初三数学讲义(期末综合题训练)(答案)

初三数学九年级上册期末试题及答案知识讲解(1)一、选择题1．若将半径为24cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm2．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝1.5，BC＝2，DE＝1.8，则EF＝（）A．4.4 B．4 C．3.4 D．2.43．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm4．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若BC的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°5．下列方程有两个相等的实数根是（）A．x2﹣x+3＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣4＝06．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：17．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．A ．三条边垂直平分线B ．三条中线C ．三条角平分线D ．三条高8．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝2（x+1）2+4 B ．y ＝2（x ﹣1）2+4 C ．y ＝2（x+2）2+4D ．y ＝2（x ﹣3）2+49．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x = 10．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的众数是6D ．这组数据的方差是10.211．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ） A ．(1,3) B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--12．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ∽△ADE ，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）A ．∠B ＝∠D B ．∠C ＝∠E C ．AD ABAE AC= D ．AC BCAE DE= 13．若二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点，则c 应满足的条件是（ ） A ．c ＝0 B ．c ＝1C ．c ＝0或c ＝1D ．c ＝0或c ＝﹣114．如图,在O 中，AB 是O 的直径,点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，弦CE AB ⊥于点F ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ,分别交CF BC 、于点P Q 、，连接AC ．给出下列结论:①BAD ABC ∠=∠；②GP GD =；③点P 是ACQ的外心；④AP AD ⋅CQ CB =⋅．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④15．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，CM 是它的中线，以C 为圆心，5cm 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的位置关系为( ) A ．点M 在⊙C 上B ．点M 在⊙C 内C ．点M 在⊙C 外D ．点M 不在⊙C 内二、填空题16．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ． 17．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______.18．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm 的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm ．19．抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与y 轴交于点A ．过点B(0,3)作y 轴的垂线l ，若抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且│m│<1，则a 的取值范围是______．20．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.21．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，D ，E 两点分别在边AC ，AB 上，且DE 与BC 不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）22．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.23．如图示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3BC =，点P 在Rt ABC ∆内部，且PAB PBC ∠=∠，连接CP ，则CP 的最小值等于______.24．如图，O 半径为2，正方形ABCD 内接于O ，点E 在ADC 上运动，连接BE ，作AF ⊥BE ，垂足为F ，连接CF .则CF 长的最小值为________.25．二次函数2y x bx c =-++的部分图像如图所示，要使函数值3y >，则自变量x 的取值范围是_______.26．把函数y ＝2x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是_____．27．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m ＝__． 28．某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n 个数据的平均数等于______.x+＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝29．像233，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝3时，9＝3满足题意；当x2＝﹣1时，1＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上x+＝1的解为_____．经验，则方程x+530．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为_____．三、解答题31．某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元。

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】期末综合训练(四) 总复习一、选择题1．函数y ＝x 2－2的图象与y 轴的交点坐标是( B ) A ．(0，2) B ．(0，－2)C. 2 D ．－ 22．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是( B ) A.23 B.32 C.21313 D.21313,第2题图) ,第4题图)3．将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( A )A ．y ＝3(x ＋2)2＋3B ．y ＝3(x －2)2＋3C ．y ＝3(x ＋2)2－3D ．y ＝3(x －2)2－34．(2015·潍坊)如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠ABO ＝20°，则∠C 的度数是( B )A ．70°B ．50°C ．45°D ．20°5．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为( C )A ．20海里B ．103海里C ．202海里D ．30海里,第5题图) ,第6题图)6．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，若⊙O 的半径为2，则阴影部分的面积为( A )A ．8B ．4C ．4π＋4D ．4π－4二、填空题7．已知点A(0，y 1)，B(1，y 2)，C(3，y 3)在二次函数y ＝ax 2－2ax ＋1(a<0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是__y 3＜y 1＜y 2__．(用“<”连接)8．(2015·安徽)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，⊙O 的半径为9，的长为2π，则∠ACB的大小是__20°__.,第8题图),第9题图)9．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC＝2，则cos D ＝__13__.10．某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P 处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°(即∠PBA ＝30°)，长度为4 m (即PB ＝4 m )，无障碍通道PA 的倾斜角为15°(即∠PAB ＝15°)，则无障碍通道的长度为__9.5_m __．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98)11．在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是(2，a)(a ＞2)，半径为2，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为23，则a 的值是__2＋2__．,第11题图) ,第12题图)12．(2015·安顺)如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象，则下列说法：①a>0；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c>0；④ 当－1<x<3时，y>0.其中正确为__②③④__．(只填序号)三、解答题 13．计算：(1)2cos 45°－4cos 230°＋sin 45°·tan 60°；(2)2sin 30°2sin 60°－tan 45°－32cos 60°. 解：(1)62－2 (2)32－1414．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探测仪在地面A ，B 两个探测点探测到C 处有生命迹象，已知A ，B 两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°(如图)，试确定生命所在点C 的深度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝x m ．在Rt △CBD 中，BD ＝xtan45°＝x (m )．在Rt △ACD 中，tan30°＝CD AD ＝xx ＋4，∴x ＝23＋2≈5.5(m )，则生命所在点C 的深度约是5.5m15．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； (2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，∴AE ＝2BE ，设BE ＝a ，则AE ＝2a ，∴8a ＋2x ＝80，∴a ＝－14x ＋10，2a ＝－12x ＋20，∴y ＝(－12x ＋20)x ＋(－14x ＋10)x ＝－34x 2＋30x ，∵a ＝－14x ＋10＞0，∴x ＜40，则y ＝－34x 2＋30x (0＜x ＜40) (2)∵y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0＜x ＜40)，且二次项系数为－34＜0，∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值为300 m 216．(2015·临沂)如图，点O 为Rt △ABC 斜边AB 上的一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD.(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)若∠BAC ＝60°，OA ＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)解：(1)∵BC 为切线，∴OD ⊥BC ，∵∠C ＝90°，∴OD ∥AC ，∴∠CAD ＝∠ADO.∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠OAD ，∴∠CAD ＝∠OAD ，∴AD 平分∠BAC (2)设EO 与AD 交于点M ，连接ED.∵∠BAC ＝60°，OA ＝OE ，∴△AEO 是等边三角形，∴∠AEO ＝60°，AE ＝OA ＝OD ，由(1)知OD ∥AC ，∴∠EOD ＝∠AEO ＝60°，又∵∠AME ＝∠OMD ，∴△AME ≌△OMD (AAS )，∴S 阴影＝S 扇形ODE ＝π6×22＝23π17．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴交于点B.(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．解：(1)y ＝－x 2－2x ＋3，y ＝x ＋3 (2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3得y ＝2，∴M (－1，2)，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为(－1，2)(3)设P (－1，t )，又B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4) 或(－1，3＋172) 或(－1，3－172)中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

ADBC 初三数学讲义（期末复习题（1））（含答案）1.已知函数))((b x a x y --=（其中）的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是2. 如图所示，长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做 无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A 位置变化为12A A A →→，由12A A 翻滚到时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边2A C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2 cm.3. 如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为 ．4. 已知：如图，点是正方形的对角线于点，作于点，设正方形周长为，在下列图象中，大致表示与a b >P ABCD AC AB PE ⊥E BC PF ⊥F y y x5. 已知：如图,在中，为上一点，且点不与点重合，过点作交边于点，点不与点重合,若，设的长为，四边形周长为．（1）求证：∽；（2）写出与的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象6. （1）操作发现如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△AB E 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求ABAD的值； （3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求ABAD的值．7. 如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4. （1）求证: ～；(2) 求的值； （3）延长BC 至F ，连接FD ，使的面积等于， 求的度数.ABC ∆90,C P ∠=AB P A P PE AB ⊥AC E E C 10,8AB AC ==AP x PECB y APE ∆ACB ∆y x ABE ∆ABD ∆tan ADB ∠BDF∆EDF ∠8. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB =．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标； (2) 如果抛物线(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。

