第2章 随机过程概述

RXY (t1, t2 ) mX (t1)mY (t2 )
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征
✓ 需要强调的地方 ➢ 相互独立 F (x, y;t1,t2 ) P[ X (t 1) x,Y (t2 ) y]
➢ 正交
f (x, y;t1,t2 ) f X (x, t1) fY ( y,t2 )
平稳随机过程和非平稳随机过程
✓ 按记忆特性分类
➢纯粹随机过程
n
Fn (x1,t1; x2,t2;L ; xn,tn ) F1(x j ,t j )
➢马尔可夫过程
j 1
Fn (xn , tn | xn1, tn1; xn2 , tn2;L ; x2 , t2; x1, t1) Fn (xn , tn | xn1, tn1)
➢ 均值 ➢ 方差

E[ X (t)] xf1(x)dx mX
D[X (t)] E [X (t) mX ]2


(x

mX
)2
f1 ( x)dx


2
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ n=2时:
f (x1, x2;t1, t2 ) f (x1, x2;t1 t2 ) f (x1, x2; )
0

工程上认为不相关
三、平稳随机过程的各态历经性
1、时间平均
X (t) lim 1
T
x(t)dt
T 2T T
随
机 变
X 2 (t) lim 1 T x2 (t)dt T 2T T
量
时间均值 平均功率
X (t )X (t) lim 1
T
x(t )x(t)dt
确定性过程：这类过程具有明确形式的变化过程，或者说具有必然的变化规律。 用数学语言来说，就是事物的变化过程可以用一个确定函数来描述。 eg:匀速运动的小车
随机过程：没有确定的变化形式，即每次测量结果没有一个确定的变化规律。
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程：没有确定的变化形式，即每次测量结果没有一个确定的变化规律。 Eg:观察通信信道中的噪声，假设进行了四次观测，得到下图：
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 ✓ 多维分布
多维概率分布函数 Fn (x1, x2,L , xn;t1,t2,L ,tn) P[X (t1) x1, X (t2) x2,L , X (tn) xn]
多维概率密度函数
fn (x1, x2 ,L , xn ;t1, t2 ,L , tn ) n Fn (x1, x2 ,L , xn ;t1, t2 ,L , tn ) x1x2 L xn
s2 (t)d 1

2
F() d

2
当时间趋于无穷时,能量型信号的平均功率趋于零
四、平稳过程的功率谱密度
2、功率型信号
每次得到的结果不同 每次的变化规律均无法用确定的函数来描述
一、随机过程的概念
Eg:观察具有随机振幅A或者随机相位 的交流发电机的输出电压波形， 交流发电机的输出电压波形可用下式表示：
一次观察，得到时间t的确定函数。 重复独立多次观察，每次所得结果均不同。
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
[定义] 设 E {e是} 一个样本空间，若对每一时刻 t T ，都有定义在上的随机变量 X (t, e) 与之对应，则称依赖t的一族随机变量 { X (t, e), t T , eE }是一个随机 过程，简记为随机过程 { X (t), t T }。

xyf (x, t1; y, t2 )dxdy CX (t1,t2 ) E X (t1) mX (t1) X (t2 ) mX (t2 )
RX (t1,t2 ) mX (t1)mX (t2 )
CXY (t1, t2 ) E X (t1) mX (t1)Y (t2 ) mY (t2 )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征
✓ 均值

m(t) E[ X (t)] xf (x,t)dx
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征
✓ 方差
2 (t) D[ X (t)] E{[ X (t) m(t)]2}
一、随机过程的概念
4、平稳随机过程自相关函数的性质
✓非负定性
n
R(i j )aia j 0
i, j1
自相关函数的曲线图示：
R( )
2 R(0)
m2
0
t
二、平稳随机过程
5、互相关函数及其性质 ✓定义
RXY ( ) E[ X (t)Y (t )]
✓性质
RXY ( ) RYX ( )
1、当e和t都是变量时，X(t)是一族时间的函数，它表示一个随机过程； 2、当e给定，t为变量时，X(t)是一个时间t的函数，称它为样本函数，有时也称为一次实现。 3、当t给定，e为变量时，X(t)是一个随机变量。 4、当e、t均给定时，X(t)是一个标量或者矢量。
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
E[ X (t1)Y (t2 )] 0
➢ 互不相关
CXY (t1, t2 ) cov[ X (t1),Y (t2 )] RXY (t1, t2 ) mX (t1)mY (t2 ) 0
✓ 结论：相互独立必定互不相关，反之不一定。
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 ✓ 按统计特性分类
➢ 自相关函数
R(t,t ) E[X (t)X (t )]

x1x2 f (x1, x2; )dx1dx2 R( )
➢ 协方差
C( ) E[X (t) mX ][X (t ) mX ] R( ) mX 2
二、平稳随机过程
✓ 各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
lim 1
T T
2T 0
(1

2T
)[RX
( )

mX2
]d

0
三、平稳随机过程的各态历经性
三、平稳随机过程的各态历经性
2、各态历经性
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
1
lim T T
2T 0
(1
➢独立增量过程
X (ti1) X (ti ) X (ti ,ti1) 相互独立
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 ✓ 按概率分布分类
高斯随机过程和非高斯随机过程
✓ 按功率谱特性分类 白噪声过程和有色噪声过程
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ 定义
设
X (t为),t一T随 机过程，若对任意正整数 ,任意
2、随机过程的概率分布 ✓ 二维分布
二维概率分布函数
F (x1, x2;t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
二维概率密度函数
f
(x1,
x2 ;
t1,
t2
)

2
F
(x1, x2;t1, x1x2
t2
)
相互独立
F (x1, x2;t1, t2 ) FX1 (x1, t1)gFX2 (x2 , t2 )
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程 二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
二、平稳随机过程
3、二阶矩过程
➢ 定义
若一个随机过程 X (t),t,如T果 对于一切 t T ,总有: E[ X 2 (t)]
则称此过程为二阶矩过程。
对于二阶矩过程
2、广义平稳过程
➢ 定义 设 X(t),t 是T 一随机过程,
(功率E[有X 2限(t)]),且
1 2 E[ X (t)] mX 常数
R(t1,t2 ) E[ X (t) X (t )] R( ) t1 t2
则称 X(t),t T为广义平稳随机过程。
综上，随机过程分为四大类： 1、连续型随机过程 2、离散型随机过程 3、连续型随机序列 4、离散型随机序列
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 ✓ 一维分布
一维概率分布函数 一维概率密度函数
F (x, ti ) P[ X (ti ) x]
f
(x, ti )

F (x, ti x
)
一、随机过程的概念
均值
mX (t) E[ X (t)]
自协方差函数
总是存在的。CX (t1,t2) E(X (t1) mX (t1))(X (t2) mX (t2))
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质
✓极值性
R( ) R(0)
✓对称性 R( ) R( )
则称 为严格平稳随机过程。
n 1, 2,L
严格平稳X条(t)件等价于
fn (x1, x2 ,L , xn;t1, t2,L tn ) fn (x1, x2,L , xn;t1 , t2 ,L tn )
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ n=1时:
f (x,t) f (x,t ) f (x) 与时间t无关
的实数 n
与 ,随机t1变,t2 ,量L ,tn
的维
分布函数与X (t1), X (t2 ),L , X (tn ) 同，即 X (t1 ), X (t2 ),L , X (tn )