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11-5重积分习题课

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《重积分计算习题》课件

《重积分计算习题》课件

重积分的几何意义
平面区域上的重积分
表示被积函数对应的曲面在平面区域 上所围成的体积。
空间区域上的重积分
表示被积函数对应的立体在空间区域 上所围成的体积。
02 重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过 将积分区域划分为若干个小矩形 ，然后分别对每个小矩形进行积
分，最后求和得到结果。
计算曲面的面积
重积分可以用来计算曲面 的面积，如球面、锥面等 。
确定空间点的位置
通过重积分可以确定空间 中某点的位置，如重心、 形心等。
在物理学中的应用
计算质量分布
在力学中，重积分可以用 来计算分布质量对物体运 动的影响。
计算引力场
在万有引力定律中，重积 分可以用来计算物体之间 的引力。
计算电场
在电动力学中，重积分可 以用来计算电荷分布产生 的电场。
如何提高重积分计算的准确性和效率
多做习题
通过大量的习题练习， 提高计算准确性和效率
。
细心审题
仔细阅读题目，确保理 解题意，避免因为理解
错误导致计算错误。
掌握计算技巧
掌握一些计算技巧，如 换元法、分部积分法等 ，可以提高计算效率。
利用数学软件
对于一些复杂积分，可 以利用数学软件进行计 算，提高计算准确性。
对于多重积分，可以按照积分次 序逐层积分，从外层到内层依次
积分。
在计算过程中，需要注意积分的 上下限，以及被积函数的定义域
。
极坐标系下的计算方法
在极坐标系下，重积分可以通过将积 分区域划分为若干个小圆环，然后分 别对每个小圆环进行积分，最后求和 得到结果。
在极坐标系下，需要注意极角和极径 的范围，以及被积函数的定义域。

多重积分习题课9

多重积分习题课9

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补充题. 补充题 计算积分 所围成 .
其中D 其中 由
y
4 提示: 提示:如图所示 D = D2 \ D1 , 2 o D1 D2 f ( x, y) = x + y 在D2内有定义且 D 4 连续, 连续, 所以 6
y2 = 2x
x
∫∫D
(x + y) dσ = ∫∫D2 ( x + y)dσ ∫∫D1 ( x + y)dσ
12 y 4 = ∫6dy ∫ y2 ( x + y)d x
2
4 y 2 ∫4dy ∫ y2 ( x + y)d x
2
11 = L= 543 15
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三,画出积分区域,并计算下列二重积分: 画出积分区域,并计算下列二重积分: 1, 所确定的闭区域. 1, e x + y dσ ,其中 D 是由 x + y ≤ 1所确定的闭区域. ∫∫
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P124 7 (1) .计算积分 计算积分
其中 其中是两个球
D2 z
Dz 1
z
( R > 0 )的公共部分 的公共部分. 的公共部分 提示: 提示 由于被积函数缺 x , y , 利用"先二后一" 利用"先二后一" 计算方便 . 原式 =
R 2 ∫0 2 z dz ∫∫D1z dxdy
习题课 重积分的 计算 及应用
一, 重积分计算的基本方法 二,重积分计算的基本技巧 三,重积分的应用
第九章
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大学物理-上海交通大学[下册]-11章-课后习题答案解析

大学物理-上海交通大学[下册]-11章-课后习题答案解析

习题1111-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷C108.191-⨯=q，B点上有电荷C108.492-⨯-=q，试求C点的电场强度(设0.04mBC=，0.03mAC=)。

解：1q在C点产生的场强：1124ACqE irπε=，2q在C点产生的场强：2220BCqE jπε=，∴C点的电场强度：44122.710 1.810E E E i j=+=⨯+⨯；C点的合场强：43.2410VE m==⨯，方向如图：1.8arctan33.73342'2.7α===。

11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm50的圆环，两端间空隙为cm2，电量为C1012.39-⨯的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。

解：∵棒长为2 3.12l r d mπ=-=，∴电荷线密度：911.010q C mlλ--==⨯⋅心处场强等于闭合线圈产生电场再减去md02.0=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。

解法1：利用微元积分：21cos4O xRddERλθθπε=⋅，∴2000cos2sin2444OdE dR R Rααλλλθθααπεπεπε-==⋅≈⋅=⎰10.72V m-=⋅；解法2：直接利用点电荷场强公式：由于d r<<，该小段可看成点电荷：112.010q d Cλ-'==⨯，则圆心处场强：1191222.0109.0100.724(0.5)OqE V mRπε--'⨯==⨯⨯=⋅。