初三数学九年级上册期末试题及答案知识讲解一、选择题1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（）①c＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．A．4个B．3个C．2个D．1个2．方程 x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4 3．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是优弧BC上一点，如果∠AOB＝58º，那么∠ADC的度数为（）A．32º B．29º C．58º D．116º4．如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．5．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两队身高一样整齐B．甲队身高更整齐C．乙队身高更整齐D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点，43BMCN，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或67．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝2（x+1）2+4 B ．y ＝2（x ﹣1）2+4 C ．y ＝2（x+2）2+4D ．y ＝2（x ﹣3）2+48．已知2x ＝3y （x ≠0，y ≠0），则下面结论成立的是（ ） A ．23x y = B ．32=y xC ．23x y = D ．23=y x9．二次函数22y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大． A ．2x <B ．2x >C ．0x <D ．0x >10．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个根是x ＝1D ．不存在实数根11．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．2x ﹣3＝xB ．2x +3y ＝5C ．2x ﹣x 2＝1D ．17x x+= 12．如图所示的网格是正方形网格，则sin A 的值为（ ）A ．12B ．22C ．35D ．4513．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且∠D ＝40°，则∠PCA 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．75°14．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ） A ．23(1)3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+- D ．23(1)3y x =-++15．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，6AB =，5AD =,则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2二、填空题16．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．17．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．18．如图，△ABC 周长为20cm ，BC=6cm,圆O 是△ABC 的内切圆，圆O 的切线MN 与AB 、CA 相交于点M 、N ，则△AMN 的周长为________cm.19．设x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋3x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1•x 2＝________． 20．数据2，3，5，5，4的众数是____．21．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是_______.22．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表示）．23．长度等于62的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为_____．24．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ． 25．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．26．如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为_____．27．如图（1），在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边AD 和BC 分别交于点E 、点F ．然后再展开铺平，以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．28．如图，O 的弦8AB =，半径ON 交AB 于点M ，M 是AB 的中点，且3OM =，则MN 的长为__________．29．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.30．如图，边长为2的正方形ABCD ，以AB 为直径作O ，CF 与O 相切于点E ，与AD 交于点F ，则CDF ∆的面积为__________．三、解答题31．（1）计算：()212cos6020202π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝︒⎭（2）若关于x 的方程22210x x m ++-=有两个相等的实数根，求m 的值.32．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于210cm ？ (2)在(1)中，PQB 的面积能否等于27cm ？请说明理由.33．（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ，求证：DP EP BQ CQ＝； （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证MN 2=DM·EN ．34．一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次． （1）用树状图列出所有可能出现的结果； （2）求3次摸到的球颜色相同的概率．35．如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点M 、N 分别是边AC 、AB 上的动点，连接MN ，将△AMN 沿MN 所在直线翻折，翻折后点A 的对应点为A ′．（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝12AC，求AM的长；（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；②求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当35ANAB=且67AMAC=时，求CP的长．四、压轴题36．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣13x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，以AB为斜边作等腰直角△ABC，使点C落在第一象限，过点C作CD⊥AB于点D，作CE⊥x轴于点E，连接ED并延长交y轴于点F．（1）如图（1），点P为线段EF上一点，点Q为x轴上一点，求AP+PQ的最小值．（2）将直线l进行平移，记平移后的直线为l1，若直线l1与直线AC相交于点M，与y轴相交于点N，是否存在这样的点M、点N，使得△CMN为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，连接AC、EC、EF、FC，且EC EF⊥.（1）求证：AEF BCE∽；（2）若23AC=AB的长；（3）在（2）的条件下，求出ABC的外接圆圆心与CEF△的外接圆圆心之间的距离？38．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分BAF∠，交⊙O于点E，过点E作直线ED AF⊥，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.39．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与直线y ＝x +3交于点A （m ，0）和点B （2，n ），与y 轴交于点C ．（1）求m ，n 的值及抛物线的解析式；（2）在图1中，把△AOC 平移，始终保持点A 的对应点P 在抛物线上，点C ，O 的对应点分别为M ，N ，连接OP ，若点M 恰好在直线y ＝x +3上，求线段OP 的长度； （3）如图2，在抛物线上是否存在点Q （不与点C 重合），使△QAB 和△ABC 的面积相等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，抛物线y ＝﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧)，与y 轴交于点C ，⊙P 是△ABC 的外接圆．(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴； (2)求⊙P 的半径；(3)点D 在抛物线的对称轴上，且∠BDC ＞90°，求点D 纵坐标的取值范围；(4)E 是线段CO 上的一个动点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ，求线段OF 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2．C解析：C【解析】【分析】两边开方得到x=±2．【详解】解：∵x2=4，∴x=±2，∴x1=2，x2=-2．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax2+c=0（a≠0）的方程可变形为2=cxa，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．3．B解析：B【解析】 【分析】根据垂径定理可得AB AC =，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ADC ，进而可得答案． 【详解】解：∵OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ， ∴AB AC =， ∴∠ADC=12∠AOB=29°. 故选B. 【点睛】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．C解析：C 【解析】 【分析】先计算出四边形PBCQ 的面积，得到y 与x 的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可. 【详解】 由题意得： 22111448222y x x =⨯⨯-=-+(0≤x≤4)， 可知，抛物线开口向下，关于y 轴对称，顶点为（0，8）， 故选：C. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】∵S 2甲=1.7，S 2乙=2.4， ∴S 2甲＜S 2乙， ∴甲队成员身高更整齐； 故选B. 【点睛】此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键6．D 解析：D 【解析】 【分析】分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC AC CB=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10，CAN CAB ∴∠≠∠，设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽，∴CN AC AC CB =， ∴3668k =， 32k ∴=， 6BM ∴=．②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，∴BM MH BH BA AC BC ==， ∴41068k MH BH ==， 125MH k ∴=，165BH k =， 1685CH k ∴=-， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒，ACN CHM ∴∆∆∽，∴CN MH AC CH=， ∴123516685k k k =-， 1k ∴=，4BM ∴=．综上所述，4BM =或6．故选：D ．【点睛】本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．7．A解析：A【解析】【分析】只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可．【详解】解：原抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1的顶点为（1，1），先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（﹣1，4）．即所得抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．所以，平移后抛物线的表达式是y ＝2（x+1）2+4，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键. 8．D解析：D【解析】【分析】根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论．【详解】A.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即32x y =，故该选项不符合题意， B.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即32x y =，故该选项不符合题意， C.由内项之积等于外项之积，得x ：y ＝3：2，即32x y =，故该选项不符合题意， D.由内项之积等于外项之积，得2：y ＝3：x ，即23=y x，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键．9．C解析：C【解析】【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x 的取值范围.【详解】222(1)1y x x x =-+=--+，∵图像的对称轴为x=1，a=-10<，∴当x 1<时，y 随着x 的增大而增大，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，当a 0a 0<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增. 10．A解析：A【解析】【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．【详解】∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．11．C解析：C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；D、方程x+1x＝7是分式方程，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．12．C解析：C【解析】【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，∵224225AC BC=+==，BC＝22，AD＝2232AC CD+=，∵S△ABC＝12AB•CE＝12BC•AD，∴CE＝22326525BC ADAB⨯==，∴6535525CEAsin CABC∠==＝，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．13．C解析：C【解析】【分析】根据切线的性质，由PD 切⊙O 于点C 得到∠OCD ＝90°，再利互余计算出∠DOC ＝50°，由∠A ＝∠ACO ，∠COD ＝∠A +∠ACO ，所以1252A COD ∠=∠=︒，然后根据三角形外角性质计算∠PCA 的度数．【详解】解：∵PD 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∵∠D ＝40°，∴∠DOC ＝90°﹣40°＝50°，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∵∠COD ＝∠A +∠ACO ， ∴1252A COD ∠=∠=︒， ∴∠PCA ＝∠A +∠D ＝25°+40°＝65°．故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．14．D解析：D【解析】【分析】先根据抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-∵顶点坐标为(1,3)-∴抛物线的表达式为23(1)3y x =-++故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． 15．B解析：B【解析】【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用ABD BED，得出DE DBDB AD=，从而求出DE的长，最后利用AE AD DE=-即可得出答案．【详解】连接BD,CD∵AB为O的直径90ADB∴∠=︒22226511BD AB AD∴=-=-∵弦AD平分BAC∠11CD BD∴==CBD DAB∴∠=∠ADB BDE∠=∠ABD BED∴DE DBDB AD∴=11511=解得115DE=115 2.85AE AD DE∴=-=-=故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．二、填空题16．12【解析】【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△E解析：12【解析】【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．17．100【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△E解析：100【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴AB BD EC CD=，即BD EC ABCD⨯=，解得：AB=1205060⨯=100（米）．故答案为100．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．18．8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线解析：8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线,如下图,连接各切点,有切线长定理易得,BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,∵△ABC周长为20cm, BC=6cm,∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm故答案是8【点睛】本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键.19．2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=解析：2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=-3，x1x2=-5，则 x1+x2-x1x2=-3-（-5）=2，故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求出x1+x2=-3，x1x2=-5是解题的关键．20．5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案解析：5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案为：5．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．21．【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x解析：15x -<<【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.故答案为15x -<<【点睛】要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.22．【解析】【分析】直接利用黄金分割的定义求解．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴AC ＝AB ．故答案为:．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，点C 是线段AB 的黄金分解析：12 【解析】【分析】直接利用黄金分割的定义求解．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴AC AB ．故答案为:12． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC BC =正确理解黄金分割的定义是解题的关键. 23．6【解析】【分析】结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图AB ＝6，∠AOB ＝90°，且OA ＝OB ，在中，根据勾股定理得，即∴，故答案为：6．【点睛】解析：6【解析】【分析】结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图AB ＝，∠AOB ＝90°，且OA ＝OB ，在Rt OAB 中，根据勾股定理得222OA OB AB +=，即222272OA AB ===∴236OA=，OA>6OA∴=故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，在等腰直角三角形中灵活利用勾股定理求线段长度是解题的关键.24．2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解析：2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为1203180π⨯=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．25．40°【解析】：在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCQ，在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠解析：40°【解析】：在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCQ，在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°26．6+π．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两 解析：63+π．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】 解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连接AO ，则Rt △ADO 中，∠OAD ＝30°，OD ＝1，AD 3∴S △ADO ＝12OD •AD ＝32， ∴S 四边形ADOE ＝2S △ADO 3∵∠DOE ＝120°，∴S 扇形DOE ＝3π， ∴纸片不能接触到的部分面积为：333π）＝3﹣π∵S△ABC＝12×6×33＝93∴纸片能接触到的最大面积为：93﹣33+π＝63+π．故答案为63+π．【点睛】此题主要考查圆的综合运用，解题的关键是熟知等边三角形的性质、扇形面积公式. 27．（，2）．【解析】【分析】【详解】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4-x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=解析：（32，2）．【解析】【分析】【详解】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4-x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=x2，∴x=52，∴BE=ED=52，AE=AD-ED=32，∴点E坐标（32，2）．故答案为：（32，2）．本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．28．2【解析】【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径交于点，是的中点，∴AM=BM==4解析：2【解析】【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径ON交AB于点M，M是AB的中点，∴AM=BM=12AB=4,∠AMO=90°，∴在Rt△AMO中22OMAM∵ON=OA，∴MN=ON-OM=5-3=2.故答案为2.【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求解析：2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF=BFOF=2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．30．【解析】【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答．【详解】解：∵与相切于点，与交于点∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt△C 解析：32【解析】【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答．【详解】解：∵CF 与O 相切于点E ，与AD 交于点F∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt △CDF 中,由勾股定理得:DF 2=CF 2-CD 2,即(2-x)2=(2+x)2-22解得:x=12,则DF=32∴CDF ∆的面积为13222⨯⨯=32 故答案为32． 【点睛】 本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．三、解答题31．（1）6；（2）1m =.【解析】【分析】（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b 2-4ac=0,列方程求解.【详解】解：（1）()2012cos6020202π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭︒12412=⨯++ 6=；（2）∵22210x x m ++-=有两个相等的实数根，∴b 2-4ac=22-4(2m-1)=0,∴m=1.【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数值及根的判别式是解答此题的关键.32．(1)3秒后，PQ 的长度等于(2)PQB ∆的面积不能等于27cm .【解析】【分析】（1）由题意根据PQ=BP 2+BQ 2=PQ 2，求出即可；（2）由（1）得，当△PQB 的面积等于7cm 2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；【详解】解：(1)设x 秒后，PQ =5BP x =-，2BQ x =，∵222BP BQ PQ +=∴()()(22252x x -+= 解得：13x =，21x =-(舍去)∴3秒后，PQ 的长度等于；(2)设t 秒后，5PB t =-，2QB t =，又∵172PQB S BP QB ∆=⨯⨯=，()15272t t ⨯-⨯=， ∴2570t t -+=，25417252830∆=-⨯⨯=-=-<，∴方程没有实数根，∴PQB ∆的面积不能等于27cm .【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”，得出等量关系是解决问题的关键．33．（1）证明见解析；（2）①9；②证明见解析． 【解析】【分析】（1）易证明△ADP ∽△ABQ ，△ACQ ∽△ADP ，从而得出DP EP BQ CQ＝；（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC ，根据△ADE ∽△ABC ，求出正方形DEFG 的边长3．从而，由△AMN ∽△AGF 和△AMN 的MN边上高6，△AGF 的GF ，GF=3，根据 MN ：GF 等于高之比即可求出MN ； ②可得出△BGD ∽△EFC ，则DG•EF=CF•BG ；又DG=GF=EF ，得GF 2=CF•BG ，再根据（1）DM MN EN BG GF CF＝＝，从而得出结论． 【详解】解：（1）在△ABQ 和△ADP 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ， ∴DP AP BQ AQ=， 同理在△ACQ 和△APE 中，EP AP CQ AQ =， ∴DP PE BQ QC=； （2）①作AQ ⊥BC 于点Q ．∵BC 边上的高AQ=2， ∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE ：BC=1：3又∵DE ∥BC∴AD ：AB=1：3，∴AD=13，∵DE 边上的高为6，MN ：GF=6：2，∴MN ：3=6：2，∴．故答案为：29．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF ， 又∵∠BGD=∠EFC ，∴△BGD ∽△EFC ，∴DG BG CF EF=， ∴DG•EF=CF•BG ， 又∵DG=GF=EF ，∴GF 2=CF•BG ，由（1）得DM MN EN BG GF FC ==， ∴MN MN DM EN GF GF BG CF=， ∴2()MN DM EN GF BG CF=， ∵GF 2=CF•BG ，∴MN 2=DM•EN ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．34．（1）见解析；（2）14【解析】【分析】（1）根据题意画树状图，求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得3次摸到的球颜色相同的结果数，再根据概率公式即可解答．【详解】（1）画树状图为：。

