高中数学第二章点线面的位置关系第5课时直线与平面同步练习新人教A版必修2

高中数学 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习（提高版） 新人教A 版必修2一、选择题（共12小题，每小题 5分，共60分）1．关于空间中点、线、面之间的关系描述正确的是（ ）A ．若直线a 在平面α外，则α//aB ．若点A 在直线a 上，则a A ∈C ．若直线a 与b 不相交，则b a //D ．若b a ⊥，则a 与b 必相交 2．已知直线a 、b ，且a ∥α，b ⊂α，则（ ）A ．a ∥bB ．a 与b 相交C ．a 与b 异面D ．a 与b 平行或异面 3．在正方体1111D C B A ABCD -中，与对角线1BD 异面的棱有（ ）条 A ． 3 B ． 4 C ． 6 D ． 8 4．直线⊥a 平面α，直线a b ⊥，则b 和α的位置关系是（ ）A ．α⊥bB ．b ∥αC ．α⊂bD ．b ∥α或α⊂b 5．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．βαβα⊂⊂n m ,,//n m //⇒ B ．αα//,//n m n m //⇒ C ．n m m =⊂βαβα ,,//n m //⇒ D ．αα⊂n m ,//n m //⇒6．三棱锥A —BCD 的棱长全相等, E 是AD 中点, 则直线CE 与直线BD 所成角的余弦值为（ ）A ．63B.23 C ．633 D ．217．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°8．如下图，⊥PD 矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）对A ．2B ．3C ．4D ．59．下列推断错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面所成的角相等B ．两个平行平面与第三个平面所成的角相等C ．两条平行直线与同一个平面所成的角相等DABCPD ．两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 10．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM ∥平面DE ②CN ∥AF③ED 与AF 成的角为60 ④平面BMD ∥平面AFN其中正确的序号是（ ）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 11．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，在下列命题中正确的是（ ）①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 在空间四边形ABCD 中，CD AB =，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，E 、F 分别为边BC 和AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成的角为 ( )A ． 30B ． 45C ． 60D ． 30或60填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．如图长方体中，32==AD AB ，21=CC ，则二面角C BD C --1的大小为 ． 14．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①n m ⊥ ②βα⊥ ③β⊥m ④α⊥n . 以其中三个作为条件，余下一个作为结论， 请写出正确的一个命题：______________________________.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ， 90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且AB AD PA ==， M 、N 分别为PC 、PB 的中点，则直线BD 与平面ADMN 所成的角为_______.16．以下是关于直线、平面的平行与垂直关系推断：①若b a ⊥，且c a //，则c b ⊥ ②若b a ⊥，且b c ⊥，则c a // ③若βα⊥，且βγ⊥，则γα// ④若α⊥a ，且β⊂a ，则βα⊥ 其中不对的有 ．（只填序号）DA BCEFGA BCDA1B1C1 D1NM PDCBA 三、解答题（共6小题，其中第17小题10分，其他各题12分，共70分）17．( 10分) 在正方体1111D C B A ABCD -中，且O 为底面正方形1111D C B A 的中心． （1）求证：⊥C A 1平面BD C 1； (2 ) 求证：AO ∥平面BD C 1．18．(12分) 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 是PC 的中点，在DE 上任取一点F ，过点F 和AP 作平面交平面BDE 于FG , 求证：GF AP //.19．(12分) 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：MN CD ⊥；（3）若4PDA π∠=，求证：MN ⊥平面PCD C20．( 12分) 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且 DC AB EA ==,F 是BE 的中点. (1)求证：//FD 平面ABC ； (2)求证：⊥AF 平面EDB ．1D 1C 1B 1A D CBAo21．（12分）如图，O 是正方形ABCD 的中心，⊥PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点， 且2=PO ，2=AB ．（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：平面⊥PAC 平面BDE ； （3）求二面角A BD E --的大小．22．（12分）如图，在矩形ABCD 中，33=AB ，3=BC ，沿对角线BD 将BCD ∆折起，使点C移到P 点，且P 在平面ABD 上的射影O 恰好落在AB 上. （1）求证：⊥PB 平面PAD ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；（3）求点A 到平面PBD 的距离；（4）求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值．A B()P C DOAB CD。

点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D A若一组对边平行就决定了共面．在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形，正确；B中同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C中这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就可知D不正确．2．下列说法正确的是()A．都与直线a相交的两条直线确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．过一条直线的平面有无数多个D．两个相交平面的交线是一条线段解析：选C当这两条直线异面时不能确定平面，A错误．两条直线异面，则不能确定平面，B 错误．两个相交平面的交线是一条直线，D错误．3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定()A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对解析：选A∵EF与GH相交，设EF∩GH＝M，∴M∈EF，M∈GH.又∵EF⊂面ABD，GH⊂面BCD，∴M∈面ABD，M∈面BCD，又∵面ABD∩面BCD＝BD，∴M∈BD，故选A.4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．A 1D 1解析：选B CE ⊂平面ACC 1A 1，而BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CE . 5．(2013·河南平顶山高一调研)给定下列四个命题： ①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④解析：选D ①错，两个平面相交时，也有无数个公共点．③错，比如a ⊥α，b ⊂α，c ⊂α，显然有a ⊥b ，a ⊥c ，但b 与c 也可能相交．故②④正确．6．正方体AC 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( ) A.12 B.32 C.63D.62解析：选C 连接BD 1，则BD 1∥EF ，∠BD 1A 是直线AD 1与EF 所成的角．∵AB ⊥AD 1，∴cos ∠BD 1A ＝AD 1BD 1＝63.7．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23＝22， 解析：选C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F ，则EF ＝12，BEBF ＝32，∴△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33. 