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2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1．（5分）执行如图的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是（）A．8B．6C．1D．﹣12．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数y＝1﹣2sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数4．（5分）学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在[10，50），其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30，50）的学生有67人，则n的值是（）A．100B．120C．130D．3905．（5分）已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离是（）A．B．C．1D．26．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n7．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．88．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）＝﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x+2）2+y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（﹣2）＝﹣2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．（4分）若复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于．12．（4分）（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）13．（4分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n，a3＝8，则数列{log2a n}的前n项和等于．14．（4分）记曲线y＝x2与y＝围成的区域为D，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数x，y，则点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于．15．（4分）已知函数f（x）＝x2（e x+e﹣x）﹣（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），则满足f （x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题：本大助共5小题．共80分．．16．（13分）如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB＝∠F AB＝90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA＝AB＝BE＝2，BC ＝1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．17．（13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中与否相互独立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．19．（13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A﹣C﹣P和滑雪练习道A﹣E﹣P（如图）．已知cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，cos∠APE＝，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6（单位：百米）．（Ⅰ）求滑道CP的长度；（Ⅱ）由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D，修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC+DE最短，最短为多少百米？20．（14分）如图，点A，B分别是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）2十y2＝9经过椭圆E的左焦点F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．（i）求•的取值范围；（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知点A（1，2）在矩阵M＝[]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．选修4-4坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ+12＝0，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．选修4一5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1．（5分）执行如图的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是（）A．8B．6C．1D．﹣1【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行x＝3﹣2＝1；第二次运行x＝1﹣2＝﹣1，满足x＜0，∴执行y＝（﹣1）3＝﹣1．∴输出y＝﹣1．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x＜0}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}，∴A⊊B，即“x∈A”是“x∈B”充分不必要条件．故选：A．3．（5分）函数y＝1﹣2sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：y＝1﹣2sin2x＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝＝π，∵余弦函数为偶函数，∴函数为最小正周期为π的偶函数．故选：B．4．（5分）学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在[10，50），其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30，50）的学生有67人，则n的值是（）A．100B．120C．130D．390【解答】解：由频率分布直方图得，每天课外阅读时间在[10，20）和[20，30）的频率分别为0.010×（20﹣10）＝0.10，0.023×（30﹣20）＝0.23；∴每天课外阅读时间在[30，50）的频率为：1﹣（0.10+0.23）＝0.67，∴抽取的学生数n＝67÷0.67＝100；故选：A．5．（5分）已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离是（）A．B．C．1D．2【解答】解：设P到y轴的距离为a，则P到焦点的距离为2a，∴由抛物线的定义可得a+1＝2a，∴a＝1，即P的横坐标为1，代入抛物线方程，可得P的纵坐标为±2，∴点P到x轴的距离是2．故选：D．6．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n【解答】解：若α⊥β，m⊂α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故A错误；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，n⊂a，则m与n可能平行也可能异面，故D错误；故选：C．7．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b＝2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴＝＝当a＝时，取最小值为4故选：B．