13。7直角三角形(1)

初二上册第十一章分式11.1 分式11.2 分式的基本性质11.3 分式的乘除法11.4 分式的加减法11.5 可化为一元一次方程的分式方程及其应用本章检测第十二章实数和二次根式12.1 平方根12.2 立方根12.3 无理数与实数12.4 二次根式及其性质12.5 二次根式的乘除法12.6 二次根式的加减法本章检测期中测试(上) 期中测试(下)第十三章三角形13.1 三角形13.2 三角形盼性质13.3 三角形中的主要线段13.4 全等三角形13.5 全等三角的判定13.6 等腰三角形13.7 直角三角形13.8.1 基本作图13.8.2 角平分线的性质定理及其逆定理13.8.3 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理13.9 逆命题、逆定理13.10 轴对称和轴对称图形13.11 勾股定理13.12 勾股定理的逆定理本章检测第十四事件与可能性14.1 确定事件与不确定事件14.2 事件发生的可能性14.3 求简单事件发生的可能性本章检测期末测试答案全解全析初二下册第十五章一次函数一函数和函数的图象15.1函数15.2函数的表示法15.3函数图象的画法二一次函数15.4一次函数和它的解析式15.5一次函数的图象15.6一次函数的性质15.7一次函数的应用本章检测第十六章四边形一多边形16.1多边形二平行四边形16.2平行四边形和特殊的平行四边形16.3平行四边形的性质与判定16.4特殊的平行四边形的性质与判定16.5三角形中位线定理三中心对称图形16.6中心对称图形四梯形16.7梯形16.8等腰梯形与直角梯形本章检测期中测试第十七章一元二次方程一一元二次方程和它的解法17.1一元二次方程17.2一元二次方程的解法二一元二次方程的应用17.3列方程解应用问题本章检测第十八章方差与频数分布一数据的波动18.1极差、方差与标准差18.2用计算器计算标准差和方差二数据的分布18.3频数分布表与频数分布图本章检测期末测试全练答案全解全析。

