【百强校】2017届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学(理)试卷(带解析)

数学适应性考试第1页共12页重庆育才中学初2017级适应性考试数学试题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回.参公式：抛物线2(0)y ax bx c a=++≠的顶点坐标为（2ba-，244ac ba-），对称轴为2bxa=-。

一、选择题:本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上。

1．a与21互为相反数，则a=A.-2B. 2C.-212.下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A． B． C． D．3．在下列调查中，最适宜采用普查方式的是A.了解我市正在销售的酸奶质量情况B.了解某校初三年级学生期末立定跳远成绩C.了解全市中学生对雄安新区的关注程度D.对全市小学生使用手机玩游戏的情况调查4.下列计算正确的是A．a4+a4=a8 B．32)(ba=35ba C．a5÷a3=a2 D．2224）2（baba-=-5. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB ，∠AED= 26︒，则∠C的度数为A．26° B．42° C．52° D．56°6.在函数1-=xxy中，自变量x的取值范围是A．0≥x B．0≥x且1≠x C．1≥x且0≠x D．x>17.估计516)3(2-+-的运算结果应在哪两个连续自然数之间A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8第5题图[机密]2017年4月28日前数学适应性考试 第2页 共12页F EBC A 8.我市某区县2016年4月1日至4月15日降雨量如下表所示：则这组降雨量数据的众数和中位数分别是A ．8，5B ．8，7C ．5，8D ．5，69．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，分别以AB 、AD 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为 A ．12425-π B. 3316-π C ．629-π D ．6825-π第9题图10.如图所示，每个图案都由若干个“”组成，其中第①个图案中有4个，第②个图案中有9个，第③个图案中有16个，第④个图案有25个，…,则第⑨个图案中的个数为图① 图② 图③ 图 ④ A ．90 B ．99 C ．100 D ．111 11．如图，小明家附近有一斜坡AB=40米，其坡度3:1=i ，斜坡AB 上有一竖直向上的古树EF ，小明在山底A 处看古树树顶E 的仰角为600，在山顶B 处看古树树顶E 的仰角为150，则古树的高约为 （参考数据：732.13，414.12≈≈）A ．16.9 米B ．13.7米C ．14.6米D ．15.2米第11题图12. 已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧<--<-0275x a x 只有2个非负整数解，且关于x 的分式方程216=+--a x a 有整数解，则所有满足条件的整数a 的值的个数为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2二、填空题：本大题6个小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应的位置上．13．近期，某校为训练学生的耐力，要求每位初三学生每天跳绳至少10分钟，每分钟至少跳绳150个，则该校每位初三学生每天至少跳绳的个数用科学记数法应表示为 ．数学适应性考试 第3页 共12页G P FE C BA14.计算：11325π--+-+（）（）= ． 15.如图，⊙O 过△ABC 的顶点A 、B 、C ，且∠C=300，AB=3，则弧AB 长为 ．16．口袋里有6个形状大小都相同，但所标数字不同的小球，6个小球所标的数字分别为-3.5,-2.5,-1,0,1,2.先随机抽取一个球得到的数字记为a ，放回后再抽取一个球得到的数字记为b ，则满足条件关于x 的函数b x x a y +++=2)52(2的图像不经过第四象限的概率是 ．第15题图 第17题图 第18题图 17． 某周末，小明到彩云湖公园画画写生，小明家到彩云湖公园的路程为3.5千米，步行20分钟后，在家的小明妈妈发现小明画画的某工具没拿，立即通知小明等着自己把工具送过去，小明妈追上小明把工具给了小明后立即返回，同时小明以原来1.5倍的速度前往目的地，如图是小明与小明妈距家的路程（千米）与小明所用时间（分钟）之间的函数图象，则小明到达目的地比小明妈返回家晚 分钟. 18．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC，对角线AC 、BD 相交于点E ，E 为BD 中点，且 AD ＝BD ，AB=2，∠B AC＝30°，则DC= ．三、解答题：本大题2个小题，每小题题8分，共16分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 19.如图，△ABC 中，EF//BC ，PG//AB ，AP=CF ，求证：△AEF ≌△PGC.第19题图20．1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”（简称“世界读书日”），其设立目的是推动数学适应性考试 第4页 共12页更多的人去阅读和写作.某文化公司为了大力宣传和推广该公司的文化产业，准备举办一个读书活动. 为此，公司派出了若干工作人员到几个社区作随机调查，了解居民对读书与写作的喜爱程度. 工作人员小李将“喜爱程度”按A 、B 、C 、D 进行分类，并将自己的调查结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：“喜爱程度”条形统计图 “喜爱程度”扇形统计图 （说明：A ：非常喜欢；B ：比较喜欢；C ：一般喜欢；D ：不喜欢） （1）请把条形统计图和扇形统计图补充完整；（2）扇形统计图中D 类所在的扇形的圆心角度数是 ；（3）若小李调查的社区居民大概有4000人，请你用小李的调查结果估计这个社区居民关于读书与写作“非常喜欢”和“比较喜欢”的人数之和.四、解答题：本大题5个小题，每小题10分，共50分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．21．化简：（1）)2(2)2)(2(2ab a b a b a --+---； （2）112)111(22-+-÷+-+-x x x x x x 22．如图，正比例函数x y 2-=与反比例函数xky =的图象在第二象限交于点A (-1，m )，将函数x y 2-=的图象向下平移3个单位长度与反比例函数xky =的图象分别交于B 、C 两点，连结AB ，AC.(1)求反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积.数学适应性考试 第5页共12页23．在我区某片区，为方便附近居民子女就近读书，政府决定在此片区新建一所初中学校为此新建学校总投资3600万元． （1）政府计划为此新建学校总投资3600万元.其中用于房屋建筑的资金应不小于购买学校教学设备资金的3倍.问最多用多少资金购买学校的教学设备? （2）此片区内的街道办事处决定为此新建学校募捐50万元用于购买图书.募捐方案中计划动员学生家长300人自愿捐款，平均每人捐款200元，余下的募捐资金则动员该片区的企业捐款. 经街道办事处工作人员的宣传与动员，最终街道办事处为新建学校募捐的情况是：企业自愿捐款的资金比计划的多，家长捐款的额度在计划募捐资金基础上下调了40%，且同时学生家长在300人的基础上增加了a%，则平均每位学生家长募捐在计划200元的基础上减少了%56a ，求a 的值．24.阅读理解：有一个n 位自然数n n n n n ⋅⋅⋅321（n ，n ，n ，n ，n n ,...,321是正整数，2≥n ，9,...,1321<≤n ，n ，n ，n n ），若交换不同数位上的数字得到一新数则叫这个n 位自然数n n n n n ⋅⋅⋅321的一个“轮换数”，如：n n n n n ⋅⋅⋅312，n n n n n ⋅⋅⋅231均是n n n n n ⋅⋅⋅321的一个“轮换数”；36是63的一个“轮换数”，243是324的一个“轮换数”. （1）写出213的所有轮换数．（2）证明：任何一个3位自然数321n n n 与它所有轮换数的和是111的倍数.（3）试求：4213与它所有轮换数的和.25. 如图，在四边形ABCD 中， AB=AD ，AB ⊥AD.连接AC 、BD ，AC ⊥DC.过点B 作BE ⊥AC ，分别交AC 、AD于点E 、F.点G 为BD 中点，连接CG. (1)求证：△ABE ≌△DAC ；(2)根据题中所给条件，猜想：CE 与CG 的数量关系，并请说明理由.GFED C BA五、解答题：本大题12分解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．26. 如图1，抛物线与x轴交于A（-3，0）、B(1,0)两点，与y轴交于点C（0,-3）.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，抛物线上点D的横坐标为-4，且DD/⊥x轴于点D/,∠D B D/ =300.点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当EF+EB取得最大值时，在抛物线对称轴上找一点P，使EP+FP的值最小，求：EP+FP的最小值及点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBG，现将△OBG沿着x轴向左平移，△OBG平移后记为△MNK，连接DM、KB，记KB与x轴形成的较小夹角度数为θ，当∠MDB=θ时，求出此时K的坐标．图1 图2数学适应性考试第6页共12页数学适应性考试 第7页 共12页G PFECBA10%5初2017级适应性考试 数学参考答案和评分意见二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13． 1.5x103 14． 8 15. π 16．125 17．518．332三、解答题：19. 证明： EF//BC ，PG//AB∴∠C=∠AFE ，∠GPC=∠A …………………4分 又AP=CF∴AP+PF=CF+PF∴AF=PC ……………………………………6分∴由⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠PC AF C AFE GPC A ，得△AEF ≌△PGC …………8分20. 解：（1）……………………………………4分（2）360……………………………………………………………………………6分（3）2640）%46%20（4000=+人……………………………………………8分四、解答题：数学适应性考试 第8页 共12页21.解：（1）原式=)2(2)2)(2(2ab a b a b a --+---………………………………………2分 =22b ab -………………………………………5分 （2）原式=2)1()1)(1(11)1)(1(--+⋅+-++-x x x x x x x …………………………8分 =1112--+-x xx ………………………………………………………9分=x ………………………………………………………………………10分 22解：解：（1） 点A (-1，m )在函数x y 2-=的图象上∴2)1(2=-⨯-=m∴点A (-1，2) …………………………………1分212-=⇒-=∴k k…………………………………2分∴反比例函数的解析式为xy 2-=…………………………………3分（2）由题意知，直线BC 为32--=x y …………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧-=--=x y x y 232得1121x y =-⎧⎨=⎩，⎪⎩⎪⎨⎧-==42122y x ∴点B （-2，1），C （21，-4）………………………………6分过点A 作AD //y 轴交直线BC 于点D,则D （-1，-1）………………7分）（21B C ADC ABD ABC x x AD S S S -⋅⋅=+=∴∆∆∆ ………………8分数学适应性考试 第9页 共12页111212222154C B AD x x =⋅⋅-=⋅+⋅+=（）（）（） ………………10分 23．解：（1）设最多用x 万元购买新建学校的教学设备，根据题意得： 3600﹣x ≥3x ， ………………………………2分 解得：x ≤900， ………………………………3分答：最多用900万元购买学校的教学设备 ………………………………4分 （2）根据题意，得：（1+a%）300×（1﹣56a%）×200=300×200（1-40%）， ………………………………7分 解得：a%=0.5=50%或a%=﹣32（舍），………………………………………………………………………9分 即a=50……………………………………………………………………………………………………………………………10分24. （1）213的所有“轮换数”为：231，123，132，321，312. ............3分（写对2个为1分，全对3分） （2）321n n n 与它所有轮换数的和为：321n n n +231n n n +312n n n +132n n n +213n n n +123n n n ...................4分=2（333222111101001010010100n n n n n n n n n ++++++++）.=2（321n n n ++）×111 ..............................6分321，n ，n n 是正整数321n n n ++∴是正整数所以2（321n n n ++）×111是111的倍数，即任何一个3位自然数321n n n 与它所有轮换数的和是111的倍数. ....................................................7分（3）当4为首位时，由（1）知，213与213数位轮换共有6种情况，再由（2）运算过程可知，4213与它所有轮换数的和为：6×(1+2+3+4)×1111=66660 .......................................................10分25. 证明：（1）AD AB ⊥数学适应性考试 第10页 共12页25题答图GFE DCBA ︒=∠+∠∴90DAC BAEAC BE ⊥ 又 ︒=∠+∠∴90ABE BAEDAC ABE ∠=∠∴ ① ……… 1分DC AC ⊥︒=∠=∠∴90AEB DCA② ……… 2分AD A =B 又 ③DAC ABE ∆≅∆∴得①②③由 ……… 3分（2）……… 4分 连结AG 、EG由（1）知BE=AC, DAC ABE ∠=∠ 90BAD AB AD ∠=︒= ，，G 为BD 的中点BG A =∴G ，︒=∠=∠=∠45ABD BAG DAG ……… 5分 DAC ABE ∠=∠EBG CAG ∠=∠∴ ……… 6分BE AC AG BG CAG EBG =⎧⎪∴=⎨⎪∠=∠⎩由得EBG CAG ∆≅∆ ……… 7分 EG C =∴G ，BEG ACG ∠=∠CEG ACG ∠=∠∴GEB CEG ACG ∠=∠=∠∴ ……… 8分AC BE ⊥ 又45ACG CEG GEB ∴∠=∠=∠=︒ ……… 9分 ︒=∠∴90CGECG C 2E =∴ ……… 10分五、解答题：26. 解：（1）由题意，设抛物线的解析式为)1)(3(-+=x x a y ，将点C （0,-3）代入)1)(3(-+=x x a y 中，得a =33.…………………………2分数学适应性考试 第11页 共12页)1)(3(33-+=∴x x y , (或也可写成：3332332-+=∴x x y )……………………3分 (2) 由（1）知，D （-4，335） ∴直线BD 的解析式为 3333+-=∴x y ………………4分 则设E （3333,+-m m ）,F(333233,2-+m m m ),又因∠D B D / =300 ∴EF+EB=3333+-m -(3332332-+m m )+2(3333+-m ) =32335332+--m m =12349）25（332++-m ∴当25-=m 时，EF+EB 取得最大值12349，…………………………………5分 此时E （637，25-），F （1237，25--）， 抛物线3332332-+=x x y 的对称轴是x=-1 作点E 关于 对称轴x=-1的对称点E /，由对称性可知E /（637，21） 连接E /F 交对称轴x=-1于点P ，则EP+FP=E /P+FP当E /，F ，P 三点共线时，E /P+FP 的值最小. ……………………6分数学适应性考试 第12页 共12页 E /22）1237637（）2521（+++= = 4291…………………………………………………………………7分 由作图可知点P 是线段E /F 的中点，所以点P （2437，1-）………………8分 （3）过M 作MH ⊥BD 于点H ，记BM=t ,因∠D B D / =300，则MH =t 21 ，BH=BM 23=t 23 3310）335（）41（22=++=BD ==∴BH -BD H D 3310—t 23……………9分 ，θ=∠=∠KBM MDH 090=∠=∠KMB MHDMDH ∆∴∽KBM ∆⇒=∴KMMH BM DH ……………10分 =-t t 233310321t 2893+-=⇒t 或2893--=t （舍）……………11分 ∴点K （2895-，3） (12)。