8．(2013·湖南师大附中高一检测)设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中正确的说法个数是( )A ．3B ．2C．1 D．0解析：选B垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°.又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.10．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度()A．13 B.151C．12 3 D．15解析：选A如图，连AD.∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α.在Rt△ABD中，AD＝AB2＋BD2＝42＋122＝160.在Rt△CAD中，CD＝AC2＋AD2＝32＋160＝13.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可)．答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是________．解析：由平面BCC 1B 1⊥面ABCD 知MN ⊥面ABCD . ∴MN ⊥AB . 答案：垂直13． 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为________．解析：取AC 中点M ，连接EM ，FM ，F 为DC 中点，M 为AC 中点，∴FM ∥AD ，且FM ＝12AD ＝1，同理EM ∥BC 且EM ＝12BC ＝1.△EMF 中作MN ⊥EF 于N . Rt △MNE 中，EM ＝1，EN ＝32， ∴sin ∠EMN ＝32，∠EMN ＝60°，∴∠EMF ＝120°， ∴AD 与BC 所成角为60°. 答案：60°14．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A —BD —C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； 说法正确的命题序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ， 则AE ＝CE ＝22a . 由①知∠AEC ＝90°是直二面角A —BD —C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ， ∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(2012·宁德高一检测)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ，(1)证明：CD ⊥平面P AC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面P AB . 证明：(1)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD .又CD ⊥PC ，P A ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面P AC .(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2. ∵CD ⊥平面P AC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ， ∴CE ∥平面P AB .16．(本小题满分12分)(2012·江西高考)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积．解：(1)证明：由已知可得AE ＝3，BF ＝4，则折叠完后EG ＝3，GF ＝4，又因为EF ＝5，所以可得EG ⊥GF .又因为CF ⊥底面EGF ，可得CF ⊥EG ，即EG ⊥平面CFG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)过点G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G －EFCD 的高，所以所求体积为13S 长方形DEFC ·GO＝13×4×5×125＝16. 17．(本小题满分12分)如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数． 解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′， ∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ， ∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O . ∴OC ⊥平面AOB . 又∵OC ⊂平面AOC ， ∴平面AOB ⊥平面AOC .即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.18．(本小题满分14分)如图所示，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明：(1)∵AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，∴BD ⊥AD . 又∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴D 1D ⊥DB . 又AD ∥D 1D ＝D ，∴BD ⊥平面A 1ADD 1， ∴AA 1⊥BD .(2)如图，连接AC ，A 1C 1，AC 交BD 于O 点，连接A 1O .∵AB ＝2AD ，AD ＝AB 1， ∴A 1B 1＝12AB .∵四棱台底面ABCD 是平行四边形，∴A 1C 1綊12AC ，∴A 1C 1綊OC .∴四边形A 1OCC 1为平行四边形，∴C 1C ∥A 1O ， 又A 1O ⊂平面A 1BD ，C 1C ⊄平面A 1BD ， ∴CC 1∥平面A 1BD .。

人教新课标A版高中数学必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3直线、平面垂直的判定及其性质同步测试共 25 题一、单选题1、下列命题中错误的是（）A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ2、平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有（ ）A.l∥βB.l⊂βC.l与β相交D.以上三种情况都有可能3、在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB,,，将沿BD折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（）A.平面平面ABCB.平面平面BCDC.平面平面BCDD.平面平面ABC4、若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（ ）A.a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c=AB.a⊥b，b∥αC.a∩b=A，b⊂α，a⊥bD.α∥b，b⊥a5、如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（ ）A.过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点B.过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点C.过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点D.过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD6、在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（ ）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD7、ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（）A.平面PAB与平面PAD，PBC垂直B.它们都分别相交且互相垂直C.平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直D.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P﹣BC﹣A的大小为45°D.BD⊥平面PAC9、已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（ ）A.α⊥β，且m⊂αB.m∥n，且n⊥βC.α⊥β，且m∥αD.m⊥n，且n∥β10、PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（ ）①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC．A.①②B.①③C.