练1.D 练2.218255y x x =-+7.解：设抛物线的解析式为2y ax =当拱桥离水面 2m 时，水面宽 4m 即抛物线过点(2，−2) ∴−2 = a×22，∴a = −0.5 ∴解析式为：20.5y x =-当水面下降1m 时，水面的纵坐标为y = −3，∴−3 = −0.5x 2，x =∴这时水面宽度为，∴当水面下降1m 时，水面宽度增加了4) m ． 8.【解析】（1）依题意代入x 的值可得抛物线的表达式．（2）令y=0可求出x 的两个值，再按实际情况筛选．（3）如图可得第二次足球弹出后的距离为CD ，相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位可解得x 的值即可知道CD 、BD ．解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为2()y a x h k =-+， ∵h =6，k =4， ∴2(6)4y a x =-+， 当x =0时y =1，即1=36a +4，∴112a =-， ∴21(6)412y x =--+．（2）令y =0，21(6)4012x --+=，∴2(6)48x -=，∴1613x =≈，160x =-<（舍去）， ∴足球第一次落地距守门员约13米． （3）如图，第二次足球弹出后的距离为CD ，根据题意：CD=EF （即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）， ∴21(6)4212x --+=解得：126,6x x ==-，∴CD=1210x x -=≈， ∴BD=13-6+10=17（米）．9. C当堂检测：1. D2.21218y x x =-++，16.5 (精确到0.1m) 设AC=x ，则BC=2−x ，∵∵ACD 和∵BCE 分别是等腰直角三角形，∵当x >h 时，y 随x 的增大而增大，当x <h 时，y 随x 的增大而减小， ∴①若h <1⩽x ⩽4，x =1时，y 取得最小值5， 可得：(1−h )2+1=5， 解得：h =−1或h =3(舍)；②若1⩽x ⩽4<h ，当x =4时，y 取得最小值5， 可得：(4−h )2+1=5， 解得：h =6或h =2(舍). 综上，h 的值为−1或6， 故选B.5.【解析】将函数图象特殊点坐标分别代入解析式，即可求解．解：（1）设y 1=kx ，由图①所示，函数y 1=kx 的图象过（1，2），∴2=k •1，k =2，故利润y 1关于投资量x 的函数关系式是y 1=2x （x ≥0）； ∵该抛物线的顶点是原点， ∴设y 2=ax 2，由图②所示，函数y 2=ax 2的图象过（2，2）， ∴222a =⨯ ，a ＝12， 故利润y 2关于投资量x 的函数关系式是：21(0)2y x x =≥； （2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（0≤x ≤8），则投入种植树木（8-x ）万元，他获得的利润是z 万元，根据题意，22112(8)(2)1422z x x x =-+=-+ 当x =2时，z 的最小值是14， ∵0≤x ≤8， ∴-2≤x -2≤6， ∴2(2)36x -≤21(2)182x -≤ ∴21(2)141814322x -+≤+= 即z ≤32，此时x =8，答：当x =8时，z 的最大值是32．家庭作业： 1.3 2.6003.4.5.国庆讲6.。

