“有理数”中数学思想方法大盘点

有理数运算中的数学思想武汉市黄陂区横店中学 陈 浩 吴学军数学习题浩瀚无边，问题又可变式发散，这样习题就林林总总，题量就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是制胜的法宝.一、转化的思想“转化的思想”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将 “未知”的问题“已知化”，“复杂”的问题“简单化”.转化的思想是解决问题的常见思想方法.【例1】计算:①－3－(－6)；②)52(76－－÷ 分析：有理数的减法，是将其转化为加法、将除法转化为乘法然后按照有理数的加法、乘法法则，减法化为加法时，注意两变，一是将减号改为加号，而是将减数改为其相反数；除法转化为乘法时，除数变为原来的倒数.解：①－3－(－6)＝－3+6＝3②)52(76－－÷＝)25(76－－⨯＝715 点评：在进行除法运算时，在不能整除时，才采用这一办法.在能够整除的情况下，则采用“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除的办法的办法.如（－16）÷（－2）＝8，若采用（－16）÷（－2）＝）（－－2116⨯＝8就麻烦了.二、分类讨论思想有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的.【例2】（五城市联赛题）若ab>0，求ab abb ba a-+的值.分析：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果.解：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，① 当a>0，b>0时，1==a a a a ，1==bb b b ，1==ab ab ab ab ab abb ba a-+＝abab b b a a -+＝1+1-1＝1. ② 当a<0，b<0时，1-=-=aa a a ，1-=-=b b b b ，1==ab ab ab ab ab abb ba a-+＝abab b b a a --+-＝－1－1－1＝－3. 故当ab>0， ab abb ba a-+＝1或－3.点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果.二、整体思想与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑.在整体思想中，往往能够找到问题的捷径.【例3】已知m ，n 互为相反数，求n m ++-+1)2(的值.分析：已知m ，n 互为相反数，所以.将其看成一个整体，代入后式，对比联想，容易找到解决问题的思路.解：因为m ，n 互为相反数，则m+n=0 ，所以 n m ++-+1)2( ＝1)2(+-++n m ＝1)2(0+-+， ＝1-＝1三、数形结合思想数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的数（量），利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征），分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征），利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法.【例4】（迎春杯数学竞赛试题）已知：a>0，b<0，且a+b<0，那么有理数a，b，-a，-b 的大小关系是（用“<”连接）.解析：因为a>0，b<0且a+b<0，根据有理数加法法则，可得，a<b，以形辅数，在数轴上表示它们的位置关系，又根据相反数的定义，可以得到a，b，－a，－b的位置关系.，故b<－a<a<－b.点评：正如我国著名的数学家华罗庚所言——“数形结合百般好，隔离分家万事非”，将图形的数量关系，辅之以数，则更加具体直观，从而快速得到问题的答案.。

有理数的数学思想总结有理数是数学中一类重要的数，其思想涵盖了从整数到有理数的扩展，是我们日常生活中最常接触到的数。

有理数的数学思想包含了以下几个方面：首先，有理数的概念是通过将整数进行扩展得到的。

整数中包括了正整数、负整数和零，而有理数则在整数的基础上引入了分数。

有理数由一个分子和一个非零分母组成，其中分子可以是任何整数，分母是一个非零整数。

这种扩展使得数的表示更加灵活，能够更好地描述现实生活中的各种情况。

比如，有理数可以用来表示多种比例关系，如物品的价格、体积的比例等。

其次，有理数的数学思想还包含了分数的运算。

分数的运算包括了加法、减法、乘法和除法。

通过对分数的运算，我们可以进行更复杂的数学计算，并在实际问题中得到准确的答案。

分数运算的基本原则是分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；同时，分子与分母之间的关系保持不变。

