平方数问题

小学生数学习题练习平方与立方的计算题数学习题练习：平方与立方的计算问题一：计算下列各数的平方和立方：1) 2的平方是多少？立方是多少？2) 5的平方是多少？立方是多少？3) π（圆周率，约等于3.14）的平方是多少？立方是多少？4) 10的平方是多少？立方是多少？答案及解析：1) 2的平方等于4，2的立方等于8。

2) 5的平方等于25，5的立方等于125。

3) π的平方约等于9.86，π的立方约等于31.01。

4) 10的平方等于100，10的立方等于1000。

问题二：计算下列各数的平方和立方：1) 3的平方是多少？立方是多少？2) 6的平方是多少？立方是多少？3) 2.5的平方是多少？立方是多少？4) 7的平方是多少？立方是多少？答案及解析：1) 3的平方等于9，3的立方等于27。

2) 6的平方等于36，6的立方等于216。

3) 2.5的平方等于6.25，2.5的立方等于15.625。

4) 7的平方等于49，7的立方等于343。

问题三：计算下列各数的平方和立方：1) 4的平方是多少？立方是多少？2) 8的平方是多少？立方是多少？3) 1.5的平方是多少？立方是多少？4) 9的平方是多少？立方是多少？答案及解析：1) 4的平方等于16，4的立方等于64。

2) 8的平方等于64，8的立方等于512。

3) 1.5的平方等于2.25，1.5的立方等于3.375。

4) 9的平方等于81，9的立方等于729。

问题四：计算下列各数的平方和立方：1) 1的平方是多少？立方是多少？2) 0的平方是多少？立方是多少？3) 10.2的平方是多少？立方是多少？4) 4的平方是多少？立方是多少？答案及解析：1) 1的平方等于1，1的立方等于1。

2) 0的平方等于0，0的立方等于0。

3) 10.2的平方约等于104.04，10.2的立方约等于1061.208。

4) 4的平方等于16，4的立方等于64。

通过以上习题的练习，我们可以巩固对平方与立方计算的理解，加深对数字的把握。

平方数和平方根的运算规则平方数和平方根是数学中重要的概念，它们之间有着一系列的运算规则。

本文将介绍平方数和平方根的定义，并详细解释它们之间的运算规则。

一、平方数的定义平方数是指一个数与自身相乘得到的结果。

例如，4是一个平方数，因为4乘以4等于16。

平方数的特点是它们的非负平方根是有理数。

二、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的非负数。

例如，16的平方根是4，因为4的平方等于16。

三、1. 两个平方数相乘的结果仍然是一个平方数。

例如，2乘以2得到4，两个平方数相乘得到的结果是另一个平方数。

2. 平方数的乘法有交换律。

即，a乘以b等于b乘以a。

例如，2乘以3等于3乘以2。

3. 平方数的乘法有结合律。

即，(a乘以b)乘以c等于a乘以(b乘以c)。

例如，(2乘以3)乘以4等于2乘以(3乘以4)。

4. 平方根的乘法等于平方根的积。

即，√(a乘以b)等于√a乘以√b。

例如，√(2乘以3)等于√2乘以√3。

5. 平方数的除法等于平方根的商。

即，a除以b等于√a除以√b。

例如，4除以2等于√4除以√2。

6. 平方数的乘方等于平方根的乘方。

即，(√a)的平方等于a。

例如，(√4)的平方等于4。

7. 平方根的乘方等于平方数。

即，(√a)的平方等于a。

例如，(√2)的平方等于2。

这些运算规则是数学中对平方数和平方根运算的重要准则，能够帮助我们在计算中快速而准确地处理与平方数和平方根相关的问题。

总结：平方数是一个数与自身相乘得到的结果，其非负平方根是有理数。

而平方根是一个数的平方等于该数的非负数。

平方数和平方根之间存在一系列的运算规则，包括两个平方数的乘积仍为平方数、平方数的乘法有交换律和结合律、平方根的乘法等于平方根的积、平方数的除法等于平方根的商，以及平方数和平方根的乘方规则等。