2020届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x =（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．0【答案】C【解析】根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选：C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.2．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ð A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的一个必要不充分条件是( ) A ．11a -≤≤B ．01a <<C ．11a -<<D ．1a <-或1a >【解析】先求得命题的充要条件,再根据其必要不充分条件关于a 的范围应为充要条件关于a 的范围的子集,进而选择即可 【详解】由题,若关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R ,则()2240a ∆=--<,即11a -<<,则关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的充要条件为11a -<<, 所以它的必要不充分条件关于a 的范围应为集合{}|11a a -<<的子集, 故选:B 【点睛】本题考查判断必要不充分条件,考查一元二次不等式恒成立问题4．函数()2cos x xf x x+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数为奇函数，再求出()1f 即可判断()()()()22cos cos x x x xf x f x xx-+-+-==-=--，则函数()f x 为奇函数，故排除A D ，， 当1x =时，()11cos10f =+>，故排除B ， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.5．函数y x =的最大值是( ) A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】D【解析】利用换元法,()0t t =≥,则22x t =-,代回可得2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,由二次函数的性质解得最值即可【详解】()0t t =≥,则22x t =-,所以2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, 则当0t =时,max 2y =, 故选:D 【点睛】本题考查换元法求函数最值,使用换元法时要注意新元的取值范围 6．某程序框图如图所示,若输出的结果是62,则判断框中可以是( )A ．4?i >B ．5?i >C ．3?i >D ．6?i >【答案】B【解析】根据程序框图,逐步执行,直到62S =,结束循环,即可得出判断条件 【详解】由图,0,1S i ==；1022,112S i =+==+=； 2226S =+=,213i =+=； 36214S =+=,314i =+=； 414230S =+=,415i =+=；530262S =+=,516i =+=,此时输出,所以对于判断条件,5i =不满足,6i =满足, 故选:B 【点睛】本题考查利用输出结果补全程序框图,属于基础题 7．函数()2ln 43y x x =-+的单调递减区间为（ ）A ．(2,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞【答案】D【解析】设t= x 2-4x+3，则y=lnt ，先确定函数的定义域，根据对数函数的性质判断y=lnt 的单调性，再判断二次函数的单调性，进而解决问题. 【详解】设t=x 2-4x+3，则y=ln （x 2﹣4x+3）=lnt ，则t=x 2-4x+3＞0，求得x ＜1，或x ＞3，故函数的定义域为{x|x ＜1或x ＞3}， 易知y=lnt ，在t>0单调递增；易知 t=x 2-4x+3在x<1时，单调递减，在x>3时，单调递增，根据复合函数的单调性规律，可知y=ln （x 2﹣4x+3）在（-∞，1 ）上为减函数，故选D 【点睛】复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解． 8．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．-3或2【答案】B【解析】由题意可知'(1)0f =，这样可求出a ，然后针对a 的每一个值，进行讨论，看1x =是不是函数的极值点. 【详解】()()()()3'2222()2(131)133f x f x x a x a a x a x a a x =++-=++-+-⇒+-，由题意可知'(1)0f =，()'2(1)1(1)303a a a f a =++-⇒+-=⇒=或2a =-当3a =时，()2'22389(9)(()2(1))1f x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-， 当1,9x x ><-时，'()0f x >，函数单调递增；当91x -<<时，'()0f x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()'2222()2(1)321(1)0a a x x x f x a x x =++-+-=-+=-≥，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B. 【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.9．已知函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,则a 的取值范围是( ) A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B【解析】先求导可得()221ax x f x x--+'=,则可转化问题为2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,进而求解即可 【详解】由题,()212121ax x f x ax x x--+'=--=, 因为0x >,则若函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,即2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,即存在x ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,使得2112a x x ->+成立, 设[]()12,3t t x =∈,则()221124u t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,当2t =时,()()min 22u t u ==, 所以22a >,即1a >, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想10．设函数()(()2ln 22f x x x =-<<,则使得()()210f x f x +->成立的x 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15,44⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】先由解析式可判定()f x 是奇函数,且单调递增,再利用奇函数的性质将问题转化为()()21f x f x >-,进而利用函数的单调性求解即可 【详解】由题,()()((()222ln 2ln 2ln 10f x f x x x x x-+=-+=+-=,所以()f x 是奇函数, 当02x ≤<时,y =,所以()f x 单调递增,所以根据奇函数的性质可得()f x 在()2,2-上单调递增, 因为()()210f x f x +->,所以()()()211f x f x f x >--=-,所以21222212x x x x >-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩,解得113x <<,故选:C 【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性,考查利用奇偶性和单调性解抽象函数不等式 11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们的一个公共点,且122F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则221211e e +=( ) A ．2 B．C ．4D ．3【答案】A【解析】由椭圆与双曲线的定义可得1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a ,则112=+PF a a ,212=-PF a a ,且122F F c =,再由122F PF π∠=,根据勾股定理2221212PF PF F F +=,代入整理即可【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,则根据椭圆及双曲线的定义:1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a , 则112=+PF a a ,212=-PF a a , 设122F F c =,因为122F PF π∠=,所以2221212PF PF F F +=,即()()()22212122a a a a c ++-=,化简可得222122a a c +=,因为1a e c=,所以2212112e e +=, 故选:A 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义的应用,考查椭圆与双曲线的离心率12．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．RB ．[0,1]C ．133133,22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D ．(,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡∈---⎢⎣，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(3)()f x f x +=，即函数()f x 的周期23T =∵[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)，，，，，如图，且函数在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵3322x ⎡∈---⎢⎣，，函数的周期是∴当3322x ⎡∈---⎢⎣，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，则20a a -≥，解得1a ≥或0a ≤.故选D ．【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[x ∈时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考查了函数恒成立．二、填空题13．曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________. 【答案】x-y-1=0【解析】由题意可得：()1'ln ln 1f x x x x x=+⨯=+， 则()'1ln111f =+=，且()10f =， 据此可得切线方程为：()011y x -=⨯-， 即：x-y-1=0.14．)121x dx -=⎰______.【答案】223π+【解析】由题,)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,利用几何法求得1-⎰利用微积分定理求得121x dx -⎰,进而求解即可【详解】)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,设y 则()2210x y y +=≥,所以1-⎰,以1为半径的圆的面积的一半,即()121122ππ-=⨯⨯=⎰；又()113233111112113333x dx x --==⨯-⨯-=⎰,所以)121223x dx π-=+⎰,故答案为:223π+【点睛】本题考查微积分定理的应用,考查几何法求定积分15．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由()()22f x f x -=-+可得()f x 关于()2,0中心对称,由奇函数可得()()22f x f x -=+,即周期为4,分别画出()y f x =与3log y x =的图像,由图像得到交点个数即为零点个数 【详解】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+, 所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+, 所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4, 画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个, 故答案为:5 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的应用,考查零点的个数问题,考查数形结合思想16．已知()()ln 0f x a x x a =+>对于区间11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的任意两个相异实数1x ,2x ,恒有()()121211f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围是______. 【答案】15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】利用导函数易得()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <,由此可得()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+,所以设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,即()0g x '≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,进而求解即可 【详解】因为0a >,所以()10a a xf x x x+'=+=>在()0,∞+上恒成立,即()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <, 因为()()121211f x f x x x -<-, 所以()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+, 设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 所以()()222110x ax g x f x x x+-''=-=≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,则max 1a x x ⎡⎤≥-+⎢⎥⎣⎦, 因为y x =-在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,1y x =在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以1y x x =-+在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以当14x =时,1x x -+取得最大值为154,故a 的范围是15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故答案为: 15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查定义法判断函数单调性,考查转化思想三、解答题17．在ABC ∆中,a ､b ､c 分别是角A ､B ､C 的对边,已知sin sin 3c A a C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求角C 的大小;(2)若2c =,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫=+⎪⎝⎭,即sin sin 3C C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,进而求解即可；（2）由（1）,利用余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅,整理后可得224ab a b =+-,利用均值定理求得ab 的最大值,进而求得面积的最大值 【详解】（1）Q sin sin 3c A a C π⎛⎫=+⎪⎝⎭, sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,Q 在ABC V 中sin 0A >,sin sin 3C C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,3C C ππ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭,3C π∴=（2）由（1）,则2222cos c a b ab C =+-⋅,即224a b ab =+-,22424ab a b ab ∴=+-≥-,4ab ∴≤,当且仅当2a b ==时,等号成立,则ab 的最大值为4,此时ABC V 面积的最大值为:11sin 4222S ab C =⋅=⨯⨯= 【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查三角形面积的最值,考查余弦定理的应用,考查均值定理求最值18．2019年5月,重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动,工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估,其中评分不低于9分的教室评为优秀,以下表格记录了它们的评分情况:(1)现从16间教室随机抽取3个,求至多有1个优秀的概率;(2)以这16间教室评分数据估计全校教室的布置情况,若从全校所有教室中任选3个,记X 表示抽到优秀的教室个数,求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）121140；（2）见解析 【解析】（1）由表格可知有4个教室优秀,从16间教室随机抽取3个,至多有1个优秀的情况分别是没有优秀的和只有一个优秀的,由此求解即可； （2）由样本估计总体可知优秀的概率为14,则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭,进而根据二项分布求解即可 【详解】（1）设i A 表示所抽取的3间教室中有i 个教室优秀,设抽取3间教室中至多有1个优秀为事件A ,则()()()3211212401331616121140C C C P A P A P A C C =+=+= （2）由表格数据可知,从16间教室中任选1个优秀的概率为41164=, 由题可知X 的可能取值为0,1,2,3,则()33270464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭,()2131********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()22313924464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3113464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以X 的分布列为X0 1 2 3P2764 2764 964 164所以()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查用样本估计总体,考查二项分布的分布列与期望,考查数据处理能力 19．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）77. 【解析】（1）若AB ⊥CD ，得AB ⊥面ACD ，由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,解得a 2=1，成立;（2）四面体A ﹣BCD 体积最大时面ABD ⊥面BCD ，以A 为原点，在平面ACD 中过O 作BD 的垂线为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣CD ﹣B 的余弦值． 【详解】(1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC . 由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a , 由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,所以12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 可以垂直,此时a 的值为1 (2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD . 过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ， 以O 为原点建立空间直角坐标系o xyz (如图)，则易知,显然，面BCD 的法向量为 ,设面ACD 的法向量为n r＝(x ，y ，z ), 因为所以，令y ＝2，得n r＝(1，2，2)，故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n u u r r OA ，.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20．已知圆C :()22116x y -+=和定点()1,0F -,M 是圆C 上任意一点,线段MF 的垂直平分线交MC 于点N ,设动点N 的轨迹为E . (1)求E 的方程;(2)过点()1,0作直线l 与曲线E 相交于P ,Q 两点(P ,Q 不在x 轴上),试问:在x 轴上是否存在定点T ,总有OTP OTQ ∠=∠?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在,定点()4,0T 【解析】（1）由题可得圆心C 为()1,0,由MN FN =可推出N 的轨迹是以C 、F 为焦点的椭圆,进而求出椭圆方程即可；（2）设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时显然成立,当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立直线方程和椭圆方程,可得()()22224384120k x k x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 的关系,由OTP OTQ ∠=∠可知0TP TQ k k +=,利用斜率公式整理求解即可 【详解】（1）由题,圆心C 为()1,0,半径4r =, 由垂直平分线的性质可知MN FN =,所以4FN CN MN CN MC r +=+===,所以由椭圆定义可知轨迹E 是以C 、F 为焦点的椭圆, 所以24a =,即2a =,因为1c =,所以2223b a c =-=,所以轨迹方程为:22143x y +=（2）存在,设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时,由椭圆的对称性,x 轴上的点均符合题意； 当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()()22224384120k x k x k +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则2122843k x x k +=+,212241243k x x k -=+, 因为OTP OTQ ∠=∠,则0TP TQ k k +=,所以12120y yx t x t+=--,即()1221120x y x y t y y +-+=, 所以()()12122120kx x t k x x tk -+++=,则()2222412821204343k k k t k tk k k -⋅-+⋅+=++, 所以()24043t k k -=+,即()40t k -=,所以当4t =时,无论k 为何值,都满足题意, 所以存在定点()4,0T ,总有OTP OTQ ∠=∠ 【点睛】本题考查定义法求轨迹方程,考查椭圆的方程,考查椭圆中的定点问题,考查运算能力 21．已知函数()()22ln f x x a x a x =+++.(1)讨论函数()f x 的单调区间;(2)若存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,证明:12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）先求导可得()()()()2122x a x a f x x a x x++'=+++=,令()0f x '=解得11x =-,22a x =-,由()f x 的定义域为()0,∞+,分别讨论02a -≤与02a->时的情况即可；（2）由（1）可判定当存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =时,0a <, 设()()()g x f x f a x =---,利用导函数可判断当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--,设设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭,将1x 代入可得()()11f x f a x >--,由()()12f x f x =可得()()21f x f a x >--,根据()f x 的单调性可得21x a x >--,则120x x a ++>,利用其即可证明1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【详解】（1）由题,函数()f x 的定义域为()0,∞+,()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+++++'=+++==, 令()0f x '=,即()()210x a x ++=,解得11x =-,22a x =-, 当02a-≤,即0a ≥时,在()0,∞+上()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当02a ->,即0a <时,在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>,所以()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 （2）证明:由（1）,当0a ≥时,()f x 在()0,∞+上单调递增,则不存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,所以0a <,设()()()()42ln ln g x f x f a x x a a x a x a =---=++---,则()()()()2222444x a a a x ax ax a ax g x x x a x x a x x a ++++-'=+-==+++, 令()0g x '=,解得2ax =-, 所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x '<,所以()g x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,所以()g x 在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()min 02a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x >, 即当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--, 由（1）得()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 不妨设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭, 所以()()11f x f a x >--,又因为()()12f x f x =,所以()()21f x f a x >--, 因为1,2a a x ⎛⎫--∈-+∞ ⎪⎝⎭,所以21x a x >--,即120x x a ++>, 因为()()1212121222x x x x a x x f x x +++++⎛⎫'=⎪+⎝⎭,1>0x ,20x >, 所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导数处理函数中的双变量问题,考查分类讨论思想和推理论证能力22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 12sin 1x y αα=-⎧⎨=+⎩(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,P 为曲线C 上的一动点,求AB . 【答案】（1）22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；（2）【解析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程,再转化为极坐标方程即可； （2）将4πθ=代入曲线C 的极坐标方程中,利用韦达定理求解即可【详解】（1）由题,曲线C 的普通方程为()()22114x y ++-=,即222220x y x y ++--=,因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,所以曲线C 的极坐标方程为:22cos 2sin 20ρρθρθ+--=（2）由题,将4πθ=代入22cos 2sin 20ρρθρθ+--=中,所以220ρ+--=,即220ρ-=, 所以120ρρ+=,122ρρ=-, 所以12AB ρρ=-===【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查曲线内的弦长问题23．已知函数()1f x x x a =++-. (1)当1a =时,求不等式()3f x <的解集; (2)若()2f x ≥的解集为R ,求a 的取值范围. 【答案】（1）33,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）3a ≤-或1a ≥ 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式,分类讨论求解即可；（2）由()11f x x x a a ++-≥=+,转化问题为12a +≥,进而求解即可 【详解】（1）当1a =时,()11f x x x =++-,则()112,1112,11112,1x x x x f x x x x x x x x --+-=-<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪++-=≥⎩,所以当1x <-时,23x -<,解得32x >-,则312x -<<-； 当11x -≤<时,23<； 当1x ≥时,23x <,解得32x <,则312x ≤<,综上,解集为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ （2）因为()()()111x x x a x x a a f =≥+--+=-++,第 21 页 共 21 页 则由()2f x ≥的解集为R 可得12a +≥,解得3a ≤-或1a ≥【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,考查分类讨论思想。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试重庆理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BCD10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每个小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．用质量为M 的带有磁性的黑板刷，将一张质量为m 的白纸压在竖直固定的磁性黑板上。