8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝，此时d2＝8，由，解得，即O在直线x+y﹣4＝0的垂足为B（2，2），则（2，2）满足不等式ax﹣y﹣2≤0即可．即2a﹣2﹣2≤0，解得a≤2，即正实数a的取值范围是0＜a≤2，故选：A．9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）＝﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由1＞＞0，∴函数f（x）＝﹣2＜0，函数的图象在x轴下方，∴B正确．a＝0时D正确．由a是实数，函数f（x）＝﹣2∴当a→0时，y→﹣1，当a≠0时，由无限的思想可知，当x→+∞时，y→﹣2，当x→﹣∞时，y→﹣1，A正确；∴满足题目要求的图象，A、B、D．故选：C．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x+2）2+y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（﹣2）＝﹣2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），∴f（﹣2）＝﹣2正确；②∵m＝f（n），n∈[﹣8，4]不关于原点对称，∴f（n）是偶函数错误；③由图形知，点D向右移动，点F也向右移动，f（n）在定义域上是增函数，正确；④由图形知，当D移动到圆A与x轴的左右交点时，分别得到函数图象的左端点（﹣8，﹣3），右端点（4，3），故f（n）图象的两个端点关于圆心A对称，正确．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．（4分）若复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于1﹣2i．【解答】解：∵复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|，∴（1﹣2i）（1+2i）z＝，化为5z＝5（1﹣2i），∴z＝1﹣2i．故答案为：1﹣2i．12．（4分）（）6的展开式中，常数项为15．（用数字作答）【解答】解：∵T r+1＝（﹣1）r•，∴由6﹣3r＝0得r＝2，从而得常数项C6r＝15，故答案为：15．13．（4分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n，a3＝8，则数列{log2a n}的前n项和等于．【解答】解：∵数列{a n}中，a n+1＝2a n，∴＝2，∴{a n}是公比为2的等比数列，∵a3＝8，∴，解得a1＝2，∴，∴log2a n＝n，∴数列{log2a n}的前n项和：S n＝1+2+3+…+n＝．故答案为：．14．（4分）记曲线y＝x2与y＝围成的区域为D，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数x，y，则点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于．【解答】解：根据积分的几何意义可知区域D的面积为＝（）|＝，正方形OABC的面积为1×1＝1，则由几何概型的概率公式可得点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于，故答案为：15．（4分）已知函数f（x）＝x2（e x+e﹣x）﹣（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），则满足f （x）＞0的实数x的取值范围为（﹣1，﹣）．【解答】解：构造函数g（x）＝x2（e x+e﹣x），则g（x）＝x2（e x+e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x2（e x+e﹣x）＞（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），即g（x）＞g（2x+1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x+1|），即|x|＞|2x+1|，即x2＞（2x+1）2，∴3x2+4x+1＜0，解得﹣1，故答案为：（﹣1，）．三、解答题：本大助共5小题．共80分．．16．（13分）如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB＝∠F AB＝90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA＝AB＝BE＝2，BC ＝1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴DA⊥平面ABEF，∵EF⊂平面ABEF，∴DA⊥EF．（Ⅱ）DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（0，2，0），E（2，2，0），D（0，0，2），C（0，2，1），∴，设平面DCE的法向量，则，令x＝1，得平面DCE的一个法向量，又，cos＜＞＝，∴直线BE与平面DCE所成角的正弦值为．17．（13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中与否相互独立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．【解答】解：（1）设事件A i表示“乙第i次投中”，（i＝1，2，3）则P（A i）＝，（i＝1，2，3），事件A1，A2，A3相互独立，P（乙直到第3次才投中）＝P（）＝（1﹣）•（1﹣）•＝．（2）设乙投中的次数为η，则η～B（3，），∴乙投中次数的数学期望Eη＝3×＝．设甲投中的次数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，∵甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率，∴甲前2次投中次数股从二项分布B（2，），且每次投中与否相互独立，P（ξ＝0）＝（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝+＝，P（ξ＝3）＝＝，∴甲投中次数的数学期望Eξ＝＝，∴Eη＞Eξ，∴在比赛前，从胜负的角度考虑应该支持乙．18．（13分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≤0时，f（x）＝x2+2x+3，其单调递增区间为[﹣1，0]；x＞0时，f（x）＝x2e﹣x，∴f′（x）＝﹣x2e﹣x（x﹣2）令f′（x）＞0，可得x＜2，∴单调递增区间为（0，2），∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣1，0]和（0，2）；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，等价于函数f （x）的值取遍每一个正数．注意到x≤0时，f（x）＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴x＞0时，f（x）的值域必须包含（0，2）．x＞0时，f′（x）＝xe ax（ax+2）①a≥0，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，f（x）的值域为（0，+∞），符合题意；②a＜0，f′（x）＞0，可得0＜x＜﹣，令f′（x）＜0，可得x＞﹣，∴函数在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上递减，∴f（x）max＝f（﹣）＝，∴（x）的值域为（0，]，∴（0，]⊃（0，2），∴≥2，∴﹣≤a＜0，综上，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．19．（13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A﹣C﹣P和滑雪练习道A﹣E﹣P（如图）．已知cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，cos∠APE＝，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6（单位：百米）．