人教A版高中数学必修4《 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》_19

2.5.2向量在物理中的应用举例一、教学目标：知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．过程与方法：通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力．体会数学在现实生活中的重要作用．养成善于发现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯．情感、态度与价值观通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．二．重点难点重点：1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．三、教材与学情分析向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积．用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）创设问题情境，引出新课思路1.(章头图引入)章头图中，道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系．章引言说明了向量的研究对象及研究方法．那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样，是一条解决物理问题的高速公路．在学生渴望了解的企盼中，教师展示物理模型，由此展开新课．思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然地引入新课．（二）应用示例例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题．这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释．图1在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证．用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．解：不妨设|F 1|＝|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos θ2＝12|G||F 1|⇒|F 1|＝|G |2cos θ2.通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，θ2由0°到90°逐渐变大，cos θ2的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1，F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．点评：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验．本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情．教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现.图2，实际风速为v .∵DA →端，子弹击中砂箱后，陷入箱内，使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ，求子弹的速度v 的大小．图3解：设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度，由于水平方向上动量守恒， 所以m |v |＝(M ＋m )|v 0|. ①由于机械能守恒，所以12(M ＋m )v 20＝(M ＋m )gh . ② 联立①②解得|v |＝M ＋m m 2gh .，又因为m 相对于M 很小，所以|v |≈M m2gh ， 即子弹的速度大小约为M m2gh . （三） 知能训练1．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3小时，该船实际航程为( )A ．215 kmB ．6 kmC.84 km D ．8 km答案：B点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求．2．如图4，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________ N ；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F ，则F ＝________.图4答案：41 (5,4)3．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．答案：如图5所示，设OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的速度，OC →表示船的实际速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 km/h.图5因为OACB 为矩形，所以|OA →|＝|AC →|·cot30°＝|OB →|·cot30°＝53≈8.66 km/h ，|OC →|＝|OA →|cos30°＝5332＝10 km/h. 答：水流速度为8.66 km/h ，船的实际速度为10 km/h.点评：转化为数学模型，画出向量图，在直角三角形中解出．六、课堂小结1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．①力、速度、加速度、位移都是向量；②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；③)动量m v 是数乘向量，冲量Δt F 也是数乘向量；④功是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s .七、课后作业1.课时练与测八、教学反思1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．。

（平面向量在物理中应用举例一、教材剖析向量观点有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加快度等，几何背景是有向线段，能够说向量观点是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正由于这样，运用向量能够解决一些物理和几何问题，比如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直地点关系的判断等问题。

二、教课目的经过应用举例，让学生学会用向量知识研究物理中的有关问题的“四环节”和生活中的实质问题经过本节的学习，让学生体验向量在解决物理问题中的工具作用，加强学生的踊跃主动的研究意识，培育创新精神。

三、教课要点难点要点：理解并能灵巧运用向量加减法与向量数目积的法例解决物理问题.难点：选择适合的方法，将物理问题转变为向量问题加以解决.四、学情剖析在平面几何中，平行四边形是学生熟习的重要的几何图形，而在物理中，受力剖析则是此中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些关于学生来说，特别熟习的内容来解说向量在几何与物理问题中的应用。

五、教课方法例题教课，要让学生领会思路的形成过程，领会数学思想方法的应用。

教案导学：见后边的教案3.新讲课教课基本环节：预习检查、总结迷惑→情境导入、展现目标→合作研究、精讲点拨→反省总结、当堂检测→发导教案、部署预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量物理中的应用2.教师的教课准备：课前预习教案，课内研究教案，课后延长拓展教案。

七、课时安排：1课时八、教课过程(一)预习检查、总结迷惑检查落实了学生的预习状况并认识了学生的迷惑，使教课拥有了针对性。

(二）情形导入、展现目标教师第一发问：问题：两个人提一个旅游包,夹角越大越费劲.为何？教师：本节主要研究用向量知识解决物理问题；掌握用向量解决物理问题的步骤，已经部署学生们课前预习了这部分内容，检查学生预习状况并让学生把预习过程中的迷惑说出来。

（设计企图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。

2.5.2 向量在物理中的应用举例教学目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.教学重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程导入新课你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.应用示例例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 解；不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 |F 1|＝|G |2cos θ2.通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？例3一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一艘船从A处出发到河对岸。

