2020高中数学 第四章 导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性作业2 北师大版选修1-1

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4。

1。

1 导数与函数的单调性［基础达标］1。

函数f（x)＝2x－sin x在（－∞，＋∞）上（）A．是增函数B．是减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A.f′(x)＝2－cos x，因为cos x∈［－1，1］,所以2－cos x＞0恒成立,即f′(x）＞0恒成立，故选A。

2.函数f（x)＝错误!x2－ln x的单调递减区间为（）A．（－1，1）B．(0，1］C．［1，＋∞）D．（－∞，－1)∪（0，1］解析：选B.f′（x）＝x－错误!＝错误!(x〉0),由题意可知错误!得0〈x≤1。

3。

设函数f（x)在定义域内可导，y＝f(x）的图像如图所示，则导函数y＝f′（x）的图像可能为( ）解析:选D。

由y＝f(x）图像可知，x<0时，f（x）是增函数，f′（x）〉0，x〉0时，函数图像先增加后减小再增加，其对应的导数是，先有f′(x)〉0，再有f′（x）<0，最后f′（x)〉0，因此D符合条件．错误!对于R上的任意连续函数f（x），若满足（x－1)f′(x)≥0，则必有( ）A．f(0)＋f(2）<2f（1）B．f（0）＋f（2）≤2f（1)C．f(0)＋f（2）≥2f(1)D．f（0)＋f（2)〉2f（1)解析：选C.由题意，当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，由于函数f(x)为连续函数，所以f′(1)＝0必成立．所以函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞），单调递减区间为(－∞,1），所以f（0)≥f（1)，f(2）≥f(1)，所以f(0）＋f（2)≥2f（1）．5.若函数f（x）＝x2＋ax＋错误!在（1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（）A．[－1，0］B．[－1，＋∞）C．［0，3] D．［3,＋∞)解析:选B。

2018-2019学年高中数学第四章导数应用4.1.2 函数的极值作业1 北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第四章导数应用4.1.2 函数的极值作业1 北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4.1。

2 函数的极值［基础达标］1。

如图是函数y＝f（x）的导函数的图像，则正确的判断是（）①f(x）在(－3,1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f（x）在(2,4)上是减函数,在（－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选B。

由f′（x)的图像知f(x)在[－3，－1]和［2，4]上递减,在［－1，2]上递增，故①不正确，③正确；x＝－1是f（x)的极小值点，x＝2是f（x）的极大值点．2.若函数f(x)＝错误!在x＝1处取极值，则a＝( ）A．1 B．3C．2 D．4解析:选B.f′(x)＝错误!，由题意知f′（1）＝错误!＝0，∴a＝3。

3。

设函数f(x)＝错误!＋ln x，则（)A．x＝错误!为f(x）的极大值点B．x＝错误!为f（x)的极小值点C．x＝2为f(x）的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析:选D.f′(x)＝错误!,由f′（x)＝0得x＝2，又当x∈（0，2)时，f′(x)〈0,当x ∈（2，＋∞）时，f′（x）>0，∴x＝2是f（x)的极小值点．错误!设a∈R,若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a<－1 B．a>－1C．a〉－错误!D．a〈－错误!解析:选A.由题意y′＝e x＋a＝0即a＝－e x在(0，＋∞）上有解，令f（x)＝－e x（x>0)，则f(x）∈(－∞，－1)．∴a＝－e x<－1。