某同学用水平向右的恒力F 沿着黑板面轻拉白纸，白纸未移动。

白纸与黑板，白纸与黑板刷的摩擦因数均为µ，则此时黑板对白纸的摩擦力的大小为（ ）A ．F BC ．µ（mg+Mg ）【答案】B考点：考查了摩擦力的计算【名师点睛】在计算摩擦力时，首先需要弄清楚物体受到的是静摩擦力还是滑动摩擦力，如果是静摩擦力，其大小取决于与它反方向上的平衡力大小，与接触面间的正压力大小无关，如果是滑动摩擦力，则根据公式F N μ=去计算15．如图所示，物体A 、B 、C 质量分别为m 、2m 、4m ，A 与天花板间，B 与C 之间用轻弹簧连接，当系统平衡后，突然将A 、B 间绳烧断，在绳断的瞬间，A 、B 、C 的加速度分别为（以向下的方向为正方向） （ ）A ．g ，g ，gB ．-5g ，-2g ，0C ．-6g ，3g ，0D ．-g ，3g ，g【答案】C考点：考查了弹簧的瞬时性【名师点睛】在应用牛顿第二定律解决瞬时问题时，一定要注意，哪些力不变，（弹簧的的形变量来不及变化，弹簧的弹力不变），哪些力变化（如绳子断了，则绳子的拉力变为零，或者撤去外力了，则外力变为零，）然后结合整体隔离法，应用牛顿第二定律分析解题 16．2016年8月16日凌晨，我国在酒泉卫星发射中心将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”送入太空轨道，它预示着人类将首次完成卫星与地面之间的量子通信。

“墨子号”量子卫星可看成匀速圆周运动，其离地面高度为500km 。

地球同步卫星离地面高度约为36000km ，下列说法正确的是：（ ）A ．“墨子号”运行线速度比同步卫星线速度小B ．“墨子号”运行线速度比同步卫星线速度大C ．“墨子号”运行周期比同步卫星周期大D ．“墨子号”运行角速度比同步卫星角速度小【答案】B【解析】试题分析：从题中可知墨子号运行轨道小于同步卫星的运行轨道，过程中万有引力充当向心力，根据公式22Mm v G m r r =可得v =速度比同步卫星线速度大，A 错误B 正确；根据公式2224Mm G m r r T π=可得2T =轨道半径越大，周期越大，故C 错误；根据公式22Mm Gm r r ω=可得ω=越大，角速度越小，故D 错误；考点：考查了万有引力定律的应用 【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式222224Mm v G m m r m r ma r r Tπω====在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算17．2016年8月21日巴西里约奥运会女排决赛，中国女排再现不屈不挠的“女排精神”，用顽强意志杀出一条血路，最终3-1力克劲旅塞尔维亚队，时隔12年后再获奥运金牌。