②③D.②④11、若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能12、如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（）A.3对B.2对C.1对D.4对13、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）A.2对B.3对C.4对D.5对14、如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A.90°B.60°C.45°D.30°15、已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（ ）（1）MN⊥AB；（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；（3）平面CDM⊥平面ABN；（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．A.1B.2C.3D.4二、填空题16、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是________17、已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为________18、ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F是AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：①存在点E，使得EF∥平面BCD′；②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．其中正确结论的序号是________ ．（写出所有正确结论的序号）19、把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________ 对．20、如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有________ 对．三、解答题21、三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=， SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．22、如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．23、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．24、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．25、已知三棱锥S﹣ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH．求证：截面EFGH是平行四边形．参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选B【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．2、【答案】D【解析】【解答】∵平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，∴l∥β，l⊂β，l与β相交都有可能，故选D．【分析】利用条件，直接可以得出结论．3、【答案】D【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD.故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB,故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．【分析】中档题，对于折叠问题，要特别注意“变”与“不变”的几何元素，及几何元素之间的关系。

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、学习任务理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以作为推理依据的公理和定理，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．二、知识清单平面的概念与基本性质 点、线、面的位置关系三、知识讲解1.平面的概念与基本性质平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为 ，且横边长等于其邻边长的 倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．平面的表示为了表示平面，常把希腊字母 等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面 、平面 ；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面 、平面 或者平面 ．集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线 在平面 内，记作 ；直线 不在平面 内，记作 ；直线 与 相交于点 ，记作 ；平面 与平面 相交于直线 ，记作 ．平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．45∘2α,β,γαβABCD AC BD A αA ∈αA αA ∉αl αl ⊂αl αl ⊄αl m A l ∩m =A αβa α∩β=a A ∈l A ∈α例题：符号语言：，，且 ，．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：，且 ，且 ．空间位置关系与几何量的基础平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．A∈l B∈l A∈αB∈α⇒l⊂αP∈αP∈β⇒α∩β=l P∈l用符号语言表示下列语句．（1）点 在平面 外，点 在平面 内，直线 经过点 ，；（2） 与 交于 ， 与 交于 ．解：（1），，，．（2），．AαBαl A B平面ABD平面BCD BD平面ABC平面ADC ACa∉αB∈αA∈l B∈l平面ABD∩平面BCD=BD平面ABC∩平面ADC=AC如图所示，在四面体 中，、、、 分别是 、、、 上的点，且 ，求证 ，， 三点共线．ABCD E F G H AB AD BC CDEF∩GH=PB D P2.点、线、面的位置关系证明：因为 ，，所以 ，同理，，又，所以 ，，而 ，所以 ，即 ，， 三点共线．E ∈ABF ∈AD EF ⊂平面 ABD GH ⊂平面 BCD EF ∩GH =P P ∈平面 ABD P ∈平面 BCD 平面 ABD ∩平面 BCD =BD P ∈直线BD B D P 已知：如图，，，．求证：直线 ，， 在同一平面内．证法一：（同一法）因为 ，所以 和 确定一个平面 ．　因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．同理可证 ．又 ，，所以 ．因此，直线 ，， 在同一个平面内．证法二：（重合法）因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．又因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．同理可证得 ，，，．所以不共线的三个点 ，， 在平面 内，又在平面 内．所以平面 和平面 重合，即直线 ，， 在同一平面内．∩=A l 1l 2∩=B l 2l 3∩=C l 1l 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3B ∈l 2⊂αl 2B ∈αC ∈αB ∈l 3C ∈l 3⊂αl 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3l 2l 3βA ∈l 2⊂αl 2A ∈αA ∈l 2⊂βl 2A ∈βB ∈αB ∈βC ∈αC ∈βA B C αβαβl 1l 2l 3结合空间想象回答下列问题：（1） 个平面可以分空间为______部分；（2） 个平面可以分空间为______部分；（3）正方体的各个面延伸后将空间分成______部分．解：（1），；（2），，，；（3）．对于（1）：当 个平面平行时，分成 部分；当两个面相交时，分成 部分；对于（2）：当 个平面两两平行时，分成 部分；当其中两个平面平行，和另外一个平面相交或者三个平面相交于一条直线时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线两两平行时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线相交于一点时，分成 部分；对于（3）：首先，将正方体的四个侧面延伸，可知将空间分成 部分，然后，将正方体的上下底面延伸可知将之前部分分成了 层，每层 部分，共 部分 ．233446782723434637389393×9=27若直线 、、 相交于一点，则这 条直线可能确定的平面有（ ）A． 个 B． 个 C．无数个 D． 个或 个解：D当 、、 三线共面时，平面只有 个；当三线不共面时，任意两条可确定一个平面，共 个．