九年级全一册数学基础+综合习题集（参考答案）一元二次方程概念、解法、根的判别式要点回顾1. 整式方程，化简整理，一元二次．2. 一元一次方程，完全平方；2402b x b ac a-±=-（）≥，20ax bx c ++= 因式分解；若0m n ⋅=，则0m =或0n =． 3. 因式分解法，配方法4. 24b ac -5. 两个不相等，2；两个相等，1；没有，无，无练习巩固1. B2. C3. B4.③④⑥5. 2230x x --=，22x ，1-，3-6. 1≠±，1=-7. 28. 12213x x ==-， 9. k >-1且0k ≠10. （1）1222x x =+=- （2）12x x ==．11. （1）121122x x ==； （2）127744x x +==12. （1）1221x x =-=，；（2）1216x x =-=，．13. （1）1211x x ==（2）123322x x ==； （3）1247x x ==-，；（4）1211m x x m-==，．思考小结1. B ，C ，D ，A2. 一元一次方程；去分母；消元；配方，因式分解3. 正方形；配方法，负4. 123224x x x ==-=-，，．一元二次方程根与系数关系及应用题要点回顾1. 根与系数的关系，b ca a-， ，≥，≥2. ①增长率型；②面积型；③经济型；增长率型，经济型．巩固练习1. 2173(1%)127x -=2. (502)(802)5400x x ++=3. 50%4.5433-， 5. 4158a <≤． 6. （1）53-； （2）43； （3）3；（4）203． 7. （1）10%； （2）2 928.2万元．8. 方案一中2x =，方案二中2x =．9. 将每件商品提高9元出售时，才能使每天的利润为1 210元． 10. 每千克这种水果盈利了15元．思考小结1. 列表，②方程，不等式，函数2. ①降次，配方，因式分解；②公式法，配方法；③根与系数关系成比例线段及相似图形要点回顾1. c 与d 的比，a c b d= 2. ①a cb d =，ad =bc ，a cb d =；②a c n b dm ===…，0b d n +++≠…，a c m a b d n b+++=+++……3. 两，平行线，对应线段，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例．4. 各角分别相等，各边成比例，相似比，相似比5. 三角对应相等，三边成比例．高，角平分线，中线，周长，相似比；相似比的平方．例题示范1.1 22. 1.85米，1.15米 巩固练习1.2222.83.4 94.13，385.25:126.k =2或k=-17.6:4:38. B9. B10.13:311.212.7.8 cm13.作图略，（1）113，，2）是14.③④⑤15.150°，60°16.32，152，70，6017.27思考小结1.形状，全等图形；全等，相似2.方程3.相似三角形的判定及应用要点回顾1.①两角分别相等的两个三角形相似.②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似③三边成比例的两个三角形相似④平行于三角形一边的直线和其他两边（的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似．2.利用阳光下的影子、利用标杆、利用镜子的反射3.①不仅相似，对应顶点的连线相较于一点，位似中心②任意一对对应点到位似中心的距离之比巩固练习1.①②③2.92，33. B4. B5.证明略6.证明略7.259或528.559.t=32或t=12510.A11.A12.①②③④13.1:2思考小结1.（1）位似中心是原点，位似比是1 2（2）位似中心是原点，位似比是1 2（3）位似，原点，k．2.条件，结论3.C，B，A相似基本模型要点回顾DE ∥BC ，B AED ∠=∠，B ACD ∠=∠AC ∥BD ，B C ∠=∠，AD 是Rt ABC △斜边上的高巩固练习1. 2，12. D3. 3:24. C5. 46. 4m7. 证明略8. 29. 证明略 10. 8m11. (7m 12. 20m 13. 11.8m相似综合要点回顾1. 一线三等角2. 45°，60°巩固练习1. 612()55-，2. 1或63. 434. ①②5. ②④⑤⑥6. （1）（2，0），（0，4）（2）1234(44)(04)(2(2P P P P -，，，，， 7. 证明略8.（1）证明略；（2）证明略；（3）AM⊥BE，理由略反比例函数表达式、图象、性质及计算 要点回顾1.kyx=，1y kx-=，xy k=；常数，k≠0；kyx=，xy k=2.一、三；二、四；相交，无限接近3.减小；增大．轴对称，中心对称，原点，y x=，y x=-．面积不变性，k，xy k=．4.图象，①点的相对位置，②交点，2，x≠0巩固练习1. D2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. C9. C10.12 yx =11.3 yx =12.x＞2或-2<x<013.①③④14.315.（1）45y x x= (010)≤≤（2）80y xx= (>10)（3）50分钟16.（1）12，16 （2）x＞4或-8＜x＜0 （3）P思考小结1.2. 2，2，2ABO ABCO S S k ==△矩形 3. （1）路程一定时，速度与时间的关系，即sv t =（2）质量相同时，密度与体积的关系，即mvρ=（3）做功相同时，力与力的方向上移动的距离，即W F S=反比例函数与几何综合要点回顾①关键点坐标，横平竖直线段长，函数特征，几何特征 ③函数特征，几何特征巩固练习1. 3，（2，32) 2. 43. 2y x =-4. 345. (12，12) 6. 67. 1:1 8. -29.10. （1）m =2；（2）C (-4，0)11. （1）k 1=-3，k 2=6（2）12x <<（3）PC =PE ，理由略 思考小结1. ①关键点②关键点坐标，横平竖直的线段长 ③函数特征，几何特征 2. 证明略直角三角形的边角关系 要点回顾1.2.3.直角三角形，转移、构造巩固练习1. C2. C3. D4. D5. C6. B7. 28.9.10.111.512.13.B14.（1）52；（2）1；（3）7；（4）-115.（1）证明略；（2）816.6思考小结3. 22114. 证明略测量类应用题要点回顾1. ①数学问题②判断标准2. 线段，角度，直角三角形巩固练习1.2. （1）/小时（2）能，理由略3. 4. 236.5米 5. （1）6米（2）（12）米几何综合巩固练习1. 48m2. 3123. 288033y x x x =-+<<（）4. ①②③⑤5.5415942020，， 6. 1657. 125128. 241609. 2512投影、视图、概率和统计巩固练习1. C2. A3. C4. A5. 166. 137. C8. （1）20；（2）1150；（3）223二次函数表达式、图象、性质及计算要点回顾1. 配方法，224()24b ac b y a x a a-=++2. ①抛物线，轴对称，直线2b x a =-，(2ba -，24)4ac b a- ②小，244ac b a -；大，244ac b a -③2b x a <-，减小，2bx a >-，增大；2b x a <-，增大，2b x a>-，减小．3. 上；下．y 轴，纵坐标．左同右异4. ①点的平移，坐标．②左加右减、上加下减．顶点式．巩固练习1.A 2. B3. C4. A5. C6.D7. D8. D9. D10. D11. B 12. (0，9)，0，大，9；>013. >314. -4，215. （1）过程略，x =-3，(-3，-1)，24(3)10x +-=，132x +=±，5(0)2-，，7(0)2-， （2）过程略，对称轴直线x =3，顶点坐标(3，0)，与x 轴交点坐标(3，0)16. （1）3，-5，x =3，(3，-5)，3，小，-5．（2）过程略，对称轴为直线x =2，顶点坐标(2，-3)，最小值-3．17. 2 56y x x =-+18. 24167333y x x =++ 19. （1）直线x =1，(1，3)；（2）略；（3）12y y <．思考小结1. 向上；向下 直线2b x a=-，直线x h =， 减小，增大，增大，减小2b x a =-大（小）244ac b a- h 大（小）k2. （1）223y x x =--；（2）2(1)2y x =-+3. 篮球入篮的路线为抛物线；拱桥为一抛物线二次函数图象性质应用要点回顾① 直线2b x a =-，纵坐标，对称，122x x x +=． ② 2b a >-，小，244ac b a-； 2b a <-，大，244ac b a-． 增减性，函数图象．③ 函数图象，横坐标．2y ax bx c =++，x 轴，2，1，无巩固练习1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.D 9. (-1，0)10. 一11. -24≤y ≤1，-15<y ≤0，-15<y ≤112. （1）4 （2）无交点13. （1）①1221x x =-=，②8 ③增大 （2）2224y x x =+-，最小值：92-思考小结1. ①-2≤y ≤7②-18<y ≤-9 ③-2<y ≤72. ①函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根②两，两；一，一；无，无．函数综合训练要点回顾2. ①a ，b ，c ，对称轴②函数值③等式巩固练习1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.D 8.A 9. 13αβ<<<；<αx <β10. 94m >11. （1）A (-1，0)，B (3，0)（2）存在，P 1(4，5)，P 2(-2，5)（3）-3<b <1 二次函数应用题要点回顾1. 列表、图形，关键点坐标，函数表达式，自变量取值范围3. 实际背景，取值范围巩固练习1. （1）223y x x =-++（2）3米 2. （1）2125y x =-（2）能安全通过此桥 3. （1）2101302300y x x =-++（1≤x ≤10，且为整数）（2）32（3）36或37，最大的月销售利润是2720元4. （1）2240w x =-+（2）2234015000y x x =-+-，当x =85时，y max =-550（3）75圆中的基本概念及定理要点回顾1. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；①过圆心的直线②垂直于弦③平分弦④平分优弧⑤平分劣弧2. 同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距3. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．圆内接四边形对角互补．4. 不在同一条直线上的三点确定一个圆巩固练习1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.30°8. 27°9. 65°10. 411. 26寸12. (-2，-1)13.14. 60°15. 6思考小结3. ①证明略②175R C =∠=︒，与圆有关的位置关系及圆中的计算要点回顾1. d r >；d r <2. 切点的直径；过半径外端；切线长；这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角3. 180n r l π=．①2360n r S π=；②． S lr π=．全面积 侧面积底面积巩固练习1. A2. B3. A4.0x ≤5. 120°6. 40°7.70°8. 256 9.16)+10.π 11. 90°12. 60π13. 414. 8-2π 15. 2:32lr S =17.（1）相切，证明略（2）203 BD=思考小结1.d，r，圆心O到直线l的距离，圆的半径．2.略【试题1】证明略【试题2相似每日一练（一）1. B2. C3. A4. B5. 26.7. C8.1:39.9 cm 210.120 1311.C12.65︒13.（1）△ACF ∽△GCA，理由略；（2）45︒．相似每日一练（二）1. B2. A3.8:54.354cm5.2ab a b -6.77. A8. B9. 510.4cm11.证明略相似每日一练（三）1.432. D3. B4. A5. 2126. 36()55-，7. 证明略8. （12）21322y x x =-+（3）439. （1）相似，证明略；（2）存在，2k =，理由略．反比例函数每日一练（一）1. 42. 323. 6y x= 4. B5. 6-6. （1）133y x y x==，，(31)A ， （2）3x >或3x -<<0反比例函数每日一练（二）1.2. 63. 6-4. 95. 26. 27. 163-8. 3 反比例函数每日一练（三）1. 42. -3或13. -44. 85. 6. ①②③④ 7. ①②④二次函数每日一练（一）1. B2. C3. C4. B5. 2286y x x =++6. 27. 一，1a >8. 3m ≥9. 1x -<<310. <11. <12. 3二次函数每日一练（二）1. D2. D3. 74. 5x αβαβ3<<<<<，5. ①③6. 29922y x x =-+ 7. 4n8. ①②③⑤二次函数每日一练（三）1. （1）223y x x =-++（2）23MN m m m =-+ (0<<3)（3）存在，32m =，理由略 2. （1）4k =-（2）①(14)M --，，8AMB S =△②758AMCB S =四边形，315()24M --，二次函数每日一练（四）1. （1）243y x x =-+（2）12(10)(21)P P -，，，（3）存在，12(21)(21)F F ，2. （1）2142y x x =+- （2）24S m m m =-- (-4<<0)，最大值为4（3）1234(22(44)(22(44)Q Q Q Q -+----+-，，，，，。

九年级期末综合试卷数学【含答案】专业课原理概述部分一、选择题1. 如果一个三角形的两边分别是8厘米和15厘米，那么这个三角形的第三边可能是多少厘米？A. 7厘米B. 23厘米C. 17厘米D. 22厘米2. 下列哪个数是素数？A. 27B. 39C. 41D. 553. 下列哪个数是偶数？A. 123B. 456C. 789D. 1014. 如果一个正方形的边长是6厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？A. 36平方厘米B. 24平方厘米C. 18平方厘米D. 12平方厘米5. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 矩形D. 圆形二、判断题1. 任何两个奇数相加的和都是偶数。

（）2. 任何两个偶数相加的和都是偶数。

（）3. 任何两个质数相加的和都是偶数。

（）4. 任何两个合数相加的和都是偶数。

（）5. 任何两个相同的数相加的和都是偶数。

（）三、填空题1. 如果一个正方形的边长是a厘米，那么这个正方形的面积是______平方厘米。

2. 如果一个三角形的底是b厘米，高是h厘米，那么这个三角形的面积是______平方厘米。

3. 如果一个数的因数只有1和它本身，那么这个数是______。

4. 如果一个数能被2整除，那么这个数是______。

5. 如果一个数能被3整除，那么这个数是______。

四、简答题1. 解释什么是素数？2. 解释什么是偶数？3. 解释什么是奇数？4. 解释什么是因数？5. 解释什么是倍数？五、应用题1. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，求这个长方形的面积。