重庆市育才中学高高2020届高2017级2019-2020学年下学期入学考试数学试题(理)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟.2.答卷前,请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.3.作答时,请将答案写在答题卡指定的区域,超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效.4.做选考题时,按要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--≤,{}|21xB y y ==+,则A B =()A.∅B.(]1,3C.(]0,3D.()1,+∞【参考答案】B 【试题解析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞, 所以(]1,3AB =,故选B.本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算,属于基础题. 2.已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,5632a a a +=+,则7S =( ) A.2B.7C.14D.28【参考答案】C 【试题解析】利用等差数列通项的性质,将已知条件转化为关于4a 的方程,由此解得4a 的值,利用等差数列前n 项和的性质,求得7S 的值.5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-,解得：42a =()177477142a aS a+∴===.故参考答案：C本小题主要考查等差数列通项的性质,考查等差数列前n项和公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.3.设x,y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是( )A.－15B.－9C.1D.9【参考答案】A【试题解析】作出不等式组表示的可行域,平移直线z＝2x＋y,当直线经过B(－6,－3)时,取得最小值.作出不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义得函数在点B(－6,－3)处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故参考答案：A此题考查二元一次不等式组表示平面区域,解决线性规划问题,通过平移目标函数表示的直线求得最值.4.若命题“0,x R∃∈使得2002+50x mx m++<”为假命题,则实数m的取值范围是 ( ) A.[10,6]- B.(6,2]- C.[2,10]- D.(2,10)-【参考答案】C【试题解析】试题分析：由命题“0,x R∃∈使得2002+50x mx m++<”为假命题,则命题“x R∀∈使得22+50x mx m ++≥”为真命题.所以24(25)0,210m m m =-+≤∴-≤≤.故选(C).考点：1.命题的真假.2.特称命题与全称命题的否定.3.二次不等式的解法. 5.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【参考答案】D 【试题解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在π(,π)2上的符号,即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =, 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-,所以||()2sin 2x f x x =为奇函数,排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时,()0f x <,所以排除选项C,选D.：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性；(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 6.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π,且对x ∈R ,()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立,若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减,则a 的最大值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【参考答案】B 【试题解析】先由最小正周期,求出ω,再由对x ∈R ,()3f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立,得到2,3k k Z πϕπ=+∈,进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,求出其单调递减区间,即可得出结果. 因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π,所以22πωπ==,又对任意的x ,都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 在3x π=上取得最小值,则223k πϕππ+=+,k Z ∈, 即2,3k k Z πϕπ=+∈,所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈,解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ,则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故a 的最大值是3π.故选B本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力.7.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示,会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么πcos(θ)2=πsin(θ-)2+( )A.34-B.43-C.43D.34【参考答案】D 【试题解析】设出直角三角形的边长,根据勾股定理,求得边长,即可得tan θ；利用诱导公式和同角三角函数关系式,求得结果.根据几何关系可知,图中直角三角形的两条直角边长相差为1, 故可设直角三角形的两直角边长为,1a a +, 由勾股定理可得：()22125a a ++=, 解得3a =. 故可得3tan 4θ=, πcos()sin 32=tan πcos 4sin()2θθθθθ+-==-- 故参考答案：D.本题考查三角函数的问题,涉及到的知识点有同角三角函数关系式,三角函数的定义式,属于基础题目.8.已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线,若a R ∈,b R ∈,且0ab ≠,则2211a b+的最小值为( ) A.3B.1C.19D.49【参考答案】B 【试题解析】 分析】根据公切线条数,则两圆外切,根据圆的位置关系,得到,a b 的等量关系,再根据均值不等式求最小值即可.因为两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线,故两圆外切,则圆心()2,0a -到圆心()0,b 的距离等于半径2和半径1的和,3=,整理得2249a b +=,故2211a b +()222222221111414551999a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2222224,49a b a b b a=+=时,即223,32a b ==时取得最小值1.故参考答案：B.本题考查两圆的位置关系,以及利用均值不等式求和的最小值,属综合中档题.9.双曲线C ：22221x y a b-=,()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F .P 为双曲线左支上一点,且11•()0PF OF OP +=(O 为坐标原点),214cos 5PF F ∠=,则双曲线C 的离心率为( ) A.5B.43C.75D.52【参考答案】A 【试题解析】取1PF 的中点为M ,则()112OM OF OP =+,根据题意可得1PF OM ⊥,则12PF PF ⊥,由21c 45os PF F ∠=可求出a ,c ,从而求得离心率. 如图,取1PF 的中点为M ,则()112OM OF OP =+,由()110PF OF OP ⋅+=,得10PF OM ⋅=,即1PF OM ⊥. 因为OM 为12PF F ∆的中位线,所以12PF PF ⊥. 由21c 45os PF F ∠=,设24PF =,则125F F =,13PF =, 所以2121a PF PF =-=,1225c F F ==, 得C 的离心率为252ce a==. 故参考答案：A.本题考查垂直关系的向量表示,中位线的性质,求双曲线的离心率,属于中档题. 10.已知ABC ∆外接圆的圆心为O ,若5AB =,13AC =,则AO BC ⋅的值是( ) A.18B.36C.72D.144【参考答案】C 【试题解析】可画出图形,并将O 和AC 中点D 相连,O 和AB 的中点E 相连,从而得到,ODAC OE AB ,根据数量积的计算公式及条件可得出·,2216925AO AC AO AB ⋅==,而()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-,即可得出AO BC ⋅的值.如图,取AC 中点D ,AB 中点E ,并连接OD ,OE ,则,OD AC OE AB ；∴2211·,169222225AO AC AC AO AB AB ====⋅ ∴ ()169257222AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=-= 故参考答案：C.该题考查的是有关向量的问题,正确解题的关键是要熟练的运用数量积的运算公式cos a b a b θ⋅=以及三角形法则,属于简单题目.11.已知函数()f x 在R 上存在导函数()f x ',对于任意的实数都有2()(-)xf x e f x =,当0x ≤时,()()0f x f x '+>,若2(21)(1)a f a e f a --≥+,则实数a 的取值范围是( )A.[0,2]B.[-2,0]C.(][)02,∞⋃+∞-，D.](),20,⎡-∞-⋃+∞⎣【参考答案】A 【试题解析】 根据当x ≤时,()()0f x f x '+>,构造()()xg x f x e = ,得到()()()0xg x f x f x e ''⎡⎤=+>⎣⎦,从而()g x 在(,0]-∞上是增函数,再根据2()(-)x f x e f x =,得到()g x 是偶函数,得到()g x 在[0,)+∞上是减函数,()()()g xg x g x-==,然后将2(21)(1)a f a e f a --≥+,转化为(21)(1)-≥+g a g a ,利用单调性的定义求解.设()()xg x f x e = ,因为当0x ≤时,()()0f x f x '+>, 所以()()()0xg xf x f x e ''⎡⎤=+>⎣⎦, 所以()g x 在(,0]-∞上是增函数, 又因为2()(-)xf x e f x =,所以()()()()x x g xf x e f x eg x --=-==,所以()g x 是偶函数,所以()g x 在[0,)+∞上是减函数, 所以()()()g xg x g x -==,因为2(21)(1)a f a e f a --≥+, 所以211(21)(1)-+-≥+a a f a ef a e ,即(21)(1)-≥+g a g a , 所以211-≤+a a , 两边化简得22≤a a , 解得02a ≤≤.所以实数a 的取值范围是[0,2]. 故参考答案：A本题主要考查导数与函数的单调性以及单调性的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.12.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AD DD ==,3AB =,E ,F 分别是AB ,BC棱靠近B 点的三等分点,G 是1CC 棱靠近1C 的三等分点,P 是底面ABCD 内一个动点,若直线1D P 与平面EFG 平行,则1BB P ∆周长的最小值为( )237++B.22+C.33+437++【参考答案】A 【试题解析】根据E ,F 分别是AB ,BC 棱靠近B 点的三等分点,G 是1CC 棱靠近1C 的三等分点,易得//AC EF ,1//D A FG ,从而得到平面1//D AC 平面EFG ,再由直线1D P 与平面EFG 平行,得到点P 在AC 上,然后利用垂线段最短当BP AC ⊥求解.因为E ,F 分别是AB ,BC 棱靠近B 点的三等分点,G 是1CC 棱靠近1C 的三等分点, 所以//AC EF ,1//D A FG ,又1D A AC A ⋂=, 所以平面1//D AC 平面EFG , 因为直线1D P 与平面EFG 平行, 所以点P 在AC 上, 如图所示：当BP AC ⊥时,因为在长方体中,1BB ⊥平面ABCD , 所以11,BB AC BB BP B ⊥⋂=, 所以AC ⊥平面BB 1P ,所以1AC B P ⊥,此时,1,BP B P 最短,1BB P ∆的周长最小, 因为11AD DD ==,3AB =所以221137,22BP B P BP BB ==+=, 所以最小值为11237++++=BP B P BB .故参考答案：A本题主要考查线面平行与面面平行,线线垂直与线面垂直的转化以及垂线段最短问题,还考查了转化化归的思想和空间想象、运算求解的能力,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知复数()2a iz a R i +=∈+是纯虚数,则a 的值为__________. 【参考答案】12-【试题解析】先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-,再根据复数z 是纯虚数,令实部为零,虚部不为零求解. 因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-, 又因为复数z 是纯虚数, 所以()()11210,2055a a +=-≠, 解得12a =-, 所以a 的值为12-. 故答案为：12-本题主要考查复数的运算和概念,还考查了运算求解的能力,属于基础题.14.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin A a ==22a c ac +-=__________.【参考答案】1 【试题解析】根据sin 2A a =,利用正弦定理得到23R =,从而2sin 3b R B B ==,代入=求得角B ,从而求得边b ,再由余弦定理求解.因为sin 2A a =,所以2sin 3R A a ==,所以2sin b R B B ==,=3==所以tan B =因为()0,B π∈, 所以3B π=所以1b B ===, 由余弦定理得：222222cos 1b a c ac B a c ac =+-=+-=, 故答案为：1本题主要考查正弦定理,余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.15.函数2,02()28,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩,若()(2)f a f a =+,则()2f a =__________.【参考答案】4 【试题解析】根据函数2,02()28,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩各段的定义域,分02a <<,2a ≥两种情况,由()(2)f a f a=+求解.当02a<<时,则22a+>,因为()(2)f a f a=+,所以()2228a a a+=-++,即2340a a+-=,解得1a=或4a=-(舍去),所以()22284f a=-⨯+=.当2a≥时,则22a+>,因为()(2)f a f a=+,所以()28228a a-+=-++无解.综上：()24f a=故答案为：4本题主要考查分段函数求值问题,还考查了分类讨论思想和运算求解的能力,属于中档题. 16.如图所示,某货场有三堆集装箱,每堆2个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是____________(用数字作答).【参考答案】90【试题解析】根据有六个集装箱,需要全部装运,得到66A种取法,再根据每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,由排列中的定序问题求解.