1．1 导数与函数的单调性学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一导函数的符号与函数的单调性的关系(1)在区间(a，b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系：(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.知识点二函数的变化快慢与导函数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．1．函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．( ×)2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( ×)3．函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( √)4．若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要条件．( ×)5．若f (x )的图像在[a ，b ]上是一条连续曲线，且f (x )在(a ，b )上f ′(x )<0，则f (x )在[a ，b ]上是减少的．( √ )题型一 原函数和导函数图像之间的关系例1 已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图像可能是图中的( )考点 函数变化的快慢与导数的关系 题点 根据原函数的图像确定导函数的图像 答案 C解析 由函数y ＝f (x )的图像的增减变化趋势判断函数y ＝f ′(x )的正、负情况如下表：↘ ↗ ↘由表可知函数y ＝f ′(x )的图像，当x ∈(－1，b )时，函数图像在x 轴下方；当x ∈(b ，a )时，函数图像在x 轴上方；当x ∈(a,1)时，函数图像在x 轴下方．故选C.反思感悟 1.对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内是减少的，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．2．对于导函数的图像可确定原函数的递增(减)区间及增减快慢．跟踪训练1 函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图像如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12∪[1,2] D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3 考点 函数变化的快慢与导数的关系 题点 根据原函数图像确定导函数图像 答案 A解析 求f ′(x )≤0的解集，即求函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3上的递减区间．由题干图像可知y ＝f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，[2,3)．题型二 利用导数求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )＝3x 2－2ln x .考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间 解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0，得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0，解得－3<x <2.故f (x )的递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 递减区间是(－3,2)．(2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0， 解得x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得0<x <33.∴f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞， 递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33. 反思感悟 求函数的单调区间的具体步骤 (1)优先确定f (x )的定义域． (2)计算导函数f ′(x )． (3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0.(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为递增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为递减区间． 跟踪训练2 求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝exx －－exx －2＝exx －x －2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的递减区间为(－∞，2)和(2,3)． 题型三 含参数函数的单调性例3 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，则k 的取值范围是________． 考点 利用函数单调性求变量 题点 已知函数单调性求参数 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，得f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．因为k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究1．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数的递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，＋∞，递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k .2．若f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上不单调，则k 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 由引申探究1知k >0，且1k>1，则0<k <1.反思感悟 1.讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．2．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．3．恒成立问题的重要思路 (1)m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max . (2)m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min . 跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1,2]上是减少的，求实数a 的取值范围．考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝x ＋－ax －－ax，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘由上表可知，函数f (x )的递减区间是(0，－a )； 递增区间是(－a ，＋∞)．(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g (x )为[1,2]上为减函数， 则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1,2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h (x )＝1x－x 2，则h ′(x )＝－1x2－2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x <0，x ∈[1,2]，所以h (x )在[1,2]上是减少的，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≤－72.含有参数函数单调性的讨论典例 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是增加的； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上是减少的； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上是减少的，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上是增加的． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上是增加的； 当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是减少的； 当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上是减少的， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上是增加的． [素养评析] (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域及分类讨论的标准． (2)将函数单调性问题转化为求解一元二次不等式问题，明确了运算方向，而分类与整合思想能优化数学运算过程，对数学运算素养有较大的提高.1．f (x )＝(x －3)e x的递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数的函数求单调区间 答案 D解析 f ′(x )＝e x＋(x －3)·e x＝(x －2)e x>0， 解得x >2，所以f (x )的递增区间是(2，＋∞)．2．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )考点 函数变化的快慢与导数的关系 题点 根据原函数图像确定导函数图像 答案 D解析 ∵函数f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数，∴当x >0时，f ′(x )<0；当x <0时，f ′(x )<0.故选D.3．若函数y ＝f (x )＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是________． 考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33， 令f ′(x )<0，由已知得－33<x <33， 可得a >0.4．已知a >0且a ≠1，证明：函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 根据导数判定(证明)函数的单调性 证明 y ′＝a xln a －ln a ＝ln a (a x－1)， 当a >1时，因为ln a >0，a x<1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的； 当0<a <1时，因为ln a <0，a x >1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的． 