人教版初中数学目录：七年级上册第一章有理数1.1 正数和负数1.2 有理数1.3 有理数的加减法1.4 有理数的乘除法1.5 有理数的乘方第二章整式的加减2.1 整式2.2 整式的加减第三章一元一次方程3.1 从算式到方程3.2 解一元一次方程(一)3.3 解一元一次方程(二)3.4 实际问题与一元一次方程第四章图形认识初步4.1 多姿多彩的图形4.2 直线、射线、线段4.3 角4.4 课题学习设计制作长方体形状.七年级下册第五章相交线与平行线5.1 相交线5.2 平行及其判定5.3 平行线的性质5.4 平移第六章平面直角坐标系6.1 平面直角坐标系6.2 坐标方法的简单应用第七章三角形7.1 与三角形有关的线段7.2 与三角形有关的角7.3 多边形及其内角和7.4 课题学习镶嵌第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.2 消元——二元一次方程组的解.8.3 实际问题与二元一次方程组8.4 三元一次方程组的解法举例第九章实际问题与一元一次不等式9.1 不等式9.2 实际问题与一元一次不等式9.3 一元一次不等式组第十章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查10.2 直方图10.3 课题学习从数据谈节水八年级上册第11章全等三角形11.1 全等三角形11.2 三角形全等的判定11.3 角的平分线的性质第12章轴对称12.1 轴对称12.2 作轴对称图形12.3 等腰三角形第13章实数13.1 平方根13.2 立六根13.3 实数第14章一次函数14.1 变量与函数14.2 一次函数14.3 用函数观点看方程(组)与不等.14.4 课题学习选择方案第15章整式的乘除与因式分解15.1 整式的乘法15.2 乘法公式15.3 整式的除法15.4 因式分解八年级下册第16章分式16.1 分式16.2 分式的运算16.3 分式方程第17章反比例函数17.1 反比例函数17.2 实际问题与反比例函数第18章勾股定理18.1 勾股定理18.2 勾股定理的逆定理第19章四边形19.1 平行四边形19.2 特殊的平行四边形19.3 梯形19.4 课题学习重心第20章数据的分析20.1 数据的代表20.2 数据的波动20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析九年级上册第21章二次根式21.1 二次根式21.2 二次根式的乘除21.3 二次根式的加减第22章一元二次方程22.1 一元二次方程22.2 降次—— 一元二次方程的解.22.3 再探实际问题与一元二次方程第23章旋转23.1 图形的旋转23.2 中心对称23.3 课题学习图案设计第24章圆24.1 圆24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.3 正多边形和圆24.4 弧长和扇形面积第25章概率初步25.1 随机事件与概率25.2 用列举法求概率25.3 用频率估计概率25.4 课题学习键盘上字母的排列规律九年级下册第26章二次函数26.1 二次函数及其图像26.2 用函数观点看一元二次方程实际问题与二次函数第27章相似27.1 图形的相似27.2 相似三角形27.3 位似第28章锐角三角函数28.1 锐角三角函数28.2 解直角三角形第29章投影与视图29.1 投影29.2 三视图29.3 课题学习制作立体模型北京课改版初中数学目录：七年级上册第一章走进数学世界1.1 生活中的图形1.2 我们周围的“数”1.3 计算工具的发展1.4 科学计算器的使用第一章复习第二章对数的认识的发展2.1 负数的引入2.2 用数轴上的点表示有理数2.3 相反数和绝对值2.4 有理数的加法2.5 有理数的减法2.6 有理数加减法的混合运算2.7 有理数的乘法2.8 有理数的除法2.9 有理数的乘方2.10 有理数的混合运算2.11 有效数字和科学记数法2.12 用计算器做有理数的混合运算第二章复习第三章一元一次方程3.1 字母表示数3.2 同类项与合并同类项3.3 等式与方程3.4 等式的基本性质3.5 一元一次方程3.6 列方程解应用问题第三章复习第四章简单的几何图形4.1 平面图形与立体图形4.2 某些立体图形的展开图4.3 从不同方向观察立体图形4.4 点、线、面、体4.5 直线4.6 射线4.7 线段4.8 角及其表示4.9 角的分类4.10 角的度量4.11 用科学计算器进行角的换算4.12 角平分线4.13 两条直线的位置关系4.14 相交线与平行线4.15 用电脑绘图第四章复习七年级下册第五章一元一次不等式和一元一次不不等式不等式的基本性质不等式的解集一元一次不等式及其解法一元一次不等式组及其解法单元综合第六章二元一次方程组二元一次方程和它的解二元一次方程组和它的解用代入消元法解二元一次方程组用加减消元法解二元一次方程组二元一次方程组的应用单元综合第七章整式的运算整式的加减法幂的运算整式的乘法乘法公式整式的除法单元综合第八章观察、猜想与证明观察实验归纳类比猜想证明几种简单几何图形及其推理单元综合第九章因式分解因式分解提取公因式法运用公式法单元综合八年级上册第十章数据的收集与表示总体与样本数据的收集与整理数据的表示用电脑绘制统计图平均数用科学计算器求平均数众数中位数单元综合第十一章分式11.1 分式11.2 分式的基本性质11.3 分式的乘除法11.4 分式的加减法11.5 可化为一元一次方程的分式方.第十二章实数和二次根式12.1 平方根12.2 立方根12.3 用科学计算器开方12.4 无理数与实数12.5 二次根式及其性质12.6 二次根式的乘除法12.7 二次根式的加减法第十二章复习第十三章三角形13.1 三角形13.2 三角形的性质13.3 三角形中的主要线段13.4 全等三角形13.5 全等三角形的判定13.6 等腰三角形13.7 直角三角形13.8 基本作图13.9 逆命题、逆定理13.10 轴对称和轴对称图形13.11 勾股定理13.12 勾股定理的逆定理第十三章复习第十四章事件与可能性14.1 确定事件与不确定事件14.2 事件发生的可能性14.3 求简单事件发生的可能性第十四章复习八年级下册第十五章一次函数,函数函数的表示法函数图象的画法一次函数和它的解析式15.5 一次函数的图象一次函数的性质一次函数的应用本章综合第十六章四边形,多边形平行四边形和特殊的平行四边.平行四边形的性质与判定特殊的平行四边形的性质与判.三角形中位线定理中心对称图形梯形等腰梯形与直角梯形本章综合第十七章一元二次方程,一元二次方程一元二次方程的解法列方程解应用问题本章综合第十八章方差与频数分布,极差、方差与标准差用计算器计算标准差和方差频数分布表与频数分布图本章综合九年级上册第十九章相似形,比例线段黄金分割平行线分三角形两边成比例相似多边形相似三角形的判定相似三角形的性质应用举例本章综合第二十章二次函数和反比例函数,二次函数二次函数的图象二次函数解析式确实定二次函数的性质二次函数的一些应用反比例函数反比例函数的图象、性质和应.本章综合第二十一章解直角三角形,锐角三角函数锐角的三角函数值用计算器求锐角三角函数值解直角三角形应用举例本章综合第二十二章圆〔上〕,圆的有关概念过三点的圆圆的对称性圆周角本章综合第二十三章概率的求法与应用,求概率的方法概率的简单应用本章综合九年级下册第二十四章圆〔下〕,直线和圆的位置关系圆的切线圆和圆的位置关系正多边形的有关计算本章综合第二十五章图形的变换,平移变换旋转变换轴对称变换位似变换本章综合第二十六章投影、视图与展开图,中心投影与平行投影简单几何体的三视图简单几何体的平面展开图本章综合第二十七章探索数学问题的一些方法.探索数学问题的一些方法探索数学问题举例本章综合第二十八章数学应用的一般思路,数学应用的一般思路数学应用举例本章综合北师大版初中数学目录：七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形2．