方向由圆心指向缝隙处。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。

解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。

①对于半无限长导线A∞在O点的场强：ix有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强： 有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：20002000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R ππλλπθθππεπελλπθθππεπε==-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=--⎩⎰⎰∴总场强：04O x E R λπε=，04O y E R λπε=，得：0()4O E i j R λπε=+。

《高数》下册第十一章练习题

《高数》下册第十一章练习题

第十一章 曲线积分与曲面积分习题 11-11.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。

用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I（2）这曲线弧的质心坐标x ,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22(x y )nLds +⎰，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤（2）(x y)ds L+⎰，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段（3）x Lds ⎰，其中L 为由直线y=x 及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界 （4）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界（5）2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧 （6）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2） （7）2Ly ds ⎰，，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤（8）22(x )ds Ly +⎰，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤4.求半径为ａ，中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中02t π≤≤，它的线密度222(x,y,z)x y z ρ=++．求： （１）它关于ｚ轴的转动惯量z I（２）它的质心。

习题 11-21.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(x,y)dx 0LP =⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：(x,y)dx (x,0)dxbLaP P =⎰⎰3.计算下列对坐标的积分： （1）22(xy )Ldx-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）Lxydx⎰，其中L 为圆周222(x )a a y a -+=（>0）及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）Lydx xdy+⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧（4）22(x y)dx (x y)dy L x y +--+⎰，其中L 为圆周222+y x a =（按逆时针方向绕行） （5）2x dx zdy ydzΓ+-⎰，其中Γ为曲线cos ,sin x k y a z a θ,θθ===上对应θ从0到π的一段弧 （6）(x y 1)dz xdx ydy Γ+++-⎰，其中Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线（7）+y dx dy dzΓ-⎰，其中Γ为有向闭折线ABCD ，这里的A,B,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）22(x2xy)dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧 4.计算(x y)dx (y x)dy L++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线（4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R +=按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z 轴与动力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x,y,z ）沿直线移到（x,y,z ）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分(x,y)dx Q(x,y)dyLP +⎰化成对弧长的积分曲线，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）（2）沿抛物线2y x =从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周222x y x +=从点（0,0）到点（1,1） 8.设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy RdzΓ++⎰化成对弧长的曲线积分习题 11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）22(2xy x )dx (x y )dyL-++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线 （2）222(x xy )dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线33cos ,sin x a t y a t ==（2）椭圆229+16y 144x = （3）圆222x y ax +=3.计算曲线积分22ydx 2(x y )L xdy -+⎰，其中L 为圆周22(x 1)2y -+=，L 的方向为逆时针方向4.证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值（1）(2,3)(1,1)(x y)dx (x y)dy++-⎰（2）(3,4)2322(1,2)(6xy y )dx (63)dy x y xy -+-⎰（3）(2,1)423(1,0)(2xy y 3)dx (x 4xy )dy-++-⎰5.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）(2x y 4)dx (5y 3x 6)dyL-+++-⎰，其中L 为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin )(x sinx 2ye )dyx x Lx y x xy x y e dx +-+-⎰，其中L 为正向星形线222333(a 0)x y a +=>（3）3222(2xy y cosx)(12ysinx 3x y )dyLdx -+-+⎰，其中L 为在抛物线22x y π=上由点（0,0）到（2π，1）的一段弧（4）22(xy)dx (x sin y)dyL--+⎰，其中L 是在圆周22y x x =-上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧6.验证下列(x,y)dx (x,y)dy P Q +在整个xOy 平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：（1）(2)(2)x y dx x y dy +++（2）22xydx x dy + （3）4sin sin3cos 3cos3cos 2x y xdx y xdy -（4）2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++ （5）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++- 7.设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-，这变力确定了一个力场。

高等数学 二重积分习题课

高等数学 二重积分习题课
所以
y
1
D
1
dx
1 x 2e y2 dy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
x
0
0
.
0
y x 1x

1 y 3 e y2 dy 1
03
6
1 y 2e y2 d( y 2 （) 令 y 2 u )
D
D1
D2

0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x

y
dy
1
1 x
0
x 1

0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e

e 2 x1 )dx

e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2

y2

重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再 利用极坐标计算即可。
解：令
Байду номын сангаас
2
x2

y2

x2

y2,
求得曲线
z

2 x2 y2
z x 2 y2
在xoy坐标面上的投影曲线方程为 x2 y2 1;
故立体在 xoy坐标面上投影区域为Dxy : x2 y2 1.
f (i ,
i ) i
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D