综上，函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0. (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上是增加的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x考点 利用导数研究函数的单调性 题点 根据导数判定函数的单调性 答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e x，y ′＝(x ＋1)e x ，因为e x 恒大于零，易知y ＝x e x在(0，＋∞)上是增加的； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33， 故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上是增加的， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上是减少的；对于D ，y ′＝1x －1(x >0)．故函数在(1，＋∞)上是减少的，在(0,1)上是增加的．故选B. 2．函数y ＝f (x )＝x cos x －sin x 的递增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2B.()π，2πC.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D.()2π，3π考点 利用导数研究函数的单调性 题点 根据导数判定函数的单调性 答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ， 若y ＝f (x )在某区间内是增加的， 只需在此区间内y ′>0恒成立即可， ∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立． 3．函数f (x )＝x －ln x 的递减区间为( ) A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1]D ．(0，＋∞)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间 答案 C解析 ∵f ′(x )＝1－1x ＝x －1x(x >0)，令f ′(x )≤0，解得0<x ≤1，∴f (x )在区间(0,1]上是减少的．4．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增加的B ．在(1,3)上f (x )是减少的C ．在(4,5)上f (x )是增加的D ．在(－3，－2)上f (x )是增加的 考点 函数变化的快慢与导数的关系 题点 根据导函数图像研究原函数图像 答案 C解析 由题图知，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，所以在(4,5)上f (x )是增函数． 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上是减少的，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数 答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2－1，由题意知，对任意x ∈R ， 3ax 2－1≤0，当a >0时，显然不符合题意， 当a ≤0时，成立．故a ≤0.6．已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示，选项中的四个图像能大致表示y ＝f (x )的图像的是( )答案 C解析由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数是增加的，图像应是上升的；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＜0，此时原函数为是减少的，图像应是下降的；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，此时原函数是减少的，图像应是下降的；当x＞1时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，此时原函数是增加的，图像应是上升的．由上述分析可知选C.7．已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是( )A．减少的B．增加的C．先增加后减少D．先减少后增加考点利用导数研究函数的单调性题点根据导数判定(证明)函数的单调性答案 B解析因为函数f(x)在定义域R上是增加的，所以f′(x)≥0在R上恒成立．又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内是增加的．8．函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1，对任意x∈R，f′(x)<2，则f(x)>2x－1的解集为( ) A．(－1,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数求解不等式答案 C解析令g(x)＝f(x)－2x＋1，则g′(x)＝f′(x)－2<0，∴g(x)是减函数．又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0， 当g (x )>g (1)＝0时，x <1，∴f (x )－2x ＋1>0，即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1)．二、填空题9．已知函数f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的递减区间为____________． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 含参数的函数求单调区间 答案 (－∞，0) 解析 f ′(x )＝k ex －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ，故f ′(x )＝e x＋x －1. 令f ′(x )<0，解得x <0， 故f (x )的递减区间为(－∞，0)．10．函数f (x )的图像如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式fxx<0的解集为________．考点 函数变化快慢与导数的关系 题点 求解不等式 答案 (－3，－1)∪(0,1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故不等式fxx<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．11．已知f (x )＝4xx 2＋1在区间[m ，m ＋1]上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 考点 利用函数单调性求变量 题点 已知函数单调性求参数 答案 [－1,0]解析 f ′(x )＝x 2＋－8x 2x 2＋2＝－x 2x 2＋2，∴当－1≤x ≤1时，f ′(x )≥0，即f (x )的单调递增区间是[－1,1]，又f (x )在[m ，m ＋1]上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＋1≤1，∴－1≤m ≤0，即实数m 的取值范围是[－1,0]．三、解答题12．已知x >0，求证：x >sin x . 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式证明 设f (x )＝x －sin x (x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是增加的，又f (0)＝0，∴f (x )>0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴x >sin x (x >0)．13．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内是减少的，在区间(6，＋∞)内是增加的，试求实数a 的取值范围． 考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1. 因为f (x )在(1,4)内是减少的， 所以当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0； 因为f (x )在(6，＋∞)内是增加的， 所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0. 所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7， 所以实数a 的取值范围为[5,7]．14．f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________________．考点 题点答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 令h (x )＝f (x )g (x )，则h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－h (x )，因此函数h (x )在R 上是奇函数．①∵当x <0时，h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， ∴h (x )在(－∞，0)上是增加的，∵h (－3)＝f (－3)g (－3)＝0，∴由h (x )<0，得x <－3. ②当x >0时，∵函数h (x )在R 上是奇函数，∴h (x )在(0，＋∞)上是增加的，且h (3)＝－h (－3)＝0， ∴h (x )<0的解集为(0,3)，∴不等式f (x )g (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．15．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图像如图，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数 解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ， 其图像为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋b ＝0，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)f ′(x )＝6x＋2x －8＝x －x －x(x >0)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗∴f (x )的递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，f (x )的递减区间为(1,3)．要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52.。