2．5 平面向量应用举例一、教学目标（一）核心素养会用平面向量知识解决几何问题、物理问题，体验向量在解决几何问题、物理问题中的工具作用，培养学生的创新精神和数学应用意识，提高应用数学的能力．（二）学习目标1．运用向量的有关知识解决平面几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题．2．通过力的合成与分解、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量概念和运算的认识．（三）学习重点理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题．（四）学习难点选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）向量方法在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．②证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．③求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝⋅a ba b＝④求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝x2＋y2．（2）向量方法在物理中的应用：①力、速度、加速度、位移都是向量．②力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成． ③动量m ν是 数乘向量 ．④功即是力F 与所产生位移s 的 数量积 ． 2．预习自测（1）在△ABC 中，已知A (4，1)、B (7，5)、C (－4，7)，则BC 边的中线AD 的长是（ ）A ．2 5B ．52 5C ．3 5D ．72 5【知识点】平面向量的模长公式．【解题过程】BC 中点为D 32（,6），AD →＝5-2（,5），∴|AD →|＝525．【思路点拨】先求出向量AD →的坐标，再求出模长． 【答案】B ．（2）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的（ ） A ．三个内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条高的交点【知识点】向量的垂直关系，向量的减法运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵OA →·OB →＝OB →·OC →．∴(OA →－OC →)·OB →＝0．∴OB →·CA →＝0． ∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为垂心．【思路点拨】将关系式OA →·OB →＝OB →·OC →，两边移到同侧，利用向量减法运算，得到OB →·CA →＝0，从而得到OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ． 【答案】D ．（3）用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为（ ）A ．|F |·sB ．F cos θ·sC ．F sin θ·sD ．|F |cos θ·s【知识点】向量的内积，物理中功的定义． 【解题过程】cos cos W s s s =⋅==θθF F F ． 【思路点拨】利用内积公式可求得结果． 【答案】D ．（4）已知作用在点A 的三个力f 1＝(3，4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3，1)且A (1，1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为（ ） A ．(9，1)B ．(1，9)C ．(9，0)D ．(0，9)【知识点】向量加法的坐标运算．【解题过程】f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)， 设合力f 的终点为P (x ，y )，则OP→＝OA →＋f ＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1)． 【思路点拨】直接采用向量加法的坐标运算求解． 【答案】A ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和．三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和． （2）平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2．其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （3）a ·b =|a ||b |cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0． 2．问题探究（1）水渠横断面是四边形ABCD ，12DC AB =uuu r uu u r，且AD BC =uuu r uu u r ，则这个四边形为等腰梯形．类比几何元素之间的关系，你会想到向量运算之间都有什么关系? （2）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力．为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来．（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标．）探究一：平面向量解决平面几何中问题的优越性①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？图1②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单．让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．证明：方法一：如图2．图2作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则Rt△ADF≌Rt△BCE．∴AD＝BC，AF＝BE．由于AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BE2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BC2．BD 2＝BF 2＋DF 2＝(AB －AF )2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AF 2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AD 2＝AB 2－2AB ·BE ＋BC 2． ∴AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋BC 2)． 方法二：如图3．图3以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系． 设B (a ，0)，D (b ，c )，则C (a ＋b ，c )． ∴|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2＝a 2＋2ab ＋b 2＋c 2， |BD |2＝(a －b )2＋(－c )2＝a 2－2ab ＋b 2＋c 2． ∴|AC |2＋|BD |2＝2a 2＋2(b 2＋c 2)＝2(|AB |2＋|AD |2)．用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系．在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积．通过以下推导学生可以发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便．教学时应引导学生体会向量带来的优越性．因为平行四边形对角线平行且相等，考虑到向量关系DB→＝AB →－AD →，AC →＝AB →＋AD →，教师可点拨学生设AB →＝a ，AD→＝b ，其他线段对应向量用它们表示，涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算|AC→|2与|DB →|2．因此有了方法三．方法三：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，|AB →|2＝|a |2，|AD →|2＝|b |2．∴|AC →|2＝AC →·AC →＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a·a ＋a·b ＋b·a ＋b·b ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2． ① 同理|DB →|2＝|a|2－2a·b ＋|b |2． ② 观察①②两式的特点，我们发现，①＋②得 |AC→|2＋|DB →|2＝2(|a|2＋|b |2)＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成．教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素．然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 探究二：平面几何在物理中的应用两个人提一个旅行包，夹角越大越费力．在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力．这些问题是为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力），就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=||2cos2θG ．通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，2θ由0~90逐渐变大，F 1F 2cos2θ的值由大逐渐变小，因此，|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．师：请同学们结合刚才这个问题，思考θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？答：θ=0时，|F 1|最小，等于2G ．探究三：应用示例例1．