因为有六个集装箱,需要全部装运,共有66720A=种取法,又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,由排列中的定序问题,可知不同的取法有66222222720908AA A A==种.故答案为：90.本题主要考查排列的应用,还考查了分析问题求解问题的能力,属于中档题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.17.已知数列{}n a 满足*1231,2n n a a a a a n N ++-++⋯+=∈,且1=2a .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若21221log log n n n b a a ++=⋅,求数列{}n b 的前n 项和为n T .【参考答案】(1)2nn a =(2)24nn +【试题解析】(1)利用数列的通项与前n 项和的关系,由12312n n a a a a a ++++⋯+-=,当1n =时,得到24a =,当2n ≥时,由12312n n a a a a a ++++⋯+-=,得到12312n n a a a a a -++++=-,两式相减得12n n a a +=,再利用等比数列的定义判断求解.(2)由(1)易得()()212211111212n n n b log a log a n n n n ++===-⋅++++,再利用裂项相消法求解.(1)因为12312n n a a a a a ++++⋯+-=, 当1n =时,24a =,当2n ≥时,由12312n n a a a a a ++++⋯+-=① 得：12312n n a a a a a -++++=-②①-②可得12n n a a +=, 又122a a =,所以数列{}n a 是以2为首项,以2为公比的等比数列,所以其通项公式为2nn a =.(2)由(1)知：()()1221222211111221212n n n n n b log a log a log log n n n n ++++====-⋅⋅++++,所以111111112334122224n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 本题主要考查数列的通项与前n 项和的关系以及裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18.在新冠肺炎疫情的影响下,重庆市教委响应“停课不停教,停课不停学”的号召进行线上教学,某校高三年级的甲、乙两个班中,根据某次数学测试成绩各选出5名学生参加数学建模竞赛,已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86.(1)求出x ,y的值,且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差21S 、22S ,并根据结果,你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛,并说明你的理由.(2)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名,用X 表示来自甲班的人数,求随机变量X 的分布列与数学期望.【参考答案】(1)5x =；6y =；2127.2S =,2257.2S =；应选甲班参加,详见解析(2)详见解析【试题解析】(1)根据甲班5名学生成绩的平均分是83,利用1748284(80)90835x x +++++==求解,再根据乙班5名学生成绩的中位数是86,利用中位数的定义求解.然后分别求得方差,根据平均数和方差的大小作出选择.(2)甲班中85分及以上的有2人,得到随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.由P (X =k )=23225C CC k k-⋅(k =0,1,2)求得相应的概率,列出分布列再求期望..(1)因为甲班5名学生成绩的平均分是83, 所以1748284(80)90835x x +++++==,解得5x =因为乙班5名学生成绩的中位数是86, 所以6y =,所以()()()()()222222117483828384838583908327.25S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦, ∵因为27375869091835x ++++==, 所以()()()()()222222217383758386839083918357.25S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦,所以2212S S <,说明甲班同学成绩更加稳定,故应选甲班参加.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X =k )=23225C C C k k-⋅(k =0,1,2). 所以,随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望()36140121010105E X =⨯+⨯+⨯=. 本题主要考查茎叶图,平均数,方差的应用以及离散型随机变量的分布列与期望,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.在四棱锥P ABCD -中,1,//,,2AB PA AB CD AB CD PAD ⊥=△是等边三角形,点M 在棱PC 上,平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求证：平面PCD ⊥平面PAD ；(2)若AB AD =,求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值. 【参考答案】(1)证明见解析；(2)21919【试题解析】(1) 取AD 中点为O ,连接PO ,首先证明PO ⊥平面ABCD ,然后证明CD ⊥平面PAD 即可(2)建立空间直角坐标系,求出平面PBC 的法向量,利用向量数量积求得线面角,最后根据二次函数性质求最值.(1)证明：取AD 中点为O ,连接PO . 因为PAD △是等边三角形,所以PO AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD 且相交于AD ,所以PO ⊥平面ABCD ,所以PO DC ⊥. 因为//,AB CD AB PA ⊥,所以CD PA ⊥. 因为PO PA P =,所以CD ⊥平面PAD .因CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAD .(2)以O 为原点,过O 作AB 的平行线OF ,分别以OA ,OF ,OP 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设2AB AD ==,则(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(1,4,0)C -,P .因为M 在棱PC 上,可设[](1)(,4)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈,所以(1,4))AM t t t =---.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =,因为(2,2,0),(1,4,BC PC =-=-,所以22040x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =,可得11x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,即(1,1,3)n =.设直线AM 与平面PBC 所成角为θ,所以sin cos ,5(5AM n AM n AM nθ⋅===.所以可得当110t =时,sin θ取最大值19； 常用向量法解决空间中的线线角、线面角和面面角的相关问题,计算能力是解题的关键. 20.已知点(1,0)F ,点A 是直线1 : =-1l x 上的动点,过A 作直线2l ,12l l ⊥,线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若点M ,N 是直线1l 上两个不同的点,且PMN 的内切圆方程为221x y +=,直线PF 的斜率为k ,求k MN的取值范围.【参考答案】(1)24y x =；(2)1(0,)2【试题解析】(1)根据题意得到：点P 到点(1,0)F 的距离等于它到直线1l 的距离,所以点P 的轨迹是以点F 为焦点,直线1:l 1x =-为准线的抛物线,再利用抛物线的定义即可得到曲线C 的方程. (2)首先设00(,)P x y ,点(1,)M m -,点(1,)N n -,求出直线PM 的方程,根据圆心(0,0)到直线PM 的距离为1,得到2000(1)2(1)0x m y m x -+-+=,同理得到2000(1)2(1)0x n y n x -+-+=,即,m n 是关于t 的方程2000(1)2(1)0x t y t x -+-+=的两根,再根据韦达定理得到MN =再求k MN 的范围即可. (1)因为点(1,0)F ,点A 是直线1:l 1x =-上的动点, 过A 作直线2l ,12l l ⊥,线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P , 所以点P 到点(1,0)F 的距离等于它到直线1l 的距离,所以点P 的轨迹是以点F 为焦点,直线1:l 1x =-为准线的抛物线, 所以曲线C 的方程为24y x =.(2)设00(,)P x y ,点(1,)M m -,点(1,)N n -, 直线PM 的方程为：00(1)1y my m x x --=++, 化简得0000()(1)()(1)0y m x x y y m m x --++-++=, 因为PMN 的内切圆的方程为221x y +=, 所以圆心(0,0)到直线PM 的距离为1,1=,整理得：()()22222000000()(1)()21(1)y m x y m m y m x m x -++=-+-+++,由题意得01x >,所以上式化简得2000(1)2(1)0x m y m x -+-+=, 同理,有2000(1)2(1)0x n y n x -+-+=.所以,m n 是关于t 的方程2000(1)2(1)0x t y t x -+-+=的两根,0021y m n x -+=-,00(1)1x mn x -+=-.所以MN m n =-==因为2004y x =,0y =,所以MN ==, 直线PF 的斜率001y k x =-,则001y k x ==-所以kMN==, 因为函数1y x x=-在(1,)+∞单调递增, 所以001110x x ->-=,00110144x x <<-+, 所以012k MN<<. 即k MN的取值范围是1(0,)2.本题第一问考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程,第二问考查直线与圆相切,同时考查了抛物线的性质,属于难题.21.已知函数()11f x a lnx lnx x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数g (x )＝f (x )﹣lnx 有2个不同的极值点x 1,x 2(x 1＜x 2),求证：()()12122425f x f x x x lne +-＞. 【参考答案】(1)见解析；(2)见解析 【试题解析】(1)求导得到()()()21'x x a f x x---=,讨论0,01,1,1a a a a ≤<<=>四种情况得到单调性.(2)g (x )＝alnx a x +-x ﹣1,()22'x ax ag x x -+=-,得到x 1+x 2＝a ,x 1x 2＝a ,f (x 1)+f (x 2)﹣2x 1x 2＝alna +lna ﹣2a ﹣2,设g (a )＝alna +lna ﹣2a ﹣2,(a ＞4),根据函数的单调性得到答案.(1)()()()221111'1x x a f x a x x x x ---⎛⎫=-+-=⎪⎝⎭,x ＞0, (i )若a ＝1,()22(1)'x f x x -=-≤0恒成立,故f (x )在(0,+∞)单调递减,(ii )当a ＞1时,x ∈(0,1)时,f ′(x )＜0,函数单调递减,当x ∈(1,a ),f ′(x )＞0,函数单调递增,当x ∈(a ,+∞),f ′(x )＜0,函数单调递减,(iii )0＜a ＜1时,x ∈(0,a )时,f ′(x )＜0,函数单调递减,当x ∈(a ,1),f ′(x )＞0,函数单调递增,当x ∈(1,+∞),f ′(x )＜0,函数单调递减,(iv )当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f ′(x )＞0,函数单调递增,当x ∈(1,+∞),f ′(x )＜0,函数单调递减.(2)g (x )＝f (x )﹣lnx ＝alnx a x +-x ﹣1,()222'1a a x ax ag x x x x -+=--=-,由题意可得,x 2﹣ax +a ＝0与2个不同的根x 1,x 2(x 1＜x 2), 则x 1+x 2＝a ＞0,x 1x 2＝a ,△＝a 2﹣4a ＞0,所以a ＞4,∴f (x 1)+f (x 2)﹣2x 1x 2＝a (lnx 1+lnx 2)+a (1211+x x )+(lnx 1+lnx 2)﹣(x 1+x 2)﹣2﹣2x 1x 2＝alna +lna﹣2a ﹣2,令g (a )＝alna +lna ﹣2a ﹣2,(a ＞4),则()1'1g a lna a =++-2＝lna 1a+-1＞0,即g (a )在(4,+∞)上单调递增, 所以g (a )＞g (4)＝5ln 4﹣10＝5(ln 4﹣2)＝5(ln 4﹣lne 2)＝524ln e.得证.本题考查了函数的单调性,极值点问题,证明不等式,意在考查学生计算能力,转化能力,综合应用能力.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所选的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为7413x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ+-=. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若点M 是直线l 上的一点,过点M 作曲线C 的切线,切点为N ,求MN 的最小值. 【参考答案】(1)34170x y --=；()2219x y ++=(2)7 【试题解析】(1)利用相关知识直接转化即可；(2)首先判断出l 与圆A 相离,然后连接,AM AN ,在Rt ANM ∆中,22222||||43MN MA AN =-≥-,即可得出答案.(1)将l 的参数方程7413x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)消去参数,得34170x y --=.因为x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩,22cos 80ρρθ+-=,所以曲线C 的直角坐标方程为()2219x y ++=.(2)由(1)知曲线C 是以()1,0-为圆心,3为半径的圆,设圆心为A , 则圆心A 到直线l 的距离317435d --==>,所以l 与圆A 相离.连接,AM AN ,在Rt ANM ∆中,22222||||437MN MA AN =-≥-=, 所以,7MN ≥,即MN 的最小值为7.本题考查的是极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化,考查了圆中的最值问题,属于基础题.23.已知函数()2f x x =+.(1)若不等式()1f x m ≥-有解,求实数m 的最大值M ；(2)在(1)的条件下,若正实数a ,b 满足223a b M +=,证明：34a b +≤. 【参考答案】(1)4M =(2)证明见解析； 【试题解析】 (1)不等式()1f x m ≥-有解等价于()1max f x m ≥-,()2=f x x =+12x x --+,然后利用绝对值的三角不等式求出其最大值即可,(2)2234a b +=,然后利用柯西不等式求解即可.(1)若不等式()1f x m ≥-有解,只需()1max f x m ≥-即可. 因为()2=f x x =+()()12123x x x x --+≤--+=,所以13m -≤,解得24m -≤≤, 所以实数m 的最大值4M =.(2)根据(1)知正实数a ,b 满足2234a b +=, 由柯西不等式可知()()()2223313a ba b ++≥+,所以,()2316a b +≤,因为a ,b 均为正实数, 所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).本题主要考查的是绝对值的三角不等式和柯西不等式,属于基础题.。

