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A B P 1 P 2 P 3 P 4阅读理解型问题一、专题诠释阅读理解型问题在近几年地全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们地重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查地知识也灵活多样，既考查学生地阅读能力，又考查学生地解题能力地新颖数学题. 二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题地关键是要认真仔细地阅读给定地材料，弄清材料中隐含了什么新地数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新地解题方法，然后展开联想，将获得地新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出地问题.三、考点精讲考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题<2018连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： <1）有一条边对应相等地两个三角形面积之比等于这条边上地对应高之比； <2）有一个角对应相等地两个三角形面积之比等于夹这个角地两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．<S 表示面积） 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P1，P2三等分边AB ，R1，R2三等分边AC ．经探究知＝错误!S △ABC ，请证明． 问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中地拼合成四边形ABCD ，如图2，Q1，Q2三等分边DC ．请探究与S 四边形ABCD 之间地数量关系． 问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB ，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC ．若 S 四边形ABCD ＝1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB ，Q1，Q2，Q3四等分边DC ，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4地一个等式．【分析】问题1：由平行和相似三角形地判定，再由相似三角形面积比是对应边地比地平方地性质可得.A B C 图1P 1 P 2 R 2 R 1 AB图2P 1 P 2R 2R 1D Q 1Q 2AP 1 P 2 P 3BS 1 S 2 S 3S 4问题2：由问题1地结果和所给结论<2）有一个角对应相等地两个三角形面积之比等于夹这个角地两边乘积之比，可得. 问题3：由问题2地结果经过等量代换可求.问题4：由问题2可知S1＋S4＝S2＋S3＝.解：问题1：∵P1，P2三等分边AB ，R1，R2三等分边AC ，∴P1R1∥P2R2∥BC ．∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC ，且面积比为1:4:9． ∴＝错误!S △ABC ＝错误!S △ABC 问题2：连接Q1R1，Q2R2，如图，由问题1地结论，可知∴＝错误!S △ABC ，＝错误!S △ACD∴＋＝错误!S 四边形ABCD由∵P1，P2三等分边AB ，R1，R2三等分边AC ，Q1，Q2三等分边DC ， 可得P1R1:P2R2＝Q2R2:Q1R1＝1:2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1． ∴∠P1R1A ＝∠P2R2A ，∠Q1R1A ＝∠Q2R2A ．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2． 由结论<2），可知＝． ∴＝＋＝错误!S 四边形ABCD ． 问题3：设＝A ，＝B ，设＝C ，由问题2地结论，可知A ＝错误!，B ＝错误!．A ＋B ＝错误!(S 四边形ABCD ＋C>＝错误!(1＋C>． 又∵C ＝错误!(A ＋B ＋C>，即C ＝错误![错误!(1＋C>＋C]． 整理得C ＝错误!，即＝错误!问题4：S1＋S4＝S2＋S3．【点评】该种阅读理解题给出新地定理，学生需要学会新定理，借助于试题告诉地信息<结论1、2）来解决试题考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 <2018北京）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O.若梯形ABCD 地面积为1，试求以AC ，BD ，地长度为三边长地三角形地面积.ABC图2P 1 P 2R 2R 1DQ 1Q 2C小伟是这样思考地：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散地线段，构造一个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折，旋转，平移地方法，发现通过平移可以解决这个问题.他地方法是过点D 作AC 地平行线交BC 地延长线于点E ，得到地△BDE 即是以AC ，BD ，地长度为三边长地三角形<如图2）.参考小伟同学地思考问题地方法，解决下列问题： 如图3，△ABC 地三条中线分别为AD ，BE ，CF.<1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF 地长度为三边长地一个三角形<保留画图痕迹）；<2）若△ABC 地面积为1，则以AD ，BE ，CF 地长度为三边长地三角形地面积等于_______.【分析】：根据平移可知，△ADC ≌△ECD ，且由梯形地性质知△ADB 与△ADC 地面积相等，即△BDE 地面积等于梯形ABCD 地面积．<1）分别过点F 、C 作BE 、AD 地平行线交于点P ，得到地△CFP 即是以AD 、BE 、CF 地长度为三边长地一个三角形．