如下图，一条河的两岸平行，河的宽度d =500m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km /h ，水流的速度|v 2|=2km /h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？【知识点】向量的加法运算． 【数学思想】数形结合． 【解题过程】||v ==u v (km /h )，所以，60 3.1||d t v ==≈u v (min)．【思路点拨】如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这时船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了．【答案】行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．例2．如图4，Y ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？图4【知识点】平面向量在平面几何中的应用． 【数学思想】转化思想，方程思想． 【解题过程】如图4，设AB→＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b ． 由于AR→与AC →共线，所以我们设r ＝n (a ＋b )，n ∈R ． 又因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线， 所以我们设ER→＝mEB →＝m (a －12b )．因为AR→＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m (a －12b )． 因此n (a ＋b )＝12b ＋m (a －12b )，即(n －m )a ＋(n ＋m －12)b ＝0．由于向量a 、b 不共线，要使上式为0，必须⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0.解得n ＝m ＝13．所以AR→＝13AC →．同理TC→＝13AC →．于是RT →＝13AC →． 所以AR ＝RT ＝TC ． 【思路点拨】为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR 、RT 、TC 的长度，让学生发现AR ＝RT ＝TC ，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR ＝RT ＝TC 这个规律不变，因此猜想AR ＝RT ＝TC ．事实上，由于R 、T 是对角线AC 上的两点，要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可．又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线，所以只需判断AD →，AR→，AT →与AC →之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR ＝RT ＝TC ．【答案】AR ＝RT ＝TC ．例3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于E ，求BEEC 的值．【知识点】平面向量的运算，在平面几何中的应用． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】 方法一：(基向量法)设BA→＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2． a·b ＝|a||b |cos 60°＝1，BD→＝a ＋b ．设BE→＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a ． 由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0．即(λb －a )·(a ＋b )＝0．解得λ＝25，∴225335BE EC ==．方法二：以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B (0，0)，C (2，0)，A 12（，D 52（．又设E (m ，0)，则52BD ⎛= ⎝uu u r ，1-2AE m ⎛= ⎝uu u r ． 由AE ⊥BD ，得AE →·BD→＝0．即51-022m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得m ＝45，∴425635BE EC ==．【思路点拨】利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明． 【答案】BE EC ＝23．同类训练 已知两恒力F 1＝(3，4)，F 2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A (20，15)移动到点B (7，0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 【知识点】平面几何在物理做功问题中的应用． 【解题过程】(1)AB→＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J )， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J )． ∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99J 和－3J ． (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)+(6,-5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J )．∴合力F 对质点所做的功为－102 J ．【思路点拨】物体在力F 作用下的位移为s ，则W ＝F·s ＝|F|·|s |cos θ．其中θ为F与s的夹角．【答案】（1）力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J．（2）合力F对质点所做的功为－102 J．3．课堂总结知识梳理（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．（2）利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．重难点归纳用向量知识解决平面几何、物理问题时，要注意数形结合．一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．（三）课后作业基础型自主突破1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（）A．40 N B．10 2 NC．202N D．10 3 N【知识点】向量在力的合成中的应用．【解题过程】|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝102，当θ＝120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N．【思路点拨】根据平行四边形法则求解．【答案】B．2．共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg5，1)，则共点力对物体做的功W 为（ ）A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2【知识点】向量坐标运算，向量在物理做功问题中的应用．【解题过程】F 1＋F 2＝(1，2lg2)．∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2．【思路点拨】运用坐标运算，先求合力，再利用功的公式求解．【答案】D ．3．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【解题过程】∵|OB→－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB→＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB→－AC →|＝|AB →＋AC →|， ∴A ，B ，C 是同一矩形的三个顶点，且∠BAC ＝90°．∴△ABC 是直角三角形．【思路点拨】利用向量运算转化条件，并“翻译”为几何结论，判断三角形形状．【答案】B ．4．已知点A (3，1)，B (0，0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于（ ） A ．2 B ．12 C ．－3 D ．－13【知识点】平面向量共线．【解题过程】如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC→＝－3CE →．【思路点拨】先根据题意，画出图形，数形结合．【答案】C ．5．如图所示，两根绳子把重1kg 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g ＝10 N /kg)．【知识点】力的合成分解，平面向量在物理中的应用．【解题过程】设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°．∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53．|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5．∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N ．【思路点拨】作出受力分析，结合向量的平行四边形法则求解．【答案】在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N ．6．如图所示，已知矩形ABCD ，AC 是对角线，E 是AC 的中点，过点E 作MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，试运用向量知识证明AM ＝CN ．【知识点】平面向量坐标运算．建立如图所示的直角坐标系，设BC ＝a ，BA ＝b ，则C (a ，0)，A (0，b )，E (a 2，b 2)．又设M (x 2，b )，N (x 1，0)，则AM →＝(x 2，0)，CN →＝(x 1－a ，0)． ∵ME →∥EN →，ME →＝(a 2－x 2，－b 2)，EN →＝(x 1－a 2，－b 2)， ∴(a 2－x 2)×(－b 2)－(x 1－a 2)×(－b 2)＝0．∴x 2＝a －x 1．