重积分习题课

重积分习题课

上的三重积分，记为 n
f
( x,
y, z)dv
lim
0
f (i ,i , i )vi .
i 1
7、三重积分的几何意义
当 f ( x, y, z) 1时,
dv V 表示空间区域的体积．
8、三重积分的性质
类似于二重积分的性质．
9、三重积分的计算
(１) 直角坐标
: z1( x, y) z z2( x, y); y1( x) y y2( x); a x b.
a
a
b
b
b
dy ( x y)n2 f ( y)dx
a
y
a
b a
f
(
y)dy[ 1 ( x n1
y)n1 ]by
1
b
(b
y )n1
f
(
y)dy.
n1 a
y x
D
a
b
例7 计算
1 dv，其中 是由六个顶点 :
x2 y2
A(1,0,0), B(1,1,0),C(1,1,2), D(2,0,0), E(2,2,0),
薄片对 z 轴上单位质点的引力 F {Fx , Fy , Fz },
Fx
f
D
(
x
(
2
x, y2
y)
x a
2
)
3 2
d
,
Fy
f
D
(
x
(
2
x, y2
y)
y a
2
)
3 2
d
,
Fz
af
D
(
x2
( x, y2
y) a2
3
)2

重积分习题课62讲PPT课件


分析重积分的物理意义及 几何应用
探讨重积分的收敛性与一 致收敛性
通过典型例题，深入剖析 重积分的计算技巧
解题技巧与方法总结
熟练掌握重积分的计算方 法和步骤
掌握不同坐标系下重积分 的计算方法及转换技巧
学会运用重积分的性质简 化计算过程
理解重积分的物理意义和 几何应用，提高解题能力
学生自测与讨论环节
学生学习成果展示
01 掌握了重积分的基本概念、性质与计算方法，能 够熟练地进行二重积分和三重积分的计算。
02 学会了根据实际问题选择合适的坐标系与积分次 序，提高了解决问题的效率与准确性。
02 通过课程学习，增强了对数学分析的理解与应用 能力，为后续课程学习打下了坚实基础。
对未来学习的建议与展望
利用极坐标计算二重积分
极坐标与直角坐标的转换
通过极坐标与直角坐标之间的转换公式，将二重积分从直角坐标系转换到极坐标系下进行计算。
投影法与截面法在极坐标系下的应用
类似于直角坐标系下的投影法和截面法，可以在极坐标系下使用相应的方法来计算二重积分。
二重积分的换元法
01 雅可比行列式
在二重积分的换元法中，需要计算雅可比行列式 来确定新变量与原变量之间的关系。
计算体积
利用三重积分可以计算三 维空间中物体的体积，通 过划分小立方体并求和的 方式得到。
曲线弧长
利用二重积分可以计算平 面曲线的弧长，通过对曲 线进行微元分割并求和的 方式得到。
重积分在物理中的应用
计算质心
利用二重或三重积分可以计算物 体的质心坐标，通过对物体各点
的质量进行加权求和得到。
计算转动惯量
02 截面法
通过截面将三重积分转化为二重积分，再进一步 转化为一重积分进行计算。

高等数学重积分习题课PPT课件


质心定义
质心是物体质量的中心点，对于 连续分布的物体，质心可以通过 重积分计算得到。
形心定义
形心是物体几何形状的中心点， 对于平面图形或立体图形，形心 可以通过重积分计算得到。
质心与形心的关系
在某些情况下，质心和形心可能 重合，但在一般情况下，它们是 不同的点。质心和形心的求解方 法类似，都需要用到重积分。
保号性
若在区域$D$上，有$f(x,y) leq g(x,y)$，则 $iint_{D} f(x,y) dsigma leq iint_{D} g(x,y) dsigma$。
积分区域的可加性
若区域$D$被划分为两个子区域$D_1$和$D_2$， 且它们没有公共部分，则$iint_{D} f(x,y) dsigma = iint_{D_1} f(x,y) dsigma + iint_{D_2} f(x,y) dsigma$。
球面坐标系下三重积分计算
球面坐标变换
将直角坐标系下的三重积分通过球面坐标变 换转化为球面坐标系下的三重积分。
投影法与截面法在球面坐标 系中的应用
类似于直角坐标系和柱面坐标系下的方法，通过投 影或截面将三重积分转化为二重积分或一重积分进 行计算。
利用球面坐标系的性质简 化计算
根据球面坐标系的性质，选择合适的积分顺 序和积分限，简化三重积分的计算过程。
学习方法与建议
01
重视基础知识的学习
在学习重积分的过程中，需要重视基 础知识的学习，如多元函数的微分学 、向量分析等，这些知识是理解和应 用重积分的基础。
02
多做习题巩固知识
通过大量的习题练习，可以加深对重 积分知识的理解和掌握，提高解题能 力和思维水平。
03
寻求帮助和辅导