（Ⅰ）求滑道CP的长度；（Ⅱ）由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D，修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC+DE最短，最短为多少百米？【解答】解：（Ⅰ）∵cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，∴sin∠ACP＝，sin∠APC＝，∴sin∠P AC＝sin（∠ACP+∠APC）＝，∵，∴CP＝5，即滑道CP的长度为5百米；（Ⅱ）设DP＝x，x∈[0，10]，∵EP＝6，CP＝5，cos∠APC＝，cos∠APE＝，∴DE＝＝，DC＝＝∴DE+DC＝+＝，当且仅当x＝4时，（DE+DC）min＝3+2．20．（14分）如图，点A，B分别是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）2十y2＝9经过椭圆E的左焦点F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．（i）求•的取值范围；（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意知a＝2，圆B：（x﹣2）2+y2＝9中，令y＝0，得F1（﹣1，0），∴b2＝4﹣1＝3，∴椭圆E：．（Ⅱ）（i）当直线为x轴时，．设直线AP：x＝ty﹣2，与E：联立，得（3t2+4）y2﹣12ty＝0，∴y p＝，x p＝，AP：x＝ty﹣2中，令x＝0，得，∴＝（1，）•（）＝，综上所述，的取值范围是[0，2）．（ii）假设存在定圆r满足题意，根据椭圆的对称性，猜想定圆r的圆心在x轴上，当P恰好为B时，圆P就是定圆B：（x﹣2）2+y2＝9，交x轴于D（5，0），当P无限接近于A时，圆P就是圆A：（x+2）2+y2＝1，交x轴于C（﹣3，0）．∴定圆r的圆心为CD中点F2（1，0），恰好为E：的右焦点，∴猜想定圆r：（x﹣1）2+y2＝16．下证：圆P始终内切于定圆r，∵|PF2|+|PF1|＝4，∴|PF2|＝4﹣|PF1|得证．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知点A（1，2）在矩阵M＝[]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．【解答】解：（Ⅰ）由题意，[]＝，∴，∴，∴M＝；（Ⅱ）M的特征多项式为f（λ）＝（λ﹣1）（λ﹣4），令f（λ）＝0，可求得特征值为λ1＝1，λ2＝4，设λ1＝1对应的一个特征向量为＝，则由λ1＝M，得﹣x﹣2y＝0可令x＝2，则y＝﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1＝1对应的一个特征向量为＝，同理可得矩阵M的一个特征值λ2＝4对应的一个特征向量为＝．选修4-4坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ+12＝0，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，可得x2+y2﹣8x+12＝0，即（x﹣4）2+y2＝4；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y﹣2＝0．圆心到直线的距离等于＝，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+2．选修4一5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝2，不等式f（x）＜1，化为|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．不等式的解集为：{x|1＜x＜3}．（Ⅱ）由f（x）＝|x﹣a|，设g（x）＝f（x）+|x+1|，即g（x）＝|x﹣a|+|x+1|，其几何意义就是数轴上的点到a与﹣1的距离之和，不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，就是距离之和的最小值也大于3，即|a+1|≥3，解得，a≥2或a≤﹣4，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．。
福建省厦门双十中学2014届高三热身考试理科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，则()U NM =ð ( )A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个 3.下列结论错误．．的是( ) A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则” B.“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件C.已知命题p “若0m >，则方程20x x m +-=有实根”,则命题p 的否定p ⌝为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或” 4．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞5. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )A.1B.2C.3D.46.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178儿子身高y (cm)175 175 176 177 177则y 对x A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝1767．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是( )8. 已知方程|x –x （*n N ∈）在区间[2n –1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．021k n <≤+B ．0<k ≤21n +C ．21n +≤k ≤21n + D ．021k n <<+9. 如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2AA 1=4，点O 是底面ABCD 的中心，点E 是A 1D 1的中点，点P 是底面ABCD 上的动点，且到直线OE 的距离等于1， 对于点P 的轨迹，下列说法正确的是（ ）A.离心率为2的椭圆B.离心率为1的椭圆 C.一段抛物线 D.半径等于1的圆10.已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f ：M→N，且点A （0，f （0）），B （i ，f （i ）），C （i+1，f （i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC 的内切圆圆心为P ，且满足()PA PC PB R λλ+=∈，则满足条件的ABC ∆有（ ） A ． 10个 B ． 12个 C ． 18个 D ． 24个 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
厦门市2014届高三3月质量检查数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置．1~10：DABAD CBACC8．提示：当22y x +取最小值8时，2x y ==；点(2,2)满足第三个不等式20ax y --≤即可． 9．提示：对参数a 分类，当0=a ，1-=y ；0≠a ，用极限思想，当+∞→x 时，2-→y ， -∞→x 时，1-→y ，故选C 10．提示：①正确．②错．函数()m f n =，[]8,4n ∈-不关于原点对称，因此没有奇偶性． ③正确．观察图形，点D 向右移动，点F 也向右移动．④正确．观察图形，当点D 移动到圆A 与x 轴的左、右交点时，分别得到函数()m f n =图象的左端点(8,3)--、右端点(4,3)．二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11.12i - 12.15 13.(1)2n n + 14.13 15.1(1,)3-- 15．提示：设()2()x x g x x e e -=+，()0()(21)f x g x g x >⇔>+ 不难研究出()g x 为偶函数，且在[0,)+∞单调递增，1()(21)|||21|13g x g x x x x >+⇔>+⇔-<<-.