高中数学3.1.1两角和与差的余弦课时作业新人教B版必修4

第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦【选题明细表】1.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°的值是( B )解析:sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°=cos(76°-16°)=cos 60°故选B.2.若sin αα+β且α,β是锐角,则β等于( A )解析:由题意得cos αα+β所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×又因为β∈所以β故选A.3.cos(36°+x)cos(54°-x)+sin(x+36°)sin(x-54°)的值为( A )(A)0 (B)1 (C)-1解析:cos(36°+x)cos(54°-x)+sin(x+36°)sin(x-54°)=cos(36°+x)cos(54°-x)-sin(36°+x)sin(54°-x)=cos(36°+x+54°-x)=cos 90°=0.故选A.4.化简··的结果是( A )(A)cosππ(C)sinππ解析:原式··=cos[(π.所以应选A.5.如果cos θ,θ∈(π,),那么cos(θ+)的值等于.解析:因为cos θθ∈(π所以sin θ所以cos(θθθ答案6.(2017·云南玉溪民族中学阶段考)已知向量a=(cos 5°,sin 5°), b=(cos 65°,sin 65°),则|a+2b|= .解析:a·b=cos 5°cos 65°+sin 5°sin 65°=cos(65°-5°)=cos 60°所以|a+2b|2=a2+4b2+4a·b=1+4+4×所以答案7.(2017·江西上饶中学周练)在△ABC中,cos Acos B>sin Asin B,则△ABC为( C )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)无法判定解析:由题意得cos Acos B-sin Asin B>0,即cos(A+B)>0,又因为A+B∈(0,π),所以A+B为锐角,所以C=π-(A+B)为钝角,故选C.8.在△ABC中,已知则cos C的值为( A )或解析:因为A∈(0,π),所以由sin A=又因为B∈(0,π),因为所以cos B=±若,所以,又因为=cos所以与内角和定理矛盾,所以所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B··=-所以cos C=cos[π.所以应选A.9.如图,点P是单位圆上的一个点,它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α(0<α到达点P1,然后继续沿单位圆逆时针方向运达点P2,若点P2的横坐标为则cos α的值等于.解析:依题意知cos(α所以sin(αcos α=cos[(α)-=cos(αα=-×答案10.已知函数∈R,且(1)求A的值;(2)设α,β∈αβ求cos(α+β) 的值.解:(1)f(解得A=2.(2)f(4α)=2cos(α=2cos(α=-2sin α=-即sin αf(4β)=2cos(β=2cos β即cos β因为α,β∈所以cos αsin β所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β××=-11.如图,在平面直角坐标系中,锐角α,β的终边分别与单位圆交于A,B两点.(1)如果sin α点B求cos(α+β)的值;(2)已知点,-2),函数f(α·若f(α求α.解:(1)因为α是锐角,sin α所以cos α根据三角函数的定义,得cos β又因为β是锐角,所以sin β所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-(2)由题意可知α,sin α所以f(α=2α-2sin ααα)=4(cos αα=4cos(α又f(α)=2所以cos(α因为0<α所以α所以α所以α.。