∴|AM →|＝x 22＝|x 2|＝|a －x 1|＝|x 1－a |． 而|CN →|＝(x 1－a )2＝|x 1－a |， ∴|AM→|＝|CN →|，即AM ＝CN ． 【思路点拨】图形非常规整，考虑先建系，利用向量的坐标运算求解，简化运算过程．【答案】略．能力型 师生共研7．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．【知识点】平面向量的运算，平面向量在物理中的应用．【数学思想】数形结合．设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ．∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．【思路点拨】根据受力分析，求出绳的拉力为F 和水的阻力为f 之间的关系式，由此分析浮力的变化情况．【答案】①③．8．如图，已知在等腰△ABC 中，BB ′、CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值．【知识点】向量的坐标运算，平面向量在平面几何中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】建立如图所示的平面直角坐标系，取A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)， OA→＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0)． 因为BB ′、CC ′都是中线，所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝12[(2c ，0)＋(c ，a )]＝(3c 2，a 2)， 同理CC ′→＝(－3c 2，a 2)． 因为BB ′⊥CC ′，所以－94c 2＋a 24＝0，a 2＝9c 2．所以cos A ＝AB AC AB AC⋅⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45． 【思路点拨】考虑利用向量的坐标运算，能很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，然后再利用向量的坐标运算快捷地解决问题．【答案】45．探究型 多维突破9．已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：PA ＝EF 且PA ⊥EF ．【知识点】向量的坐标运算，平面向量在平面几何中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】证明：以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy (如图所示)，设正方形边长为1，|OP →|＝λ，则A (0，1)，P ，E （1），F ,0），于是PA →＝,1（），EF →＝）．∵|PA →|＝λ2－2λ＋1， 同理|EF→|＝λ2－2λ＋1， ∴|PA→|＝|EF →|，∴PA ＝EF ．PA →·EF →＝（）1-）＋（）（）＝0， ∴PA→⊥EF →．∴PA ⊥EF ． 【思路点拨】根据题意，先作图．分析可知，能很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，然后再利用向量的坐标运算证得结论．【答案】略．10．如图，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ．若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问：PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】方法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC→＝0． ∵AP→＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ→－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC→ ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB→－AC →) ＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ．当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ→最大，其最大值为0． 方法二：如下图，以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB |＝c ，|AC |＝b ，则A (0，0)，B (c ，0)，C (0，b )，且|PQ |＝2a ，|BC |＝a ．设点P 的坐标为(x ，y )，则Q (－x ，－y )．∴BP→＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )． ∴BP →·CQ→＝(x －c )(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by ．∵cos θ＝||||PQ BC PQ BC ⋅uu u r uu u r uu u r uu u r ＝cx －by a 2，∴cx －by ＝a 2cos θ． ∴BP →·CQ→＝－a 2＋a 2cos θ． 当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ →最大，其最大值为0．【思路点拨】利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．【答案】当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ→最大，其最大值为0．自助餐1．如图，非零向量OA→＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ等于（ ）A ．a·b |a|2B ．a·b |a||b|C ．a·b |b |2D ．|a||b|a·b【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【解题过程】BC→＝OC →－OB →＝λa －b ． ∵BC ⊥OA ，∴BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0，即λa 2－a·b ＝0．∴λ＝a·b |a |2． 【思路点拨】由 BC ⊥OA ，得到 BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0，然后转化求解λ．【答案】A ．2．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5．则AB →·BC →＋BC →·CA→＋CA →·AB →＝______．【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【解题过程】△ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×45（-）＝－16； CA →·AB →＝5×3×3()5＝－9． ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→＝－25． 【思路点拨】根据模长，得出B ＝90°，可得到各向量之间的夹角余弦．【答案】－253．一条河宽为800 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km /h ．水速为12 km /h ，船到达B 处所需时间为____________．【知识点】向量的运算，向量在物理中的应用．【解题过程】v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v |2＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km /h )．∴所需时间t ＝0.816＝0．05(小时)＝3(分钟)．∴该船到达B 处所需的时间为3分钟．【思路点拨】根据向量运算的平行四边形法则求解．【答案】3分钟．4．在风速为75(6－2) km /h 的西风中，飞机正以150 km /h 的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．【知识点】向量的运算，向量在物理中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】设风速为v 0，有风时飞机的飞行速度为v a ，无风时飞机的飞行速度为v b ， 则v a ＝v b ＋v 0，且v a ，v b ，v 0可构成三角形(如图所示)，∵|AB →|＝|v a |＝150，|BC →|＝|v 0|＝75(6－2)，|AC →|＝|v b|， 作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ，则∠BAD ＝45°，∴|CD→|＝|BE →|＝|EA →|＝752， ∴|DA→|＝|DE →|＋|EA →|＝|CB →|＋|EA →|＝75(6－2)＋752＝756， 从而tan ∠CAD ＝CD DAuu u r uu u r ＝752756＝33，∴∠CAD ＝30°， ∴|AC →|＝1502，∴v b＝150 2 km /h ， ∴没有风时飞机的飞行速度为150 2 km /h ，方向为北偏西60°． 【思路点拨】速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．【答案】没有风时飞机的飞行速度为150 2 km /h ，方向为北偏西60°．5．在△ABC 中，A (4，1)，B (7，5)，C (－4，7)，求∠A 的平分线的方程．【知识点】平面向量的坐标运算，直线的方程．【解题过程】AB→＝(3，4)，AC →＝(－8，6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为：AB AC AB AC+uu u r uuu r uu u r uuu r ＝34()55，＋43()55-，＝17()55-，． ∵∠A 的平分线过点A ．∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0．整理得：7x ＋y －29＝0．【思路点拨】直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．【答案】7x＋y－29＝0．21 / 21。