这些运算规则为我们处理平方数和平方根相关问题提供了指导。

通过学习和掌握平方数和平方根的运算规则，我们能够更加灵活地运用它们，解决数学问题和实际生活中的计算需求。

完全平方数和平方根的计算完全平方数，即一个数的平方等于另一个整数的情况。

例如，4是完全平方数，因为2的平方等于4。

平方根，则是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。

例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。

在日常生活和数学中，计算完全平方数和平方根的值非常常见。

本文将介绍一些常见的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、计算完全平方数的方法1. 直接计算法：通过对给定的数进行平方运算，判断结果是否是另一个整数。

例如，判断16是否是完全平方数，我们可以计算4²=16，所以16是完全平方数。

2. 累加法：这是一种更为高效的判断方法。

我们可以从1开始，每次将该数加上连续的奇数（即1、3、5...），并判断累加的结果是否等于给定的数。

如果等于，则该数是完全平方数；如果超过给定的数，则不是完全平方数。

例如，判断36是否是完全平方数，我们可以进行如下计算：1 + 3 = 4 (不等于36)4 +5 = 9 (不等于36)9 + 7 = 16 (不等于36)16 + 9 = 25 (不等于36)25 + 11 = 36 (等于36)因此，36是完全平方数。

3. 公式法：对于一个数n，如果它是完全平方数，那么它可以表示为一个整数x的平方，即n = x²。

我们可以通过求平方根的方法得到x 的值，从而判断是否是完全平方数。

例如，判断100是否是完全平方数，我们可以计算√100 = 10，因此100是完全平方数。

二、计算平方根的方法1. 试探法：通过尝试不同的数值来逼近给定数的平方根。

例如，为了计算√16，我们可以从1开始尝试，直到找到一个数x，使得x²≈16。

可以发现4²=16，因此√16 = 4。

2. 牛顿迭代法：这是一种更为精确的计算平方根的方法。

首先，我们猜测一个初始的平方根近似值x₀，然后通过不断迭代计算来逼近实际的平方根值。

具体步骤如下：a) 计算 x₁ = (x₀ + n / x₀) / 2b) 重复上述计算直到 xₙ 与 xₙ₋₁的差值足够小（通常小于给定的精度要求）例如，我们要计算√16，可以选择一个初始值x₀=4，然后进行如下迭代计算：x₁ = (4 + 16 / 4) / 2 = 6x₂ = (6 + 16 / 6) / 2 = 4.6667x₃ = (4.6667 + 16 / 4.6667) / 2 ≈ 4.5826...迭代若干次后，当计算结果足够接近实际平方根值时，我们可以得到近似的平方根。