3．1 和角公式3．1.1 两角和与差的余弦[学习目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．[学问链接]1．当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么当α、β∈R 时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗(举例说明)?答 不恒成立，如α＝π3，β＝π6时．2．请你计算下列式子的值，并依据这些式子的共同特征，写出一个猜想． ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos_0°； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32＝cos 30°； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12＝cos(－60°)．猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)； 即：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. [预习导引]1．两角差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，其中α、β为任意角． 2．两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即C α＋β： cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos_αcos(－β)＋sin_α·sin(－β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.要点一 运用公式求值 例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22 ＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°) ＝cos 90° ＝0.规律方法 利用两角差的余弦公式求值的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值． 跟踪演练1 计算： (1)sin 75°；(2)sin x sin(x ＋y )＋cos x cos(x ＋y )． 解 (1)sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos[x －(x ＋y )]＝cos(－y )＝cos y . 要点二 给值求值例2 设cos (α－β2)＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2. 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[](α＋β)＋(α－β)，α＝12[](β＋α)－(β－α)等．跟踪演练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值． 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437 ＝12. 要点三 已知三角函数值求角例3 已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．解 ∵α、β均为锐角， ∴sin α＝55，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.规律方法 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象就易求出角的值．跟踪演练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值． 解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，32π， ∴2β＝π，则β＝π2.1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13 C.32 D.33答案 A解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A.2．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12答案 B解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74° ＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°) ＝cos 60°＝12.3．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________.答案32解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 4．已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β. 解 ∵α、β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255·31010－55·1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2得0<α＋β<π，又cos(α＋β)>0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要留意公式的结构特征． 如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β)．2．要留意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，制造出应用公式的条件进行求解． 3．留意角的拆分技巧的积累，如： α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等．一、基础达标1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.2．计算cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是( ) A ．1 B.22 C.32D.12答案 B解析 原式＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25° ＝cos(70°－25°)＝cos 45°＝22. 3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 答案 C解析 sin(α－β)＝－255⎝⎛⎭⎫－π2<α－β<0. sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 4．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 肯定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 答案 D解析 ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0即cos(π－C )>0，∴－cos C >0， ∴cos C <0，∵0<C <π，∴π>C >π2，∴△ABC 为钝角三角形．5．若sin(π＋θ)＝－35，θ是其次象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－55 B.55 C.11525D. 5 答案 B解析 ∵sin(π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35，∵θ是其次象限角，∴cos θ＝－45.∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.6．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.答案 83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝83.7．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)．解 由cos α－cos β＝12两边平方得(cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.①由sin α－sin β＝－13两边平方得(sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.②①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336.∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972，∴cos(α－β)＝5972.二、力量提升8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6，此时关于y 轴对称，则m －π6＝k π，k ∈Z ，所以m ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以当k ＝0时，m 的最小值是π6，选B.9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 答案 －12解析 sin α＋sin β＝－sin γ，① cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1 ⇒cos(α－β)＝－12.10．若sin α＋sin β＝75，cos α＋cos β＝－75，则cos(α－β)＝________.答案242511．已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β)． 解 由于π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.由于cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π. 所以sin(2α－β)＝22. 由于π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2.由于sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝⎝⎛⎭⎫－22×22＋22×22＝0.12．求2cos 50°－3sin 10°cos 10°的值．解 原式＝2cos (60°－10°)－3sin 10°cos 10°＝2(cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°)－3sin 10°cos 10°＝2cos 60°cos 10°＋2sin 60°sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.三、探究与创新13．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos αcos β－sin αsin β的值；(3)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由于T ＝2πω＝10π，所以ω＝15.(2)f (5α＋53π)＝2cos[15(5α＋53π)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α＝－65，所以sin α＝35.f (5β－56π)＝2cos[15(5β－56π)＋π6]＝2cos β＝1617，所以cos β＝817，由于α，β∈[0，π2]，所以cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517， 所以cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385. (3)f (x )＝2cos(x 5＋π6)，由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ，得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ，所以单调递增区间为[10k π－35π6，10k π－5π6](k ∈Z ).。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)一、基础达标1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 [答案] B[解析] 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－12.2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．0或－2425 [答案] C[解析] ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425.3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] D[解析] cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0. ∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋3 [答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2.5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的结果是________．[答案] cos α[解析] 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α. 7．求下列各式的值．(1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15°； (2)cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°；解 (1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15° ＝cos(90°＋15°)cos15°－sin(90°－15°)sin 15° ＝－sin 15°cos 15°－cos 15°sin 15° ＝－(sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°) ＝－sin(15°＋15°) ＝－sin 30°＝－12. (2)∵sin 15°＝sin(45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝6－24， cos 15°＝6＋24，∴cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝2262＝33. 二、能力提升8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365 B.3365 C ．－6365 D.6365 [答案] B[解析] 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45. 同理sin B ＝1213.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 9.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________.[答案] 2－3[解析] 原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝sin (45°－30°)cos (45°－30°)＝2－ 3.10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是________． [答案] 137[解析]⎩⎪⎨⎪⎧sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.所以sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角． (1)当α为第一象限角且β为第二象限角时， cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋53×154＝－2＋5312.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－53×154 ＝－2－5312＝－2＋5312.(2)当α为第二象限角且β为第三象限角时， ∵sin α＝23，cos β＝－14，∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝53－212 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212， sin(α－β)＝－53＋212. 三、探究与创新13．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β. ∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)一、基础过关1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7C ．－17D ．－7[答案] A2．已知tan (α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A.1318 B.1323C.723D.16[答案] C[解析] tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723.3．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4B.3π4C.5π4D.7π4[答案] C4．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 [答案] A[解析] ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13， ∴tan (A ＋B)＝52，∴tan C ＝－tan (A ＋B)＝－52， ∴C 为钝角．5.1＋tan 75°1－tan 75°＝________. [答案] － 36．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． [答案] 23[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 7．求值：(1－tan 59°)(1－tan 76°)．解 原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.二、能力提升8．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10°D .3tan 20°[答案] A[解析] 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°) ＝3×33＝1. 设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.[答案] －105[解析] 因为tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝12，所以tan θ＝－13， 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－ 11＋tan 2θ＝－31010，sin θ＝1－cos 2θ＝1010， 则sin θ＋cos θ＝1010－31010＝－105. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan (α＋β)＝________. [答案] 1[解析] ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan (α＋β)＝1. 11．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 证明 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C 2＝90°. ∴A ＋B 2＝90°－C 2. ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－C 2＝1tan C 2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B 2·tan C 2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫tan A 2＋tan B 2tan C 21－tan A 2tan B 2＝1， ∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B 2. 即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求：(1)tan (α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan (β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan (α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4. 三、探究与拓展是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解 若α＋2β＝23π，则α2＋β＝π3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又∵tan α2tan β＝2－3， ∴tan α2＋tan β＝3－3， ∴tan α2，tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根， ∴x 1＝1，x 2＝2－ 3.∵若tan α2＝1，但由于α是锐角，即0<α2<π4，故这是不可能的， ∴tan α2＝2－3，tan β＝1. ∵0<β<π2， ∴β＝π4，α＝2π3－2β＝π6， ∴存在这样的锐角α＝π6，β＝π4.。