展开与折叠3．截一个几何体4．从不同方向看5．生活中的平面图形第二章有理数及其运算1．数怎么不够用了2．数轴3．绝对值4．有理数的加法5．有理数的减法6．有理数的加减混合运算7．水位的变化8．有理数的乘法9．有理数的除法10．有理数的乘方11．有理数的混合运算12．计算器的使用第三章字母表示数1．字母能表示什么2．代数式3．代数式求值4．合并同类项5．去括号6．探索规律第四章平面图形及其位置关系1．线段、射线、直线2．比较线段的长短3．角的度量与表示4．角的比较5．平行6．垂直7．有趣的七巧板8．图案设计第五章一元一次方程1．你今年几岁了2．解方程3．日历中的方程4．我变胖了5．打折销售6．“希望工程”义演7．能追上小明吗8．教育储蓄第六章生活中的数据1．认识100万2．科学记数法3．扇形统计图4．月球上有水吗5．统计图的选择第七章可能性1．一定摸到红球吗2．转盘游戏3．谁转出的四位数大七年级下册第一章整式的运算1．整式2．整式的加减3．同底数幂的乘法4．幂的乘方与积的乘方5．同底数幂的除法6．整式的乘法7．平方差公式8．完全平方公式9．整式的除法第二章平行线与相交线1．台球桌面上的角2．探索直线平行的条件3．平行线的特征4．用尺规作线段和角第三章生活中的数据1．认识百万分之一2．近似数和有效数字3．世界新生儿图第四章概率1．游戏公平吗2．摸到红球的概率3．停留在黑砖上的概率第五章三角形1．认识三角形2．图形的全等3．图案设计4．全等三角形5．探索三角形全等的条件6．作三角形7．利用三角形全等测距离8．探索直角三角形全等的条件第六章变量之间的关系1．小车下滑的时间2．变化中的三角形3．温度的变化4．速度的变化第七章生活中的轴对称1．轴对称现象2．简单的轴对称图形3．探索轴对称的性质4．利用轴对称设计图案5．镜子改变了什么6．镶边与剪纸八年级上册第一章勾股定理1．探索勾股定理2．能得到直角三角形吗3．蚂蚁怎样走最近第二章实数1．数怎么又不够用了2．平方根3．立方根4．公园有多宽5．用计算器开方6．实数第三章图形的平移与旋转1．生活中的平移2．简单的平移作图3．生活中的旋转4．简单的旋转作图5．它们是怎样变过来的6．简单的图案设计第四章四边形性质探索1．平行四边形的性质2．平行四边形的判别3．菱形4．矩形、正方形5．梯形6．探索多边形的内角和与外角和7．平面图形的密铺8．中心对称图形第五章位置确实定1．确定位置2．平面直角坐标系3．变化的鱼第六章一次函数1．函数2．一次函数3．一次函数的图象4．确定一次函数表达式5．一次函数图象的应用第七章二元一次方程组1．谁的包裹多2．解二元一次方程组3．鸡兔同笼4．增收节支5．里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数第八章数据的代表1．平均数2．中位数与众数3．利用计算器求平均数八年级下册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系2．不等式的基本性质3．不等式的解集4．一元一次不等式5．一元一次不等式与一次函数6．一元一次不等式组第二章分解因式1．分解因式2．提公因式法3．运用公式法第三章分式1．分式2．分式的乘除法3．分式的加减法4．分式方程第四章相似图形1．线段的比2．黄金分割3．形状相同的图形4．相似多边形5．相似三角形6．探索三角形相似的条件7．测量旗杆的高度8．相似多边形的性质9．图形的放大与缩小第五章数据的收集与处理1．每周干家务活的时间2．数据的收集3．频数与频率4．数据的波动第六章证明(一)1．你能肯定吗2．定义与命题3．为什么它们平行4．如果两条直线平行5．三角形内角和定理的证明6．关注三角形的外角九年级上册第一章证明(二)1．你能证明它们吗2．直角三角形3．线段的垂直平分线4．角平分线第二章一元二次方程1．花边有多宽2．配方法3．公式法4．分解因式法5．为什么是第三章证明(三)1．平行四边形2．特殊平行四边形第四章视图与投影1．视图2．太阳光与影子3．灯光与影子第五章反比例函数1．反比例函数2．反比例函数的图象与性质3．反比例函数的应用第六章频率与概率1．频率与概率2．投针实验3．生日相同的概率4．池塘里有多少条鱼九年级下册第一章直角三角形的边角关系1．从梯子的倾斜程度谈起2．30º，45º，60º角的三角函数值3．三角函数的有关计算4．船有触礁的危险吗第二章二次函数1．二次函数所描述的关系2．结识抛物线3．刹车距离与二次函数4．二次函数y=ax +bx+c 的图象5．用三种方式表示二次函数6．何时获得最大利润7．最大面积是多少8．二次函数与一元二次方程第三章圆1.车轮为什么做成圆形2.圆的对称性3.圆周角和圆心角的关系4.确定圆的条件5.直线和圆的位置关系6.圆和圆的位置关系7.弧长及扇形的面积8.圆锥的侧面积第四章统计与概率年的变化2.哪种方式更合算3.游戏公平吗浙教版初中数学目录：七年级上册第1章从自然数到有理数1.1 从自然数到分数1.2 有理数1.3 数轴1.4 绝对值1.5 有理数大小比较第2章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 准确数和近似数2.8 计算器的使用第3章实数3.1 平方根3.2 实数3.3 立方根3.4 用计算器进行数的开方3.5 实数的运算第4章代数式4.1 用字母表示数4.2 代数式4.3 代数式的值4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 解一元一次方程的方法和步骤5.3 一元一次方程的应用5.4 问题解决的基本步骤第6章数据和图表6.1 数据的收集和整理6.2 统计表6.3 条形统计图和折线形统计图6.4 扇形统计图第7章图形的初步知识7.1 几何图形7.2 线段射线和直线7.3 线段的长短比较7.4 角和角的度量7.5 角的大小比较7.6 余角和补角7.7 相交线7.8 平行线七年级下册第1章三角形的初步认识1.1 认识三角形1.2 三角形的角平分线和中线1.3 三角形的高线1.4 全等三角形1.5 三角全等的条件1.6 作三角形第2章图形和变换2.1 轴对称图形2.2 轴对称变换2.3 平移变换2.4 旋转变换2.5 相似变换2.6 图形变换的简单应用第3章事件的可能性3.1 认识事件的可能性3.2 可能性的大小3.3 可能性和概率第4章二元一次方程4.1 二元一次方程4.2 二元一次方程组4.3 解二元一次方程组4.4 二元一次方程组的应用第5章整式的乘除5.1 同底数幂的乘法5.2 单项式的乘法5.3 多项式的乘法5.4 乘法公式5.5 整式的化简5.6 同底数幂的除法5.7 整式的除法第6章因式分解6.1 因式分解6.2 提取公因式6.3 用乘法公式分解因式6.4 因式分解的简单应用第7章分式7.1 分式7.2 分式的乘除7.3 分式的加减7.4 分式方程八年级上册第1章平行线1.1 同位角内错角同旁内角1.2 平行线的判定1.3 平行线的性质1.4 平行线之间的距离第2章特殊三角形2.1 等腰三角形2.2 等腰三角形的性质2.3 等腰三角形的判定2.4 等边三角形2.5 直角三角形2.6 探索勾股定理直角三角形的全等判定第3章直棱柱3.1 认识直棱柱3.2 直棱柱的外表展开图3.3 三视图3.4 由三视图描述几何体第4章样本与数据的分析初步4.1 抽样4.2 平均数中位数和众数4.4 方差和标准差4.5 统计量的选择和应用第5章一元一次不等式5.1 认识一元一次不等式5.2 不等式的基本性质5.3 一元一次不等式5.4 一元一次不等式组第6章图形与坐标6.1 探索确定位置的方法6.2 平面直角坐标系6.3 坐标平面内的图形变换第7章一次函数7.1 常量和变量7.2 认识函数7.3 一次函数7.4 一次函数的图象7.5 一次函数的简单应用八年级下册第1章二次根式1.1 二次根式1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算第2章一元二次方程2.1 