高等数学-重积分习题课件


当 f (–x, y)= – f (x,y) 当 f (–x,y)= f (x,y)
(3)若D分别关于x 轴、y轴对称，而 f (x,y)关于x,y同时为偶函数，
则 f ( x, y)d 4 f ( x, y)d
D
D3
当 f (–x,y)= f (x,y) 且f (. x. ,–y)= f (x,y)
密度为 ( x, y, z)，假定 ( x, y, z) 在 上连续，则该
物体的重心为
x

1 M

xdv,
y

1 M

ydv,
z

1 M

zdv.
其中 M dv.
(２) 转动惯量
设物体占有空间闭区域 ，在点( x, y, z) 处的
密度为 ( x, y, z)，假定 ( x, y, z) 在 上连续，则该
给出时，有： f (x, y, z)dV
Ω


d
d 2 (θ )
r2(θ , ) f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2sindr.

1 (θ )
r1 (θ , )
. .
(4)问题：根据什么选择坐标系？
根据被积函数和积分区域 的边界曲面的特点。
za注意注意2因为关于xoy坐标面对称上半球体10三重积分的应用上连续则该物体的重心为转动惯量设物体占有空间闭区域上连续则该物体对坐标面坐标轴及原点的转动惯量为上连续计算该物体对位于点其中计算其中计算dxdy1511分成将积分区域dydxdydx是由心脏线其中计算dx证明dydy利用球面坐标奇函数面为对称关于zdvdvsincosdrdvdudtdtdtdvdvdudt因积分区域d关于x轴对称

重积分及其计算16课件.ppt


yx
dx
1
y y1
x
2 x2 (x 1) d x
1
x
2 1 。 4
例4
解
求曲面z 1 4x2 y2 与 xy 坐标面所围成的几何体的体积。
z 该几何体为椭圆抛物体
位于 xy 平面上方的部分。它
关于 xz 和 yz 坐标面对称。
此外，由曲线
O
y
z 1 4x2 y2 x
z 0
围成的积分区域关于x 轴和 y 轴对称，故只需计算出第一卦限
d d xd y
相应地，直角坐标系下 ，二重积分写为
f (x, y) d x d y 。
D
(5) 二重积分是一个数，它取决于被积函数和积分区域， 而与积分变量的记号（ 字母）无关：
f (x, y) d x d y f (u,v) d u d v
D
D
二.二重积分的性质
假设以下出现的 二重积分均存在
z f (x, y) 平面:
xx
2 ( x)
当函数 f (x, y) 在区域 D 上可积时：
D {(x, y) | a x b , 1(x) y 2 (x) }, 其中，1(x)，2 (x) C( [a ,b] )，且垂直于x 轴的直线与区域
D 的边界的交点不多于两 个，则
f (x, y)d x d y
D
D1
D2
性质 4 设 f (x, y) R(D), 且f (x, y) 0, (x, y) D，则
f (x, y)d x d y 0
D
推论1 若 f (x, y) g(x, y) (x, y) D，则
f (x, y) d x d y g(x, y) d x d y 。
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2014年6月8日星期日
《高等数学》第十一章 习题课
22
算 例 试用三种坐标系分别计 I z dv, : x y z z .

z
2
Dz
解法1. 直角坐标系(切片法)
Dz : x 2 y 2 2z z 2 ; 0
1
z 2.
I
2
提示:由于被积函数缺 x , y ,
z
R
R 2
利用“先二后一”计算方便 . 原式 =
x
R
2
2
o
y

R 2
0
R 2
d z z dxdy R d z z dxdy
2 D1 z D2 z
z (2 R z z ) d z z 2 ( R2 z 2 ) d z
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 , 利用对称性,得
I ( x x y e
2 D x2 y2
)dxdy ,
y
x2 y2
x dxdy x y e
2 D
D1
dxdy dxdy
x y e
D2
x2 y2
yx o D2 1 x D1 1 y x
0
zd dz Dz
o
2
y

2
0
4 . z (2z z )dz 3
《高等数学》第十一章 习题课
x
24
2014年6月8日星期日
算 例 试用三种坐标系分别计 I z dv, : x y z z .

z
2
注：
直角坐标系（先一后二）


(b a) f 2 ( x)d x =右 a
2014年6月8日星期日
b
2ab a 2 b 2
19
《高等数学》第十一章 习题课
例 设函数 f (x) 连续且恒大于零, f ( x y z )dv
2 2 2
F (t )
( t )
z
D( t )
f ( x
2
在 (0,) 上 F (t ) 0, 故 F (t ) 在 (0,) 上单调增加.
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《高等数学》第十一章 习题课
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(2) 问题转化为证
0 G (t )
t 2
2
d f (r )r d r f (r 2 )r d r 0 0 t t 2 2 2 f (r ) d r f (r ) d r
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解法2. 柱面坐标系计算
a
y m( a x ) a m( a x ) e f ( x)d x (a x)e f ( x)d x 0 0 y

