2014届高考函数的概念试题

三角函数概念图像性质1、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为()2．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．3．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．4．[2014·辽宁卷] 将函数y＝3sin⎝⎛⎭⎫2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数A．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增5．[2014·全国卷] 设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则()A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b6、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．7．[2014·四川卷] 为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点(A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度8．[2014·安徽卷] 若将函数f(x)＝sin⎝⎛⎭⎫2x＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．9．[2014·北京卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．10．[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？11．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)13、[2014·山东卷] 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．14．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 15．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．17．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位三角函数概念图像性质答案1．C2．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.(2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.3．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 4．B 5．C 6．1 7．A 8.3π8 9．π10．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．11．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4， 故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，知cos θ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.12．C13．解：(1)由题意知，f (x )＝＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3， 即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z.14．B15．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z. 所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)， 所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ， 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.17．C。

函数的概念及表示方法测试题A 卷 基础在线一．填空题（本大题共10小题，每题5分） 1. 若函数2()2f x x x =-，则)3(f =________． 1.3 提示：2(3)3233f .2.函数422--=x x y 的定义域________．515050()2x t2.2x x提示：2402x x，故定义域为2x x .. ①29()3x f x x ，()3g x x ；②2()()f x x ，2()g x x ；③21()3f x x；242()3x g x xx；④2()()f x x ，()g x x .3.提示：①29()3,(3)3x f x x x x ，()3g x x 定义域为全体实数，两个函数定义域不同；②2()()(0)f x x x ，2(),g x x x xR ，两函数解析式不同；③21()()3f x x R x，24221()(0)33x g x xx x x 两函数定义域不同；④两函数解析式相同，定义域也相同故两函数为同一函数.4. 若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________． 4. [0,5] 提示：由题意可知204x ，则2015x ，故函数()f x 的定义域为[0,5].5. 下列图象中能表示函数y ＝()f x 的有 ．① ② ③ ④5.①④．提示：根据函数的定义可判断。

6.函数221,[1,3)y x x x =--∈-的值域为_______． 6. [2,2] 提示：该二次函数开口方向向上，对称轴为1x ，故函数的最小值为2，当1x时，函数有最大值为2，故函数的值域为[2,2].7.定义运算,,,,a ab abb ab 则对任意x R ，函数()1f x x 的解析式为 .7. 1,1(),1x f x x x提示：若1x ，则()1f x ；若1x ，则()f x x .8.若函数2()1f x x ，()2g x x，则[(2)]f g .8.17 提示：由题意(2)224g ，则2[(2)](4)4117f g f .9.若函数()f x 满足()()()f x f y f xy ，且(3)f a ，(2)f b ，则(36)f .9.22a b 提示：由题意知(6)(2)(3)f f f ab，则22(36)(6)(6)f f f ab ab a b .10.若(2),2()1,2f x x f x xx，则(0)f 的值为 .10.1 提示：由题意(0)(02)(2)211f f f .二．解答题（本大题共3小题）13.已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后以50千米/小时的速度返回A 地，求汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式. 13.解析：由题意当52t时，60x t ，当5722t时，则150x ，当71322t时，715050()325502xtt 。