2. 一个三角形的底是12厘米，高是6厘米，求这个三角形的面积。

3. 求123的因数。

4. 求789的倍数。

5. 求101的因数。

六、分析题1. 分析一个正方形的面积公式。

2. 分析一个三角形的面积公式。

七、实践操作题1. 画一个边长为8厘米的正方形，并计算它的面积。

2. 画一个底为10厘米，高为6厘米的三角形，并计算它的面积。

湘教版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末综合复习基础达标训练题1（附答案详解）一、单选题1．已知△ABC 与△DEF 是关于点P 的位似图形，它们的对应点到P 点的距离分别为3cm 和4cm ，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）A ．3：4B ．3：7C ．9：16D ．9：492．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点和该抛物线与y 轴的交点在一次函数y=kx +1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc ＜0，②a ＜﹣13，③a=﹣k ，④当0＜x ＜1时，ax +b ＞k ，其中正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1 3．将一元二次方程2220x x --=配方后所得的方程是 A ．()213x -= B ．()213x += C ．()212x -= D ．()223x +=4．根据下列表格中的对应值，可以判断2a x b x c 0?一元二次方程++=的一个近似整数解x 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，∠C 是⊙O 的圆周角，∠C=38°，则∠OAB= ( ) 度A ．52B ．38C ．60D ．766．有一块直角边AB=3cm ，BC=4cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）A ．67B ．3037C ．127D ．60377．下列由若干个棱长相等的立方体搭成的几何体中，左视图为下图的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．某校一年级学生的平均年龄为7岁，方差为3，5年后该校六年级学生的年龄中( ) A ．平均年龄为7岁，方差改变B ．平均年龄为12岁，方差不变C ．平均年龄为12岁，方差改变D ．平均年龄不变，方差不变9．如图，已知点A ，B 在⊙O 上,⊙O 的半径为3,且△OAB 为正三角形,则A B 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．1216,03x x =-=（舍去） 10．关于x 的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ）A ．﹣8B ．8C ．16D ．﹣16 11．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( )A ．213πB ．10πC ．20πD ．413π12．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①③二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2经过平移得到抛物线y =x 2﹣2x ， 其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积是________．14．设二次函数y=x 2+ax+b 图像与x 轴有2个交点，A(x 1,0)，B (x 2,0)；且0< x 1<1；1< x 2<2,那么（1）a 的取值范围是___________；b 的取值范围是________；则（2）的取值范围是_______.15．在平面直角坐标系xO y 中，以原点O 为圆心，5为半径作⊙O ，已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A （3，4），B （－3，－3），C （4，－10），则A ，B ，C 三点与⊙O 的位置关系分别为______．16．为测量池塘边两点A ， B 之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O ， 使AC 、BD 交于点O ， 且CD ∥AB ． 若测得OB ：OD=3：2，CD=40米，则A ，B 两点之间的距离为________米．17．已知关于x 的方程()21102x m x +-+=的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 为_____．18．某公司有50名职工，现有6张会议入场券，经理决定任意地分配给6名职工，他们将50名职工按l ～50进行编号，用计算器随机产生_______~________之间的整数，随机产生的______个整数所对应的编号的人就去参加会议．19．如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= ．20．已知在反比例函数y=k x图象的每一支上,y 都随x 的增大而减小,则k 的取值范围是 .21．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=___________22．请写出一个开口向上，并且与y轴的交点为（0，0）的抛物线解析式是__________．23．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的面积为6，则四边形EBCF的面积为___．24．反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（2、-3），若点（1、n）在反比例函数的图象上，则n等于________．三、解答题25．如图，由 12 个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点．已知这个大矩形网格的宽为 4，△ABC的顶点都在格点．求每个小矩形的长与宽；在矩形网格中找出所有的格点E，使△ABE为直角三角形；（描出相应的点，并分别用E1，E2，…表示）求 sin∠ACB的值．26．如图，⊙O’经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA＞OB)的长分别是方程x2-7x+12=0的两根．(1)如图(1)求⊙O’的直径；(2)如图(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CD·CB时①请找出图中的一对相似并给予证明；②求C点的坐标．(1) (2)27．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接P A交⊙O于点C，连接BC.(1)求证：∠BAC＝∠CBP；(2)求证：PB2＝PC·P A.28．解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°，c=83，∠A=60°．29．如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：CG=BG；（3）若∠DBA=30°，CG=4，求BE的长．30．在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点，另一条直角边恒过点；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在轴上点处时，点的横坐标即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在轴上另—点处时，点的横坐标即为该方程的另一个实数根.（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点（请保留作出点时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的就是方程的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当与之间满足怎样的关系时，点就是符合要求的—对固定点？31．如图，射线AM平行于射线BN，∠B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a．（1）求△ACD的面积（用含a的代数式表示）；（2）求点D到射线BN的距离（用含有a的代数式表示）；（3）是否存在点C，使△ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由．32．(1)计算：.(2)解方程：.33．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？34．先化简，再求值：235(2)362m m m m m -÷+--- ，其中m 是方程2310x x +-= 的根． 35．某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度(结果保留整数)．36．如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度,他们先在点A 处观察树顶C,测得视线与水平线的夹角为30°(即∠CAD=30°),然后沿AD 方向前行10 m,到达B 处,在B 处观察树顶C,测得视线与水平线的夹角为60°(即∠CBD=60°,A,B,D 三点在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度.(结果精确到0.1 m.参考数据: 2≈1.414, 3≈1.732)参考答案1．C【解析】∵△ABC 与△DEF 是关于点P 的位似图形，它们的对应点到P 点的距离分别为3cm 和4cm ，∴根据位似图形的性质，得△ABC 与△DEF 的位似比为：3：4，△ABC ∽△DEF ， ∴△ABC 与△DEF 的相似比为：3：4，∴△ABC 与△DEF 的面积比为9：16，故选C ．【点睛】本题主要考查位似图形的性质，解题的关键是要记住位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．2．A【解析】试题解析：由抛物线的开口向下，且对称轴为x =1可知a ＜0，2ba -=1，即b =﹣2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点在一次函数y =kx +1（k ≠0）的图象上知c =1，则abc ＜0，故①正确； 由①知y =ax 2﹣2ax +1，∵x =﹣1时，y =a +2a +1=3a +1＜0，∴a ＜﹣13，故②正确； ∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点在一次函数y =kx +1（k ≠0）的图象上，∴a +b +1=k +1，即a +b =k ，∵b =﹣2a ，∴﹣a =k ，即a =﹣k ，故③正确；由函数图象知，当0＜x ＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，∴ax 2+bx +1＞kx +1，即ax 2+bx ＞kx ，∵x ＞0，∴ax +b ＞k ，故④正确；故选A ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征．3．A【解析】试题解析： 2220x x --= 22+12+1x x -=- 21)3x -=（ 故选A.4．B【解析】令y=ax2+bx+c，分析图表可得二次函数与x轴的一个交点范围是1＜x＜1.5，所以二次函数与x轴的一个交点的近似整数解为1，所以一元二次方程ax2+bx+c=0的一个近似整数解x的值是1.故选B.点睛：二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.5．A【解析】试题解析：由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=76°，∵OA=OB，∴∠OAB=12（180°-76°）=52°，故选A．6．D【解析】试题解析：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BP，∴BP=·341255A B B CA C⨯==．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DE BQAC BP=．设DE=x ，则有：1251255x x -=， 解得x=6037， 故选D ．7．C【解析】A 的左视图为,故不正确;B 的左视图为,故不正确;C 的左视图为,故正确;D 的左视图为,故不正确;故选C.8．B【解析】设()12317n x x x x n ++++=，()()()()2222123177773n x x x x n⎡⎤-+-+-++-=⎣⎦， 所以5年后学生的平均年龄是：()()1231231155555n n x x x x x x x x n n n++++++++=+++++ ()123157512n xx x x n=+++++=+=.5年后学生年龄的方差是：()()()()22221231512512512512n x x x x n⎡⎤+-++-++-+++-⎣⎦ ()()()()2222123177773n x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦. 故选B.9．B 【解析】因为三角形ABC 是正三角形，所以弦AB 所对的弧的度数为120°或240°，然后利用弧长公式计算出弧的长.解：∵△OAB 为正三角形，∴A B 的弧长利用弧长公式计算得603180ππ⨯⨯=． “点睛”本题考查的正多边形和圆，根据三角形ABC 是圆的内接正三角形，可以得到AB 所对弧的度数，再用弧长公式计算出弧的长度.10．C【解析】试题分析：∵关于x 的方程的两个根是﹣2和1，∴=﹣1，=﹣2，∴m=2，n=﹣4，∴=（﹣4）2=16．故选C ．考点：根与系数的关系．11．A【解析】【分析】由三视图知，该几何体是一个圆锥，圆锥的底面直径为4，高为3，根据勾股定理可得圆锥的底母线长，根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解.【详解】由三视图知，此几何体为圆锥,底面直径为4,高为3,则圆锥的底面半径为4÷2=2,由勾股定理可得圆锥的母线长为2223=13+， 故这个几何体的侧面积为13=13π.故选A.【点睛】考查了由三视图判断几何体,圆锥侧面积的求法;关键是得到该几何体的形状，并熟练掌握圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长.12．B【解析】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误,故选B.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.13．1【解析】先利用配方法得到抛物线y=x2-2x的顶点坐标为（1，-1），则抛物线y=x2向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=x2-2x，然后利用阴影部分的面积等于三角形面积进行计算．解：y=x2-2x=（x-1）2-1，即平移后抛物线的顶点坐标为（1，-1），所以抛物线y=x2向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=x2-2x，所以对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积=12×1×2=1．故答案为1．“点睛”本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．－3˂a˂-10˂b˂2˂˂2【解析】由ax2+bx+c=0的解x1+x2=,x1x2=得二次函数y=x2+ax+b的解x1+x2=-a,x1x2=b∵且0< x1<1；1< x2<2,∴-3<a<-1,0<b<2;∴˂˂215．点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外【解析】∵，，>5，∴点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外。