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．16．本题考查立体几何中的线面位置关系、空间角、空间向量等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想．满分13分．（Ⅰ）证明： 090=∠DAB ，AB DA ⊥∴， -------------------------------------1分 又平面⊥ABCD 平面ABEF ，平面 ABCD 平面AB ABEF =，⊥∴DA 平面ABEF ， ----------------------------------------4分⊂EF 平面ABEF ，EF DA ⊥∴ --------------------------------------6分（Ⅱ）解法一：⊥DA 平面ABEF ，AF AB ⊥，以AF 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，如图所示， ------------ 7分 )1,2,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,2,0(C D E B ∴，)1,2,0(),2,2,2(-=-=DC DE ， -------------------------------------8分设平面DCE 的法向量),,(000z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n n ， ∴⎩⎨⎧=-=-+02000000z x z y x ，令10=x 得平面DCE 的一个法向量)2,1,1(=n， -----------------------------------10分又),0,0,2(=BE66262,c o s =⨯=>=<n BE， ---------------------12分 ∴直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值是66. --------------------------------------13分 解法二：设点B 到平面DCE 的距离为h ，直线BE 与平面DCE 所成角为α 5==EC DC ，32=DE ， ∴6=∆EDC S ，1=∆BCD S ， ----------------------9分连接DB ，则EDC B BCD E V V --=，BE S h S BCD EDC ⨯=⨯∆∆3131，∴26=h ，36=h ， -------------11分 ∴66236sin ===EB h α ， ---------------------12分 ∴直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值是66. ---------------------13分 17. 本题考查概率统计中的相互独立事件同时发生的概率、二项分布、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查必然与或然思想．满分13分． 解：（1）记事件i A ：乙第i 次投中，(1,2,3)i =，则2() (1,2,3)5i P A i ==，事件123,,A A A 相互独立 P （乙直到第3次才投中）=123123()()()()P A A A P A P A P A ⋅⋅=⋅⋅ --------------------3分=22218(1)(1)555125-⋅-⋅=------------------5分 （2）设甲投中的次数为ξ，乙投中的次数为η，则η~2(3,)5B ，∴ 乙投中次数的数学期望26355E η=⨯= --------------------------------------7分ξ的可能取值是0,1,2,3. --------------------------------------8分甲前2次投中次数服从二项分布1(2,)3B ，且每次投中与否相互独立.1114(0)(1)(1)(1)3329P ξ==-⋅-⋅-=12222111114(1)(1)(1)(1)332329P C C ξ==⋅⋅-⋅-+-⋅= ------------------9分22122111115(2)()(1)(1)3233218P C C ξ==⋅⋅-+⋅⋅-⋅= -----------------10分 222111(3)()3218P C ξ==⋅⋅= -----------------11分∴ 甲投中次数的数学期望4451701239918186E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= -----------------12分∴E E ηξ>∴在比赛前，从胜负的角度考虑，应支持乙． ----------------13分注：如果学生没有计算(0)P ξ=，不必扣分，但如果计算出错，则扣1分．18．本题考查分段函数、二次函数、导数及其应用等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查分类与整合、化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想．满分13分．解：（Ⅰ）当0x ≤时，2()23f x x x =++，其单调递增区间为[1,0]-； -------------------2分当0x >时，∵1a =-，∴2()xf x x e -=， ∴2()2(1)(2)xx x f x xex e xe x ---'=+⋅-=-- -----------------------------------------4分令()0f x '>，得2x <，∴()f x 的单调递增区间为(0,2)． -----------------------5分 综上，函数()f x 的单调递增区间为[1,0]-和(0,2)． --------------------------6分（Ⅱ）“方程()f x m =对任意正实数m 恒有实数解”等价转化为“函数()f x 的值取遍每一个正数”，---------------------------------------------------------7分注意到当0x ≤时，22()23(1)22f x x x x =++=++≥，因此，当0x >时，()f x 的值域必须包含(0,2)， ------------------------------------------8分 以下研究0x >时的函数值域情况，0x >时，2()ax f x x e =，∴2()2(2)ax ax ax f x xe x ae xe ax '=+⋅=+，① 若0a ≥，则()0f x '>，此时()f x 在(0,)+∞上递增，()f x 的值域为(0,)+∞，满足要求； -------------------------------------------------------10分② 若0a <，令()0f x '>，得20x a <<-；令()0f x '<，得2x a>- ∴()f x 在2(0,)a -上单调递增，在2(,)a -+∞上单调递减 -----------------------------11分∴22max 22224()()()f x f e a a a e -=-=-⋅=， ∴()f x 值域为224(0,]a e，由224(0,](0,2)a e ⊃得，2242a e≥，解得，0a ≤< ----------------------------12分综上，所求实数a 的取值范围是[)e-+∞． --------------------------------------------13分 19．本题考查三角恒等变换、正弦定理和余弦定理等基础知识；考查学生信息处理能力、运算求解能力、空间想象能力及应用意识；考查化归与转换思想．满分13分．