a b c 30113a b c 13描述：例题：点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线 在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线 ，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线．直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作 ．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内 直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行 直线与平面没有公共点．平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行 两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交 两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．A αA ∈αA αA ∉αa ⊥b 如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交解：C可根据题意作图判断，如图所示，分别为两个平面平行、相交的情况 ．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行解：C如图所示，可能相交，也可能异面，若两直线平行，则此两条直线确定一个平面，且原两条异面直线均在此平面内，故矛盾 ．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）若直线 不平行于平面 ，且 ，则（ ）A． 内的所有直线与 异面 B． 内不存在与 平行的直线 C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内的直线与 都相交解：B依题意，设直线 ，如图． 内的直线若经过点 ，则与直线 相交；若不经过点 ，则与直线 是异面直线，但不可能与 平行．l αl ⊄ααl αl αl αl l ∩α=A αA l A l l 答案：解析：1. 如图，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 上的动点，则直线 、 的位置关系是 ．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直C和点 确定平面 ，且 平面 ， 判定 与平面 的位置关系，只需判定直线 的位置关系即可．ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD M D D 1N A 1B 1NO AM ()A 1B 1O O A 1B 1NO ⊂O A 1B 1∴MA O A 1B 1NO 、AM 答案：2. 平行六面体 中，既与 共面也与 共面的棱的条数为 A ．B ．C ．D ．C ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C C 1()3456答案：3. 正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点．那么，正方体的过 、 、 的截面图形是 A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形D ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P Q R ()4. 下列正方体或正四面体中，，，， 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 P Q R S ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系．知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．梳理直线l与平面α的位置关系(1)直线l在平面α内(l⊂α)．(2)直线l在平面α外(l⊄αl与平面α相交(l∩α＝A)l与平面α平行(l∥α)知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线)1．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(×)2．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．(×)3．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(×)类型一直线与平面的位置关系例1(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内(2)下列四个命题中正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0B．1C．2D．3考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案(1)B(2)B解析(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确，故选B.反思与感悟在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．跟踪训练1(1)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案D解析直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α，故选D.(2)一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案D解析当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个；当l与α斜交时，直线l 上到α的距离相等且不为0的点有两个．类型二平面与平面的位置关系命题角度1空间平面和平面位置关系的判断例2在以下三个命题中，正确的命题是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交．A．①②B．②③C．③D．①③考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平面之间的位置关系判定答案C解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D 与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错．命题③是正确的，故选C.反思与感悟利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法．跟踪训练2(1)一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面() A．平行B．相交C．平行或重合D．平行或相交考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平面之间的位置关系判定答案D解析当三点在平面α的同侧时，如图1所示，由点A，B，C到平面α的距离相等，设到α的点为D，E，F，则有构成三个长方形ABED，BCFE，CADF，于是就有AB∥DE，BC∥EF，因为两相交直线平行，所以α∥β.当三点在平面β的异侧时，如图2所示也成立．(2)已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．命题角度2两平面位置关系的作图例3(1)画出两平行平面；(2)画出两相交平面．考点平面与平面之间的位置关系题点图形语言及图形语言与符号语言的互化解两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示；第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步，画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画)，如图e所示．引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交．解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面．考点平面与平面之间的位置关系题点图形语言及图形语言与符号语言的互化解如图所示(不唯一)．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．2．下列说法中正确的是()A．两个平面可以只有一个交点B．一条直线与一个平面最多有一个公共点C．两个平面有一个公共点，则它们相交或重合D．两个平面有三个公共点，它们一定重合考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平面之间的位置关系判定答案C解析两平面有公共点，包括两平面重合或相交．3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为() A．平行B．直线在平面内C．相交或直线在平面内D．