（北师版）九年级数学上学期期末考试综合复习专项辅导讲义一．基础知识巩固训练（共10小题）1．下面四个几何体中，左视图为圆的是（）A．B．C．D．2．下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A．3B．2C．1D．03．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．某校为了解本校九年级男生在“新冠肺炎”疫情期间每天在家进行锻炼的时长情况，随机抽查了100名九年级男学生进行问卷调查，将收集到的数据整理如下：时间x（分）x＜1010≤x＜2020≤x＜3030≤x＜4040≤x＜5050≤x＜60x＞60人数181034221510根据以上统计结果，抽查该校一名九年级男生，估计他每天进行锻炼的时间不少于40分钟的概率是（）A．0.22B．0.53C．0.47D．0.815．若点M在抛物线y＝（x+3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（）A．（3，﹣4）B．（﹣3，0）C．（3，0）D．（0，﹣4）6．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则每天销售量会减少2kg．该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（）A．（20+x）（100﹣2x）＝1800B．C．D．x[100﹣2（x﹣20）]＝18007．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°8．一元二次方程x（x﹣3）＝3﹣x的根是．9．解方程：x2+x﹣2＝0．10．为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝1.6米，观察者目高CD＝1.5米，求树AB的高度．二、重难点知识技能强化训练（共51题）（1）反比例函数11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．812．在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣213．已知反比例函数y＝﹣图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1（2）相似三角形14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，AE与BD相交于点G，则的值为（）A．B．C．D．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则ED：BC等于（）A．3：2B．3：1C．1：2D．1：116．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S＝（）△CFGA．2：3B．3：2C．9：4D．4：9（3）三角函数的应用17．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC＝10m，∠B＝36°，D为底边BC的中点，则上弦AB的长约为（）（结果保留小数点后一位sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）A．3.6m B．6.2m C．8.5m D．12.4m18．一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图1所示）．如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示，则此时BQ的长为（）A．5dm B．4dm C．1dm D．3dm19．如图，某建筑物AC直立于水平地面，BC＝9m，∠B＝30°，要建造楼梯，使每级台阶高度不超过20cm，那么此楼梯至少要建（）级（最后一级不足20cm时，按一级计算，≈1.732）A．27B．26C．25D．24（4）正方形与等边三角形20．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°21．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB的度数等于（）A．60°B．65°C．75°D．80°22．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，若∠BED＝45°，则∠BFC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°23．如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是等边三角形，若△BPD的面积是﹣1，则正方形ABCD的边长是（）A．2B．3C．2D．424．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（）A．B．C．D．（5）二次函数的图像25．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m绕原点旋转180°，在旋转后的抛物线上，当x ＞4时，y随x的增大而增大，则m的范围是（）A．m＞﹣7B．m≥﹣7C．m＜﹣7D．m≤﹣726．若抛物线y＝﹣x2+（m+1）x﹣m2+3m上始终存在不重合的两点关于原点对称，则m的取值范围是（）A．0＜m＜3B．m＝0或m＝3C．m＜﹣1D．m＝﹣127．如图，已知将抛物线y＝x2﹣1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”）．现将抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1B．C．D．（6）反比例函数与面积28．如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标．29．反比例函数如图所示，则矩形OAPB的面积是．（7）圆内接四边形30．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝85°，∠F＝30°，则∠E的度数为．31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝130°，则∠BAD＝．32．如图在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠ABC：∠BCD＝3：5：6，分别延长AB，DC交于点P，则∠P（8）三角函数——特殊的角度33．学校两幢教学楼的高度AB＝CD＝20m，两楼间的距离AC＝15m，已知太阳光与水平线的夹角30°，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为m．（保留根号）34．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，树高为米，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，则两次测量的影长差为米．（9）二次函数——数形结合35．抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t ＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．36．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是．37．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+k与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，则点B的坐标是；点C的（10）旋转——面积问题38．已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成．则阴影部分的面积是．39．如图，是一个边长相等的正五边形与一个正方形拼在一起的图形，并且正好拼成“福娃欢欢”．如果正方形顺时针旋转，五边形逆时针旋转，始终保持两条边邻接．那么各要转圈，可以恢复成“福娃欢欢”的图形．40．如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，连接AF交CG于点M，将CG绕点C逆时针旋转，点G的运动轨迹交AD于点H，若BC＝2AB＝4．有以下四个结论：①∠CAF＝∠CF A；②△ABC∽△MGF；③tan∠MAD＝；④阴影部分的面积为．其中一定成立的是．（把所有正确结论的序号填在横线上）（11）切线问题41．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．（1）求证：CE＝CB；（2）若AC＝，CE＝2，求CD的长．42．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．43．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，连接AD，BC，已知AE＝AD，∠BAD＝34°．（1）如图①，连接CO，求∠ADC和∠OCD的大小；（2）如图②，过点D作⊙O的切线与CB的延长线交于点F，连接BD，求∠BDF的大小．（12）概率问题44．深圳国际马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为．（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．45．宿迁具有丰富的旅游资源，小明利用周日来宿迁游玩，上午从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩，下午从D、E两个景点中任意选择一个游玩．（1）求上午小明选中景点A的概率；（2）用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求小明恰好选中景点B和D的概率．46．如图，某科技馆展大厅有A，B两个入口，C，D，E三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽大厅，参观结束后任选一个出口离开．（1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率．（2）求小购选择从入口A进入，从出口E离开的概率，（请用列表或画树状图求解）（13）二次函数的应用47．如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．（1）若所用铁栅栏的长为40米，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围：（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？（3）在（2）的条件下，请直接写出当矩形场地的面积大于192平方米时x的取值范围．48．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米．设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD 面积为y（m2）．（1）求y与x的函数关系式；（2）求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；（3）当所围矩形苗圃ABCD的面积为40m2时，则AB的长为多少米？（14）三角函数的应用49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．50．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是边BC上的一个动点（不与端点重合），联结AD，过点C作CE⊥AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长FE与边BC交于点G．（1）若AD平分∠BAC，试求△AEF的面积；（2）若△DEG为等腰三角形，试求线段CD的长；（3）设CD＝x，CG＝y，试求y关于x的函数解析式（不需写出定义域）51．【知识回顾】我们学习完《直角三角形的边角关系》之后知道，在Rt△ABC中，当锐角A确定时，锐角A的三角函数值也随之确定．结合课本所学知识，请你填空：sin30°＝；sin45°＝；sin60°＝．【深入探究】定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即：．请解答下列问题：已知：在△ABC中，∠C＝30°．（1）如图①，若∠A＝45°，求thiA的值；（2）如图②，若thiA＝，求∠A的度数；（3）若∠A是锐角，请你直接写出thiA与sin A的数量关系．（15）反比例函数综合题52．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），AC的垂直平分线分别交BC，OA于点D，E，过点D的反比例函数的图象交AB 于点F．（1）求反比例函数的表示式；（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（3）连接OD，在反比例函数图象上存在点G，使∠ODG＝90°，直接写出点G的坐标．53．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B坐标为（0，m）（m＞0），点A在x轴正半轴上，直线AB经过点A，B，且tan∠BAO＝2．（1）若点A的坐标为（3，0），求直线AB的表达式；（2）反比例函数y＝的图象与直线AB交于第一象限的C、D两点（BD＜BC），当AD＝2DB时，求k1的值（用含m的式子表示）；（3）在（1）的条件下，设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数y＝的图象于点F．分别连接OE、OF，当△OEF与△OBE相似时，请直接写出满足条件的k2值．54．如果一个矩形的4个顶点分别在原点、反比例函数y＝的图象、x轴和y轴上，那么这个矩形称为反比例函数y＝图象的伴随矩形．如图1，矩形AEOF、正方形BGOH都是反比例函数y＝（k＞0，x ＞0）图象的伴随矩形．（1）当k＝6时，①伴随矩形的面积等于；②在图2中用尺规作图，在反比例函数y＝的图象上作出一点P，使OP＝2．（2）在图1中画直线AB分别交x，y轴于点C，D，得到图3，求证：DB：DA＝CA：CB．（3）由（2）的结论，你还能得出什么更进一步的结论？请写出你的结论，并证明（根据证明的难易程度给分）．（16）几何综合题55．在等边△ABC中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上且OA＝OD．（1）如图1，若点O为BC中点，求∠COD的度数；（2）如图2，若点O为BC上任意一点，求证：AD＝AB+BO．（3）如图3，若点O为BC上任意一点，点D关于直线BC的对称点为点P，连接AP，OP，请判断△AOP的形状，并说明理由．56．【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目：如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．……提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△F AD；提炼2：△ECD≌△F AD；提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式．【问题解决】（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF．可得：∠EDF＝°；AF，FE，EC三者间的数量关系是．（2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度．（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明．57．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE．（1）在图1中，的值为；的值为．（2）若将△CDE绕点C逆时针方向旋转得到△CD1E1，点D、E的对应点为D1、E1，在旋转过程中的大小是否发生变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）当△CDE在旋转一周的过程中，A，D1，E1三点共线时，请你直接写出线段BE1的长．（17）二次函数综合题58．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）点B的坐标为，点D的坐标为；（用含有m的代数式表示）（2）连接CD，BC．①若CB平分∠OCD，求二次函数的表达式；②连接AC，若CB平分∠ACD，求二次函数的表达式．59．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．60．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标．61．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，已知点P为抛物线第一象限上一动点，连接PB、PC、BC．（1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；（2）当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；（3）如图②，当点P与抛物线顶点重合时，过点B的直线与抛物线交于点E，在直线BE上方的抛物线上是否存在一点M，使得∠BEM＝∠PBC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析（北师版）九年级数学上学期期末考试综合复习专项辅导讲义一．基础知识巩固训练（共10小题）1．D．2．C．3．B．4．C．5．B．6．C．7．C．8．x1＝3，x2＝﹣1．9．x1＝1，x2＝﹣2．10．树AB的高度为7.5m．二、重难点知识技能强化训练（共51题）11．B．12．B．13．B．14．C．15．C．16．D．17．B．18．D．19．B．20．B．21．C．22．C．23．A．24．A．25．B．26．A．27．D．28．答案为：满足y＝的第三象限点均可，如（﹣2，﹣1）29．4．30．40°．31．50°．32．40°．33．（20﹣5）34．10．35．﹣4≤t＜5．36．x1＝﹣2，x2＝1．37．（﹣1，0），（0，3）．38．π﹣2．39．20．40．①③④．41．（1）证明：连接OC、OE，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠OAC，∠EOC＝2∠DAC，∴∠BOC＝∠EOC，∴CE＝CB；（2）解：由（1）可知，BC＝CE＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝3，∵∠DAC＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△DAC∽△CAB，∴＝，即＝，解得，DC＝．42．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．43．【解答】解：（1）连接OD，∵AE＝AD，∠BAD＝34°，∴∠ADC＝∠AED＝（180°﹣34°）＝73°，∵OA＝OD＝OC，∴∠ADO＝∠A＝34°，∴∠OCD＝∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝73°﹣34°＝39°；（2）连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDF，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠BDF＝∠BAD＝34°．44．【解答】解：（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为，故答案为：；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小智和小慧被分到同一个项目标组进行志愿服务的结果数为3，所以小智和小慧被分到同一个项目标组进行志愿服务的概率为＝．45．