解：（Ⅰ）∵cos 5ACP ∠=-，4cos 5APC ∠= ∴sin 5ACP ∠=，3sin 5APC ∠=∵sin sin()sin cos sin cos 5PAC APC ACP APC ACP ACP APC ∠=∠+∠=∠⋅∠+∠⋅∠= ----4分 ∵sin sin AP PCACP PAC=∠∠ ∴5CP = ∴滑道CP 的长度是5百米． --------------------6分 （Ⅱ）设DP x =，[0,10]x ∈ ∵6EP =，5CP =，4cos 5APC ∠=，2cos 3APE ∠=∴DE ==DC ==∴DE DC +=---------------------------------9分解法一：令()f x DE DC =+==当且仅当4x =， min ()(4)3f x f ==+． --------------12分答：DP 为4百米时，DE+DC 最短，为（3+ ---------13分解法二：令28t x x =-，则[16,10]t ∈-，令()g t DE DC =+=∵()0g t '=>，∴()g t 在[16,10]-单调递增，∴()g t 的最小值为(16)3g -=+4x =． ---------------------------------12分答：DP 为4百米时，DE+DC 最短，为（3+ ---------------------------------13分 解法三：把空间四边形AEPC 展开成平面四边形AEPC ，此时DE+DC 的最小值为线段EC ，D 为AP 与EC 的交点． ---------------------------------8分∵4cos 5APC ∠=，2cos 3APE ∠= ∴8cos 15EPC -∠=∴22222cos EPC 29(3EC EP PC EP PC =+-⋅⋅∠=+=+∴3EC =+ ---------------------------------10分∵4cos 5APC ∠=，2cos 3APE ∠=∴sin EPC ∠=∴根据正弦定理，sin 4sin cos 5EP EPC ECP APC EC ⋅∠∠===∠ ∴90CDP ∠=∴4DP = ---------------------------------12分 答：DP 为4百米时，DE+DC最短，为（3+ --------------------13分 20. 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、探索求解的能力；考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想．满分14分．解：（Ⅰ）依题意可知2a =，圆22:(2)9B x y -+=中令0y =，得1(1,0)F -， ------------------2分所以2413b =-=,所以椭圆22:143x y E += ------------------------4分（Ⅱ）（ⅰ）解法一：①直线l 为x 轴时，10FQ BP ⋅=-----------------------5分 ②设直线:2AP x ty =-与22:143x y E +=联立得22(34)120t y ty +-=21234P t y t =+，226834P t x t -=+ ----------------------------------7分:2AP x ty =-中令0,x =得2Q y t= ---------------------------8分所以212226812(1,)(2,)3434t tFQ BP t t t -⋅=⋅-=++ 28(0,2)34t ∈+ 综上所述，1FQ BP ⋅的取值范围为[0,2) ----------------------------10分 解法二：设00(,),P x y 且2200143x y +=，则:AP 0022y yx x =++， 令0,x =得：0022Q y y x =+ -------6分 20010000022(1,)(2,)222y y FQ BP x y x x x ⋅=⋅-=-+++ -------------------------7分 又2200143x y +=，则2200100421(2)22x y FQ BP x x -+⋅==-+ -------------------9分 又0(2,2],x ∈-∴1[0,2)FQ BP ⋅∈-------------------------------------10分 （ⅱ）假设存在定圆Γ满足题意，根据椭圆的对称性，猜想定圆Γ的圆心在x 轴上 当P 恰好为B 时，圆P 就是圆22:(2)9B x y -+=，交x 轴于(5,0)D 当P 无限接近于A 时，圆P 就是圆22:(2)1A x y ++=，交x 轴于(3,0)C -所以定圆Γ的圆心为,C D 中点2(1,0)F ，恰好为22:143x y E +=右焦点.所以猜想定圆Γ：222(1)4x y -+= ---------------------------------12分 下证：圆P 始终内切于定圆Γ21||||4PF PF +=,∴21||4||PF PF =-得证.----------------------------------14分21. （1）选修4-2：矩阵与变换本小题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程的思想．满分7分解：（Ⅰ） 16127a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-----------------------------------1分 36127a b =⎧∴⎨+=⎩23a b =⎧∴⎨=⎩ ------------------------------------2分2213M ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭----------------------------------3分（Ⅱ）矩阵M 的特征多项式为()()()2225414,13f λλλλλλλ--==-+=----令()0,f λ=得矩阵M 的特征值为121,4λλ==． --------------------------------------------------------5分对于特征值11λ=，解相应的线性方程组20,20,x y x y --=⎧⎨--=⎩得一个非零解2,1,x y =⎧⎨=-⎩因此，121ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭是矩阵M 的属于特征值为11λ=的一个特征向量． -------------------------------6分 对于特征值24λ=，解相应的线性方程组220,0,x y x y -=⎧⎨-+=⎩得一个非零解1,1,x y =⎧⎨=⎩因此，211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵M 的属于特征值为24λ=的一个特征向量． --------------------------------7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题考查圆的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想．满分7分解：（Ⅰ）由222,cos ,x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩得228120x y x +-+=，所以，圆C 的直角坐标方程为：()2244x y -+= ------------------------------------------3分（Ⅱ）直线l 的直角坐标方程为：20x y --=设与直线l 平行的直线l '的方程为0x y m -+=，则当直线l '与圆C2=，解得4m =-或4m =（舍去） ---------------------------------------------------------------5分 所以，直线l 与直线l '的距离为：2d ==即点P 到直线l 距离的最大值为2 ------------------------------------------------------------------7分 （3）选修4-5：不等式选讲本小题考查绝对值的几何意义、绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）当2a =时，不等式()1f x <等价于21x -<，解得13x <<所以不等式()1f x <的解集是{}|13x x <<---------------------------------------------------------------3分 （Ⅱ）()11f x x x a x ++=-++，由绝对值的几何意义知：它表示数轴表示a 的点与表示1-的点的距离，即为1a +， ------------------------------------------------------------------------------------------------5分 故原命题等价于13a +≥，解得2a ≥或4a ≤---------------------------------------------------------------7分。
