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1．如图，三棱锥O ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，则NMA．(－a＋b＋c)B．(a＋b－c)C．(a－b＋c)D．(－a－b＋c)→→→→→1→→1→1→→1→1→1→1【答案】B[NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋AB＝OA－OC＋(OB－OA)＝OA＋OB－OC＝(a＋b－c)．]2．已知四边形ABCD满足：AB·BC＞0，BC·CD＞0，CD·DA＞0，DA·AB＞0，则该四边形为()【答案】D[由AB·BC＞0，BC·CD＞0，CD·DA＞0，DA·AB＞0，知该四边形一定不是平面图形．]3．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a 课下层级训练(三十九)空间向量的运算及应用[A级基础强化训练]→→→→→＝()121212122222222→→→→→→→→A．平行四边形C．长方形B．梯形D．空间四边形→→→→→→→→→→→→→→A．－1C．1【答案】B[如图，B．0D．不确定→→→→→→→→→－b·c＋c·b－c·a＝0.]4．如图，在大小为45°的二面角A EF D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A．3C．1B．2D．3－2【答案】D[∵BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD|＝3－ 2.]5．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC·AP的取值范围是()由题意，设BP＝λBD1，其中λ∈[0,1]，DC·AP＝AB·(AB＋BP)＝AB·(AB＋λBD1)＝AB2＋λAB·BD1＝1＋3⎪＝1－λ∈[0,1]．因此→·→的取值范围是[0,1]．]DC AP⎛→1→→6．在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB＋(BD＋BC)＝________.→→1→→→1→→→→【答案】AG[依题意有AB＋(BD＋BC)＝AB＋×2BG＝AB＋BG＝AG.]7．如图，在四面体O ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.(用【答案】a＋b＋c[OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.]【答案】2[|EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF|＝2，∴EF的长为 2.]→→→→→→→→→→→→→→→→→A．(0,1)C．[0,1]【答案】C[如图所示，B．[0,1)D．[－1,1]→→→→→→→→→→→→→λ· －⎝3⎫3⎭222→→→→a，b，c表示)111→1→1→1→1→1→111244222442448．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.→→→→→→→→→→→→→→→12 9．如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝3BB1，DF＝3DD1.(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)已知EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．【答案】(1)证明∵AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA13＝ AB＋AA1⎪＋ AD＋AA1⎪3⎭⎝＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF.(2)解∵EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1.3∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.10．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝a，AB＝b，AD＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．(1)试用a，b，c表示MN；【答案】(1)解∵A1D＝AD－AA1＝c－a，∴A1M＝A1D＝(c－a)．2同理，A1N＝(b＋c)，2∴MN＝A1N－A1M＝(b＋c)－(c－a)2＝(b＋a)＝a＋b.(2)证明∵AB1＝AA1＋AB＝a＋b，∴MN＝AB1，即MN∥AB1，2→→→→→→→→→→1→2→3⎛→1→⎫⎛→2→⎫⎝3⎭→→→→→→又AC1、AE、AF有公共点A，∴A、E、C1、F四点共面．→→→→→→→→2→→1→→→1→331133→→→→(2)求证：MN∥平面ABB1A1.→→→→1→12→1→→→112111222→→→→1→∵AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，∴MN∥平面ABB1A1.[B级能力提升训练]11．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a ，点 E ，F 分别是 BC ，AD 的中点，则AE ·AF 的值为( )A ．a21a 2 C ． a 2D ． 3 → → 1 → → 1→ 1 → → → → 1 1 【答案】C[AE ·AF ＝ (AB ＋AC )· AD ＝ (AB ·AD ＋AC ·AD )＝ (a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝ a 2.]A ．AE ·BC <AE ·CDB ．AE ·BC ＝AE ·CDC ．AE ·BC >AE ·CDD ．AE ·BC 与AE ·CD 的大小不能比较【答案】C[取 BD 的中点 F ，连接 EF ，则 EF ∥CD 且 EF ＝ CD .因为 AE ⊥BC ，〈AE ，EF 〉＝〈AE ，CD 〉>90°，所以AE ·BC ＝0，AE ·CD <0，因此AE ·BC >AE ·CD .]13．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 的形状是________三角【答案】锐角[因为BC ·BD ＝(AC －AB )·(AD －AB )＝AC ·AD －AC ·AB －AB ·AD ＋AB 2＝AB 2>0，①(A 1A ＋A 1D 1＋A 1B 1)2＝3A 1B 12；②A 1C ·(A 1B 1－A 1A )＝0；③向量AD 1与向量A 1B 的夹角是 60°；④正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 的体积为|AB ·AA 1·AD |.【答案】①② [①中，(A 1A ＋A 1D 1＋A 1B 1)2＝A 1A 2＋A 1D 12＋A 1B 12＝3A 1B 12，故①正确；②中，A 1B 1－A 1A ＝AB 1，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线 A 1B 与 AD 1 所成的角为 60°，但AD1与A →1B 的夹角为 120°，故③不正确；④中，|AB ·AA 1·AD |＝0，故④也不正确．]→ →21 44a 22 2 4 4 412．空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等，E 是 BC 的中点，那么()→ → → →→ → → →→ → → →→ → → →12→ → → → → → → → → → → →→ → → → → →形．(填锐角、直角、钝角中的一个)→ → → → → →→ → → → → → → → 所以∠CBD 为锐角．同理∠BCD ，∠BDC 均为锐角．] 14．已知 ABCD A 1B 1C 1D 1 为正方体， → → → →→ → →→ →→ → →其中正确的序号是________.→ → → → → → → → → →→→ → →(1)EF·BA；(2)EF·DC；【答案】解设AB＝a，AC＝b，AD＝c.→1→1→(1)EF＝BD＝c－a，BA＝－a，DC＝b－c，→EF·→＝(c－a)·(－a)＝a2－a·c＝.→→1(2)EF·DC＝(c－a)·(b－c)＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.→→→→111(3)EG＝EB＋BC＋CG＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，|EG|2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则|EG|＝.→11→→→1(4)AG＝b＋c，CE＝CA＋AE＝－b＋a，AG·CE2cos〈AG，CE〉＝＝－，|AG||CE|由于异面直线所成角的范围是(0，]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.11115．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：→→→→(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．→→→则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，22211111BA2222421124222111222→1111→244422222222→→→→→→3π22316．(2019·辽宁沈阳模拟)如图，在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；【答案】(1)证明设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，∴CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a.∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0.∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.(2)解∵AC′＝－a＋c，|AC′|＝2|a|，|CE|＝|a|.AC →′·CE＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，1∴cos〈AC′，CE〉＝|a|2＝1052×|a|2即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为10(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．→→→根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，→→11222→→1122→→→→→52→111222→→12210.10.。