【解答】解：（1）上午小明选中景点A的概率为；（2）列表如下：D EA（A，D）（A，E）B（B，D）（B，E）C（C，D）（C，E）由表可知，共有6种等可能结果，其中小明恰好选中景点B和D的只有1种结果，∴小明恰好选中景点B和D的概率为．46．【解答】解：（1）他选择从出口C离开的概率为；（2）画树形图如图得：由树形图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A进入，从出口E离开的只有1种结果，∴选择从入口A进入，从出口E离开的概率为．47．【解答】解：（1）由题意得：y﹣2+x+x﹣2＝40∴y＝﹣2x+44∵x＜y∴x＜﹣2x+44∴x＜∵长为34米的墙∴﹣2x+44≤34∴x≥5∴5≤x＜．（2）S＝xy＝x（﹣2x+44）＝﹣2x2+44x∴S与x的函数关系式为：S＝﹣2x2+44x当S＝192时，有﹣2x2+44x＝192解得：x1＝6，x2＝16∵x2＝16＞∴x2＝16不符合题意，舍去．∴y＝﹣2×6+44＝32∴AD长为6，AB长为32米，能使矩形场地的面积为192平方米．（3）由（2）可知，S关于x的开口向下的二次函数∴当6＜x＜时，矩形场地的面积大于192平方米．48．【解答】解：（1）设AB＝xm，则有BC＝（18﹣2x）m，根据题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2+18x；（2）二次函数y＝﹣2x2+18x（0＜x＜9），∵a＝﹣2＜0，∴二次函数图象开口向下，且当x＝﹣＝时，y取得最大值，最大值为y＝×（18﹣2×）＝（m2）；（3）令y＝40，得到﹣2x2+18x＝40，即x2﹣9x+20＝0，分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，则AB的长为4米或5米．49．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴（3x）2+16＝（5x）2，∴x＝1，即AC＝3，∵BE⊥AD，∴∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠FBC，∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；（2）∵AG∥BD，∴∠AGF＝∠CBF，∴tan∠AGF＝tan∠CBF，∴，，∴，∴．∴＝．∵∠EAF＝∠CBF，∴，∴，∴S△DAF＝＝；（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，∴，∴AF＝2CF，∵AC＝3，∴AF＝2，CF＝1，∴，∴，设AE＝x，GE＝4x，∴x2+16x2＝82，解得x＝，即AE＝．同理tan∠DAC＝tan∠CBF，∴，∴DC＝，∴AD＝＝＝．∴＝．②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴，∴，同理，∴，∴．∴DE＝AE﹣AD＝．综合以上可得DE的长为或．50．【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．∵∠ACD＝∠AHD＝90°，∠DAC＝∠DAH，AD＝AD，∴△DAC≌△DAH（AAS），∴DC＝DH，AC＝AH＝6，∵AB＝＝＝10，∴BH＝4，设CD＝DH＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2+BH2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，∴CD＝DH＝4，AD＝＝＝3，∵CE⊥AD，EF⊥AB，∴∠AEC＝∠AFE＝∠ACD＝90°，∵∠CAE＝∠EAF，∴△ACE∽△ADC∽△AEF，∴＝，＝＝，∴＝，＝＝，∴AE＝，AF＝，EF＝，∴S△AEF＝•AF•EF＝××＝．（2）如图2中，①当GE＝GD时，∵GE＝GD，∴∠GDE＝∠GED＝∠AEF，∵∠CAD+∠GDE＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°，∴∠CAD＝∠EAF，∴AD平分∠BAC，由（1）可知CD＝3．②当EG＝ED时，∠EDC＝∠EGD，∵∠DAC+∠EDC＝90°，∠B+∠EGD＝90°，∴∠CAD＝∠B，∴tan∠CAD＝tan∠B＝＝＝，∴CD＝．③当DG＝DE时，∠DGE＝∠DEG＝∠AEF，∵∠B+∠EGD＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°，∴∠B＝∠EAF，∴AD＝BD，设AD＝BD＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，∴CD＝8﹣＝．综上所述，满足条件的CD的值为3或或．（3）如图3中，作DH⊥AB于H．，CJ⊥EG交EG的延长线于J．∵CJ⊥FJ，BF⊥FJ，AE⊥EC，∴∠AEC＝∠AFE＝∠J＝90°，∴∠AEF+∠CEJ＝90°，∠CEJ+∠ECJ＝90°，∴∠AEF＝∠ECJ，∴△AFE∽△EJC，∴＝，∵＝，∴＝，∵CG＝y，CD＝x，∴AD＝，CJ＝y，DH＝（8﹣x），AE＝，∵EF∥DH，∴＝，∴＝，∴EF＝，∴＝，∴y＝x3+x（0＜x＜8）．51．【解答】解：sin30°＝；sin45°＝；sin60°＝，故答案为：；；；（1）如图①，作BH⊥AC，垂足为H，在Rt△BHC中，∠C＝30°，∴BC＝2BH，在Rt△BHA中，sin A＝，即＝sin45°＝，∴AB＝BH，∴thiA＝＝＝；（2）∵thiA＝，∴＝，即BC＝AB，∵∠C＝30°，∴BC＝2BH，∴AB＝2BH，即＝，则sin A＝＝，∴∠A＝60°，如图②，根据对称性，△A′BC是钝角三角形时，∠B′AC＝120°，综上所述，∠A的度数为60°或120°；（3）如图①，在△ABC中，thiA＝，在Rt△BHA中，sin A＝，在Rt△BHC中，∠C＝30°，∴BC＝2BH，∴thiA＝2sin A．52．【解答】解：（1）连接AD，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∵B（4，2），∴AB＝2，BC＝4．设AD＝CD＝x，则BD＝4﹣x，∵四边形OABC矩形，∴BC∥OA，∠B＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝BD2+AB2．即x2＝（4﹣x）2+22．解得．∴点．将点的坐标代入中，解得：．∴所求反比例函数表达式为；（2）DF∥AC．将x＝4代入得，，∴点．∵B（4，2），A（4，0），C（0，2），，∴AB＝2，，BC＝4，．∴，．∴．∵∠B＝∠B，∴△BDF∽△BCA，∴∠BDF＝∠BCA．∴DF∥AC；（3）存在，∵，∴OC＝2，CD＝，如图，∵G点在反比例函数图象上，∴设G（m，），过G作GH⊥BC于H，∴GH＝﹣2，DH＝﹣m，∵∠ODG＝90°，∴∠GDH+∠CDO＝90°，∵∠CDO+∠COD＝90°，∴∠GDH＝∠COD，∴△DHG∽△OCD，∴＝，∴＝，解得：m＝，m＝（不合题意舍去），∴．53．【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），∴OA＝3，OB＝m，∵tan∠BAO＝＝2，∴m＝6，设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A（3，0）、B（0，6）得：，解得：b＝6，k＝﹣2，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6；（2）如图1，∵点B坐标为（0，m）∴OB＝m，∵tan∠BAO＝2．∴OA＝m，∵AD＝2DB，∴＝，作DE∥OA，∴＝＝，∴DE＝OA＝m，∴D的横坐标为m，∴BE＝2DE＝m，∴OE＝OB﹣BE＝m，∴D（m，m），∴k1＝m×m＝m2；（3）如图2，∵A（3，0），B（0，6），∴E（，3），AB＝＝3，∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，∴OE＝AB＝，BE＝，∵EM⊥x轴，∴F的横坐标为，当△OEF∽△OBE，∴＝，∴＝，∴EF＝，∴FM＝3﹣＝，∴F（，），∴k2＝×＝，如图3，当△OEF∽△EOB时，∴＝，∴EF＝OB＝6，∴F（，﹣3），∴k2＝﹣3×＝﹣；综上所述，满足条件的k2值为或﹣．54．【解答】（1）解：①∵四边形AEOF是矩形，∴∠AEO＝∠EOF＝∠OF A＝∠EAF＝90°，AE＝OF，OE＝AF，∵矩形AEOF的面积＝OE•AE，OE•AE＝k＝6，∴伴随矩形AEOF的面积＝6，故答案为：6；②如图所示：作出第一象限角的平分线，与反比例函数图象的交点即为满足条件的点P；（2）证明：由（1）①得：正方形BGOH的面积＝矩形AEOF的面积＝6，∴BG•BH＝AE•AF＝6，∴，∵四边形BGOH是正方形，四边形AEOF是矩形，∴BG＝BH，BG∥AF，AE∥BH，∴△BDG∽△ADF，△ACE∽△BCH，∴，＝，∴＝；（3）解：得出更进一步的结论：伴随矩形的面积＝k（k＞0）；理由如下：∵DB：DA＝CA：CB，由（2）得：＝，＝，∴＝，∴BG•BH＝AE•AF＝6，即伴随矩形的面积＝k（k＞0）．55．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形∴∠BAC＝60°∵O为BC中点∴且AO⊥BC，∠AOC＝90°∵OA＝OD∴△AOD中，∠D＝∠CAO＝30°∴∠AOD＝180°﹣∠D﹣∠CAO＝120°∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°；（2）如图1，过O作OE∥AB，OE交AD于E，∵OE∥AB∴∠EOC＝∠ABC＝60°∠CEO＝∠CAB＝60°，∴△COE为等边三角形，∴OE＝OC＝CE，∠AEO＝180°﹣∠CEO＝120°，∠DCO＝180°﹣∠ACB＝120°，又∵OA＝OD，∴∠EAO＝∠CDO，在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△DOC（AAS），∴CD＝EA，∵EA＝AC﹣CE，BO＝BC﹣CO，∴EA＝BO，∴BO＝CD，∴AB＝AC，又∵AD＝AC+CD，∴AD＝AB+BO；（3）△AOP为等边三角形．证明：如图2，连接PC，PD，延长OC交PD于F，∵P、D关于OC对称，∴PF＝DF，∠PFO＝∠DFO＝90°，在△OPE与△OPF中，，∴△OPE≌△OPF（SAS），∴∠POF＝∠DOF，OP＝OD，∴△AOP为等腰三角形，过O作OE∥AB，OE交AD于E，由（2）得△AOE≌△DOC，∠AOE＝∠DOC，∴∠AOE＝∠POF，∴∠AOE+∠POE＝∠POF+∠POE，即∠AOP＝∠COE＝60°，∴△AOP是等边三角形．56．【解答】【问题解决】解：（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE，∴CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90°，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．∴∠EDF＝∠EDG+∠FDG＝＝45°，EF＝FG+EG＝AF+EC；故答案为：45°，AF+EC＝FE．（2）如图，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE．∵AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．∴∠EAC＝90°．∵四边形ABCD的面积为8，可得△ACE的面积为8．∴．解得，AC＝4．（3）AD2+BE2＝DE2．证明如下：如图2：将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCH，连接EH．∴DC＝HC，∠DCE＝∠ECH＝45°，∠CAD＝∠CBH＝45°，∵CE＝CE，∴△CEH≌△CED（SAS）．∴EH＝ED．∴∠ABC+∠CBH＝∠EBH＝90°．∴HB2+BE2＝EH2．∵AD＝BH，∴AD2+BE2＝DE2．57．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝，∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴，故答案为：；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴，∴，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD1＝∠BCE1，∴△ACD1∽△BCE1，∴，（3）当点D1在线段AE1上时，如图3，过点C作CF⊥AE1于F，∠CD1F＝180°﹣∠CD1E1＝60°，∴∠D1CF＝30°，∴D1F＝CD1＝，∴CF＝D1F＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD1＝AF+D1F＝，由（2）知，，∴BE1＝AD1＝．当点D1在线段AE1的延长线上时，如图4，过点C作CG⊥AD交AD1的延长线于G，∵∠CD1G＝60°，∴∠D1CG＝30°，∴D1G＝CD1＝，∴CG＝D1G＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD1＝AG﹣D1G＝，由（2）知，，∴BE1＝AD1＝．即：线段BE1的长为或．58．【解答】解：（1）在二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2中，当y＝0时，x1＝3m，x2＝﹣m，∵点A在点B的左侧，m＞0，∴A（﹣m，0），B（3m，0），∵y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2，∴顶点D（m，4m2），∴故答案为：（3m，0），（m，4m2）；（2）①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，则DH∥OC，∴∠DEC＝∠OCE，∵BC平分∠OCD，∴∠OCE＝∠DCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴CD＝DE，由（1）知，C（0，3m2），A（﹣m，0），B（3m，0），∴OC＝3m2，OB＝3m，∵，∴HE＝2m2，∴DE＝DH﹣HE＝4m2﹣2m2＝2m2，∵CD＝DE，∴CD2＝DE2，∴m2+m4＝4m4，解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴二次函数的关系式为：；②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE，∵tan∠DCG＝＝m，tan∠KCB＝＝m，∴∠DCG＝∠KCB，∴CK∥AB，∴∠KCB＝∠EBA，由对称性知，DH垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠DCG＝∠KCB＝∠EBA＝∠EAB，∵∠AEC＝∠EAB+∠EBA，∠DCB＝∠DCG+∠KCB，CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠AEC＝∠ACE，∴AC＝AE，∴AC2＝AE2＝EH2+AH2，∴m2+9m4＝4m4+4m2，解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴二次函数的关系式为：．59．【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、B（2，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x+3；（2）①将E（m，2）代入y＝﹣x+3中，得﹣m+3＝2，解得m＝﹣2或1（舍去），∴E（﹣2，2），∵A（﹣3，0）、B（2，0），∴AB＝5，AE＝，BE＝2，∴AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB＝∠DOB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，∴∠EAB＝∠ODB，（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，∴∠AEF＝∠DOB＝90°，∴F与B点重合，∴EF＝BE＝2，（Ⅱ）当△EF A∽△BOD时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E（﹣2，2），∴EF＝2，故：EF的长为2或2；②点H的坐标为（﹣，）或（﹣，），（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，∴∠CHN＝∠MGH，∵HN⊥CO，∠COP＝90°，∴HN∥AB，∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，∵E（﹣2，2），C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝x+3，∴P（﹣6，0），∴EP＝EB＝2，∴∠APE＝∠EBA，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，∴GC∥PB，又C（0，3），∴G点的纵坐标为3，代入y＝﹣x+3中，得：x＝﹣1或0（舍去），∴MN＝1，∵∠AEB＝90°，AE＝，BE＝2，∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，设CN＝MG＝m，则HN＝2m，MH＝m，∴MH+HN＝2m+m＝1，解得，m＝，∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得：y＝，∴点H的坐标为（﹣，）．（Ⅱ）过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM于点M，∴CN∥PB，∴∠NCH＝∠APE，由（Ⅰ）知：∠APE＝∠EBA，则∠NCH＝∠EBA，∵∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，∴∠HCN＝∠MHG，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，由（Ⅰ）知：tan∠EBA＝，则tan∠MHG＝＝tan∠GCH＝，设MG＝a，则MH＝2a，∵∠NCH＝∠MHG，∠N＝∠M，∴△HMG∽△CNH，∴，∴NH＝2a，CN＝4a，又C（0，3），∴G（﹣3a，3﹣4a），代入y＝﹣x+3中，得，a＝或0（舍去），∴CN＝，∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得，y＝．∴点H的坐标为（﹣）．综合以上可得点H的坐标为（﹣，）或（﹣）．60．【解答】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x﹣1+1+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）．（2）作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∴tan∠MBA＝＝，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，∵B（3，0），∴BE＝2，∴tan∠BDE＝，∵∠MBA＝∠BDE，∴，当点M在x轴上方时，，解得m＝﹣或3（舍去），∴M（﹣，），当点M在x轴下方时，，解得m＝﹣或m＝3（舍去），∴点M（﹣，﹣），综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）．61．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3），则N（x，﹣x+3），∴PN＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∴S△PBC＝×PN×OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，△PBC的面积最大，∴P（，）；（3）存在，如图2，过点P作PH⊥x轴于H，设直线与y轴交于点Q，则Q（0，﹣），在Rt△OBQ中，tan∠OBQ＝＝＝，在Rt△PHB中，tan∠BPH＝＝＝，∴∠OBQ＝∠BPH，∵∠BPH+∠PBH＝90°，∴∠OBQ+∠PBH＝90°，即∠PBE＝90°，将点B（3，0）代入直线，。