2.5.2.向量在物理中的应用举例学习目标.1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.知识点一.向量的线性运算在物理中的应用思考1.向量与力有什么相同点和不同点？答案.向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的.思考2.向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？答案.速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.梳理.(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上.(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.知识点二.向量的数量积在物理中的应用思考.向量的数量积与功有什么联系？答案.物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.梳理.物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos 〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.知识点三.向量方法解决物理问题的步骤用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.类型一.向量的线性运算在物理中的应用例1.(1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解.如图，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300 N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°， 则∠OAC ＝90°，从而|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)， |AC →|＝|OC →|·sin 30°＝150(N)， 所以|OB →|＝|AC →|＝150(N).答.与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. (2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h ，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.解.建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v 1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v 2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v ， 则v ＝v 1＋v 2.由题意，可得向量v 1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，103)，向量v 2＝(20，0)， 则帆船的行驶速度为v ＝v 1＋v 2＝(10，103)＋(20，0)＝(30，103)，所以|v |＝302＋(103)2＝203(km/h).因为tan α＝10330＝33(α为v 和v 2的夹角，且为锐角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 3 km/h.反思与感悟.利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.跟踪训练1.河水自西向东流动的速度为10 km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 3 km/h ，求小船的实际航行速度.解.设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，连接OC →，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →即为小船的实际航行速度.∴|OC →|＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＝20(km/h)， tan ∠AOC ＝10310＝3，∴∠AOC ＝60°，∴小船的实际航行速度为20 km/h ，按北偏东30°的方向航行. 类型二.向量的数量积在物理中的应用例2.已知两恒力F 1＝(3，4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20，15)移动到点B (7，0).(1)求力F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求力F 1，F 2的合力F 对质点所做的功. 解.(1)AB →＝(7，0)－(20，15) ＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99和－3. (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.∴合力F对质点所做的功为－102.反思与感悟.物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.跟踪训练2.一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.解.以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.则F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，F3＝(－3，33)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2，2＋43).又因为位移s＝(42，42)，所以合力F所做的功为W＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×42＝42×63＝246 (J).即合力F所做的功为24 6 J.1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.答案.10解析.设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，∴每根绳子的拉力都为10 N.2.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J.答案.300解析.W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).3.一条河宽为800 m ，一船从A 处出发垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ min. 答案.3解析.∵v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20 km/h ，|v 2|＝12 km/h ， ∴|v |＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km/h).∴所需时间t ＝0.816＝0.05(h)＝3(min).∴该船到达B 处所需的时间为3 min.4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h ，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h ，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.解.如图，设水的速度为v 1，风的速度为v 2，v 1＋v 2＝a .易求得a 的方向是北偏东30°，a 的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v ，方向由南向北，大小为2 3 km/h.船本身的速度为v 3，则a ＋v 3＝v ，即v 3＝v －a ，由数形结合知，v 3的方向是北偏西60°，大小是 3 km/h.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.课时作业一、选择题1.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成90°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为(..) A.6 N B.2 N C.2 5 N D.27 N 答案.C2.人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为(..) A.v 1－v 2 B.v 1＋v 2 C.|v 1|－|v 2| D.