比如，在分数的加减法中，我们需要先将两个分数的分母取公倍数，然后再按照相同的比例进行计算。

然后，有理数的数学思想还涉及到有理数的大小比较。

对于任意两个有理数，我们可以通过其分子和分母的关系来判断它们的大小。

当两个有理数的分子和分母都相等时，它们是相等的；当两个有理数的分子相等，但分母不同时，分母较小的数更大；当两个有理数的分母相等，但分子不同时，分子较大的数更大。

通过这种比较方式，我们可以对有理数进行排序，从而对现实生活中的各种情况进行比较和评估。

最后，有理数的数学思想还包含了有理数的分解与约分。

对于一个有理数，我们可以将其分解为整数部分和分数部分的和。

这种分解可以更好地理解和应用有理数，在实际问题中更精确地进行计算。

另外，有理数还可以进行约分，即将分子和分母同时除以同一个非零整数，以得到一个更简化的有理数。

约分使得数的表达更加简洁，更方便计算。

总的来说，有理数是数学中一类重要的数，其思想涵盖了从整数到有理数的扩展，包括了分数运算、大小比较、分解与约分等方面。

有理数的引入使得数的表达更加灵活，能够更好地应用于现实生活和数学问题中。

有理数中的数学思想有理数是我们在数学中常见的一个概念，它包括整数和分数。

有理数中的数学思想是指在有理数的运算中所涉及到的一些数学思维和方法。

本文将从有理数的基本概念、有理数的运算性质以及有理数在实际生活中的应用等方面，探讨有理数中的数学思想。

一、有理数的基本概念有理数由整数和分数组成，其中整数是没有小数部分的数，可以是正数、负数或零；分数是有分母和分子的数，分母表示分割的份数，分子表示取分割份数中的几份。

有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。

有理数的基本概念为后续的数学思想打下了基础。

通过有理数的引入，我们开始意识到数值可以有无限多个，并且可以互相比较大小。

这种思想的引入是数学发展的重要一步，为后续的数学思想提供了更广阔的空间。

二、有理数的运算性质1. 加法性质：有理数的加法满足交换律、结合律和存在零元素的性质。

即对于任意的有理数a、b、c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a+0=a。

2. 减法性质：有理数的减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。

对于任意的有理数a、b，有a-b=a+(-b)。

3. 乘法性质：有理数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。

即对于任意的有理数a、b、c，有a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)，a*1=a。

4. 除法性质：有理数的除法可以转化为乘法，即a/b=a*(1/b)。

对于任意的有理数a、b，有a/b=a*(1/b)。

有理数的运算性质在实际问题中具有重要的应用价值。

通过对有理数的运算性质的研究，我们可以更好地理解数学运算的规律，并且能够应用到实际生活中解决问题。

三、有理数在实际生活中的应用1. 温度计算：温度可以用有理数表示，正数表示高温，负数表示低温。

在温度计算中，我们可以通过有理数的加法和减法运算来计算温度的变化。

2. 财务收支：在日常生活中，财务收支往往涉及到正数和负数。

正数代表收入，负数代表支出。

通过对有理数的加法和减法运算，可以计算出财务的盈亏情况。

运用数学思想解决有理数问题桂平市石咀二中 梁智华在数学的学习中，掌握一些必备的数学思想可以帮助我们更加理性地学习、驾驭数学，更好的解题. 下面针对有理数中涉及的数学思想作简单举例分析。

希望对大家能有所帮助。

一、分类讨论思想.在有理数及其运算中，涉及分类讨论思想的知识点较多，比如：有关数轴、绝对值、偶次幂的题目往往涉及多种情况，要具备分类讨论思想，才能将题目回答完整。

例1、在数轴上与点3距离5个单位长度的点是__________。

解答的时候往往比较多的学生只是注意到点3的右边的点，而忽略了另一个点，应该分在点3的左边或右边来解求才完整。

例2、已知│a-5│=3，│b+3│=5,求a+b 的值。

析解：此题主要考查绝对值的意义. 因为│a │= 所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数，所以此题需要分为以下四种情况讨论求值：解：（1）、当a-5》0，b+3》0时，a+b=10（2）、当a-5》0，b+3《0时，a+b=0（3）、当a-5《0, b+3》0时，a+b=4（4）、当a-5《0, b+3《0时，a+b=-10例3、如果a 、b 、c 是非零有理数，求c c b b a a ++的值. 析解：同样此题也是主要考查绝对值的意义。