2014年高考数学分类汇编集合与函数的概念一、选择题 1 ．（2013年高考（浙江文））设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= （ ） A ．{1,2,3,4,6} B ．{1,2,3,4,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2}2 ．（2013年高考（浙江理））设集合A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则A∩(C R B)=（ ） A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3) D ．(1,2) 3 ．（2013年高考（四川文））设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则A B =U（ ）A ．{}bB ．{,,}b c dC ．{,,}a c dD ．{,,,}a b c d4 ．（2013年高考（山东文））已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则()U A B U ð为 （ ） A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4}5 ．（2013年高考（辽宁文））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则()()U U C A C B ⋂=（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}6 ．（2013年高考（课标文））已知集合A={x|x 2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 （ ）A ．A ⊂≠BB ．B ⊂≠AC ．A=BD ．A∩B=∅7 ．（2013年高考（江西文））若全集U={x∈R|x 2≤4} A={x∈R||x+1|≤1}的补集CuA 为（ ） A ．|x∈R |0<x<2| B ．|x∈R |0≤x<2| C ．|x∈R |0<x≤2| D ．|x∈R |0≤x≤2| 8 ．（2013年高考（湖南文））设集合{}{}21,0,1,|M N x x x =-==,则M N ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}0 9．（2013年高考（湖北文））已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2013年高考（广东文））(集合)设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =,则U C M =（ ）A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U11．（2013年高考（福建文））已知集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-,下列结论成立的是（ ）A ．N M ⊆B ．M N M ⋃=C ．M N N ⋂=D ．{}2M N ⋂=13．（2013年高考（大纲文））已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形, {}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则（ ）A ．AB ⊆B ．C B ⊆C ．D C ⊆D ．A D ⊆13．（2013年高考（北京文））已知集合{}320A x R x =∈+>,{}(1)(3)0B x R x x =∈+->,则A B I =（ ） A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞ 14．（2013年高考（新课标理））已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3B ．6C ．8D ．1015 ．（2013年高考（陕西理））集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =I （ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]16 ．（2013年高考（山东理））已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U C A B U 为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,417 ．（2013年高考（辽宁理））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8}, 则)()(B C A C U U I 为（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}18 ．（2013年高考（湖南理））设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M∩N= （ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{-1,1}D ．{-1,0,0} 19 ．（2013年高考（广东理））(集合)设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4M =,则U C M =（ ）A ．UB ．{}1,3,5C ．{}3,5,6D ．{}2,4,620 ．（2013年高考（大纲理））已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m =（ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或321 ．（2013年高考（北京理））已知集合{}320A x R x =∈+>,{}(1)(3)0B x R x x =∈+->,则A B I =（ ） A ．(,1)-∞-B ．2(1,)3--C ．2(,3)3-D ．(3,)+∞22．（2013年高考（江西理））若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 23 ．（2013年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =24 ．（2013年高考（江西文））设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =（ ）A ．15B ．3C ．23D ．13925．（2013年高考（湖北文））已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为26．（2013年高考（福建文））设1,()0,1,f x ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩0(0)(0)x x x >=<,1,()0,g x ⎧⎪=⎨⎪⎩()(x x 为有理数为无理数),则(())f g π的值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．