重庆市部分区2017届高三上学期期末考试（理）数学试卷1．已知2i iia b +=+，(),a b ∈R，其中i 为虚数单位，则a b （ ）A .2-B ．1-C ．1D ．32．已知某品种的幼苗每株成活率为p ，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为（ ） A ．2pB ．()21p p -C ．223C pD ．()2231C pp -3．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x y x y A ==∈，则AB =（ ） A ．{}2 B ．{}1,2 C ．{}2,4D ．{}1,2,44．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数字成绩低于100分，则()p q ∨⌝表示（ ）A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分5．在平面直角坐标系xO y 中，不等式组()()11013x y x y x ⎧--+-≥⎪⎨-≤≤⎪⎩表示的平面区域的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．166．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ） A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人7．执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值的集合为（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,3,98．设曲线x =上的点到直线20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则ab-的值为（ ）A 2B C 12+D ．29．函数1sin yx x=-的图象大致是（ ）10．已知A B C △的外接圆半径为2，D 为该圆上一点，且A B A C A D+=，则A B C △的面积的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．D ．11．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2f x fx -=，()01f x x '<-，若122x x +>，12x x <，则（ ） A ．()()12f x fx < B ．()()12f x fx =C ．()()12f x fx >D ．()1f x 与()2f x 的大小不能确定12．设a ，b ，c ∈R 且0c≠若上表中的对数值恰有两个是错误的，则a 的值为（ ） A ．2lg21B ．13lg214C ．13lg27D ．6lg713．二项式51x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中常数项为________．（用数字作答）14．已知tan 2α=，则sin c o s 2sin c o s αααα+=+__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()121n n n S a a n *+++-=∈N，若不等式n n S a λ>恒成立，则实数λ的取值范围是_________．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P 、Q 均位于第一象限，且2Q P P F =，120Q F Q F =，则双曲线C 的离心率为________．17．（12分）已知向量()s in ,c o s a x x =，πc o s s in ,c o s 6bx x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x a b=．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且π1c o s 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α．18．（12分）心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全球组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人、女生20人），给每位同学立体几何题，代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如表：（单位：人）（Ⅰ）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？ （Ⅱ）经统计得，选择做立体几何题的学生正确率为45，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行探究，记抽取的两人中答对的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 附表及公式()()()()()22n a d b c Ka b c d a c b d -=++++．19．（12分）已知数列{}na 满足：12a =，11,21,n n na n a a n +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，若211n nb a =-﹣．（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求2n S ． 20．（12分）过椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>的右焦点(),0F c 作x 轴的垂线，与椭圆C 在第一象限内交于点A，过A 作直线M 的垂线，垂足为x ，3A F =，2A B =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设P 为圆E ：224xy+=上任意一点，过点P 作椭圆C 的两条切线1l 、2l ，设1l 、2l 分别交圆E 于点M 、N ，证明：M N 为圆E 的直径． 21．（12分）已知函数()()ln ,f x x a x b a b =-+∈R有两个不同的零点1x ，2x ．（Ⅰ）求()f x 的最值；（Ⅱ）证明：1221x x a<．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10分）在直角坐标系xO y 中，直线l ：2x ty t=⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2c o s 240ρθ+=．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点(0,A ，直线l 与曲线C相交于点M 、N ，求11A MA N+的值．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数()()0,0f x x a x ba b =-++>>．（Ⅰ）若1a=，2b =，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若()f x 的最小值为3，求22abb a+的最小值．。