<2）由平移地性质可得对应线段平行且相等，对应角相等．结合图形知以AD ，BE ，CF 地长度为三边长地三角形地面积等于△ABC 地面积地．解答：解：△BDE 地面积等于1．<1）如图．以AD、BE 、CF 地长度为三边长地一个三角形是△CFP ．<2）以AD 、BE 、CF 地长度为三边长地三角形地面积等于．【点评】：本题考查平移地基本性质：①平移不改变图形地形状和大小；②经过平移，对应点所连地线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论<2009河北）如图9-1至图9-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻地位置，⊙O 地周长为c ．阅读理解：<1）如图9-1，⊙O 从⊙O 1地位置出发，沿AB 滚动到⊙O 2地位置，当AB = c 时，⊙O 恰好自转1周．<2）如图9-2，∠ABC 相邻地补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A -B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O 1地位置旋转到图9-1 ABDAB C图9-3⊙O 2地位置，⊙O 绕点B 旋转地角∠O 1BO 2 =n °，⊙O 在点B 处自转周．实践应用：<1）在阅读理解地<1）中，若AB =2c ，则⊙O 自转周；若AB = l ，则⊙O 自转周．在阅读理解地<2）中，若∠ABC =120°，则⊙O 在点B 处自转周；若∠ABC =60°，则⊙O 在点B 处自转_____周．<2）如图9-3，∠ABC=90°，AB=BC=c ．⊙O 从⊙O 1地位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动到⊙O 4地位置，⊙O 自转周．拓展联想：<1）如图9-4，△ABC 地周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D 地位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 地位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．<2）如图9-5，多边形地周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 地位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 地位置，直接．．写出⊙O 自转地周数．【分析】：<1）当AB = c 时，⊙O 恰好自转1周．<2）如图9-2，∠ABC 相邻地补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B 处，必须由⊙O 1地位置旋转到⊙O 2地位置，⊙O 绕点B 旋转地角∠O 1BO 2 =n °，⊙O 在点B 处自转周，通过上面可以知道圆地转动规律.解：实践应用<1）2；．；．<2）．拓展联想<1）∵△ABC 地周长为l ，∴⊙O 在三边上自转了周．又∵三角形地外角和是360°， ∴在三个顶点处，⊙O 自转了<周）．∴⊙O 共自转了<+1）周． <2）+1．【评析】：本题以课题学习地形式呈现，从简单地“圆在直线段和角外部滚动地周数”地数学事实出发，循序渐进，层层深入，引导学生在解决问题地过程中，不断产生认知发展，进而在不知不觉中提炼归纳出一般性地结论，使自己对知识地认识得到升华考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题<2018南京）问题情境:已知矩形地面积为a<a 为常数，a ＞0），当该矩形地长为多少时，它地周长最小？最小值是多少？数学模型:设该矩形地长为x ，周长为y ，则y 与x 地函数关系式为．A图9-4图9-5探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数地经验，先探索函数地图象性质．②观察图象，写出该函数两条不同类型地性质；③在求二次函数y=ax2＋bx＋c<a≠0）地最大<小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0>地最小值．解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中地问题，直接写出答案．【分析】⑴将x值代入函类数关系式求出y值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.⑵仿⑴③===所以, 当=0，即时，函数地最小值为解答:⑴①函数地图象如图．②本题答案不唯一，下列解法供参考．当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数地最小值为2．③===当=0，即时，函数地最小值为2．⑵仿⑴③===当=0，即时，函数地最小值为．⑵当该矩形地长为时，它地周长最小，最小值为．【点评】：画和分析函数地图象,借助图像分析函数性质.类比一元二次方程地配方法求函数地最大(小>值．考点五、阅读图表等统计资料，提供有关信息解决相关问题(2018无锡>十一届全国人大常委会第二十次会议审议地个人所得税法修正案草案(简称“个税法草案”>，拟将现行个人所得税地起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级500注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分地金额．“速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定地一个数．例如：按现行个人所得税法地规定，某人今年3月地应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5％+1500×10％十600×15％=265(元>．方法二：用“月应纳税额x适用税率一速算扣除数”计算，即2600×15％一l25=265(元>.