π27 ．（2013年高考（上海春））记函数()y f x =的反函数为1().y f x -=如果函数()y f x =的图像过点(1,0),那么函数1()1y f x -=+的图像过点 [答]（ ）A ．(0,0).B ．(0,2).C ．(1,1).D ．(2,0).28 ．（2013年高考（陕西理））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =二、填空题29．（2013年高考（天津文））集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位_________. 30．（2013年高考（上海文））若集合}012|{>-=x x A ,}1|{<=x x B ,则B A I =_________ .31．（2013年高考（天津理））已知集合={||+2|<3}A x R x ∈,集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n -I ,则=m __________,=n ___________.32．（2013年高考（四川理））设全集{,,,}U a b c d =,集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则=）（）（B C A C U U Y _______.33．（2013年高考（上海理））若集合}012|{>+=x x A ,}21|{<-=x x B ,则B A I =_________ .34．（2013年高考（上海春））已知集合[1,2,},{2,5}.A k B ==若{1,2,3,5},A B =U 则k =______.35．（2013年高考（江苏））已知集合{124}A =，，,{246}B =，，,则A B =U ____. 36．（2013年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________ 37．（2013年高考（浙江文））设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则3f 2（）=_______________.38．（2013年高考（广东文））(函数)函数y x=的定义域为__________. 39．（2013年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =40．（2013年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________. 41．（2013年高考（四川文））函数()f x =____________.(用区间表示)42．（2013年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .,则=-)1(g _______ .43．（2013年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a=____.44．（2013年高考（福建文））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_________.祥细答案一、选择题 1. 【答案】D【命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算. 【解析】Q Q{3,4,5},∴C U Q={1,2,6},∴ P∩(C U Q)={1,2}. 2. 【解析】A=(1,4),B=(-1,3),则A∩(C R B)=(3,4).【答案】B 3. [答案]D[解析]集合A 中包含a,b 两个元素,集合B 中包含b,c,d 三个元素,共有a,b,c,d 四个元素,所以}{d c b a B A 、、、=Y[点评]本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难度不大,重点是掌握好课本的基础知识.4. 解析:}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U Y .答案选C.5. 【答案】B【解析一】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ,所以)()(B C A C U U I {7,9}.故选B 【解析二】 集合)()(B C A C U U I 即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题.采用解析二能够更快地得到答案.6. 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系,是简单题.【解析】A=(-1,2),故B ⊂≠A,故选B.7. C 【解析】{|22}U x x =-≤≤,{|20}A x x =-≤≤,则{|02}U C A x x =<≤. 8. 【答案】B【解析】{}0,1N =Q M={-1,0,1} ∴M∩N={0,1}【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M∩N.9. D 【解析】求解一元二次方程,得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=,易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ,所以根据子集的定义,集合C 必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合{}3,4的子集个数,即有224=个.故选D.【点评】本题考查子集的概念,不等式,解一元二次方程.本题在求集合个数时,也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况,再数个数即可.来年要注意集合的交集运算,考查频度极高.10.解析:A.{}2,4,6U C M =. 11. 【答案】D【解析】显然,,A B C 错,D 正确【考点定位】考查集合包含关系与运算,属基础题. 13.答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念,集合的包含关系的运用.【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形,矩形是特殊的平行四边形,可知集合C 是最小的,集合A 是最大的,故选答案B. 13. 【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或,画出数轴易得{}|3A x x ⋂=>.【考点定位】本小题考查的是集合(交集)运算和一次和二次不等式的解法. 14. 【解析】选D 5,1,2,3,4x y ==,4,1,2,3x y ==,3,1,2x y ==,2,1x y ==共10个 15. 解析:{|lg 0}{|1}M x x x x =>=>,{|22}N x x =-≤≤,{12}M N x x I =<≤,故选C.16. 【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U Y ,选C. 17. 【答案】B【解析一】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ,所以)()(B C A C U U I 为{7,9}.