因为a 、b 、c 是非零有理数，所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数. 此题可分为以下四种情况求值：（1）、当a 、b 、c 的绝对值都取本身时，原式为3.（2）、当a 、b 、c 的绝对值有两个取本身时，原式为1.（3）、当a 、b 、c 的绝对值有一个取本身时，原式为1-.（4）、当a 、b 、c 的绝对值都取相反数时，原式为3-.a a 》0-a a 《0c b a 0例4、已知｜x ｜=3，()412=+y , 且xy ＜0 ， 求x －y 的值。

偶次幂与绝对值一样都是非负数，所以同样要分类进行讨论，再结合所给的条件进行解决问题。

“有理数”中的数学思想数学思想是数学的灵魂，我们不仅要学好数学课本中的知识，还要善于发现并运用知识背后所隐含的数学思想，现就有理数中所涉及的数学思想归纳如下，以供同学们参考： 一、转化思想所谓转化就是将所要解决的问题转化为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题． 例1．计算：（1）15－27 ， （2） (－8)÷(－54) 解：（1）15－27＝15＋(－27)＝－(27－15)＝－12；（2）(－8)÷(－54)＝8×54＝10．【点评】通过上面的计算我们可以看出有理数的运算中有两个转化：①通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的情况下，转化为小学数学中的加法和乘法．②通过相反数将减法转化为加法，通过倒数将除法转化为乘法． 二、分类讨论思想当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，这种处理问题的思维方法称为分类思想。

例2．已知|a |＝5，|b |＝3，且a b ＞0，则a ＋b 的值为( ) A ．8 B ．－2 C ．8或－8 D ．2或－2 解：首先由绝对值的意义可知：a ＝±5，b ＝±3，因为a b ＞0，即a 、b 同号，因此可分为两种情况来讨论： ① 当a ＞0且b ＞0时，a ＝5，b ＝3，得a ＋b ＝8， ② 当a ＜0且b ＜0时，a ＝－5，b ＝－3，得a ＋b ＝－8． 所以a ＋b 的值为8或－8．故选(C)．【点评】与绝对值有关的问题，一般要去掉绝对值符号，这就要根据绝对值的概念进行分类研究．三 数形结合思想例3．在数学活动中，小明为了求23420081111122222++++⋅⋅⋅+的值，设计如图①所示的几何图形。