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.3 一元二次方程的应用第3章频数及其分布3.1 频数与频率3.2 频数分布直方图3.3 频数分布折线图第4章命题与证明4.1 定义与命题4.2 证明4.3 反例与证明4.4 反证法第5章平行四边形5.1 多边形5.2 平行四边形5.3 平行四边形的性质5.4 中心对称5.5 平行四边形的判定5.6 三角形的中位线5.7 逆命题和逆定理第6章特殊平行四边形与梯形6.1 矩形6.2 菱形6.3 正方形6.4 梯形九年级上册第一章反比例函数反比例函数反比例函数的图象和性质反比例函数的应用第二章二次函数2.1 二次函数2.2 二次函数的图象2.3 二次函数的性质2.4 二次函数的应用第三章圆的基本性质3.1 圆3.2 圆的轴对称3.3 圆心角3.4 圆周角3.5 弧长及扇形的面积3.6 圆锥的侧面积和全面积第四章相似三角形4.1 比例线段4.2 相似三角形4.3 两个三角形相似的判定4.4 相似三角形的性质及应用4.5 相似多边形4.6 图形的位似九年级下册第一章解直角三角形1.1 锐角三角函数1.2 有关三角函数的计算1.3 解直角三角形第二章简单事件的概率2.1 简单事件的概率2.2 估计概率2.3 概率的简单应用第三章直线与圆、圆与圆的基本性质3.1 直线与圆的位置关系3.2 三角形的内切圆3.3 圆与圆的位置关系第四章投影与三视图4.1 视角与盲区4.2 投影4.3 简单物体的三视图湘教版初中数学目录：七年级上册第一章有理数1．1具有相反意义的量1．2 数轴，相反数与绝对值1．3有理数大小的比较1．4有理数的加法1．5 有理数的减法1．6有理数的乘法1．7有理数的除法1．8有理数的乘方1．9有理数的混合运算1．10用计算器计算第二章代数式2．1用字母表示数2．2列代数式2．3代数式的值2．4一类代数式的加法第三章图形欣赏人与操作3．1图形欣赏3．2平面图形与空间图形3．3观察物体3．4图形操作3．5视图第四章一元一次方程模型与算法4．1 一元一次方程模型4．2 解一元一次方程的算法4．3 一元一次方程的应用第五章一元一次不等式5．1 不等式的基本性质5．2 一元一次不等式的解法5．3 一元一次不等式的应用第六章数据的收集与描述6．1 数据的收集6．2 统计图6．3 平均数、中位数和众数七年级下册第一章一元一次不等式组1.1 一元一次不等式组1.2 一元一次不等式组的解法1.3 一元一次不等式组的应用第二章二元一次方程组2.1 二元一次方程组2.2 二元一次方程组的解法2.3 二元一次方程组的应用第三章平面上直线的位置关系和度量3.1 线段、直线、射线3.2 角3.3 平面直线的位置关系3.4 图形的平移3.5 平行线的性质与判定3.6 垂线的性质与判定第四章多项式4.1 多项式4.2 多项式的加减4.3 多项式的乘法4.4 乘法公式第五章轴对称图形5.1 轴反射与轴对称图形5.2 线段的垂直平分线5.3 三角形5.4 三角形的内角和5.5 角平分线的性质5.6 等腰三角形5.7 等边三角形第六章数据的分析与比较6.1 加权平均数6.2 极差、方差6.3 两组数据的比较八年级上册第一章实数1．1 平方根1．2 立方根1．3 实数1．4 平面直角坐标系第二章一次函数2．1 函数和它的表示法2．2 一次函数和它的图象3．3 建立一次函数模型第三章全等三角形3．1 旋转3．2 图案设计3．3 全等三角形及其性质3．4 全等三角形的判定定理3．5 直角三角形3．6 勾股定理3．7 作三角形第四章频数与频率4．1 频数与频率4．2 数据的分布八年级下册第一章因式分解1.1 多项式的因式分解1.2 提公因式法1.3 公式法第二章分式2.1 分式和它的基本性质2.2 分式的乘除法2.3 整数指数幂2.4 分式的加减法2.5 分式方程第三章四边形3.1 平行四边形与中心对称图形3.2 菱形3.3 矩形3.4 正方形3.5 梯形3.6 多边形的内角和与外角和第四章二次根式4.1 二次根式和它的化简4.2 二次根式的乘除法4.3 二次根式的加、减法第五章概率的概念5.1 概率的概念5.2 概率的含义九年级上册第一章一元二次方程1.1 建立一元二次方程模型1.2 一元二次方程的算法1.3 一元二次方程的应用第二章定义命题公理与证明2.1 定义2.2 命题2.3 公理与定理2.4 证明第三章相似形3.1 相似的图形3.2 比与比例3.3 相似三角形的性质和判定3.4 相似多边形及性质3.5 图形的放大与缩小、位似变换第四章解直角三角形4.1 正弦和余弦4.2 正切4.3 直角三角形及其应用第五章概率的计算5.1 用频率估计概率5.2 用列举法计算概率九年级下册第一章反比例函数1.1 建立反比例函数模型1.2 反比例函数的图像与性质1.3 实际生活中的反比例函数第二章二次函数2.1 建立二次函数模型2.2 二次函数的图像与性质2.3 二次函数的应用第三章圆3.1 圆3.2 点、直线与圆的位置关系，圆3.3 圆与圆的位置关系3.4 弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积3.5 平行投影和中心投影第四章统计估计4.1 总体与样本4.2 用样本估计总体华师大版初中数学目录：七年级上册第一章走进数学世界1.1 与数学交朋友1.2 让我们来做数学第二章有理数2.1 正数和负数2.2 数轴2.3 相反数2.4 绝对值2.5 有理数的大小比较2.6 有理数的加法2.7 有理数的减法2.8 有理数加减混合运算2.9 有理数的乘法2.10 有理数的除法2.11 有理数的乘方2.12 科学记数法2.13 有理数的混合运算2.14 近似数和有效数字2.15 用计算器进行数的简单运算第三章整式的加减3.1 列代数式3.2 代数式的值3.3 整式3.4 整式的加减第四章图形的初步认识4.1 生活中的立体图形4.2 画立体图形4.3 立体图形的展开图4.4 平面图形4.5 最基本的图形——点和线4.6 角4.7 相交线4.8 平行线第五章数据的收集与表示5.1 数据的收集5.2 数据的表示七年级下册第六章一元一次方程6.1 从实际问题到方程6.2 解一元一次方程6.3 实践与探索第七章二元一次方程组7.1 二元一次方程组和它的解7.2 二元一次方程组的解法7.3 实践与探索第八章一元一次不等式8.1 认识不等式8.2 解一元一次不等式8.3 一元一次不等式组第九章多边形9.1 三角形9.2 多边形的内角和与外角和9.3 用正多边形拼地板第十章轴对称10.1 生活中的轴对称10.2 轴对称的认识10.3 等腰三角形第十一章体验不确定现象11.1 可能还是确定11.2 时机的均等与不等11.3 在反复实验中观察不确定现象八年级上册第12章数的开方12.1 平方根与立方根12.2 实数与数轴第13章整式的乘除13.1 幂的运算13.2 整式的乘法13.3 乘法公式13.4 整式的除法13.5 因式分解第14章勾股定理14.1 勾股定理14.2 勾股定理的应用第15章平移与旋转15.1 平移15.2 旋转15.3 中心对称15.4 图形的全等第16章平行四边形的认识16.1 平行四边形的性质16.2 矩形、菱形与正方形的性质16.3 梯形的性质八年级下册第17章分式17.1 分式及其基本性质17.2 分式的运算17.3 可化为一元一次方程的分式方程17.4 零指数幂与负整指数幂第18章函数及其图像18.1 变量与函数18.2 函数的图象18.3 一次函数18.4 反比例函数18.5 实践与探索第19章全等三角形19.1 命题与定理19.2 三角形全等的判定19.3 尺规作图19.4 逆命题与逆定理课题学习图形中的趣题第20章平行四边形的判定20.1 平行四边形的判定20.2 矩形的判定20.3 菱形的判定20.4 正方形的判定20.5 等腰梯形的判定第21章数据的整理与初步处理21.1 算术平均数与加权平均数。