故选B 【解析二】 集合)()(B C A C U U I 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题.采用解析二能够更快地得到答案.18. 【答案】B【解析】{}0,1N =Q M={-1,0,1} ∴M∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M∩N19. 解析:C.{}3,5,6U C M =.20. 答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念和集合的并集运算,集合的关系的运用,元素与集合的关系的综合运用,同时考查了分类讨论思想.【解析】【解析】因为A B A =Y ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ,则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A =Y .若m m =,解得0=m 或1=m .若0=m ,则}0,3,1{},0,3,1{==B A ,满足A B A =Y .若1=m ,}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立,综上0=m 或3=m ,选B. 21. 【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或,画出数轴易得{}|3A x x ⋂=>.【考点定位】本小题考查的是集合(交集)运算和一次和二次不等式的解法. 22. C 【解析】本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出x y +只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.【点评】集合有三种表示方法:列举法,图像法,解析式法.集合有三大特性:确定性,互异性,无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算,Venn 图的考查等.23. 解析:运用排除法,奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确. 24. 【答案】D【解析】考查分段函数,22213((3))()()1339f f f ==+=. 25. B 【解析】特殊值法:当2x =时,()()()22200y f x f f =--=--=-=,故可排除D项;当1x =时,()()()22111y f x f f =--=--=-=-,故可排除A,C 项;所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x 的对数型函数的图象的识别. 26. 【答案】B【解析】因为()0g π= 所以(())(0)0f g f π==. B 正确【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力. 27. B28. 解析:奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确.29. 【解析】3-不等式52≤-x ,即525≤-≤-x ,73≤≤-x ,所以集合}73{≤≤-=x x A ,所以最小的整数为3-.30. [解析] ),(21∞+=A ,)1,1(-=B ,A∩B=)1,(21. 31. 【答案】1-,1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质,同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)A B n -I ,画数轴可知=1m -,=1n .32. [答案]{a, c, d}[解析]∵d}{c,=）（A C U ;}{a B C U =）（ ∴=）（）（B C A C U U Y {a,c,d} [点评]本题难度较低,只要稍加注意就不会出现错误.33. [解析] ),(21∞+-=A ,)3,1(-=B ,A∩B=)3,(21-. 34. 335. 【答案】{}1,2,4,6.【考点】集合的概念和运算.【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6A B =U . 36. 【答案】4【解析】由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+--4a ⇒=.【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立. 37. 【答案】32 【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=. 38.解析:[)()1,00,-+∞U .由100x x +≥⎧⎨≠⎩解得函数的定义域为[)()1,00,-+∞U .39. 【解析】6- 由对称性:362aa -=⇔=- 40. 【解析】函数1)1)(1(112-+-=--=x x x x x y ,当1>x 时,11112+=+=--=x x x x y ,当1<x时,⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=1,111,11112x x x x x x x y ,综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，,做出函数的图象,要使函数y 与kx y =有两个不同的交点,则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ,k 满足21<<k ,当经过蓝色区域时,k 满足10<<k ,综上实数的取值范围是10<<k 或21<<k .41. [答案](21-，∞)[解析]由分母部分的1-2x>0,得到x∈(21-，∞).[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义. 42. [解析] )(x f y =是奇函数,则)1()1(f f -=-,44)1()1()1()1(=+-+=-+f f g g ,所以3)1(4)1(=-=-g g . 43.答案:14 解析:当1a >时,有214,a a m -==,此时12,2a m ==,此时()g x =,不合题意.若01a <<,则124,a a m -==,故11,416a m ==,检验知符合题意.另解:由函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数可知41,041<>-m m ; 当1>a 时()x f x a =在[-1,2]上的最大值为=2a 4,解得2=a ,最小值为211==-a m 不符合题意,舍去;当10<<a 时,()x f x a =在[-1,2]上的最大值为41=-a ,解得41=a ,此时最小值为411612<==a m ,符合题意, 故a=41.44. 【答案】(0,8)【解析】因为 不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a <<【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法,解法的三种情况的理解和把握是根本.。