3．1 和角公式知识点一：两角和与差的余弦1．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为 A.22 B.32 C ．－12 D ．－222．cos α＝55，则cos(α－π4)的值为 A.31010 B ．－1010 C.255 D.31010或－10103．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝__________.知识点二：两角和与差的正弦4．若M ＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°，则M 的值为 A.12 B.22 C.32D ．以上均错 5．(2010福建高考，理1)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于 A.12 B.33 C.22 D.32 6．已知3cosx －sinx ＝－65，则sin(π3－x)＝__________.7．在△ABC 中，若sinAcosB ＝1－cosAsinB ，则△ABC 一定是__________三角形．知识点三：两角和与差的正切8．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于A ．－3B ．－ 13C ．3 D.139．tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)的值为 A.33B ．1 C. 3 D. 6 10．已知cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，求tan(θ－π4)的值．能力点一：和角公式的基本应用11．(2010课标全国高考，文10)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)等于A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.21012．sin(65°－x)cos(x －20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为 A. 2 B.22 C.12 D.3213.1＋tan15°1－tan15°的值为 A. 3 B ．1 C.33 D.2214．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<π2，则f(x)的最大值为A ．1B ．2C.3＋1D.3＋215．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝__________. 16．已知α、β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．17．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．能力点二：和角公式的综合应用18．若a ，b 是非零实数，且asin π5＋bcosπ5acos π5－bsinπ5＝tan 8π15，则ba ＝__________.19．(2010全国高考Ⅰ，理14)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.20．在△ABC 中，若sinA ＝35，cos Β＝－513，则sinC ＝__________.21．已知函数f(x)＝－1＋2sin2x ＋mcos2x 的图象经过点A(0,1)，求此函数在[0，π2]上的最值．22.在△ABC 中，tanB ＋tanC ＋3tanBtanC ＝3，且3tanA ＋3tanB ＋1＝tanAtanB ，判断△ABC 的形状．23．(2010四川高考，理19)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cosB ＝35，求cosC.24．已知函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R )的最大值是1，其图象经过点M(π3，12)． (1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈(0，π2)，且f(α)＝35，f(β)＝1213，求f(α－β)的值．答案与解析基础巩固1．B2．D ∵cos α＝55， ∴sin α＝±1－cos 2α＝±255.∴cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(sin α＋cos α)＝31010或－1010.3.83 原式＝(sin 2α＋sin 2β＋2sin αsin β)＋(cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β)＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×13＝83.4．A5．A ∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.∴选A.6．－35 sin(π3－x)＝sin π3cosx －cos π3sinx ＝32cosx －12sinx ＝12×(－65)＝－35.7．直角 由条件得sinAcosB ＋cosAsinB ＝1， ∴sin(A＋B)＝1，故sinC ＝1. ∴C＝π2.8．D9．B ∵tan(10°＋20°)＝tan10°＋tan20°1－tan10°·tan20°，∴tan30°(1－tan10°tan20°)＝tan10°＋tan20°， 即33(1－tan10°tan20°)＝tan10°＋tan20°. ∴1－tan10°tan20°＝3(tan10°＋tan20°)，故原式＝1.10．解：∵cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－513.∴tan θ＝sin θcos θ＝512.∴tan(θ－π4)＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝512－11＋512＝－717.能力提升11．A sin(α＋π4)＝12(sin α＋cos α)＝12(－45－35)＝－7210.12．B 原式＝sin(65°－x)·sin[90°－(x －20°)]＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝sin(65°－x)·sin(110°－x)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝cos(110°－x －65°＋x)＝cos45°＝22. 13．A 原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.14．B f(x)＝cosx ＋3sinx ＝2×(12cosx ＋32sinx)＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x<π2，∴π6≤x＋π6<2π3.∴f(x)的最大值为2.15．0 由sin αcos β＝1知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，cos β＝－1.∴α＝2k 1π＋π2，β＝2k 2π或α＝2k 1π＋3π2，β＝2k 2π＋π(k 1，k 2∈Z )．∴α＋β＝2k π＋π2或(2k ＋1)π＋π2(k∈Z )．∴cos(α＋β)＝0.16．解：∵α、β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β.∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22. ∴α－β＝－π4.17．解：(1)∵a ⊥b ，则a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝±255，cos θ＝±55，又∵θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2.则cos(θ－φ)＝1－sin2θ－φ＝31010， ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝55×31010＋255×1010＝22. 18. 3 由asin π5＋bcosπ5acos π5－bsinπ5＝tan π5＋b a 1－b a tan π5，及tan 8π15＝tan(π5＋π3)＝tan π5＋tanπ31－tan π5tan π3，∴b a ＝tan π3＝ 3. 19．－17 ∵α为第三象限的角，∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k∈Z .∴2π＋4k π<2α<3π＋4k π，k∈Z . 又∵cos2α＝－35，∴2α为第二象限角． ∴sin2α＝1－－352＝45. ∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43.∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17.20.3365 ∵cosB＝－513，∴∠B 为钝角，且sinB ＝1－cos 2B ＝1213.又∵sinA＝35，∴cosA ＝1－sin 2A ＝45，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝3365.21．解：∵A(0,1)在函数的图象上，∴1＝－1＋2sin0＋mcos0， 解得m ＝2.∴f(x)＝－1＋2sin2x ＋2cos2x ＝2(sin2x ＋cos2x)－1 ＝22sin(2x ＋π4)－1.∵0≤x≤π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4.∴－22≤sin(2x＋π4)≤1. ∴－3≤f(x)≤22－1.∴函数f(x)在[0，π2]上的最大值为22－1，最小值为－3.22．解：由tanA ＝tan[π－(B ＋C)]＝－tan(B ＋C)＝tanB ＋tanC tanBtanC －1＝3－3tanBtanCtanBtanC －1＝－3，而0°<A<180°，∴A ＝120°.由tanC ＝tan[π－(A ＋B)]＝tanA ＋tanBtanAtanB －1＝tanA ＋tanB 3tanA ＋3tanB＝33， 而0°<C<180°，∴C＝30°.∴B＝30°. ∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形． 拓展探究23．解：(1)①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展开并整理，得2－2cos(α＋β) ＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos(π2－α)＝sin α，sin(π2－α)＝cos α.sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)＋(－β)]＝cos(π2－α)cos(－β)－sin(π2－α)sin(－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bcsinA ＝12.AB →·AC →＝bccosA ＝3>0. ∴A∈(0，π2)，cosA ＝3sinA.又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴sinA＝1010，cosA ＝31010. 由题意cosB ＝35，得sinB ＝45.∴cos(A＋B)＝cosAcosB －sinAsinB ＝1010. 故cosC ＝cos[π－(A ＋B)] ＝－cos(A ＋B)＝－1010. 24．解：(1)依题意有A ＝1， 则f(x)＝sin(x ＋φ)， 将点M(π3，12)代入得sin(π3＋φ)＝12，而0<φ<π，∴π3＋φ＝5π6.∴φ＝π2.故f(x)＝sin(x ＋π2)＝cosx. (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈(0，π2)，∴sin α＝1－352＝45， sin β＝1－12132＝513. ∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝5665.。