（1）请你利用这个几何图形求23420081111122222++++⋅⋅⋅+的值为__________。

（2）请你利用图②，再设计一个能求23420081111122222++++⋅⋅⋅+的值的几何图形。

学生培养２０２４年１月下半月㊀㊀㊀感受有理数中的思想方法◉广西百色市田阳区实验中学㊀李肖华㊀㊀数学思想方法是数学学科的精髓,它蕴含在数学知识中,只有领悟了数学思想方法,才能真正体会数学的奥妙,才能触摸到数学的灵魂．掌握数学思想方法,有助于学生形成数学素养,在学习 有理数 时,主要有下面一些数学思想方法．１数形结合思想借助数形结合思想,能达到形象地理解㊁认识㊁处理代数问题的目的．我国著名数学家华罗庚曾说: 数缺形时少直观,形无数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休． 在数学中,数与形是我们主要的研究对象,它们的联系十分密切,且在一定条件下,数与形能互相转化,相互渗透．在 有理数 的学习中引入数轴,就是数形结合最简单的实例,用数轴上的点表示有理数,使学生对相反数㊁绝对值的意义有更直观的理解,也给学生比较有理数的大小提供了直观的方法;同时,用数轴来解释有理数的加法与乘法,学生也易于接受和理解．例１㊀如图１所示,数轴上A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,且A,B两点到原点的距离相等．计算:(１)a＋b,a b;(２)将a,b,c,－a,－b,－c按从小到大的顺序排列,并用小于号(等号)连接起来．图１分析:(１)观察数轴确定a,b的正负号及它们绝对值的大小,然后根据有理数加法法则确定a＋b的正负号,根据有理数除法法则确定ab的正负;(２)根据a与－a互为相反数,在数轴上画出－a的位置,同理确定－b,－c的位置,然后按照数轴上表示的数, 左边的数总比右边的数小 ,比较大小．解:(１)因为a,b在原点两侧,且到原点的距离相等,所以a,b互为相反数．故a＋b＝０,ab＝－１．(２)因为a与－a互为相反数,b与－b互为相反数,c与－c互为相反数,所以在数轴上表示它们的位置如图２所示．因为数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大,所以c＜b＝－a＜a＝－b＜－c ．图２例２㊀如图３,观察数轴,我们发现:数轴上表示３和２的两点之间的距离是１;表示－２和１两点之间的距离是３;一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|．图３(１)如果|x＋１|＝２,那么x＝;(２)若数轴上表示数a的点位于－３与５之间,则|a＋３|＋|a－５|＝．分析:(１)先把绝对值内部化为差的形式,然后根据|m－n|表示数m和数n的两点之间的距离,在数轴上找到与表示－１的点距离为２的点;(２)将绝对值内部化为差的形式,在数轴上把数a放在－３与５之间,求两个距离和．解:(１)|x＋１|＝|x－(－１)|＝２,它表示数轴上表示数x和－１的点之间的距离是２．如图４,观察数轴可以发现表示－３和１的点到表示－１的点之间的距离是２,所以x＝－３或１．图４(２)|a＋３|＋|a－５|＝|a－(－３)|＋|a－５|,这个式子表示数轴上表示数a和－３两点之间的距离,与数轴上表示数a和５的两点之间的距离的和．如图５,当表示数a的点在－３与５之间时,这两个距离和为８,所以|a＋３|＋|a－５|＝８．图５点评:与绝对值有关的计算问题,可以利用绝对值的代数意义求解,解答过程比较麻烦,但借助数轴,运用数形结合思想,解答非常简单,有利于学生理解和掌握,这或许就是数形结合的魅力吧．２转化与化归思想转化与化归思想,就是将一个复杂的问题转化为一个简单的问题,或者将新问题转化为旧问题,将陌生的问题转化熟悉的问题,从而实现问题的简单化处理．在有理数的运算中,处处体现了化归思想,如将减４４２０２４年１月下半月㊀学生培养㊀㊀㊀㊀法转化为加法,将除法转化为乘法,将乘方转化为乘法,在确定运算结果时,先确定符号再确定绝对值,将有理数运算转化为正数运算．例３㊀计算下列各式:(１)－２４－７;㊀(２)２０ː(－１６);(３)(－２)３．分析:(１)按有理数减法法则运算;(２)按有理数除法法则运算;(３)按有理数乘方法则运算．解:(１)－２４－７＝－２４＋(－７)(将减法转化为加法)＝－(２４＋７)(将有理数运算转化为正数运算)＝－３１．(２)２０ː(－１６)＝２０ˑ(－６)(将除法转化为乘法)＝－(２０ˑ６)(将有理数运算转化为正数运算)＝－１２０．(３)(－２)３＝(－２)(－２)(－２)(将乘方转化为乘法)＝－(２ˑ２ˑ２)(将有理数运算转化为正数运算)＝－８．例４㊀计算５０ː(１３－１４＋１１２)有以下三种解法:解法一:原式＝５０ː１３－５０ː１４＋５０ː１１２＝５０ˑ３－５０ˑ４＋５０ˑ１２＝５５０．解法二:原式＝５０ː(４１２－３１２＋１１２)＝５０ː２１２＝５０ˑ６＝３００．解法三:原式的倒数为(１３－１４＋１１２)ː５０＝(１３－１４＋１１２)ˑ１５０＝１３ˑ１５０－１４ˑ１５０＋１１２ˑ１５０＝１３００．故原式＝３００．在上述解法中,你认为哪种解法是错误的．请你选择正确的解法解答下列问题:计算:(－１４２)ː(１６－３１４＋２３－２７)．分析:乘法有分配律,但是除法没有分配律,所以解法一是错误的．解法二是先算括里面的,再算括号外面的;解法三是先算原式的倒数,再得原式的值．解:因为除法没有分配律,所以解法一错误．故原式＝(－１４２)ː(５６－３６)＝(－１４２)ˑ３＝－１１４．点评:解答数学问题的过程是将问题不断转化的过程,这种化归思想将伴随学生整个数学学习过程,即将学习的代数运算㊁方程与不等式的求解都涉及转化与化归思想的运用,在教学中,要引导学生不断体会这种数学思想．３分类讨论思想分类讨论是指当一个问题难以用统一的方法去解决时,将研究对象按一定的标准分解为几个小问题,然后逐一解决,通过小问题的解决从而实现大问题的解答．实际上,分类讨论是先将问题 化整为零 ,再将问题 积零为整 ．有理数中,绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,０的绝对值是０．有理数的乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数与０相乘仍得０．这些都是分类讨论．例５㊀若|x |＝３,|y |＝５,且x y ＜０,求２x ＋y 的值．分析:根据绝对值的意义,分别求出字母x ,y 的值,再根据它们的乘积为负,得到它们异号,进而确定x ,y 的值,代入代数式２x ＋y 求值．解:因为|x |＝３,|ʃ３|＝３,所以x ＝ʃ３．同理|y |＝５,|ʃ５|＝５,所以y ＝ʃ５．因为x y ＜０,所以x ,y 异号,因此x ,y 的值有以下两种情况:①x ＝３,y ＝－５,２x ＋y ＝２ˑ３＋(－５)＝１;②x ＝－３,y ＝５,２x ＋y ＝２ˑ(－３)＋５＝－１．例６㊀有理数a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＞０,a b c ＜０,则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＋|a b c |a b c＝．分析:根据三个数和为正,积为负,分析这三个数的正负号可能出现的情况,然后逐一讨论进行计算．解:因为a b c ＜０,所以负因数有１个或３个．因为a ＋b ＋c ＞０,所以至少有１个正数,因此符合条件的只有一种情况,即其中一个为负数,其余两个为正数,分为以下三种情况:①当a ＜０,b ＞０,c ＞０时,|a |a＋|b |b ＋|c |c ＝|a b c |a b c＝－１＋１＋１－１＝０;②当b ＜０,a ＞０,c ＞０时,|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝|a b c |a b c ＝１－１＋１－１＝０;③当c ＜０,a ＞０,b ＞０时,|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝|a b c |a b c＝１＋１－１－１＝０．故答案为０．点评:此题如果没有前面的两个限制条件,最后的结果可能有ʃ４,０三种情况,分类讨论的目的是克服思维的片面性,防止漏解,能使要解决的问题由大变小,由笼统变为具体,从而使问题得以解决．总之,在学习有理数有关知识的过程中,教师应积极引导学生加强对数学思想的学习和领悟,使学生能从较高的高度去认识数学知识,更本质地学数学㊁做数学㊁用数学．Z５４。