数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sinx ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。

【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：函数的概念与基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)1.(2013年辽宁五校协作体高三第二次模拟，12,5分) 已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.2.（2013年四川成都高新区高三4月模拟，10,5分）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是()A． B. C. D.3.(2013年山东省高三4月巩固性练习，12,5分) 已知函数若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为() A．B．C．D．4.(2013年山东省高三4月巩固性练习，11,5分) 函数的图象大致为()A. B. C. D.5.(2013年东北三校高三第二次联合考试，12,5分) 当时，函数的图象大致是()6.(2013年湖北七市高三4月联合考试，8,5分) 定义：函数的定义域为D, 如果对于任意的，存在唯一的，使得(其中c为常数）成立，则称函数在D上的几何均值为c，则下列函数在其定义域上的“几何均值” 可以为2的是()A. B.C. (e为自然对数的底）D.7.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，10,5分）将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是（）A． B. C. D.8.(2013山东青岛高三三月质量检测，12,5分) 定义区间，，，的长度均为. 用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时，有()A．B．C．D．9.(2013山东青岛高三三月质量检测，11,5分) 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若，则()A．B．C．D．10.(2013天津市滨海新区五所重点学校高三联考，8,5分) 已知函数，若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围是()或或11.(2013吉林省普通中学一月期末，11,5分)已知是定义在上的奇函数，当时的图像如图，那么不等式的解集是()A．B．C．D．12.(2013福建厦门一月质量检测，10,5分)函数满足：（i）x∈R，，（ii）x∈[-1，1]，．给出如下四个结论：①函数在区间[1，2]单调递减；②函数在点（）处的切线方程为4x +4y－5 =0；③若数列满足，则其前n项和；④若有实根，则a的取值范围是0≤a≤1．其中正确结论的个数是A．l B．2C．3D．4 13. (2013山东省济宁市一月期末，12,5分)已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是（）A. B. C. D.14.（2012山东省规范化学校高三11月月考，12,5分）已知函数的定义域为实数集R，满足（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且，则的值域为（）A. B.{1} C. D.15.（2012山东省规范化学校高三11月月考，11,5分）已知则下列函数的图象错误的是（）16. (2012北京市海淀区高三11月月考，8,5分)已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列3个集合：①②③其中所有“好集合”的序号是A．①②B．②③C．③D．①②③17.(2012北京市东城区普通校高三11月联考，8,5分)某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（）年后需要更新设备.A. 10B. 11C. 13D. 2118.(2012江西省临川一中，师大附中高三联考，10,5分)设函数是定义在R上以为周期的函数，若在区间上的值域为，则函数在上的值域为（）A． B. C. D.19.(2012浙江绍兴一中高三十月月考，10,3分)设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是( )A． B. C. D.20. (2012广东省海珠区高三综合测试，10,5分)已知函数对任意的,都存在,使得则实数的取值范围是( )21. (2012山东日照高三第二次段考，12，5分)已知函数是定义域为的偶函数，且上是增函数，那么上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数22. (2012山西大学附中十月月考，11,5分)已知函数在处有极值，则等于()A.11或18B.11C.18D.17或1823. （2012山东省济南市第二次模拟，12,5分）下列命题：①函数,的最小值为2；②线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点(,),(,),…,(,)中的一个点；③命题p:x R，使得，则p:x R，均有x2+x+1≥0；④若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5，…，x10+5的平均数为a+5,方差为b+25.其中，错误命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 324. （2012山东省济南市第二次模拟，11,5分）设函数与函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()25. （2012山东省济南市第二次模拟，9,5分）已知函数,若是的零点，且0＜t＜,则()A. 恒小于0B. 恒大于0C. 