“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中，泉港一中”六校联考2013—2014学年上学期第三次月考高三数学（理）试题 （考试时间:120分钟 总分：150分)★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题(每题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ⋂≠∅,则实数m 的值为（ ) A ．3或3- B ．3 C ． 3或1- D ．1- 2．在等差数列}{na 中,12=a，54=a 则}{n a 的前5项和5S =（ ）A ．7B ．15C ．20D ．25 3．“22ab >”是“22log log a b >”的( ）A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件 D. 必要不充分条件 4．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则｜AB ｜等于（ )ks5uA ．10B ．8C ．6D ．45．三角形ABC 中，a=15,b=10,A=︒60,则=B cos （ ）ks5uA ．322± B ．－36 C ．36±D ．36 6。
已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上,则双曲线的渐近线方程为( )ks5uA ．34y x =± B ．43y x =± C．3y x =± D．4y x =±7．将函数1sin 222y x x=的图象向_________单位可得到函数cos(2)3y x π=+的图象. A ．向左平移4π B ．向右平移2πC ．向右平移3π D ．向左平移8π8．已知函数,sin )(x x x f -=R x ∈,则)4(π-f 、)1(f 、)3(πf 的大小关系（）A ．)3(πf >)4(π-f 〉)1(f B ．)4(π-f 〉)1(f >)3(πfC ．)1(f >)3(πf >)4(π-f D ．)3(πf 〉)1(f >)4(π-f ks5u9.已知AC AB 、是非零向量且满足AC AB AC AB AC AB ⊥⊥）－，（）－（22则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 10. 2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图,在区域}0,0|),{(≥≥y x y x 内植树，第一棵树在)1,0(1A 点，第二棵树在)1,1(1B 点,第三棵树在)0,1(1C 点，第四棵树在)0,2(2C 点，接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一颗树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是（ ） A.（9,44） B 。
高三质量检查数学（理科）试题第I卷（选择题：共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1.执行右边的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是A、8B、6C、1D、－12.已知集合A＝{x|x2－x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数y＝1－2sin2x是A最小正周期为π的奇函数 B.最小芷周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数4.学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在［10,50)，其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30,50）的学生有67人，则n的值是A.100B.120C.130D.3905.已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为12，则点P到x轴的距离是A、14B、12C、1D、26.已知,αβ是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是7．设是平面内两个不共线的向量，若A，B，C 三点共线，则的最小值是A．2 B．4 C、6 D．88已知x，y满足4027020x yx yax y+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且x2＋y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是A．（0，2］B．［2，5］C、［3，＋∞）D．（0，5］9、已知a是实数，则函数f（x ）＝－2的图象不可能是10．如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x＋2）2＋y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（一2）＝一2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是A、1 B．2 C、3 D．4第II卷（非选择题：共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．若复数z 满足（l ＋2i ）z ＝｜3＋4i ｜（i 为虚数单位），则复数z 等于＿＿＿＿12、二项式的展开式中常数项等＿＿＿＿13．已知数列｛n a ｝中，1n a +＝2n a ，a 3＝8，则数列{log 2n a ｝的前n 项和等于＿＿＿14记曲线y ＝x 2与y x =学科网万围成的区域为D ，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数 x ，y ，则点（x ，y ）恰好落在区域D 内的概率等于＿＿＿．15、已知函数，则满足f （x ）＞0的实数x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿三、解答题：本大助共6小题．共80分．．16（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 和ABEF 都是直角梯形，AD ／／ BC, AF ／／BE ，∠DAB ＝∠FAB ＝90°, 且平面ABCD ⊥平面ABEF ，DA ＝AB ＝BE =2，BC ＝1.（I)证明,DA ⊥EF;（II ）求直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值．17.（本小题满分13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都 是13，第3次投中的概率12；乙每次投中的概率都是25，甲乙每次投中与否相互独立 （I 〕求乙直到第3次才投中的概率；（II ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．18.（本小题满分13分）已知函数（I）若a＝－1，求函数f（x）的单调递增区间；（II）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．19.（本小题满分13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A-C-P和滑雪练习道A-E-P（如图）．已知cos∠ACP＝一55，cos∠APC＝45，cos∠APE＝23，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6(单位：百米）．（I）求滑道CP的长度；（B)由于C,E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP上找一处D,修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC＋DE最短，最短为多少百米？20.（本小题满分14分）如图，点A，B分别是椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右顶点，圆B:（x一2）2十y2=9经过椭圆E的左焦点F1．（I）求椭圆E的方程；（II）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A).（i）求的取值范围；（ii ）是否存在定圆，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由21．本题设有（1）(2)(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．(1）〔本小题满分7 分}) 选修4 -2：矩阵与变换已知点A（1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A'(6,7).（I）求矩阵M;（II）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量(2）（本小题满分7分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为．（I）写出圆C的直角坐标方程；（II）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值（3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲已知函数（I）若a=2,求不等式f(x)＜1的解集；（Q)若不等式f（x）＋｜x＋1｜≥3在R上恒成立，求实数a的取值范..。