专题13.7 等腰三角形（知识讲解1）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝ . 要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 特别说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形定义1．如图在△ABC 中，AB ＝AC ，直线DE 垂直平分AB ，若△A=40°，则1802A ︒-∠（1）求△DBC 的度数，（2）若AB=12，BC=7,求△BCD 的周长【答案】（1）30° （2）19【分析】（1）由AB=AC ，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ABC 的度数，又由AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，可得AD=BD ，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案；（2）由AB=AC=12，BC=7，AD=BD ，可得∠BCD 的周长等于AC+BC ．解：（1）在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒， ∠18040702ABC ︒-︒∠==︒. 又∠DE 垂直平分AB ，∠DA DB =，∠40DBA A ∠=∠=︒，∠704030DBC ABC DBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒.（2）∠DA DB =，∠12BD DC AD DC AC AB +=+===，∠12719BDC C BD DC BC AC BC ∆=++=+=+=.答：DBC ∆的周长为19.【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质举一反三：【变式1】 已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长．【答案】22【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．解：当4为腰，9为底时，∠4+4＜9，∠不能构成三角形；当腰为9时，∠9+9＞4，∠能构成三角形，∠等腰三角形的周长为：9+9+4＝22．【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论.【变式2】 已知一个等腰三角形的周长是12cm ，其中一边长是2cm ，求另外两边的长．【答案】5cm ，5cm【分析】已知条件没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论，计算出结果后还需判定能否组成三角形．解：（1）若该等腰三角形的腰长为2cm ，则另外两边的长为2cm ，8cm ，根据三角形三边关系∠2＋2＝4＜8，故不能构成三角形；（2）若等腰三角形的底边长为2cm ，则腰长为()()125221cm ⨯-=， 即另外两边的长为5cm ，5cm ，能构成三角形；综上所述，该等腰三角形的另外两边的长为5cm ，5cm ．故答案为：5cm ，5cm ．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目必须分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【变式3】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，求BDC ∠的度数.【分析】由AB=AC ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠ABC=∠C=70°，已知BD 是∠ABC 的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC 的度数，在∠BDC 中根据三角形内角和定理可求出∠BDC 的度数.解：∠AB=AC, ∠A=40°， ∠∠ABC=∠C=1(180-2︒∠A)= 70°， ∠BD 是∠ABC 的平分线， ∠∠DBC=12ABC ∠=35°， 在∠BDC 中，∠BDC=180°-∠C -∠DBC=180°-35°-70°=75°.类型二、等腰三角形的性质与判定2．如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠==，求DAC ∠的度数．【答案】45°【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，则ADB EDC ∆∆≌，根据全等三角形的性质得EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，由AB=2AD 可得EC=AE ，可得∠AEC 是等腰直角三角形，即可得∠DAC 的度数．解：延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，∠BD=CD ，∠ADB=∠EDC∠ADB EDC ∆∆≌，∠EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，∠AB=2AD ，DEAD =∠AB=AE=EC∠∠AEC 是等腰直角三角形，故答案为45°.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.举一反三：【变式1】如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD△△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．解：证明：（1）∠AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形，理由如下：∠∠ABD∠∠ACE，∠∠ABD=∠ACE，∠AB=AC，∠∠ABC=∠ACB，∠∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，∠∠OBC=∠OCB，∠BO=CO，∠∠BOC是等腰三角形．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．【变式2】 如图，△ABC ，△CDE 均是等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点E 在AB 上，求证：△CDA△△CEB ．【答案】证明见解析．【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．解：∠∠ABC 、∠CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∠CE=CD ，BC=AC ，∠∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ，∠∠ECB=∠DCA ，在∠CDA 与∠CEB 中，{BC ACECB DAC EC DC=∠=∠=，∠∠CDA∠∠CEB ．【点拨】本题考查全等三角形的判定；等腰直角三角形．【变式3】 如图，已知△ABC 中，AB ＝BC ，D 为AC 中点，过点D 作DE△BC ，交AB 于点E ．（1）求证：AE ＝DE ；（2）若△C ＝65°，求△BDE 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠A ，由平行线的性质可得∠C ＝∠ADE ，从而∠A＝∠ADE；（2）先由三角形内角和求出∠ABC＝50°，再由三线合一的性质可求出∠EBD＝∠DBC=12∠ABC＝25°，然后根据平行线的性质求解即可.解：证明：（1）∠DE∠BC，∠∠C＝∠ADE，∠AB＝BC，∠∠C＝∠A，∠∠A＝∠ADE，∠AE＝DE；（2）∠∠ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，∠∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∠AB＝BC，D为AC中点，∠∠EBD＝∠DBC=12∠ABC＝25°，∠DE∠BC，∠∠BDE＝∠DBC＝25°.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理等知识.熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键.类型三、等边对等角求角3．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC=72°．（1）用直尺和圆规作△ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出△ABC的平分线BD后，求△BDC的度数．【答案】（1）作图见解析（2）∠BDC=72°【解析】解：（1）作图如下：（2）∠在∠ABC 中，AB=AC ，∠ABC=72°，∠∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°．∠AD 是∠ABC 的平分线，∠∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°． ∠∠BDC 是∠ABD 的外角，∠∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°．（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC 的平分线：∠以点B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；∠分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 为半径画圆，两圆相较于点G ，连接BG 交AC 于点D ．（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A 的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD 的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC 的度数即可．举一反三：【变式1】 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，△BAD=20°，求△C 的度数？【答案】∠C=40°【分析】根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC 可得∠DAC=∠C ，易求解．解：∠AB AD DC == ∠,B ADB CAD C ∠=∠∠=∠又ADB C DAC ∠=∠+∠∠2B C ∠=∠ ∠180BAC B C ∠+∠+∠=∠2180BAD C C C ∠+∠+∠+∠= ∠20BAD ∠= ∠解得=40C ∠【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.11．【变式2】 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且AD=AE ，(1) 若△BAC=90°,△BAD=30°，求△EDC 的度数?(2) 若△BAC=a(a>30°),△BAD=30°，求△EDC 的度数?(3) 猜想△EDC 与△BAD 的数量关系?(不必证明)【答案】(1)∠EDC 的度数是15°；(2)∠EDC 的度数是15°；(3)∠EDC 与∠BAD 的数量关系是∠EDC=12∠BAD.【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B 的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC ，求出∠DAC ，根据等腰三角形性质求出∠ADE 即可；（2）根据等腰三角形性质求出∠B 的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC ，求出∠DAC ，根据等腰三角形性质求出∠ADE 即可；（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．解：(1)∠∠BAC=90°，AB=AC ， ∠∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=45°， ∠∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°，∠∠DAC=∠BAC−∠BAD=90°−30°=60°，∠AD=AE ， ∠∠ADE=∠AED=12(180°−∠DAC)=60° ∠∠EDC=∠ADC−∠ADE=75°−60°=15°答：∠EDC 的度数是15°.(2)与(1)类似：∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=90°−12α，∠∠ADC=∠B+∠BAD=90°−12α+30°=120°−12α，∠∠DAC=∠BAC−∠BAD=α−30°，∠∠ADE=∠AED=12(180°−∠DAC)=105°−12α，∠∠EDC=∠ADC−∠ADE=(120°−12α)−(105°−12α)=15°答：∠EDC的度数是15°.(3)∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC=12∠BAD.【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质.【变式3】如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一点，E为线段AC上一点，且AD＝AE．(1)若△ABC＝60°，△ADE＝70°，求△BAD与△CDE的度数；(2)设△BAD＝α，△CDE＝β，试写出α、β之间的关系并加以证明．