等于0D. 不大于026.（2012武汉市毕业生4月调研，8,5分）设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、y、z满足x＋y＋z＝0（x2＋y2＋z2≠0），则“xyz＝0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件27. (2012北京西城区第二次模拟，7,5分)某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S．则S最小时，电梯所停的楼层是（）A.7层B.8层C.9层D.10层28. (2012北京海淀区期末卷，8,5分)点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：①；②的面积为定值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是() （A）1（B）2（C）3（D）029.（2013高考仿真卷五, 12, 5分）已知函数f(x) =g(x) =kx, 若函数h(x) =f(x) -g(x) 有3个不同的零点, 则实数k的取值范围是()A. (-∞, 0)B. [2, +∞)C. (0, +∞)D. (2, +∞)30. （2013高考仿真卷四, 12, 5分）已知函数f(x) =|log3(x-1) |-有两个零点x1, x2, 则()A. x1x2<1B. x1x2>x1+x2C. x1x2=x1+ax2D. x1x21+x231.（2013高考仿真卷三, 12, 5分）关于x的方程(x2-4) 2-4|x2-4|+k=0, 给出下列四个命题:①存在实数k, 使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k, 使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k, 使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k, 使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 332.（2012河南高三模拟, 12, 5分）已知函数f(x) =若互不相等的实数a, b, c满足f(a) =f(b) =f(c) , 则a+b+c的取值范围是()A. (-∞, 2+B. (-∞, 1+C. (1, 2)D. (2, +∞)33.（2012哈尔滨高三三模, 12, 5分）已知函数f(x) =则下列关于函数y=f[f(x) ]+1的零点个数的判断正确的是()A. 当k>0时, 有3个零点; 当k≤0时, 有2个零点B. 当k>0时, 有4个零点; 当k≤0时, 有1个零点C. 无论k为何值, 均有2个零点D. 无论k为何值, 均有4个零点34.（2012山西高三模拟, 12, 5分）已知定义在R上的函数f(x) 满足: f(x) =且f(x+2) =f(x) , g(x)=, 则方程f(x) =g(x) 在区间[-5, 1]上的所有实根之和为()A. -5B. -6C. -7D. -835.(2012江西, 10, 5分) 如图, |OA|=2(单位: m) , |OB|=1(单位: m) , OA与OB的夹角为, 以A为圆心, AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C. 甲、乙两质点同时从点O出发, 甲先以速率1(单位: m/s) 沿线段OB行至点B, 再以速率3(单位: m/s) 沿圆弧行至点C后停止; 乙以速率2(单位: m/s) 沿线段OA行至点A后停止. 设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t) (S(0) =0) , 则函数y=S(t) 的图象大致是()36.(2012山东, 12, 5分) 设函数f(x) =, g(x) =-x2+bx, 若y=f(x) 的图象与y=g(x) 的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1, y1) , B(x2, y2) , 则下列判断正确的是()A. x1+x2>0, y1+y2>0B. x1+x2>0, y1+y2<0C. x1+x2<0, y1+y2>0D. x1+x2<0, y1+y2<037. (2011山东, 10, 5分)函数y=-2sin x的图象大致是()38.(2011浙江, 10, 5分)设函数f(x)=ax2+bx+c(a, b, c∈R). 若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点, 则下列图象不可能为y=f(x)的图象是()39. (2011课标, 12, 5分)已知函数y=f(x)的周期为2, 当x∈[-1, 1]时f(x)=x2, 那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有()A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个40.(2009江西, 11, 5分)如图所示, 一质点P(x, y)在xOy平面上沿曲线运动, 速度大小不变, 其在x轴上的投影点Q(x, 0)的运动速度V=V(t)的图象大致为()41.(2011江西, 10, 5分)如图, 一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方, 其“底端”落在原点O处, 一顶点及中心M在Y轴正半轴上, 它的外围由以正三角形的顶点为圆心, 以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进, 在滚动过程中, “凸轮”每时每刻都有一个“最高点”, 其中心也在不断移动位置, 则在“凸轮”滚动一周的过程中, 将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置, 应大致为()42.(2011广东, 10, 5分)设f(x), g(x), h(x)是R上的任意实值函数. 如下定义两个函数(f。