2015高中数学 3.1.1两角和与差的余弦公式课后反思新人教B版必修4教学反思两角差的余弦公式是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

之前我在新旧教材中都讲过这个内容，经过这次培训，我又对这一内容进行了设计，重新备课。

就之前与之后的教学，我进行了反思。

一、反思教学理念：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。

知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。

态度和情感价值观需要学生参与获得。

这样，课堂教学中，要重视学生的参与、体验过程。

但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。

教师通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃的学习氛围，才能使学生参与我们的教学中来。

二、反思教学过程：（一）创设问题情境：之前旧教材的教学，我们只关注公式的应用，而轻视公式的由来，这样符合公式的发生发展过程。

这次的教学设计我从如何解决一个实际问题出发，调动学生的思维与学习积极性，抓住学生的兴趣。

（二）两角差的余弦公式的探究过程：之前旧教材的教学是用两点间的距离公式来推导两角和的余弦，再赋值得到两角差的余弦公式，这一过程中对学生的思维训练不是很多。

而新教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。

对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。

我采用了新教材的思路。

(三)两角差的余弦公式的简单应用。

除了课本上的例题、习题，我补充了课堂练习、及课后作业，针对性较强。

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【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.1两角和与差的余弦课时作业 新人教B 版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12 C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y[答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365 [答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫35×513－45×1213＝3365.二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010， ∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得， sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得， cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析] cos47°＋sin 17°sin30°cos17°＝cos30°＋17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x >y C ．x <y D ．x ≥y [答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3sin π6sin π3 cos π6的值是________．[答案] 0 [解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos2α－30°＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834. 8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°， ∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos α－β2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。