【答案】（1）20°，10°；（2）结论：α=2β，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据∠BAD=∠BAC-∠DAE，∠AED=∠CDE+∠C，进行计算即可解决问题；（2）α=2β，理由是：设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，同理求出∠ACB=1802x︒-︒和∠AED=1802y︒-︒，利用外角定理得：β=∠AED-∠ACB，代入可得结论．解：（1）∠AB=AC，∠∠B=∠C=60°，∠∠BAC=60°，∠AD=AE，∠∠ADE=∠AED=70°，∠∠DAE=40°，∠∠BAD=∠BAC -∠DAE=20°，∠∠AED=∠CDE+∠C ，∠∠CDE=70°-60°=10°．（2）结论：α=2β，理由是：设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，∠∠ACB=∠ABC ， ∠∠ACB=180x 2︒-︒， ∠∠ADE=∠AED ， ∠∠AED=180y 2︒-︒， ∠β=∠AED -∠ACB=180y 2︒-︒-180x 2︒-︒=x y 2︒-︒=α2， ∠α=2β；【点拨】此题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、外角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．类型四、等边对等角证明4．已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【答案】详见解析【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG ∆∆≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到∠AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．解：证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∠在ABC ∆中，AD 为中线，∠BD=CD ，在∠ADC 和∠GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BDE CDG ∆∆≌，BE CG ∴=，BED CGD ∠=∠，BE AC =，AC GC ∴=，AGC CAG ∴∠=．又BED AEF ∠=∠，∠AEF EAF ∠=∠，∠AF EF =.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．举一反三：【变式1】 如图所示，AD 为ABC ∆的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DC DE =，若EF AB ∥．求证：EF AC =．【答案】详见解析【分析】延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，可证DEF DCG ∆∆≌，则EF=CG ，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得GAC AGC ∠=∠ ，根据等角对等边得AC=CG ，即可得出结论.解：证明：延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，∠DC=DE ，∠EDF=∠CDG ，DG DF =∠DEF DCG ∆∆≌，EF CG ∴=，EFG CGD ∠=∠EF AB ∥，EFG BAD ∴∠=∠，又BAD CAD ∠=∠，GAC AGC ∴∠=∠，AC GC ∴=，EF AC ∴=.【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证∠EDF 与∠CDG 全等．【变式2】 如图，在ABC 中，,AC BC AD =平分BAC ∠交BC 于点D ，若AC CD AB +=，求C ∠的度数．【答案】90C ∠=︒【分析】在AB 上截取AE AC =，连接DE ，证明ADC ADE △≌△，再证明DE BE =，设B x ∠=，再得到∠=∠=∠=BAC B EDB x ，证明2,C x ∠= 然后利用内角和定理求解即可．解：如图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∠AD 平分BAC ∠，EAD CAD ∠=∠．∠,==AE AC AD AD ，ADC ADE ∴≌，∠,,CD DE AED C =∠=∠∠AC CD AB +=，AE BE AB +=，∠CD BE =，∠DE BE =，∠B EDB ∠=∠．∠AC BC =，∠BAC B =∠∠．设∠=∠=∠=BAC B EDB x ，则2∠=∠+∠==∠AED B EDB x C ．∠在ABC 中，2180x x x ++=︒，解得45x =︒，∠90C ∠=︒．【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式3】 如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足为E 、F ，求证：DE DF =．【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的性质得到B C ∠=∠，根据D 为BC 的中点，得到BD CD =，再根据DE AB ⊥，DF AC ⊥，得到90BED CFD ∠=∠=，利用全等三角形的性质和判定即可证明DEDF =． 解：AB AC =，∴B C ∠=∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=，D 为BC 的中点，∴BD CD =，在BED 与CFD △中BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ∠CFD △()AAS ，∠DE DF =．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，找到全等的条件是解题的关键．类型五、三线合一求解5．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，△BAC ＝80°，AD△BC ，AD ＝AB ，联结BD 并延长，交AC 的延长线于点E ，求△E 的度数．【答案】30°．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA ，再根据三角形外角的性质即可求解．解：∠AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，AD∠BC ，∠∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝40°， ∠AD ＝AB ，∠∠BDA ＝12×（180°﹣40°）＝70°， ∠∠E ＝∠BDA ﹣∠CAD ＝70°﹣40°＝30°．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三线合一的运用，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据三线合一的性质得到相等的量．举一反三：【变式1】 如图，在ABC ∆中，90A ∠=，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E .（1）求证：ACD ∆△ECD ∆；（2）若BE EC =，求ADE ∠的度数.【答案】（1）见解析（2）120°.【分析】（1）由角平分线得出∠ACD ＝∠ECD ，再由∠CED ＝∠A 和公共边，根据AAS 证明ACD ∆∠ECD ∆即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BD ＝CD ，由等腰三角形的性质得出∠B ＝∠DCE ，因此∠ACD ＋∠DCE ＋∠B ＝90°，即可得到∠B 的度数，即可求解．解：（1）证明：∠CD 平分ACB ∠，∠∠ACD ＝∠ECD ，∠DE BC ⊥，∠∠DEC ＝90°，∠∠DEA ＝∠C ，在ACD ∆和ECD ∆中，ACD ECD A DEC CD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠ACD ∆∠ECD ∆（AAS ）．（2）解：∠BE EC =，DE BC ⊥，∠DE 垂直平分BC∠BD ＝CD ，∠∠B ＝∠DCE ，∠∠ACD ＝∠ECD ，∠∠ACD ＝∠ECD ＝∠B ，∠∠ACD+∠ECD ＋∠B ＝90°，∠∠B ＝30°∠∠BDE=90°-∠B=60°，∠∠ADE=180°-∠BDE=120°.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．【变式2】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD △BC 于点D ，CE △AB 于点E ，AE ＝CE ，AD 与CE 相交于点F ．（1）求证：△AEF △△CEB ；（2）若AF ＝6，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）先证明∠EAF ＝∠ECB ，再由ASA 证明∠AEF∠∠CEB 即可；（2）由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案．解：（1）证明：∠AD∠BC ，∠∠B+∠BAD ＝90°，∠CE∠AB ，∠∠B+∠BCE ＝90°，∠∠EAF ＝∠ECB ，在AEF ∆和CEB ∆中，AEF BEC AE CEEAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠AEF CEB ∆∆≌（ASA ）；（2）解：∠AEF CEB ∆∆≌，∠6AF BC ==，∠AB ＝AC ，AD∠BC ，∠116322CD BD BC ===⨯=． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式3】 在等腰ABC 中，AB AC =，8BC =，100BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，4=AD ，点E 是AB 的中点，连接DE ．（1）求B 的度数；（2）求三角形BDE 的面积．【答案】（1）40°；（2）4【分析】（1）根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理就可求解；（2）根据等腰三角形的三线合一的性质，得到AD 是等腰∠ABC 底边BC 上的高，根据中线的性质求得答案即可．解：（1）∠AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，∠∠B ＝∠C ＝12（180°−∠BAC ）＝40°； （2）∠AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∠AD∠BC ，BD=CD=12BC=4， ∠点E 是AB 的中点，∠S ∠AED ＝S ∠BED ＝12S ∠ABD ＝12×12AD•BD ＝12×12×4×4＝4． 【点拨】此题主要是运用了等腰三角形的性质和三角形的中线的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．类型六、三线合一证明6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边上的中点，DE 、DF 分别垂直AB 、AC 于点E 和F ．求证：DE=DF ．【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等的性质，可得DE=DF．解：连接AD∠AB=AC，点D是BC边上的中点∠AD平分∠BAC∠DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．∠DE=DF【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，及角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE△AB交AD 的延长线于点E．求证：CE=AB．【答案】答案见解析．试题分析：由等腰三角形三线合一性质可得∠BAE=∠CAE，由CE∠AB可得∠E=∠BAE，进而可得∠E=∠CAE，所以AC=CE，又因为AB=AC，所以CE=AB即可证明.试题解析：证明：∠AB =AC ，AD 是BC 边上的高，∠∠BAE =∠CAE ，∠CE ∠AB ，∠∠E =∠BAE ，∠∠E =∠CAE ，∠CE =AC ，∠AB =AC ，∠CE =AB ．点拨：本题主要掌握等腰三角形三线合一性质记忆平行线的性质.【变式2】 已知：如图，等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 中点，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且满足EA CF =．连接AD ．求证：DE DF =．【分析】连接AD ，根据等腰直角三角形的性质可得AD DC =，AD 平分BAC ∠，45C ∠=︒，从而得出45EAD C ∠=∠=︒，再利用SAS 证出ADE CDF ≌，即可得出结论． 解：连接AD∠ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 中点，∠AD DC =，AD 平分BAC ∠，45C ∠=︒，∠45EAD C ∠=∠=︒，在ADE 和CDF 中EAD C AD A CF CD E ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩=，∠ADE CDF ≌，∠DE DF =【点拨】此题考查的是等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．