运用数学思想解决有理数问题桂平市石咀二中 梁智华在数学的学习中，掌握一些必备的数学思想可以帮助我们更加理性地学习、驾驭数学，更好的解题. 下面针对有理数中涉及的数学思想作简单举例分析。

希望对大家能有所帮助。

一、分类讨论思想.在有理数及其运算中，涉及分类讨论思想的知识点较多，比如：有关数轴、绝对值、偶次幂的题目往往涉及多种情况，要具备分类讨论思想，才能将题目回答完整。

例1、在数轴上与点3距离5个单位长度的点是__________。

解答的时候往往比较多的学生只是注意到点3的右边的点，而忽略了另一个点，应该分在点3的左边或右边来解求才完整。

例2、已知│a-5│=3，│b+3│=5,求a+b 的值。

析解：此题主要考查绝对值的意义. 因为│a │= 所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数，所以此题需要分为以下四种情况讨论求值：解：（1）、当a-5》0，b+3》0时，a+b=10（2）、当a-5》0，b+3《0时，a+b=0（3）、当a-5《0, b+3》0时，a+b=4（4）、当a-5《0, b+3《0时，a+b=-10例3、如果a 、b 、c 是非零有理数，求cc b b a a ++的值. 析解：同样此题也是主要考查绝对值的意义。

因为a 、b 、c 是非零有理数，所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数. 此题可分为以下四种情况求值：（1）、当a 、b 、c 的绝对值都取本身时，原式为3.（2）、当a 、b 、c 的绝对值有两个取本身时，原式为1.（3）、当a 、b 、c 的绝对值有一个取本身时，原式为1-.（4）、当a 、b 、c 的绝对值都取相反数时，原式为3-.例4、已知｜x ｜=3，()412=+y , 且xy ＜0 ， 求x －y 的值。

a a 》0-a a 《0偶次幂与绝对值一样都是非负数，所以同样要分类进行讨论，再结合所给的条件进行解决问题。