1 趣味平方数探秘如果规定1×1=12，2×2=22，3×3=32，…………我们就称12，22，32，……分别是1的平方，2的平方，3的平方，…….关于数的平方有许多很有趣的规律.在这里，我们一起来研究两组算式，看都有怎样的规律.（1）这是一组有趣的算式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，1+2+3+4+3+2+1=42，…………想一想，再往下写，会是怎样的算式？你还能接着往下写吗？（2）下面有一组竖式：…………如果把它们改写成横式就是：12=1，112=121，1112=12321，…………想一想，下一个算式该怎样写呢？像这样的算式还能写几个？【规律】1+2+3+4+5+4+3+2+1=52，1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=62，一般地，有1+2+3+……+n+……+3+2+1=n2（其中字母n代表任意的自然数）.11112=1234321.像这样的算式还能继续写上五个：111112=123454321，1111112=12345654321，11111112=1234567654321，111111112=123456787654321，1111111112=12345678987654321.2 两个自然数游戏不必计算，就能说出算式6759×78437843-7843×67596759的得数来.你有这个本领吗？其实这并不困难，只要你认真研究了下面的这几组算式的结果就可以了.请先观察算式的特点，再算出算式的得数.（1）1×22-2×11 2×33-3×22 3×44-4×33 …………（2）11×2222-22×1111 12×3434-34×1212 56×7878-78×5656 …………第1页（3）222×333333-333×222222 124×234234-234×123123 …………（4）1234×56785678-5678×12341234 …………这些算式的答案如何？它们当中的奥秘是什么？【规律】这些算式的答案都是0.由两自然数连续写上两遍所得的数，那么这些算式及它们的得数都有下面的规律：因此，就有6759×78437843-7843×67596759=0.【练习】1.速算下列各题.（1）（1993×19941994-1994×19931993）÷1995（2）1×22+2×33+3×44+……+98×9999-2×11-3×22-4×33-……-99×9898（3）2345×67896789-6789×234523452.研究下列各题.（1）25×484848-48×252525（2）25×48484848-48×252525253 三个等距自然数如果今年是1994年，那么与今年相差1年的年份应该是1993年和1995年；与今年相差2年的年份是1992年和1996年；与今年相差3年的年份是1991年和1997年…….我们就称1993和1995是1994的一组等距数，1是它们的等距；1992和1996也是1994的一组等距数，2是它们的等距；1991和1997也是1994的一组等距数，3是它们的等距…….关于等距数有许多十分有趣的规律.如，任何一个数的2倍等于它的一对等距数的和.像1994这个数就有：1994×2=1993+1995；1994×2=1992+1996；1994×2=1991+1997；…………现在我们有这样一个猜想：与一个数等距的两个数的乘积会等于这个数自乘的积（即这个数的平方）吗？就拿上面的1994这个数来说，1994的平方会等于1993和1995的乘积吗？还会等于1992和1996的乘积或1991和1997的乘积吗？如果不相等，那么会相差多少呢？相差的数是不是有规律？请你先考察完下面的例子后再作结论.为了减少计算上的麻烦，我们在例子里都选用较小的数.第2页（1）等距是1.2×2-1×3=（）3×3-2×4=（）4×4-3×5=（）5×5-4×6=（）…………（2）等距是2.3×3-1×5=（）4×4-2×6=（）5×5-3×7=（）6×6-4×8=（）…………（3）等距是3.4×4-1×7=（）5×5-2×8=（）6×6-3×9=（）7×7-4×10=（）…………（4）假设等距用a表示，那么一个数的一对等距数的乘积与这个数自乘的积相差多少呢？请你用含有a的式子表示出来.会吗？【规律】一个数（用字母b表示）的一对等距数（可用b+a和b-a表示）的乘积与这个数自乘的积不相等.它们相差等距a的平方.用式子表示就是b2-（b+a）×（b-a）=a2.【练习】请直接写出下列各题的得数.（1）19942-1993×1995（2）19942-1992×1996（3）19942-1991×1997（4）1+（22-1×3）+（32-2×4）+（42-3×5）+……+（19942-1993×1995）（5）（152-10×20）+（252-20×30）+（352-30×40）+……+（952-90×100）4 分数性质的推论分数的基本性质是：如果分数的分子和分母都乘以或者都除以相同的数（零除外），那么分数的大小不变.而有人还希望下面的说法也是正确的：分数的分子和分母都加上或者减去相同的数，分数的大小不变.这实际上是错误的.但为了满足这些人的愿望，我们只要将上面的说法稍加修正就能得到一条正确的规律.怎样修正呢？读者朋友，分数的分子和分母要同时加上或减去什么样的数，分数的大小才会不变呢？【规律】分数的分子和分母同时各自加上或减去原来的相同倍数（减去时，这个倍数小于1），分数的大小不变.用字母表示出这条规律就是很明显，这条规律可由分数的基本性质直接导出：因此，我们这条规律是分数基本性质的推论.第3页5 探讨组数的规律用几个不同的数字可以组成多少个不同的若干位数（在同一个数中不能重复使用同一个数字）.这是我们本节需要研究的问题.让我们先来考察一个例子.用1～9九个不同的数字，可以组成多少个各位数字不同的两位数？因为1～9九个数字选作两位数的个位和十位都有可能，因此，我们按照一定的顺序来考察实际组数的情况.假如，我们先在十位上选取1～9中的某个数字，比如1吧，那么，以1作十位数的两位数，它的个位数字就只有其余9-1=8（个）数字（2、3、4、5、6、7、8、9）可供选择，这样的两位数就有8个.而十位上的数字是有九个数字可供选择的，因此，总共就可以得到9×8=72（个）各位数字不同的两位数.这72个两位数就是：值得我们思考的是，如果我们只用1～9这些数字中的某八个数字、七个数字、六个数字、……，那么，分别可以组成多少个各位数字不同的两位数？按上面的做法，用八个不同数字组成两位数，先选十位上的数字有八种可能的方法，接着选个位上的数字还有七种可能的方法（也可以先选个位上的数字，再选十位上的数字），因此，共可以组成8×7=56（个）不同的两位数.同理，用七个不同的数字就可以组成7×6=42（个）各位数字不同的两位数.下面的情形不必由我写出，读者可能也推想到了.那么，我希望用下面的符号记录出上面的各种情形：用m个不同的数字，可以组成多少个各位数字不同的两位数？请读者写出答案.再来考察一个例子.用1～9九个数字，可以组成多少个各位数字不同的三位数？九个数字选作三位数的各位数字都有可能.假如，百位上选数字1，十位选数字2，个位上就还有除1、2以外的其余9-2=7（个）数字可以选择，就可得7个三位数.图示如下页。