4.1.1 导数与函数的单调性[A.基础达标]1．函数y ＝x ln x 在(0，5)上( ) A ．是增加的 B ．是减少的C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，5)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e，5)上是减函数解析：选C.y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，当x ＝1e时，y ′＝0，当x ∈(0，1e )时，y ′<0，当x ∈(1e ，＋∞)时，y ′>0，又x ∈(0，5)，即y 在(0，1e )上是递减的，在(1e，5)上是递增的，故选C.2．函数f (x )＝ln x －x 的递减区间为( )A ．(－∞，0)，(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，1)解析：选B.f ′(x )＝(ln x －x )′＝1x －1＝1－x x ，令f ′(x )<0得1－xx<0，所以x (1－x )<0，解得x >1或x <0.又x >0，所以x >1.3．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )解析：选D.由y ＝f (x )图像可知，当x <0时，f (x )是增函数，f ′(x )>0，排除A 、C.当x >0时，函数图像先增加后减少再增加，其对应的导数是，先有f ′(x )>0，再有f ′(x )<0，最后f ′(x )>0，因此D 符合条件．4．若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内是增加的，则m 的取值范围是( )A ．m ≥43B ．m >43C ．m ≤43D ．m <43解析：选A.f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ，由题意f ′(x )≥0在R 上恒成立，即对任意x ∈R ，3x 2＋4x ＋m ≥0，所以m ≥－(3x 2＋4x )，由于－(3x 2＋4x )的最大值是43，故m ≥43.5．对于R 上的任意连续函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析：选C.由题意，当x >1时，f ′(x )≥0，当x <1时，f ′(x )≤0，由于函数f (x )为连续函数，所以f ′(1)＝0必成立．所以当f ′(x )恒为0时，函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的，在(－∞，1)上是减少的，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)．所以f (0)＋f (2)>2f (1)，当f ′(x )＝0恒成立时，f (x )为常数函数，f (0)＝f (2)＝f (1)，即f (0)＋f (2)＝2f (1)． 所以f (0)＋f (2)≥2f (1)．6．函数f (x )＝e xcos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5的大小关系为________．解析：因为f ′(x )＝e x (cos x －sin x )＝2e xsin(π4－x )，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是函数f (x )的一个递增区间，又0<π6<π5<π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5. 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 7．函数y ＝12x 2－ln x 的递减区间为________．解析：因为y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x 2－1x，所以由y ′<0得0<x <1.答案：(0，1)8．函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，所以Δ＝(－2a )2－4>0得a 2>1，解得a <－1或a >1. 即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3－6x －1.(1)求函数f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－6，所以f ′(2)＝6， 因为f (2)＝－5，所以切线方程为y －(－5)＝6(x －2)， 所以y ＝6x －17，即6x －y －17＝0.(2)令f ′(x )>0，则3(x 2－2)>0，所以x >2或x <－2，同理，令f ′(x )<0，则－2<x < 2. 所以f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增加的， f (x )在(－2，2)上是减少的．10．已知函数f (x )满足f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ＋C (其中f ′(23)为f (x )在点x ＝23处的导数，C 为常数)．(1)求函数f (x )；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)由f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ＋C ，得f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1.取x ＝23，得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×(23)－1，解之，得f ′(23)＝－1，所以f (x )＝x 3－x 2－x ＋C .(2)由(1)得f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3(x ＋13)(x －1)，令f ′(x )>0得x <－13或x >1；令f ′(x )<0得－13<x <1.所以f (x )在(－∞，－13)和(1，＋∞)上是增加的；f (x )在(－13，1)上是减少的．[B.能力提升]1．已知函数f (x )＝13x 3＋x ，x ∈R ，如果至少存在一个实数x ，使f (a －x )＋f (ax 2－1)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1－22，＋∞)B ．(－2，54]C ．(－∞，1＋22) D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选C.f ′(x )＝x 2＋1>0，又f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数且在R 上递增，由f (a －x )＋f (ax 2－1)<0得f (ax 2－1)<f (x －a )，即ax 2－1<x －a ，亦即ax 2－x ＋a －1<0有实数解， 当a ＝0时，显然有实数解， 当a <0时，也有实数解，当a >0时，需Δ＝(－1)2－4a (a －1)>0，即4a 2－4a －1<0，解得0<a <1＋22，综上，a 的取值范围是a ∈(－∞，1＋22)．2．定义在R 上的函数f (x )，g (x )的导函数分别为f ′(x )，g ′(x )且f ′(x )<g ′(x )．则下列结论一定成立的是( )A ．f (1)＋g (0)<g (1)＋f (0)B ．f (1)＋g (0)>g (1)＋f (0)C ．f (1)－g (0)>g (1)－f (0)D ．f (1)－g (0)<g (1)－f (0)解析：选A.令h (x )＝f (x )－g (x )(x ∈R )，因为f ′(x )<g ′(x )(x ∈R )，所以h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0(x ∈R )，即h (x )＝f (x )－g (x )在R 上为减函数， 所以h (0)>h (1)，即f (0)－g (0)>f (1)－g (1)， 所以f (1)＋g (0)<g (1)＋f (0)．3．已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且f (2)＝f (4)＝1，f ′(x )是f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，f （2x ＋y ）≤1，所表示的平面区域的面积是________．解析：由f ′(x )的图像易知，当x ∈(1，3)时，f ′(x )<0，当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，3)上是递减的，在(3，＋∞)上是递增的，又x ∈(1，＋∞)且f (2)＝f (4)＝1，故由f (2x ＋y )≤1得2≤2x ＋y ≤4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2≤2x ＋y ≤4，画出可行域如图阴影部分所示．S 阴＝12×2×4－12×1×2＝3.答案：34．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )<2x ＋1，则不等式f (2x )<4x 2＋2x ＋1的解集为________．解析：由f (2x )<4x 2＋2x ＋1得f (2x )－(4x 2＋2x )＋2<3.令u ＝2x ，则f (u )－(u 2＋u )＋2<3.①记F (u )＝f (u )－(u 2＋u )＋2，则F (1)＝f (1)＝3，则①式可化为F (u )<F (1)． 因为f ′(x )<2x ＋1，所以F ′(u )＝f ′(u )－(2u ＋1)<0，所以F (u )在R 上是递减的．故由F (u )<F (1)得u >1，即2x >1，故x >12.答案：(12，＋∞)5．当0<x <π2时，求证：tan x >x ＋x 33.证明：设f (x )＝tan x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′－1－x 2＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －1－x 2 ＝1cos 2x－1－x 2＝1－cos 2x cos 2x －x 2 ＝tan 2x －x 2＝(tan x ＋x )(tan x －x )．因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >x >0.所以f ′(x )>0，即f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内是递增的．又f (0)＝0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，即tan x >x ＋x 33. 6．(选做题)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2x ＋2ax，定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x 2＋ax)，当a ≥0时，f ′(x )≥0，此时函数的递增区间为(0，＋∞)，没有递减区间． 当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±－a ，因为x >0，所以x ＝－a ，x ∈(0，－a )时，f ′(x )<0；x ∈(－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，此时函数的递增区间为(－a ，＋∞)，递减区间为(0，－a )．(2)由g (x )＝2x ＋f (x )，g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x ，g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，g (x )在[1，2]上是递减的，所以对于x ∈[1，2]，g ′(x )≤0恒成立，即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0，x ∈[1，2]恒成立，所以a ≤1x－x 2，x ∈[1，2]恒成立，令h (x )＝1x －x 2，x ∈[1，2]，h ′(x )＝－1x2－2x ，当x ∈[1，2]时，h ′(x )<0，所以h (x )在[1，2]上为减函数，则h (x )min ＝h (2)＝－72，x ∈[1，2]，所以a ≤－72.。