综合应用题（讲义）课前预习1.已知函数y =x 2-2x -3，借助函数图象，解决下列问题：①当12＜x ≤6时，y 的取值范围是__________．②解不等式x 2-2x -3≥0．2.实际生活中的变化过程往往不能只用一个函数来进行描述．以阶梯水费为例：用户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．若某户居民某月份用水x 吨，应交水费y 元，则y 关于x 的函数关系式可表示为 1.2 0101.8 6 10x x y x x <⎧=⎨->⎩≤（）（）．当用水量0＜x ≤10时，适用函数关系式________；当x ＞10时，适用函数关系式________．我们把这样的函数叫做分段函数，分段函数尤其要注意其自变量的取值范围．3.解决下列问题：某企业利润w 关于其产品售价x 之间的函数关系式为224 3 03108032 35993x x x w x x x ⎧-++<⎪=⎨-+-<⎪⎩≤≤（）（）．若要该企业利润w 最大，售价x 应定为多少？提示：①求出当0＜x ≤3时，w 的最大值；②求出当3＜x ≤5时，w 的最大值；③两段函数的最值进行比较，较大的为整个函数的最大值．知识点睛应用题的处理思路1.理解题意，梳理信息综合类应用题信息的呈现形式：①表达式——要清楚变量含义、变量间关系；②图象、表格——明确文字信息与图象、表格中量的对应关系；③文字信息——抓取关键词、关键语句、量与量之间关系；如：×××与×××成正比例，售价每上涨××元，每个月少卖××件．④隐含信息如：自变量、因变量的范围限制，整数、正数等．2.辨识类型，建立模型3.求解验证，回归实际精讲精练1.某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t （天）的关系如下表：时间t（天）1361036…日销售量m（件）9490847624…在未来40天内，每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系为：125 1204140 21402t t tyt t t⎧+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≤≤≤（，且为整数）（，且为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m与t之间的关系式．（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，且最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a（a＜4）元利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．2.某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A，B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售量x（x≥2）（单位：吨）之间的函数关系如图所示．B类杨梅加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式．（2）该公司第一次收购了20吨杨梅，其中A类杨梅x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．（毛利润=销售总收入-经营总成本）①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元的毛利润，则用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）该公司第二次准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使该公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．3.科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为22030(90)3090ax xyb x n x⎧⎪=⎨-+⎪⎩≤≤≤≤（）（），10:00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？4.为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．人均住房面积（平方米）单价（万元/平方米）不超过30平方米的部分0.3超过30平方米不超过m平方米的0.5部分（45≤m≤60）超过m平方米的部分0.7根据这个购房方案：（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60，求m的取值范围．【参考答案】课前预习1.①-4≤y ≤21；②x ≤-1或x ≥32.y =1.2x ；y =1.8x -6．3.①当x =2时，w 最大，w max =7；②当x =4时，w 最大，w max =649；③∵6479>，∴当x =4时，w 最大，w max =649． 精讲精练1.（1）m =-2t +96（1≤t ≤40且t 为整数）；（2）在第14天时日销售利润最大，为578元；（3）3≤a ＜4．2.（1）14286 8x x y x -+⎧=⎨>⎩≤≤（）（）；（2）①27482848820x x x w x x ⎧-++=⎨-+<⎩≤≤≤（）（）；②18吨．（3）方案如下：购买量（吨）A4B 523此时最大毛利润为64万元．3.（1）22103031(90)70030909x x y x x ⎧⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩≤≤≤（）（）；（2）馆外游客最多等待57分钟．4.（1）应缴纳房款42万元；（2）0.90301.518302.10.618x x y x x m x m x m ⎧⎪=-<⎨⎪-->⎩≤≤≤（）（）（）；（3）m 的取值范围为45≤m ＜50．。