【变式3】 已知：如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，点D 在CB 边上，△DAB=△B ，点E 在AB 边上且满足△CAB=△BDE.求证： AE=BE.解：分析：由∠C=90°易得∠CAB+∠B=90°，结合∠CAB=∠BDE 可得∠BDE +∠B=90°，由此可得∠DEB=90°，从而可得DE∠AB ，再由∠DAB=∠B 证得AD=BD 即可由等腰三角形的性质得到AE=BE.详解：∠∠C=90°，∠∠CAB+∠B=90°，∠∠CAB=∠BDE ，∠∠BDE +∠B=90°，∠∠DEB=90°，∠DE∠AB ，∠∠DAB=∠B ，∠DA=DB ，∠AE=BE.点拨：由∠CAB=∠BDE 结合∠CAB+∠B=90°证得∠BDE +∠B=90°，从而证得DE∠AB 是解答本题的关键.类型七、根据格点画等腰三角形7．如图，在4×4方格中，按要求作出以AB为边，第三个顶点在格点上的等腰三角形ABC．（1）面积为2（2）面积为2.5（3）面积为（要求不与1、2图形全等）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1.5.【分析】（1）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案；（2）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案；（3）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案．解：（1）如图（1）所示：∠ABC即为所求；（2）如图（2）所示：∠ABC即为所求；（3）如图（3）所示：∠ABC即为所求．故答案为：1.5．【点拨】此题主要考查网格中三角形的综合问题，熟练掌握，即可解题.举一反三：【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．按下列要求画图：（1）在图△中，以格点为顶点，AB为一边画等腰三角形ABC （只画一个即可）；（2）在图△中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形.【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析.【分析】（1）以AB为腰，找到C点使BC=AB，连接即可；（2）将AB绕A点顺时针旋转90°，将AB绕B点逆时针旋转90°，即可找到正方形的另外两个顶点.解：（1）如图所示，（2）如图所示，【点拨】本题考查等腰三角形和正方形的性质，根据图形的性质即可完成作图.【变式2】如图，在6×6的方格纸中，A，B，C均为格点，按要求画图：△仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；△保留必要的画图痕迹；△标注相关字母．（1）作CD AB ⊥，使得D 为格点．（2）在AB 上取一点E ，使得45AEC ∠=︒．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）取格点D ，连接CD 即可．（2）取格点M ，N ，连接MN 交AB 于点E ，连接EC ，点E 即为所求．解：（1）如图，线段CD 即为所求．（2）如图，点E 即为所求．【点拨】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．类型八、找等腰三角形8．如图，在四边形ABCD 中，AB△CD ，△1=△2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）∠BCD ，∠BCE【分析】（1）由“ASA”可证∠ABD∠∠EDC ，可得AB=DE ，BD=CD ，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得BD=CD ，AD=EC=BC ，可求解．解：（1）证明：∠AB∠CD ，∠∠ABD=∠EDC ．在∠ABD 和∠EDC 中，12ABD EDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABD∠∠EDC （ASA ），∠AB=DE ，∠DE+BE=BD ，∠BD=CD ，∠AB+BE=CD ；（2）∠∠ABD∠∠EDC ，∠AD=EC ，∠AD=BC ，BD=CD ，∠AD=BC=EC ，∠∠BCD 是等腰三角形，∠BCE 是等腰三角形．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．举一反三：【变式1】 如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒．（1）根据要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹：作边AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点B ，连接AD ；（2）写出图中一对全等的三角形，和一个等腰三角形．【答案】（1）答案见解析；（2）∠ACD∠∠AED或∠ACD∠∠BED或∠AED∠∠BED，∠ABD 为等腰三角形【解析】【分析】（1）由题意直接根据垂直平分线的作图方法按照题意进行作图即可；（2）根据全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义进行分析即可.解：（1）作图如图所示：（2）根据全等三角形的性质可知：图中有∠ACD∠∠AED或∠ACD∠∠BED或∠AED∠∠BED，根据等腰三角形的定义可知：∠ABD为等腰三角形.【点拨】本题考查的是作图-基本作图以及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的作法和全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义是解答此题的关键．【变式2】（1）如图1,△ABC中,△C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).（2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.【答案】（1）见解析；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°；图3不能分割成两个等腰三角形.【分析】（1）本题中，只要找到斜边中点，然后连接直角顶点和斜边中点，那么分成的两个三角形就是等腰三角形．那么只要作AC的垂直平分线就可以了．AC的垂直平分线与AB 的交点就是AB的中点；（2）本题要先根据三角形的内角和求出另一角的度数，然后看看是否能分成等腰三角形．图2可以将∠B分成24°和48°．图3不能分成等腰三角形．解：（1）如图,直线CE即为所求；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形,分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.图3不能分割成两个等腰三角形.【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质和三角形的内角和，等腰三角形的判定等知识点．注意本题作图中的理论依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（1，0），点C为x轴上一点，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形．（1）请在坐标系中画出所有满足条件的△ABC；（2）直接写出（1）中点C的坐标．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】要使∠ABC是以AB为腰的等腰三角形，有三种情况，分别根据题意作图解答即可.解：（1）如图所示：（2）点C的坐标分别有（﹣1，0），（1﹣，0），（1+，0）．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质.类型九、由等边对等角证明等腰三角形9．如图，已知AD=BC，AC=BD．（1）求证：△ADB△△BCA；（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】试题分析：（1）根据SSS定理推出全等即可；（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB．试题解析：（1）证明：∠在∠ADB和∠BCA中，AD=BC,AB=BA,BD=AC，∠∠ADB∠∠BCA（SSS）；（2）解：OA=OB，理由是：∠∠ADB∠∠BCA，∠∠ABD=∠BAC，∠OA=OB．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定举一反三：【变式1】 如图，在△ABC 中，△ABC 与△ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE //BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：OD =DB ．（2）若DE =5，求DB +CE 的值．【答案】（1）见解析（2）5【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质求出∠DBO =∠OBC ，∠DOB =∠OBC ，再由等式的性质得到∠DBO =∠DOB ，由等角对等边即可得出结论；（2）根据（1）的结论，同理可得OE =EC ，即可得出结论．解：（1）∠BO 平分∠ABC ，∠∠DBO =∠OBC ．∠DE ∠BC ，∠∠DOB =∠OBC ，∠∠DOB =∠DBO ，∠OD =DB ．（2）根据（1）得：OD =DB ，同理可证：OE =EC ，∠BD +EC =DO +OE =DE =5．【点拨】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，有效的进行等量代换是正确解答本题的关键．【变式2】 如图，点A ，F ，D ，C 在同一直线上，BC ，EF 交于点M ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =.（1）证明：Rt Rt ABC DEF △≌△；（2）证明：MF MC =.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据AF=CD ，可以得到AC=DF ，然后再根据题目中的条件，即可证明Rt∠ABC∠Rt∠DEF ；（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质、等腰三角形的性质，可以得到结论成立． 解：（1）证明：∠AF=CD ，∠AF+FC=CD+FC ，∠AC=DF ，∠∠B=∠E=90°，∠∠ABC 和∠DEF 都是直角三角形，在Rt∠ABC 和Rt∠DEF 中，AC DF AB DE =⎧⎨=⎩∠Rt∠ABC∠Rt∠DEF （HL ）；（2）证明：由（1）知，Rt∠ABC∠Rt∠DEF ，∠∠BCA=∠EFD ，∠∠MCF=∠MFC ，∠MF=MC ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3】 如图，AD△BC ，BD 平分△ABC ．求证：AB=AD ．【分析】根据AD∠BC ，可求证∠ADB=∠DBC ，利用BD 平分∠ABC 和等量代换可求证∠ABD=∠ADB ，然后即可得出结论．解：证明：∠AD∠BC ，∠∠ADB=∠DBC ．∠BD 平分∠ABC ，∠∠ABD=∠DBC ．∠∠ABD=∠ADB ．∠AB=AD ．类型十、等角对等边证明线段相等10．如图，△AEF ＝△AFE ，AC ＝AD ，CE ＝DF ，求证：△C ＝△D ．【答案】见解析.【分析】先利用等角对等边得出AE ＝AF ，再根据SSS 证明∠AEC ∠∠AFD ，然后利用全等三角形的性质即可得出结论.解：证明：∠∠AEF ＝∠AFE ，∠AE ＝AF ，在∠AEC 与∠AFD 中AE AF AC AD CE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠AEC ∠∠AFD （SSS ），∠∠C ＝∠D ．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.举一反三：【变式1】 已知ABC ∆ 中，90ACB ∠=，CD AC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠，交CD 于点F ，EG AB ⊥于点G ，说明EG CF =．【分析】根据角平分线的性质定理的得出CE=EG ，再根据等角对等边得出CF=CE ，即可得到结论．解：∠∠ACB=90°，AE 平分∠BAC ，EG∠AB ，∠CE=EG ，∠CAE=∠GAE ，∠AEC=90°-∠CAE ，∠CD∠AB ，∠∠ADF=90°，∠∠AFD=90°-∠FAD，∠∠AFD=∠AEC，∠∠CFE=∠AFD，∠∠CFE=∠CEF，∠CF=CE，∠CF=EG．【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD△BC于点D．（1）若△CAD＝45°，求△BAD的度数；（2）若点M在边AC上，MN//AB交AD的延长线于点N．求证：AM＝MN．【答案】（1）∠BAD＝45°；（2）见解析∠=∠，从而可得出答案；【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得出BAD CAD∠=∠，然后通过等量代换得出（2）首先根据平行线的性质得出BAD ANM∠=∠，最后利用等角对等边即可证明．CAD ANM解：（1）∠AB＝AC，AD∠BC，BAD CAD∴∠=∠．∠∠CAD＝45°，∴∠=︒；BAD45（2）∠MN//AB，∴∠=∠．BAD ANM∠=∠，BAD CADCAD ANM∴∠=∠，∠AM＝MN．。