导数与函数单调性〔2〕一、选择题1．假设在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，那么在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0D ．不能确定解析：因f (x )在(a ，b )上为增函数， ∴f (x )>f (a )≥0. 答案：A2．假设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图像顶点在第四象限，那么函数f ′(x )图像是( )解析：f ′(x )＝2x ＋b ，由于函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图像顶点在第四象限，∴x ＝－b2×1>0，∴b <0，应选A.答案：A3．假设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)为增函数，那么( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c >0 C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：∵f (x )为增函数， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0. ∴Δ＝4b 2－12ac ≤0. ∴b 2－3ac ≤0. 答案：D4．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上奇函数和偶函数，g (x )恒不为0，当x <0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，那么不等式f (x )g (x )<0解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 解析：令F (x )＝f xg x，那么F (x )为奇函数，F ′(x )＝f ′x g x －f x g ′xg 2x，∵当x <0时，F ′(x )>0. ∴F (x )在(－∞，0)内为增函数． 又F (3)＝f 3g 3＝0，∴F (－3)＝0. ∴当x <－3时，F (x )<0； 当－3<x <0时，F (x )>0. 又F (x )为奇函数， ∴当0<x <3时，F (x )<0； 当x >3时，F (x )>0. 而不等式f (x )g (x )<0和f xg x<0为同解不等式(g (x )恒不为0)， ∴不等式f (x )g (x )<0解集为(－∞，－3)∪(0,3)． 答案：D 二、填空题5．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a ≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，那么常数a 值为________．解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，令6x 2＋2ax <0，当a >0时，解得－a3<x <0，不合题意；当a <0时，解得0<x <－a 3，由题意知－a3＝2，a ＝－6.答案：－66．函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，那么实数a 取值范围是__________．解析：f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由题意知3ax 2－2x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－22－4×3a ×1≤0.解得a ≥13.答案：[13，＋∞)7．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 取值范围是________．解析：显然函数f (x )定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )单调递增区间为(12，＋∞)；由f ′(x )<0，得函数f (x )单调递减区间为(0，12)，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得1≤k <32.答案：[1，32)三、解答题8．向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．假设函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 取值范围．解：法一：由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，那么f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .假设f (x )在(－1,1)上是增函数， 那么在(－1,1)上f ′(x )≥0恒成立． 即t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立．设函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )图像是对称轴为x ＝13且开口向上抛物线，故要使t ≥3x2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,1)上是增函数． 故t 取值范围是[5，＋∞)．法二：由题意得f (x )＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ， 那么f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 假设f (x )在(－1,1)上是增函数， 那么在(－1,1)上f ′(x )≥0. ∵f ′(x )图像是开口向下抛物线，∴当且仅当f ′(1)＝t －1≥0，且f ′(－1)＝t －5≥0时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增函数．故t 取值范围是[5，＋∞)．9．函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)假设函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 取值范围； (2)假设函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 取值范围．解：(1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝(1x－1)2－1，所以G (x )min ＝－1，所以a >－1. (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减， 所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max .而G (x )＝(1x－1)2－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈[14，1]．所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)．所以a ≥－716.。