平行或直线在平面内考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案D4．两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b() A．一定与平面β都相交B．至少一条与平面β相交C．至多一条与平面β相交D．可能与平面β都不相交考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平面之间的位置关系判定答案B解析设α∩β＝c，若直线a，b都不与β相交，则a∥c，b∥c，∴a∥b，这与直线a，b相交矛盾，故直线a，b中至少一条与β相交．5．若三个平面两两相交，则它们交线的条数为________．考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案1或3解析若三个平面两两相交，有可能交于一条直线，也有可能出现3条不同的交线．1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称.一、选择题1．直线在平面外是指()A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多只有一个公共点考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案D解析直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交通称为直线在平面外，所以直线与平面最多只有一个公共点．2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案A解析延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．3．下列说法正确的是()A．如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行B．两个平面相交于唯一的公共点C．如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点D．平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案C解析在A中，如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内，故A错误；在B中，两个平面相交于一条直线，故B错误；在C 中，如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则这条直线在平面内，它们必有无数个公共点，故C正确；在D中，当平面外的一条直线与平面相交时，则平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行，故D错误．故选C.4．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是()A．l与β相交B．l与β平行C．l在β内D．无法判定考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案B解析∵α∥β，∴α与β无公共点．∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β.5．若平面α与β的公共点多于两个，则()A．α，β可能只有三个公共点B．α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C．α，β一定有无数个公共点D．以上均不正确考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平面之间的位置关系判定答案C解析若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故选C.6．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案D解析通过观察正方体，可知b与α相交或b⊂α或b∥α.故选D.7．下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个考点线、面关系的其他综合问题题点线面关系的其他综合问题答案B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误．8．下列说法中正确的个数是()①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A．0B．1C．2D．3考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案B解析①错误，平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线．②正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交．③错误，直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行．④错误，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β.二、填空题9．已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．其中正确的序号是____________．考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案③解析①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；④错，a与β也可能平行．10．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平面之间的位置关系判定答案相交解析∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．11．下列说法中正确的是________．(填序号)①若直线a不在平面α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两条直线可以相交．考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案③④解析当a∩α＝A时，a⊄α，故①错；当直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；若l∥α，则l与α无公共点，则l与α内任何一条直线都无公共点，故③正确；在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与B1D1相交，且都与平面ABCD平行，故④正确．故答案为③④. 12．互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分．考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案8解析互不重合的三个平面将空间分成五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分．即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分．所以最多将空间分成8部分．三、解答题13.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB 与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题解平面ABC与平面β的交线与l相交．证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线．设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交．四、探究与拓展14．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案b⊂α，b∥α或b与α相交解析b与α有如下情况：15．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出l的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题解(1)如图所示，连接DM 并延长交D 1A 1的延长线于点Q ，连接QN ，直线QN 即为直线l .(2)QN ∩A 1B 1＝P ，由已知得△MA 1Q ≌△MAD ，∴A 1Q ＝AD ＝a ＝A 1D 1，∴A 1是QD 1的中点．又A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14C 1D 1＝14a ，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含答案解析）一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.【答案】B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4．如图2221，四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()图2221A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.