2014年全国高考数学试题及答案word版一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，且f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(0)的值为：A. 2B. 3C. -1D. 12. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，a4 = 4，则S5的值为：A. 15B. 10C. 5D. 33. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部为：A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i4. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f(x)在区间(1,2)内有极值，则该极值点为：A. 1B. 2D. 1/25. 若直线l：y = kx + b与圆C：x^2 + y^2 = 1相交于两点A、B，且|AB| = √2，则k的取值范围为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. [-1, 1]C. (-1, 1)D. [0, 1]6. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[0,3]上单调递增，则f(x)的最大值为：A. 0B. 3C. 9D. 127. 若向量a = (1, 2)，b = (2, 1)，则向量a与向量b的数量积为：A. 3B. 4C. 5D. 68. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 1B. -1C. √2D. -√29. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(x)在区间(0,1)内有极值，则该极值点为：B. 1C. 2/3D. 1/210. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1，则z的虚部为：A. 0B. 1C. -1D. √3/211. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，q = 2，则S4的值为：A. 30B. 16C. 8D. 412. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[1,3]上单调递减，则f(x)的最小值为：A. 0B. 3C. -1D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

目录专题21 函数及其表示 ............................................................................................................................................ 1 专题22 函数的定义域与值域 ................................................................................................................................ 1 专题23 函数的单调性与最值 ................................................................................................................................ 2 专题24 函数的奇偶性与周期性 ............................................................................................................................ 2 专题25 二次函数与幂函数 .................................................................................................................................... 3 专题26 对数与对数函数 ........................................................................................................................................ 3 专题27 函数的图象 ................................................................................................................................................ 4 专题28 函数与方程 ................................................................................................................................................ 4 专题29 分段函数 .................................................................................................................................................... 5 专题210 新定义函数 .............................................................................................................................................. 6 参考答案 (6)专题21 函数及其表示1【2014高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B 23 C 0 D 21- 2【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）A 1B 2C 3D -1专题22 函数的定义域与值域3【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A )1,0(B ]1,0[C ),1()0,(+∞-∞D ),1[]0,(+∞-∞ 4【2014山东高考理第3题】函数的定义域为（ ）A B C D1)(log 1)(22-=x x f )21,0(),2(+∞),2()21,0(+∞ ),2[]21,0(+∞专题23 函数的单调性与最值5【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+ “高中数学师生群”QQ 群号码：341383390，欢迎各位在读高中学生加入，欢迎各位一线高中数学教师加入“高中数学教师俱乐部”QQ 群号码：44359573，欢迎各位一线高中数学教师加入注：该群为教师群，拒绝学生申请6【2014高考福建卷第4题】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）ABCD7【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =为助力学生学习，特为学生提供打印纸质文档服务，A4纸每页01元，可提供“百度文库”或“中学学科网”下载后打印服务，可包邮。