福建省厦门第一中学2013—2014学年度第一学期期中考试高三年数学试卷（理科）2013.11第Ⅰ卷（共50分）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
1.已知集合22{|320,},{|50,}A x x x x R B x x x x N *=-+=∈=-<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4 2. 由曲线()x f x e =与直线1,1y x ==所围成的图形面积是 A ．e B ．1e - C ．2e -D ．1e +3.已知命题:p x R ∀∈,22x x ≥;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∨⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝4．已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则“0x >”是“a 与b夹角为锐角”的A ．必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则cos sin A A -=A. B. - C. D.6. 函数()2sin f x x x =-的图象大致是7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,3()n n a a S n N *+==∈，则6S =A. 44B. 54C.61(41)3⋅-D.51(41)3⋅-8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a = ，BD b = ，则AF =A ．1142+ a bB ．2133+ a bC ．1124+ a bD ．1233+ a b9．若函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若2(6)()0f a f a -+>,则实数a 的取值范围是 A.(,2)(3,)-∞-+∞ B.(2,3)- C. (,3)(2,)-∞-+∞ D.(3,2)-10.已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x 都有(2)()f x f x +=且()()f x f x -=，当 [0,1]x ∈时，2()f x x =。
厦门市2013-2014学年（上）高三质量检测数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．1. 已知集合2{|20},{|03}A x x x B x x =--≤=<<，则A B 等于 A ．{|01}x x << B ．{|01}x x <≤ C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x <≤ 2．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为y =，则此双曲线的离心率为 A ．2 BCD3．α为平面，,m n 是两条不同直线，则//m n 的一个充分条件是A ．//m α且//n αB ．,m n 与平面α所成的角相等C ．m α⊥且n α⊥D ．,m n 与平面α的距离相等4．实数,x y 满足2300,2x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩则3z x y =-的最小值为A ．6-B ．4-C ．0D ．115．下列说法正确的是 A ．(0)0f =“”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．“向量,,a b c ，若a b a c ⋅=⋅，则b c =”是真命题C ．210x R x ∀∈+>“，”的否定是200,0x R x ∃∈+<“”D ．“若6a π=，则1sin 2α=”的否命题是“若6a π≠，则1sin 2α≠” 6．设函数122,0()log (),0x x f x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则函数2()(1)y f x x =-+的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．将函数sin y x =的图象向右平移3π个单位，再将所得图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的(0)m m >倍后的函数图象关于直线3x π=-对称，则实数m 的最大值为 A ．5B ．4C ．3D ．28．已知sin 2sin 3ln 4ln 5,,,2345a b c d ====，则 A ．a b >且c d > B ．a b >且c d > C ．a b <且c d >D ．a b <且c d < 9．已知向量1331(,),(,),(cos ,sin )22a b c θθ==-=，则()()a c b c -⋅-的最大值是A ．1B ．2C 1D 210．已知抛物线21:4C x py =，圆2222:()C x y p p +-=，直线1:2l y x p =+，其中0p >，直线l 与12,C C 的四个交点按横坐标从小到大依次为,,,A B C D ，则AB CD ⋅的值为A ．2pB ．22p C ．23pD ．24p 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________．12．计算：120(x dx =⎰_______________． 13．如图，ABC ∆中，3,(,)CD DB AD AB AC R λμλμ==+∈,则λμ=_______________．14．已知函数2()x f x e x =-的导函数为'(),()f x y f x =与'()y f x =在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程'()()0f x f a -=在(,]x a ∈-∞上有两解，则实数a 的取值范围是_______________．（二）选做题；本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分．15．（1）（选修42-：矩阵与变换）设矩阵（2）（选修44-：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的参数方程为12cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）．若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，则||AB =_______________．（3）（选修45-：不等式选讲）函数y =的最大值等于_______________．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且135715,49.a a a S ++==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题满分12分）已知函数21()sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=⋅+->，其相邻两个零点间的距离为2π． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）锐角ABC ∆中，1(),4,282A f AB A BC π+==∆的面积为6，求BC 的值．18．（本小题满分12分）如图，,A B 是圆22:4O x y +=上的两点，其中(2,0)A ，且120AOB ∠=︒．若直线AB 恰好经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上的动点，求||MO MA +的最小值．19．（本小题满分13分）如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于,A B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC PA ===，4BC =，,E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ．（Ⅰ）求证：直线l ⊥平面PAC ；（Ⅱ）直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在，求出||AQ 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）某厂家开发新产品，经统计发现，批量生产该产品的单件平均成本有以下规律：生产1万件产品的单件平均成本为100元，生产2万件产品的单件平均成本为98元，…，生产n 万件产品的单件平均成本比生产(1)n -万件产品的单件平均成本少4(1)n n -元． （Ⅰ）试求生产n 万件产品的单件平均成本；（Ⅱ）当生产n 万件产品时每件产品的销售价格为(300)100n -元（假设产品全部售出），问生产多少万件产品才能使每件产品的平均利润最大？21．（本小题满分14分）已知k 为非零实数，函数2(),()ln ,()()(2)1f x kx g x x F x f x g kx ===--． （Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅱ）若直线l 与()f x 和()g x 的图象都相切，则称直线l 是()f x 和()g x 的公切线． 已知函数()f x 与()g x 有两条公切线12,l l ，（i ）求k 的取值范围；（ii ）若,()a b a b >分别为直线12,l l 与()f x 图象的两个切点的横坐标， 求证：'()02a b F +>．。
2013-2014厦门市高三质检数学（理科）阅卷分析第16题 题组长 厦门十中 陈勋 一、本题典型错误：1、 由12-=n a n 得242-=n a n ；2、 因为142-=n n b ，所以11372312,2,2===b b b ，所以16241223===b b b b 所以数列{}n b 是等比数列；3、 指数运算出错，等比数列的前n 项和公式用错。
二、本题其它解法：因为141173212222-++++=+++=n n n b b b T （1） 所以3411742222++++=n n T （2）)2()1(-得，()34342221+-=-n n T所以15822122344343-=--=++n n n T 三、下阶段的复习建议：1、 注意基本概念，常用方法的滚动练习、考察。
2、 加强运算能力的训练、提高学生的解题技能。
3、 重视数学思想方法的培养，特别是目前数列所处的位置比较尴尬，高中阶段它的课时数少，但在大学它又是一个比较重要的内容。
因此，数列与函数、数列与三角、数列与不等式等的结合就显得尤其重要。
第17题 题组长 集美中学 刘伟 一、典型错误1、三角变形出错。
主要表现在降幂公式、二倍角正弦公式及辅助角公式运用出错。
比如：212cos sin 2+=x x ωω，)42sin(2cos 212sin 21πωωω-=-x x x ，)432sin(222cos 212sin 21πωωω+=-x x x ，)42cos(222cos 212sin 21πωωω+=-x x x 。
2、对正弦型函数()ϕω+=x y s i n 的周期ωπ2=T 记忆僵化。
其一，此题中)42sin(22)(πω-=x x f ，很多学生认为其周期ωπ2=T ，导致错误；其二，有学生看到条件21sin cos sin )(2-+⋅=x x x x f ωωω就先想到：πωπ==2T ，从而，2=ω，导致错误。
2014厦门外国语学校高三适应性考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.1．已知直线10ax y ++=经过抛物线24y x =的焦点，则该直线的倾斜角为（ ） A ．0 B ．4πC ．2πD ．34π2．若0,a b >>集合{|},{}2a bM x b x N x x a +=<<=<<，则集合M N 等于（ ）A ．{|x b x <<B ．{|}x b x a <<C ．{}2a b x x +<<D ．{|}2a bx x a +<<3．已知直线,a b 和平面α，其中a α⊄，b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边 在直线2y x =上，则sin 2θ 等于（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．455．如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为（ ）A ．5B ．7C ．125D ．127 6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）7．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A B C D8．在等差数列}{n a 中，0≠n a ，当2≥n 时，0121=+-+-n n n a a a ，n S 为}{n a 的前n 项和，若4612=-k S ，则k 等于（ ）A ．14B ．13C ．12D ．119．若函数1,0(),0x x f x x a e bx x ⎧<⎪=+⎨⎪-≥⎩ 有且只有一个零点，则实数b 等于（ ）A ．e -B ．1-C ．D ．e10．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间的函数为()S f t =，则下列图中与函数()S f t =图像最近似的是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知复数ln 2z m i =+是纯虚数，则⎰等于 ．12．已知函数||()2x a f x -=关于直线3x =对称，则二项式3(ax 展开式中各项的系数和为_______________．13．如图13，在ABC ∆中，3AB =，5AC =，若O 为ABC ∆的外心，则⋅的值是____________．14．如图14是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为 ．15．若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T na a +=成立则称数列{}n a 为周期数列,周期为T ,已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>, 11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩则有下列结论：①若34a =,则m 可以取3个不同的值；②若m =则数列{}n a 是周期为3的数列；③对任意的T N *∈且2T ≥,存在1m >,使得{}n a 是周期为T 的数列； ④存在m Q ∈且2m ≥,使得数列{}n a 是周期数列. 其中正确的结论有 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.16．（本小题满分13分）某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如下表：（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的回归方程a x b yˆˆ+=，根据表中数据已经正确算出6.0=b ，试求出a ˆ的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲从零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品均有质量问题。