直角三角形的分类及其性质一、直角三角形的定义直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角，即90度的角。

直角三角形的其他两个角分别是锐角和钝角。

锐角是指小于90度的角，钝角是指大于90度小于180度的角。

二、直角三角形的性质1.直角三角形的内角和为180度，其中有一个角是90度，所以其他两个角的和必须是90度。

2.在直角三角形中，直角所对的边被称为斜边，它是最长的一条边。

3.直角三角形中，除了斜边以外的两边被称为直角边。

直角边的长度可以通过勾股定理来计算，即直角边的平方和等于斜边的平方。

4.直角三角形的面积可以通过直角边的长度来计算，面积等于直角边的长度之积除以2。

5.直角三角形的两条直角边互相垂直，即它们之间的夹角是90度。

三、直角三角形的分类1.等腰直角三角形：这是一种特殊的直角三角形，其中两条直角边的长度相等。

等腰直角三角形的斜边长度等于直角边长度的平方根的两倍。

2.含30度角的直角三角形：在这种直角三角形中，有一个角是30度。

这种三角形的其他两个角分别是60度和90度。

根据特殊角的三角函数值，可以得出这种三角形中各边的长度比例。

3.含45度角的直角三角形：在这种直角三角形中，有一个角是45度。

这种三角形的其他两个角分别是45度和90度。

由于45度角是特殊角，可以通过特殊角的三角函数值来计算各边的长度。

四、直角三角形的应用1.测量和计算：直角三角形在测量和计算中有着广泛的应用，例如测量长度、角度和距离等。

2.建筑设计：在建筑设计中，直角三角形可以用于计算建筑物的尺寸和角度。

3.工程计算：在工程领域，直角三角形可以用于计算力学、电学等方面的参数。

4.导航和航海：在导航和航海中，直角三角形可以用于计算航向和距离。

通过掌握直角三角形的分类和性质，学生可以更好地理解和应用这一重要的几何概念。

习题及方法：1.习题：一个直角三角形的两个直角边分别是6厘米和8厘米，求斜边的长度。

解题方法：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于直角边长度的平方和的平方根。