平方与开方的计算与应用知识点总结平方和开方是数学中常见且重要的计算方法，它们有广泛的应用。

本文将总结平方与开方的计算方法以及在实际问题中的应用知识点。

一、平方的计算方法平方是指一个数自乘的结果。

计算一个数的平方可以使用以下方法：1.整数的平方：将整数乘以自身，即可得到其平方。

例如，3的平方等于3×3=9。

2.小数的平方：小数的平方计算类似于整数，将小数乘以自身即可。

例如，0.5的平方等于0.5×0.5=0.25。

3.负数的平方：负数的平方是正数，计算方法与正数相同，只是结果为正数。

例如，-4的平方等于4×4=16。

二、开方的计算方法开方是指求平方根的过程，即求一个数的平方根。

开方可以使用以下方法进行计算：1.整数的开方：较为简单，直接对该整数进行开方即可。

例如，√9=3。

2.小数的开方：小数的开方计算类似于整数。

例如，√0.25=0.5。

3.负数的开方：一般情况下，负数的开方在实数范围内没有实数解。

在复数领域，负数的开方可以表示为虚数形式。

例如，√-4=2i，其中i为虚数单位。

三、平方与开方的应用知识点平方与开方广泛应用于各个领域，以下是一些常见的应用知识点：1.几何学中的应用：平方与开方在计算各种几何图形的面积、边长和对角线等方面起着重要的作用。

例如，求正方形的面积就需要进行边长的平方运算。

2.物理学中的应用：平方与开方在物理学中经常被用于表示某种物理量的平方关系或反比关系。

例如，功率与电流的关系就可以表示为P=I²R，其中P为功率，I为电流，R为电阻。

3.统计学中的应用：平方与开方在统计学中常用于计算方差和标准差等统计指标。

方差是各个数据与平均值的差的平方的平均值，标准差是方差的平方根。

4.工程学中的应用：平方与开方在工程学中用于计算功率、能量、电压等。

例如，电压的平方与电阻之间的比值等于功率。

5.金融学中的应用：平方与开方在金融学中常用于计算波动率和风险等指标。

完全平方数平方数有以下性质与结论：1) 平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；2) 偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；3) 完全平方数被3整除，余数为0或者1.4) 完全平方数被5整除，余数为0，1或者45) 奇数平方的十位数字是偶数；6) 十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；7) 平方数的约数的个数为奇数；8) 设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂.b a ,b a ,b a ,k 2≥k k 【例题】1. 设，这里，当k 在1至100之间取正整数时，有多少个不同的k ，使得S 是个正整数的平方？!43S n k =++3n ≥2. 设n 是一个正整数，且12是一个完全平方数，求n 的值．3n ×××+"2513n n ++是一个完全平方数，求n 的值．3. 正整数n 使得4. 求正整数n 使得是完全平方数.811222n ++5. 自然数的平方按从小到大的顺序排成1 4 9 16 25 36 49…. 问：第700位置上的个数是？291x y 是完全平方数，求37x y +.6. 若五位数7. 试问：有多少正整数对(,)x y 2392N x y =+是不超过2392的完全平方数. 使得4p 的约数之和是完全平方数，求p .8. p 是给定的质数，若9. 求所有的正整数n ，使得是一个完全平方数.21991n n −+2710000444x ++是完全平方数的正整数x . 10.11. 甲乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。