|v 1v 2|答案.B3.已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3，2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于(..) A.(－1，－2) B.(1，－2) C.(－1，2) D.(1，2) 答案.D解析.∵物体平衡，∴F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0，∴F 4＝－F 1－F 2－F 3＝－(－2，－1)－(－3，2)－(4，－3)＝(1，2).故选D.4.用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面的夹角为θ，则力F 对物体所做的功为(..) A.|F |·s B.F cos θ·s C.F sin θ·s D.|F |cos θ·s 答案.D5.已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为(..) A.5 3 N B.5 N C.10 N D.5 2 N 答案.B解析.如图，有|F 1|＝|F |cos 60°＝10×12＝5(N).6.已知作用在点A 的三个力f 1＝(3，4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3，1)，且A (1，1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为(..) A.(9，1) B.(1，9) C.(9，0) D.(0，9)答案.A解析.f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，设合力f 的终点为P (x ，y )， 则OP →＝OA →＋f ＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).7.河水的流速为5 m/s ，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(..) A.13 m/s B.12 m/s C.17 m/s D.15 m/s 答案.A解析.设小船在静水中的速度为v 1， 河水的流速为v 2，v 1与v 2的合速度为v ，∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度v 1斜向上游方向，河水速度v 2平行于河岸， 合速度v 指向对岸，∴静水速度|v 1|＝|v |2＋|v 2|2＝122＋52＝13(m/s). 二、填空题8.一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3，1)的共同作用下从点A (1，1)移动到点B (0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于________. 答案.－40解析.∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3，1)， ∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8). 又∵AB →＝(0－1，5－1)＝(－1，4)， ∴F ·AB →＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三个力的合力做的功等于－40.9.一个重20 N 的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J ，则θ＝________. 答案.30°解析.∵W G ＝G·s ＝|G||s |·cos(90°－θ) ＝20×1×cos(90°－θ)＝10 J ，∴cos(90°－θ)＝12，∴θ＝30°.10.河水的流速为2 m/s ，一艘小船以10 m/s 的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s. 答案.226解析.设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，|v 1|＝2 m/s ，|v |＝10 m/s.所以|v 2|＝|v －v 1|＝v 2－2v ·v 1＋v 21 ＝100－0＋4＝104＝226(m/s). 三、解答题11.已知e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，今有动点P 从P 0(－1，2)开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e 1＋e 2|；另一动点Q 从Q 0(－2，－1)开始，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1＋2e 2|，设P ，Q 在t ＝0时分别在P 0，Q 0处，当PQ →⊥P 0Q →0时所需的时间t 为多少？解.e 1＋e 2＝(1，1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，3e 1＋2e 2＝(3，2)，|3e 1＋2e 2|＝13， 其单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫313，213，如图.依题意知，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ， 所以P 0P →＝|P 0P →|·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22＝(t ，t )，Q 0Q →＝|Q 0Q →|·⎝⎛⎭⎪⎫313，213＝(3t ，2t ). 由P 0(－1，2)，Q 0(－2，－1)， 得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2，2t －1)， 所以P 0Q →0＝(－1，－3)，PQ →＝(2t －1，t －3). 因为PQ →⊥P 0Q →0，所以P 0Q →0·PQ →＝0. 即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2，所以当PQ →⊥P 0Q →0时，所需的时间为2.12.在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小.解.如图，用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的速度.则v 0＋v 1表示船实际航行的速度， ∵|v 0|＝4，|v 1|＝8， ∴|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5.故船实际航行的速度为45千米/小时.13.质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离.(g ＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解.(1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos 0°＝20(J)；支持力F N 与位移方向垂直，不做功， 所以W N ＝F N ·s ＝0； 重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J).(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J).四、探究与拓展14.质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P 的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P 的坐标为(－10，10)，则5秒后点P 的坐标为(..) A.(－2，4)B.(－30，25)C.(10，－5)D.(5，－10)答案.C解析.设点(－10，10)为点A ，5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意可知，AA 1→＝5ν，即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5.15.在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解.如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度.因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形.在Rt△ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12.5， |AD →|＝25， 所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.。