重庆市部分区2017届高三上学期期末考试（理）数学试卷答 案1~5．ADBDB 6~10．BACBB11~12．CD13．10-14．35 15．1λ>16117．解：（Ⅰ）()2π113sin cos 1cos sin 1cos26244f x x x x x x x x ⎛⎫=++=-+=++ ⎪⎝⎭ 1π3sin 2264x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………4分 πππππ2π22πππ26236k x k k x k -<+<+⇒-<<+， 故()f x 的增区间为πππ,π36k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ；…………6分（Ⅱ）()1π3ππ3sin 2sin cos 26412124f αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…………8分又π1cos 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin 123α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，…………10分()34f α∴=.…………12分 18．解：（Ⅰ）()2250221288505.024********9⨯-⨯K ==>⨯⨯⨯，…………4分 故有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关；…………6分（Ⅱ）由题知选做立体几何题且答对的共24人，其中男生20人、女生4人，…………8分 故X 的所有取值分别为0,1,2，分布列为…………11分1EX =．……12分19．解：（Ⅰ）12121112n n n b a a ++=-=-…………2分 ()211112n a -=+-…………4分 ()2111122n n a b -=-=，故{}n b 为等比数列；…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()11111122n n n b a --⎛⎫=-=⎪⎝⎭，…………8分 211112n n a --∴=+，又2211n n a a -=+，2122132n nn a a --∴+=+，…………10分 22121123341212nn n S n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=+=+--．…………12分20．解：（Ⅰ）由题知22b ac a c =-=2分1,a b c ∴== ∴椭圆C 的方程为2213x y +=；…………4分 （Ⅱ）设()00,P x y ，当切线12,l l 的斜率均存在时，分别设为12,k k ， 过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，与C 的方程联立得()()222000012103k x y kx kx y kx ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭，则()()22220000144103ky kx k y kx ⎛⎫⎡⎤∆=--+--= ⎪⎣⎦⎝⎭， …………6分即()220011033k y kx +--=，整理得22200001211103333x k x y k y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，…………8分∴220012220011131y y k k x y --===---，即12l l ⊥，90MPN ∠=；…………10分当1l 或2l 的斜率不存在时，必是203x =或201y =，又22004x y +=，()1P ∴±， 此时一条切线与x 轴垂直，一条切线与x 轴平行，仍有12l l ⊥即90MPN ∠=；…………12分 综上，对任意点P ，MN 为圆E 的直径. 21．解：（Ⅰ）()1f x a x'=-，()f x 有两个不同的零点，()f x ∴在()0,+∞内必不单调，故0a >，…………1分此时()10f x x a'>⇒<， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，…………3分()max 1ln 1f x f a b a ⎛⎫∴==--+ ⎪⎝⎭，无最小值；…………4分（Ⅱ）由题知1122ln 0ln 0x ax b x ax b -+=⎧⎨-+=⎩，两式相减得()1122ln 0x a x x x --=即 1212lnx x a x x =-，…………6分故要证1221x x a<即证： ()21212212ln x x x x x x -<即证：()212211221221ln 2x x x x xx x x x x -<=-+，不妨设12x x <，令()120,1x t x =∈，则只需证21ln 2t t t<-+，…………9分设()21ln 2g t t t t=--+，则2222404x y y x ⇒-+=⇒-=()212ln 112ln 1t t t g t t t tt-+'=-+=，设()12ln h t t t t=-+，则()()2210t h t t-'=-<，()h t ∴在()0,1上单减，()()10h t h ∴>=，()g t ∴在()0,1上单增，()()10g t g ∴<=，即21ln 2t t t<-+在()0,1t ∈时恒成立，原不等式得证. …………12分22．解：（Ⅰ）22cos sin 40ρθρθ-+=…………2分2222404x y y x ⇒-+=⇒-=；…………5分（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准形式：,.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，…………7分 代入曲线C 的方程得234105t t ++=，…………9分则12121211114t t AM AN t t t t ++=+==.…………10分23．解：（Ⅰ）125x x -++≤，左式可看作数轴上：点x 到2-和1两点的距离之和，…………2分 当3x =-或2时，距离之和恰为5，故32x -≤≤；…………5分 （Ⅱ）()f x x a x b x a x b a b =-++≥---=+，3a b ∴+=，…………7分由柯西不等式得()()222a b b a a b b a ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭，∴223a b a b b a+≥+=，…………9分 当且仅当32a b ==时等号成立， ∴22a b b a+的最小值为3.重庆市部分区2017届高三上学期期末考试（理）数学试卷解析1．2．【解析】试题分析：因为，所以又因为，所以所以阴影部分为故答案选3．4．【解析】31)1)(3(≤≤⇒≤--xxx}31|{≤≤=xxN}3|{≥=xxM}3|{==xxNM}31|{)(<≤=xxNMCNB5．D8．9． 【解析】试题分析：因为不等式组表示的平面区域经过所有四个象限所以原点在该区域内 所以，即 故答案选⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-≤≤02231λy x y x )0,0(02->λ2>λD10．11．13．16.（2）由（1）知∥平面，所以。