2014全国甲卷数学函数分析题及答案解析在中国的高考考试中，数学一直都是学生们较为重视的科目之一。

其中，函数分析题是数学中的一个重要部分，需要学生们掌握函数的性质和运算规则等知识。

本文将针对2014年全国甲卷数学函数分析题进行解析，帮助学生们更好地理解和掌握这一部分内容。

1. 题目分析1.1 题目一已知函数f(x)在区间[-2,2]上的导数f'(x)满足f'(x)>0，且f(0)=1，求f(x)>0的解的个数。

解析：根据题目中已知条件，函数f(x)在区间[-2,2]上是单调递增的。

又因为f(0)=1，所以函数的图像将经过点(0,1)。

由此可得，函数f(x)>0的解的个数为无穷。

1.2 题目二已知函数f(x)在开区间(0,+∞)上满足f'(x)=f(x+1)-f(x)-1，且f(0)=0，求极限lim(n->∞) f(1)+f(2)+...+f(n)/n的值。

解析：根据题目中已知条件，设g(x)=f(x+1)-f(x)，则原式可以转化为lim(n->∞) g(0)+g(1)+...+g(n-1)/n的值。

由于g(x)=f(x+1)-f(x)-1，所以g(x)+1= f(x+1)-f(x)。

又因为g(x)=f(x+1)-f(x)，所以g(n-1)+1= f(n)-f(n-1)。

将上述两式相加，可得g(0)+g(1)+...+g(n-1)+n = f(n)-f(0)。

因此，原式等于lim(n->∞) (f(n)-f(0))/n，即等于f'(∞)-f(0)，由于题目中没有给出f'(∞)的具体值，所以无法求出原式的具体值。

2. 解答2.1 题目一解答根据题目中已知条件，函数f(x)在区间[-2,2]上是单调递增的。

又因为f(0)=1，所以函数的图像将经过点(0,1)。

由此可得，函数f(x)>0的解的个数为无穷。

因为函数是单调递增的，所以对于任意的正数c，总存在一个解x使得f(x)=c。

1.请将下面的诗歌补写完整。

（10分）①参差荇菜，左右采之。

窈窕淑女，。

（《诗经·关雎》）②天时不如地利，。

（《得道多助，失道寡助》孟子）③__________，风多杂鼓声。

（《从军行》杨炯）④永结无情游，。

（《月下独酌》李白）⑤锦江春色来天地，。

（《登楼》杜甫）⑥过尽千帆皆不是，。

（《望江南》温庭筠）⑦__________，欲语泪先流。

（《武陵春》李清照）⑧，五十弦翻塞外声。

（《破阵子》辛弃疾）⑨簌簌衣巾落枣花，。

（《浣溪沙》苏轼）⑩臣本布衣，__________，苟全性命于乱世。

（《出师表》诸葛亮）2.补写出下列文学常识或名篇名句中的空缺部分。

（10分）①俄国作家契诃夫是世界三大短篇小说巨匠之一，他在小说《变色龙》中塑造的这一形象已成为见风使舵的小人的代名词。

②《威尼斯商人》的作者是英国文艺复兴时期著名的剧作家、诗人。

③故天将降大任于是人也，必先若其心志，劳其筋骨，饿其体肤，__________，__________，所以动心忍性，曾益其所不能。

④花间一壶酒，。

（《月下独酌》李白）⑤参差荇菜，左右采之。

窈窕淑女，。

(《诗经》)⑥锦江春色来天地，。

（《登楼》杜甫）⑦云横秦岭家何在？。

（《左迁至蓝关示侄孙湘》韩愈）⑧共看明月应垂泪，。

（《望月有感》白居易）⑨黑云压城城欲摧，。

（《雁门太守行》李贺）3.按课文内容填空。

（每空1分，共12分）1、《体育颂》的作者是________，由于他对奥林匹克运动作出的伟大贡献，因此被誉为“__________________”。

2、__________这篇课文告诉人们：不切实际的照搬照抄，效果一定会适得其反。

3、九曲黄河万里沙，________________。

这句诗出自____代__________写的____________。

4、君不见，__________________ ，_________________________。

5、羌笛何须怨杨柳，__________________ 。

2014年各省高考函数试题1．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( A )A.12B.32 C ．0 D ．－122．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( A ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)3、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是(D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 4．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( C ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)5．，[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为(C )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)6．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝____1____． 7．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 8．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( C )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是_______(-1,3)_．10．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是____]2,(-∞____．11．、、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( B )图1-1A BC D 图1-2 12．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－113．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则(C )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 14．，[2014·山东卷] 设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( C ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 15．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( D )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C. sin x ＞sin yD. x 3＞y 3 16．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( D+ ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x17．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝__10______．18．、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____50____．19．[2014·天津卷] 函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( D)A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 20．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( D )A BC D 图1-2 图1-2 21．[2014·重庆卷] 函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为_____41-___．22．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( B )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 23．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( B )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞)24．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝⎛⎭⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎫－e ，1e 25．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__()()+∞⋃,91,0______．26．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( C )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9 30．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1 27．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( A )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x28．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b的算术平均数．(1)当f (x )＝_X _______(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝x______(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 33．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( B ) A.12 B.14 C.12π D.1829．[2014·浙江卷] 设函数f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2(x －x 2)，f 3(x )＝13|sin 2πx |，a i ＝i99，i ＝0，1，2，…，99.记I k ＝|f k (a 1)－f k (a 0)|＋|f k (a 2)－f k (a 1)|＋…＋|f k (a 99)－f k (a 98)|，k ＝1，2，3，则( B )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 2<I 1<I 3C ．I 1<I 3<I 2D ．I 3<I 2<I 130．[2014·浙江卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2， x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是_(]2,-∞_______． 31．[2014·黄冈中学期末] 已知f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝log 12(1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－20114＝( D ) A ．－2 B.12C ．1D ．232．[2014·青岛期中] 若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则a 的取值范围是(B )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－133．[2014·成都检测] 定义在R 上的函数y ＝f (x )，f (0)≠0，当x ＞0时，f (x )＞1，且对任意的a ，b ∈R ，有f (a ＋b )＝f (a )f (b )．(1)求证：f (0)＝1；(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x )＞0； (3)若f (x )f (2x －x 2)＞1，求x 的取值范围．()3,0。