平面向量在物理中的应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究物理以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题，体会向量在物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题，体会向量在物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四. 教学设想【知识链接】问题1：向量与力有什么相同点和不同点？结论：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一 的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量 到同一作用点上.问题2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？结论：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.问题3：向量的数量积与功、动量有什么联系？结论：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.⑴力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即cos ,W F S F S =⋅，功是一个实数，它可正，也可负.⑵在解决问题时要注意数形结合.自主小测1.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和2，则3F 的大小为( )A ．6B ．2C ．32D ．2.点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)3.作用于原点的两个力12(1,1),(2,3)F F ，为使它们平衡，需要加力3F =_______。

备课资料 一、向量与重心问题 假如有两个质点M 1,M 2,它们的质量分别是m 1,m 2,由物理学知识,这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即1221m m MM M M =,或m 1M M 1=m 22MM . 现设点M 1、M 2、M,对应的向量分别是r 1、r 2、r ,则上式可以写成m 1(r -r 1)=m 2(r 2-r ).所以212211m m r m r m r ++=,点M 处的质量为m 1+m 2. 现求三个质点的重心问题.三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3,所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3, 我们可设M 1,M 2的重心在点D 处,该处对应的向量为r D =212211m m r m r m ++,该点的质量为m 1+m 2,然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r ,易得r =.321332211m m m r m r m r m ++++ 二、备用习题1.作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|=5,|F 2|=3,夹角为60°，则F 1+F 2的大小为_____________.2.一条渔船距对岸为4 km,现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速.3.在半径为15 cm 的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm,圆洞的半径是5 cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.如图9所示,重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角θ的大小.图9参考答案:1.72.如图10所示,设AB 表示船垂直于对岸的速度,则AB +BC =AC ,图10知AC 就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h),所以在Rt△ABC中,|AB|=2 km/h,|AC|=8÷2=4 km/h,则|BC|=23km/h.答:河水的流速为23km/h.3.如图11所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为O1(0,0),O2(8,0),圆O2是挖去的圆,不妨设铁板的密度为ρ=1,则小圆的质量m1=25π,挖去圆洞后,铁板的质量为m2=(225-25)π=200π,设所求的重心为O3.图11根据物理学知识,知O3在直线O1O2上,即可设O3(x3,0),且满足2113OOOOλ=,其中λ=812002521==mm.由定比分点坐标公式知0=8118813+⨯+x,解得x3=-1,即O3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.对小球的受力分析如图9所示,重力为G,斜面弹力为N2(垂直于斜面向上),木板弹力N1(垂直于木板),其中N1与N2的合力的大小恒为|G′|,方向向上,N2的方向始终不变,随着木板的转动,N1的方向始终垂直于木板,N1的大小在变化,且满足θsin|'|sin||1GaN=,又|G′|=|G|,∴|N1|=.sinsin||θaG∴当sinθ取最大值1时,|N1|min=|G|sinα,此时θ=2π.(设计者：郑吉星)。