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课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题（每小题5分，共20分）1．当x＞0时，f（x)＝x＋错误!，则f(x)的单调递减区间是（）A．(2,＋∞)B．（0,2)C．(错误!，＋∞)D．（0,错误!)解析:f′(x）＝1－错误!，当f′(x）＜0时，－错误!＜x＜0，或0＜x＜错误!,又∵x＞0，∴0＜x＜错误!，故选D.答案：D2．下列函数中在区间（－1，1）上是减函数的是（)A．y＝2－3x2B．y＝ln xC．y＝错误!D．y＝sin x解析：对于函数y＝错误!，其导数y′＝错误!〈0,且函数在区间（－1,1)上有意义，所以函数y＝错误!在区间（－1，1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.答案:C3．函数y＝x cos x－sin x在下列哪个区间内是增函数（）A.错误!B．(π，2π）C.错误!D．(2π，3π）解析:由y′＝－x sin x＞0，则sin x＜0，则π＋2kπ＜x＜2π＋2kπ，k∈Z。

答案:B4．函数y＝2x－错误!在(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为（)A．a≥－8 B．－8＜a＜0C．a＜－8 D．a＞0解析：y′＝2＋错误!≥0对x＞2恒成立，∴a≥－2x2，即a≥（－2x2)max，∴a≥－8.答案：A二、填空题（每小题5分,共10分）5．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3（x－11)（x＋1),当x〈－1或x〉11时，f′（x）>0，f(x)单调递增；当－1<x〈11时，f′(x）〈0，f（x）单调递减．答案：（－1,11)6．若函数y＝(a－1)ln x＋2x－1在（0，＋∞)上单调递增,则a的取值范围为________．解析：y′＝(a－1)·错误!＋2>0在（0,＋∞)上恒成立，即：a－1>－2x，而x>0，∴a－1≥0，∴a≥1。