方程讨论曲线的简单性质。

§4 曲线与方程4.1曲线与方程●三维目标1．知识与技能(1)了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．(2)初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(3)学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．2．过程与方法(1)通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识．(2)在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点．(3)能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．3．情感、态度与价值观(1)通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律．(2)通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具．(3)学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性．●重点难点重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．本节课，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，可通过反例揭示两者缺一不可的关系．为了强化认识，可用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，这将有助于学生的理解．通常在由已知曲线建立方程的时候，不验证以方程的解为坐标的点是否在曲线上，就认为所求的是曲线方程．为了突破这个难点，可设计不同层次的问题，通过这些问题让学生进一步领会二者缺一不可．●教学建议本节课，学生已有了用方程表示曲线的感性认识(二元一次方程表示直线)，现在要进一步研究平面内的曲线和含有二元方程之间的关系，是由直观上升到抽象的过程．所以本节课可采用复习引入课题、从特殊到一般的方法让学生易于接受．教学方法上，可采用启发探究式，以问题的提出、问题的解决为主线进行教学．在教学中，通过探究发现、合作交流、归纳反思等数学活动，倡导学生主动参与，让学习过程成为主动认知过程．在教学中，要循善诱，精心启发，创造思维情景让学生去观察、去探索、去发现问题、去解决问题，进而培养学生的创造性思维．●教学流程设置情境导入新课.――→探究通过例子探究定义中两个条件缺一不可――→概括归纳曲线与方程的定义――→探究求曲线方程的方法―→训练反馈―→归纳提升1．如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，会出现什么情况？举例说明．【提示】 方程y ＝1－x 2表示的曲线是半圆，而非整圆．2．轨迹与轨迹方程这两个概念相同吗？。

2.1曲线与方程课时分配:1.第一课曲线和方程1个课时2.第二课四种命题1个课时3.第三课四种命题间的相互关系1个课时1.1.1命题【教材分析】“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响。

学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径。

根据以上分析，确立教学重点是：理解曲线的方程和方程的曲线的概念；难点是：对曲线与方程对应关系的理解。

由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。

【教学目标】一、知识目标：1．了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系；2．初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已学知识为切入点，引起关注，引发数学思考进而分析、判断、归纳结论4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

二、能力目标：1．通过直线方程和圆的方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3．能用所学集合知识理解新的概念，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

三、情感目标：1．以现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代繁华都市的立交桥的图片激发学生学习曲线与方程的兴趣。

通过两个问题的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2．通过问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教法分析】本节课从问题引入→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者，不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会，这样既可以使学生完成知识建构，又可以培养其能力。

3.4.1 曲线与方程一、教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；2．根据曲线方程的概念解决一些简单问题．二、教学重点，难点：教学重点：曲线方程的概念 ；教学难点：曲线方程概念的理解．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境： 在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．2．问题： 怎样理解这个表述？（二）．学生活动在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．这句话的含义是，圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解，且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上．（三）．新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M （x 0,y 0）是抛物线上的点，那么（x 0,y 0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程y =x 2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解；（2）以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么，方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程；曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5．从集合的角度看，曲线c 上所有点组成的集合记作A ；B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集，关系(2)指集合B 是集合A 的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．（四）．知识运用例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上．分析：判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．解：∵22241216+=+=，即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解， 所以该点在圆上．∵22311016+=≠，即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解，所以该点不在这个圆上．例2．已知一座圆拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图所示），求圆拱的方程．解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上，可设为1(0,)O b ，设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =，即 22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上， ∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分（包括x 轴上的点），所以，圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3．画出方程的曲线：0log log =-x y y x ．解：由0log log =-x y y x ，得：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ，即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ，（图略）． 说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。

3.4.1曲线和方程知识与技能目标（1） 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；（2） 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；（3） 学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

过程与方法目标（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感与态度目标（1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；（2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；（3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

教学难点：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。

教学过程：一、创设情境，新课引入：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。

二、师生互动，新课讲解：例1：作出方程0=-y x 表示的直线借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形） 方程（数量） 。

变式训练1：作出函数y=x 2的图象类比方程2x y =与如图所示的抛物线。

这条抛物线是否与这个二元方程 2x y =也能建立这种对应关系呢？ （按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？这就是今天这节课的内容：曲线和方程。

3.4曲线和方程【教学目标】1．了解曲线方程的概念；根据曲线方程的概念解决一些简单问题．2.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义；【教学重点】了解曲线方程的概念；根据曲线方程的概念解决一些简单问题．【教学难点】根据曲线方程的概念解决一些简单问题. 掌握圆锥曲线的定义；【知识衔接】1. 把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集．2 平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F 不在定直线l 上)．定点F 叫做抛物线的＿＿＿，定直线l 叫做抛物线的＿＿＿.3.把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于＿＿＿（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双曲线的＿＿＿．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=【学习过程】一、曲线与方程的定义：一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．例1．判断点，(3,1)是否是圆2216x y +=上．分析：判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．例2 见教材例11．椭圆的定义：平面内到两定点1F，2F的距离和等于常数（大于12F F）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F，2F叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注意：定义中的定值要大于12F F，否则不是椭圆．若定值等于12F F，则点的轨迹是线段12F F；若定值小于12F F，则点的轨迹不存在．２．双曲线的定义：（类比椭圆的定义）平面内到两定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数（大于0，小于12F F）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点1F，2F叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．说明：定义中的定值要小于12F F，否则不是双曲线．若定值等于0，则点的轨迹为线段12F F的中垂线；若定值等于12F F，则点的轨迹是两条射线；若定值大于12F F，则点的轨迹不存在．３．抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．说明：（１）F不在l上，若F在l上，则点的轨迹为过F与l垂直的直线．4.我们常利用下面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么：椭圆：动点M满足的式子：122MF MF a+=（122a F F>的常数）；双曲线：动点M满足的式子：122MF MF a-=（1202a F F<<的常数）；抛物线：动点M满足的式子：MF d=（d为动点M到直线L的距离）．三、圆锥曲线的第二定义：圆锥曲线的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比未定值e，当0<e<1时，圆锥曲线时椭圆；当e>1时，圆锥曲线是双曲线；当e=1时，圆锥曲线是抛物线。