提示: 左端积分区域如图,
交换积分顺序即可证得.
2 2 2
a
D
yx
z ln( x y z 1) 例 求 dv , 其中是 2 2 2 x y z 1
2 0 0
t
t
即证 g (t ) 0 f (r )r d r 0 f (r
2
t
2
2 2 ) d r f (r )r d r 0 0
t
因
2 2 g (t ) f (t ) f (r )(t r ) d r 0 2 0
t
故 g (t ) 在 (0, ) 单调增,又因 g (t ) 在t 0 连续 , 故有 g (t ) g (0) 0 (t 0) 2 因此 t > 0 时, F (t ) G (t ) 0 .
a a
D
b
b
1 [ f 2 ( x ) f 2 ( y )] dxd y 2 D
a xb D: a y b


1 b 2 a

dy
b 2 b b 2 f ( x ) dx dx f ( y ) d y a a a


b a b f 2 ( x)d x b f 2 ( y )d y 利用 2 a a
2 t t
2
y )d
2
D(t )
G(t )
D( t )
f ( x
y )d
2 2
f ( x )dx
2 2 2
x
2
o (t )
t y
其中 (t ) {( x, y, z ) x y z t },
D(t ) {( x, y ) x 2 y 2 t 2 }.
面积为: 形心坐标
1 x xdxdy A D 1 y ydxdy A D
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5 x A 3 y A
[5 (1) 3 2] A 9
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2 2 例 计算二重积分 I ( x y 2 xy 2 )dxdy, D
11 543 15
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或形心公式简化计算 分块积分法
3. 消去被积函数绝对值符号
利用对称性
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例 证明:
0 d y
2 2

t
0
0 2
d f (r 2 )r d r
0
0 t

2 f (r 2 )r 2 d r
t
0
0 t
f (r 2 )r d r
两边对 t 求导, 得
F (t ) 2
t f (t ) f (r 2 )r (t r ) d r
2 0
t
0 f (r
t
2
)r d r
z x 的偶（奇）函数，则 y


f ( x, y , z )dv f ( x, y, z ) dv （ f ( x, y , z ) dv ）


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例
计算二重积分 所围成的闭区域.
其中D 为圆周 提示: 利用极坐标
原式
2 0
1 r2 2
d
0
10 3
250 r dr r 2 d x 3 2
5
8
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例. 计算积分
所围成. 提示:如图所示 D D 2 D1 ,
f ( x, y) x y 在 D2 内有定义且
，其中D 由
y
连续,所以
1 求 lim 4 F (t )， t 0 t
x2 y2 z 2 t 2

f ( x2 y2 z 2 ) d x d y d z
解: 在球坐标系下
4 f (r ) r d r
2 0
t
F (0) 0 ，利用洛必达法则与导数定义,得
2 f (t ) f (0) 4 f ( t ) t F (t ) lim f (0) lim 4 lim 3 t 0 t0 t 0 t t 0 4 t
2 2 0
R
59 5 R 480
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R 2
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例
计算三重积分
其中是由 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
xoy平面上曲线
所围成的闭区域. xx 提示: 利用柱坐标 y r cos z r sin
z
o x
5 y
x5 : 0 r 10 0 2
其中D 为圆域
解:
在第一象限部分.
作辅助线 y x 将D分成
y 1
D1 , D2 两部分
( y x )dxdy ( x y )dxdy 2 dxdy
D1
D2
D1
yx
D2
o
D
1 x
2 ( 2 1) 3 2
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三、重积分的应用
1. 几何方面
面积(平面域或曲面域),体积,形心
2. 物理方面 质量,转动惯量,质心,引力 3. 其它方面
证明某些结论等
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例
证明
证:左 f ( x) dx f ( y ) d y f ( x ) f ( y ) dxd y
1 1 x 2
2
1
I dx
1 1 1
1 x 1 x
dy
1 1 x 2 y 2
2 2
1 1 x y
zdz
dx
2
o
y
1 x
2 2 2 1 x y dy 2

2
0
4 x . d 2 1 r rdr 0 3
1 2
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例
交换下列二次积分的次序：
解: 如图所示
1
y
1
x
D
o
1
f ( x , y )d
D
d x x 2 f ( x , y ) d y d x x f ( x , y ) d y