为了平均分配，甲应该补给乙多少元？。

第七讲提高篇之完全平方数课后习题：基础篇：【闯关1】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？解析：第一个平方数为b2，第二个平方数为a2，由题意得：b2+100=a2+63，a2-b2=100-63=37，即：a2-b2=37=37×1考虑同奇偶性，可知a=19，b=18，这个数为a2+63=19×19+63=424；【闯关2】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？解析：第一个平方数为b2，第二个平方数为a2，由题意得：a2-b2=77=77×1=7×11所以a-b=1，a+b=77，可知a=39.b=38，完全平方数的和是2965a-b=7，a+b=11，可知a=9，b=2，完全平方数的和是89提高篇：【闯关3】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数解析：平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．【闯关4】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？解析：（1）任何连续三个正整数必有一个能为3整除，所以任何“美妙数”必有因子3. （2）中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除，若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4.（3）完全平方数的个位只能是1,4,5,6,9,0，若个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其各位是1和6，则第一个必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除，所以，任何“美妙数”必有因子5（4）上述说明“美妙数”都有因子3,4,5，也就是有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60,60=3×4×5，美妙数的最大公约至多是60，所以只能是60.巅峰篇：【闯关5】设p,a,b,c 均为互不相等的质数，且满足3444-++=c b a p ,则满足条件的p 的和为多少？解析：显然a,b,c 中必有2，否则若a,b,c 都不等于2，则a,b,c 均为奇数，则p 为非零偶数。

100以内的数的平方的一些规律
一.17到23的数的平方规律。

二.其实从20开始，都满足这样一个规律：4×(n-10)加上(n-20)(n-20)十位以上的数作为结果的个位之前的数。

可以根据自己的心算能力，选择n的大小。

1、50附近的：
(50±a)2=100(25±a)+a2(0≤a≤9)
2、还有另外一个方法，原理实际是来自上
面的公式。

1、100附近的：(100-a)2=100(100-2a)+a2；
(0≤a≤9)
2、还有另外一个方法，比较方便记忆，原
理来自上面的公式。

五、一般规律：
两位数字都符合：(10a+b) 2=100a2+10(2ab)+b2
六、结果特殊的数字平方：
1、33×33＝1089，99×99＝9801，相互倒过来了
2、88×88＝7744 前两位相同，后两位相同；
3、13×13＝169，14×14＝196
4、68×68＝6424，61×61＝3721 结果刚好是乘法口诀6×4＝24，3×7＝21（也
刚好是网上流行的一种讨厌的软件），
5、62×62＝3844，然后38×38＝1444 有三个4，再者62+38=100
七、如果a＋b＝50或b-a=50,或a＋b＝100或者a+b=150，那么a的平方和b
的平方的后两位相同.
4*4=16
46*46=2116
54*54=2916
96*96=9216。

完全平方数难题（二）问题5：象111…1 ，由n个1连写得到的数，这些数都是奇数。

说明当n＞1时没有平方数n＝1时，1＝12；偶数的平方＝（2n）2＝4n2＝4的倍数；奇数的平方＝（2n＋1）2＝4n2＋4n＋1＝4 n（n＋1）＋1＝8的倍数加1（当然也是4的倍数＋1）。

n＞1时，n个1＝（n－2）个1×100＋11＝4的倍数＋8＋3＝4的倍数＋3≠4的倍数＋1（也不等于8的倍数＋1），∴n个1（n＞1）组成的数里没有平方数。

22……22＝2×11……11≠平方数，（n个2）；33……33＝3×11……11≠平方数，（n个3）；44……44＝4×11……11≠平方数，（n个4，n＞1）；55……55＝5×11……11≠平方数，（n个5）；66……66＝6×11……11≠平方数，（n个6）；77……77＝7×11……11≠平方数，（n个7）；88……88＝8×11……11≠平方数，（n个8）；99……99＝9×11……11≠平方数，（n个9，n＞1）。

当然，在这些数后面加若干个0也构不成平方数。

这个问题在许多初中及初中以上奥数书都有引用，所采用方法各种各样，难易不等。

序列1，11，111，1111，……中有无数个合数，那么此序列中的质数情况比较难办，现在只知道5个是质数：第一个质数11；19个1连写，23个1连写这两个质数在1920年代才被找到；317个1连写是质数由美国数论专家威廉斯（Williams）在1978年证实；1986年Williams和Dubner找到了这里面的第五个质数：1031个1连写。

这个序列中是否有无数个质数，现在还是未知，可以肯定的是合数个1连写一定是合数，只有质数个1连写时才有可能是质数。

1999年9月Dubner发现49081个1连写可能是质数，但目前还判断不出。

2000年10月Baxter发现86453个1连写可能是质数，但目前还判断不出。