【答案】B5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2123，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM═∥A1B1，∵A1B1═∥C1D1，∴EM═∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB═∥C1F，∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．如图2124，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．图2124【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD═∥EA，EA═∥FB，所以HD═∥FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.10．如图2125是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图2125①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝21.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×43＝23.。

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、学习任务认识和理解空间中线面垂直的有关判定定理和性质定理，能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能证明有关性质定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．二、知识清单空间的垂直关系 点面距离三、知识讲解1.空间的垂直关系直线与平面垂直的判定如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直．记作．直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，．l αl αl ⊥αl ααl P a b ⊂αa ∩b =P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥β例题：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：，，，．a ⊥αb ⊥α⇒a ||b α⊥βα∩β=CD AB ⊂αAB ⊥CD ⇒AB ⊥β下列命题中，正确的序号是______．①若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；②若直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；③若直线 不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线；④若直线 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直；⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．解：④⑤当直线 与平面 内的无数条平行直线垂直时， 与 不一定垂直，所以①不正确；当 与 内的一条直线垂直时，不能保证 与平面 垂直，所以②不正确；当 与 不垂直时，可能与 内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．l αl ⊥αl αl ⊥αl ααl l ααl l αl αl αl αl αl α如图，三棱锥 中，，底面 的斜边为 ， 为 上一点．求证： ．证明：因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．又 ，所以 ．P −ABC P A ⊥平面 ABC Rt△ABC AB F P C BC ⊥AF P A ⊥平面 ABC BC ⊂平面 ABC P A ⊥BC AC ⊥BC AC ∩P A =A BC ⊥平面 P AC AF ⊂平面 P AC BC ⊥AF 如图，已知四棱锥 ，底面 是菱形，，，，点 为 的中点．求证：．P −ABCD ABCD ∠DAB =60∘P D ⊥平面 ABCD P D =AD E AB 平面P ED ⊥平面 P ABAB⊂平面P AB又 ，所以3P C⊥AC C，求点 到平面P A⊥ABCD高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质同步测试共 25 题一、单选题1、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定2、若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A.α内存在直线与l异面B.α内存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交3、若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A. B.1C. D.4、已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（）A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l∥β，则α⊥βC.若l⊥α，l⊥β，则α∥βD.若l⊥α，l⊥β，则α⊥β5、已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为（ ）A. B.C.或24D.或126、下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面7、已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A.b≤a≤cB.a≤c≤bC.c≤a≤bD.c≤b≤a8、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n9、A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（ ）A.0条B.1条C.2条D.3条10、若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（ ）A.MN∥βB.MN与β相交或MN⊊βC.MN∥β或MN⊊βD.MN∥β或MN与β相交或MN⊊β11、点 E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是（ ）A.菱形B.梯形C.正方形D.平行四边形12、给出下列命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行（2）平行于同一平面的两个平面平行（3）垂直于同一直线的两直线平行（4）垂直于同一平面的两直线平行其中正确命题的序号为（ ）A.（1）（2）B.（3）（4）C.（2）（4）D.（1）（3）13、如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（ ）A.①②B.③④C.②③D.①④14、已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）A.若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB.若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC.若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β④平面PAE⊥平面ABC．、已知m、n是两条不重合的直线，1AP= ，过、如图四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD 、如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，________ 时，四边形EFGH为菱形．三、解答题21、如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．22、如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1， E，F，P，Q分别是BC，C1D1， AD1， BD的中点，求证：（1）PQ∥平面DCC1D1（2）EF∥平面BB1D1D．23、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．24、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4（1）求证：BC⊥AC1；（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．25、直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】因为，长方体中相对的平面互相平行，所以，被平面截后，EF,GH平行且相等，GF,EH平行且相等，故四边形的形状为平行四边形，选B。