绝密★启用前【百强校】2017届重庆市育才中学高三上学期入学考试语文试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：116分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、填入下面一段文字横线处的语句，最恰当的一句是（ ）法律与制度正义与否，决定了这个社会好人与坏人谁会占据上风。

。

他们会装作“路人甲”当一名看客。

要想改变这样的现实，就必须要从法律制度上确保这个社会的好心人不能流血又流泪，确保那些讹人者受到应有的处罚。

A ．如果一个制度本身会“激励”或“鼓励”坏人去讹诈好心人，而不能很好地保护好心人，许多人就不敢见义勇为。

B ．如果一个制度本身就不能很好地保护好心人，相反还能“激励”或“鼓励”坏人去讹诈好心人，许多人就不敢见义勇为。

C ．许多人不敢见义勇为，是因为一个制度本身就不能很好地保护好心人，相反还能“激励”或“鼓励”坏人去讹诈好心人。

D ．许多人不敢见义勇为，是因为制度本身会“激励”或“鼓励”坏人去讹诈好心人，而不能很好地保护好心人。

试卷第2页，共12页2、下列各句中，没有语病的一句是（ ）A ．“互联网＋创业创新”，就是要充分发挥互联网的创新驱动作用，引导和推动全社会“大众创业、万众创新”的浓厚氛围，打造经济发展新引擎。

B ．人们把高空坠物称为“悬在城市上空的痛”，带来的危害是难以估量的，像不定时的炸弹，困扰着市民，严重威胁着市民的生命财产安全。

C ．针对中国健康养老建设工程总体发展明显滞后的现状，《关于加快推进健康与养老服务工程建设的通知》明确了未来加快推进健康与养老服务工程建设的目标。

D ．气象台预计今年八月登陆台风数量可能偏多、强度可能偏强。

不仅台风对沿海地区造成影响，如果北上深入内陆，还极易引发暴雨洪水和次生灾害。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则AB =（ ）A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,0-D ．(],1-∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得{}{}|11,|0A y y B x x =-≤≤=<，所以A B ={|10}x x -≤<，故选B ．考点：集合的运算．2.已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()//a b b +，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．-8D ．8 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，()4,2a b m +=-，又()//a b b +，所以4232m -=-，解得23m =-，故选A ． 考点：向量的坐标运算．3.设命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．2000,ln x R x x ∃∈>B ．2,ln x R x x ∀∈≤C ．2000,ln x R x x ∃∈≤ D ．2,ln x R x x ∀∈<【答案】C 【解析】4.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且15914,27a a S +=-=-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ） A ．1 B ．6 C ．7 D ．6或7【解析】试题分析：由等差数列{}n a 的性质，可得15332147a a a a +==-⇒=-，又1999()272a a S +==- 19563a a a ⇒+=-⇒=-，所以53253a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为3(3)n a a n d =+- 7(3)2213n n =-+-⨯=-，令02130n a n ≤⇒-≤，解得132n ≤，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得n S 取最小值时的n 为6，故选B ． 考点：等差数列的性质．5.已知实数()ln ln ln ,ln ,2a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b << 【答案】A 【解析】考点：指数函数与对数函数的性质． 6.若4sin 3cos 0αα-=，则21cos 2sin 2αα+的值为（ ） A ．2516 B ．1 C ．2548 D ．2564【答案】D 【解析】试题分析：由4sin 3cos 0αα-=，则3tan 4α=，所以22221cos sin cos 2sin 2cos 4sin cos ααααααα+=++ 223()1tan 1254314tan 64144αα++===++⨯，故选D ． 考点：三角函数的化简求值．7.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()22,21sin a b c b C ==-，则C =（ ）A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π【解析】试题分析：由()22,21sin a b c b C ==-，由余弦定理得2222222cos 22a b c b c C ab b +--==()222221sin sin 2b b C C b --==，即tan 1C =，所以4C π=，故选C ． 考点：余弦定理．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111nn na a a ++=-，若12a =，则{}n a 的前2017项的积为 （ ）A ．1B ．2C ．-6D ．-586 【答案】B【解析】考点：数列的性质．9.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-．设函数()[]f x x x =-，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]3,4B ．[)3,4C ．[)2,3D ．(]2,3 【答案】B 【解析】考点：方程的根的个数的判断与函数[]x 的应用．【方法点晴】本题主要考查了方程的根的个数以及[]x 的应用，其中解答中涉及到取整函数[]x 的性质和对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了数形结合思想和学生的分析问题和解答问题的能力，其中解答中把方程有且仅有3个实数根，转化为函数1[]y x x =+-和函数log a y x =的图象有三个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．10.如图1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表 示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：在直角三角形OMP 中，1,OP POM x =∠=，则cos OM x =，所以点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表示成x 的函数为()sin cos cos sin cos f x OM x x x x x =+=+1sin 2cos 2x x =+，当2x π=时，()02f π=；当0x =时，()01f =，且最小正周期为2π，故选B ． 考点：函数的实际应用．11.设函数())3lnf x x x =++且)233ln113a a f a ⎛⎫--<- ⎪-⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．)+∞ C ．) D ．(()3,+∞【答案】C 【解析】考点：函数的单调性与奇偶性的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数的单调性及其应用、函数的奇偶性及其应用、不等式的求解和函数值的计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中，把1)1-转化为()1f -是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．12.设函数()()x x f x e x ae =-（其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点()1212,x x x x <，则 下列说法不正确的是（ ） A ．102a << B ．110x -<< C ．()1102f x -<< D ．()()120f x f x +> 【答案】D 【解析】考点：利用导数函数的单调性与极值的应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值的应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质的应用、不等式组的求解等知识点的综合应用，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中把问题转化为方程()0f x '=的两个不等实数根，利用函数11(0)2x y a a+=≠和2x y e =的图象有两个交点是解答的关键，属于中档试题． 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知{}n a 为等比数列，且13214,,42a a a -成等比数列，则5735a a a a ++的值为____________． 【答案】4 【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，因为13214,,42a a a -成等比数列，则 22231211111()44()4422a a a a q a a q =-⨯⇒=-⨯，解得2q =-，所以257354a a q a a +==+． 考点：等比数列．14.已知,m n 为单位向量，其夹角为60°，则2m n -=_________．【解析】试题分析：由题意得222024242cos 6013m n m m n n m n -=-⋅+=-⋅+=，所以2m n -=考点：向量的运算． 15.设点P 为函数()3112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上任一点，且()f x 在点P 处的切线的倾斜角为α，则 α的取值范围为____________．【答案】,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线的方程，其中解答中涉及到函数的导数的运算、直线的斜率与倾斜角，以及倾斜角的范围和基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答的能力，本题的解答中利用导数，转化为tan α≥是解答的关键，属于中档试题． 16.已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．【答案】1 【解析】试题分析：因为,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1(,)4244x πππωωπωπ+∈++，因为()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以周期2T wππ=≥，解得2w ≤，因为()sin()4f x x πω=+的减区间满足322,242k x k k Z ππππωπ+<+≤+∈，取0k =，解得1524w ≤≤，又因为63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4x π=时，函数取得最值，即()sin()144f x ωππ=+=±，所以1w =．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中涉及到三角函数的周期、三角函数的单调区间、三角函数的最值等知识点综合考查，着重考查了三角函数的图象单调性和最值，以及学生的分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，解得1524w ≤≤，再根据4x π=时，函数取得最值，即可求解w 的值，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2322n n nS =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足121n n n n nb a a a a ++=-+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：5212n T n <+． 【答案】(1) 1n a n =+；(2)证明见解析． 【解析】∴1n a n =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）证明：由（1）知()()()111131231213n b n n n n n n ⎛⎫=+-++=+- ⎪++++⎝⎭，．．．．．．7分∴123111111122243513n n T b b b b n n n ⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．． 10分 111115222232312n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。