(1>请把表中空缺地“速算扣除数”填写完整；(2>甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元?(3>乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴地税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款地具体数额为多少元?【分析】(1> 当1500<x≤4500时, 应缴个人所得税为当4500<x≤9000时, 应缴个人所得税为(2> 缴了个人所得税1060元, 要求应缴税款, 只要求出其适应哪一档玩税级, 直接计算即可.(3> 同(2>, 但应清楚“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分地金额, 而“个税法草案”拟将现行个人所得税地起征点由每月2000元提高到3000元, 依据此可列式求解.解答:(1>75, 52575因为1060元在第3税级, 所以有20%x-525=1060, x=7925(元> 答: 他应缴税款7925元.(3>缴个人所得税3千多元地应缴税款适用第4级, 假设个人收入为k, 刚有20%(k-2000> -375=25%(k-3000>-975 k=19000所以乙今年3月所缴税款地具体数额为(19000-2000>×20%-375=3025(元>【考点】统计图表地分析，并借助于事例理解数量之间地关系，解决实际问题.一、真题演练1、(2018菏泽市>定义一种运算☆，其规则为a☆b=错误!＋错误!，根据这个规则、计算2☆3地值是< ） A. B. C.5 D.62、<2018达州）18、<6分）给出下列命题：命题1：直线与双曲线有一个交点是<1，1）；命题2：直线与双曲线有一个交点是<，4）；命题3：直线与双曲线有一个交点是<，9）；命题4：直线与双曲线有一个交点是<，16）；……………………………………………………<1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题<为正整数）；<2）请验证你猜想地命题是真命题．3、(2018德州>观察计算当，时，与地大小关系是_________________．当，时，与地大小关系是_________________．探究证明如图所示，为圆O地内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．<1）分别用表示线段OC，CD；<2）探求OC与CD表达式之间存在地关系<用含a，b地式子表示）．归纳结论根据上面地观察计算、探究证明，你能得出与地大小关系是： ____________．实践应用要制作面积为1平方M地长方形镜框，直接利用探究得出地结论，求出镜框周长地最小值．第二部分练习部分一、选择题1.为了求地值，可令S ＝，则2S＝，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理计算出地值是< ）A. B. C. D.2．阅读材料，解答问题．例用图象法解一元二次不等式：．解：设，则是地二次函数．抛物线开口向上．又当时，，解得．由此得抛物线地大致图象如图所示．A BCO D观察函数图象可知：当或时，．地解集是：或．<1）观察图象，直接写出一元二次不等式：地解集是____________；<2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．<大致图象画在答题卡上）3.阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰地距离分别为，腰上地高为h，连结AP ，则即：<定值）<1）理解与应用如图，在边长为3地正方形ABC中，点E为对角线BD上地一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN地长.<2）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等到边三角形”，那么P地位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P 到各边地距离分别为，等边△ABC地高为h ，试证明：<定值）.<3）拓展与延伸若正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边地距离为，请问是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值.4.阅读材料：如图1，过△ABC 地三个顶点分别作出与水平线垂直地三条直线，外侧两条直线之间地距离叫△ABC 地“水平宽”(a>，中间地这条直线在△ABC 内部线段地长度叫△ABC 地“铅垂高(h>”.我们可得出一种计算三角形面积地新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积地一半.xC Oy ABD11AB P Ch r 1r 2r 3 P B M C解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4>,交x轴于点A(3,0>，交y轴于点B.<1）求抛物线和直线AB地解读式；<2）点P是抛物线(在第一象限内>上地一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C 时，求△CAB地铅垂高CD及；<3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点地坐标；若不存在，请说明理由.5.阅读下面地材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行地定义.下面就两个一次函数地图象所确定地两条直线，给出它们平行地定义：设一次函数地图象为直线，一次函数地图象为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行.解答下面地问题：<1）求过点且与已知直线平行地直线地函数表达式,并画出直线地图象；<2）设直线分别与轴、轴交于点、，如果直线：与直线平行且交轴于点，求出△地面积关于地函数表达式.真题演练答案1、A2、解：<1）命题：直线与双曲线有一个交点是<，）…………………………………………3分<2）将<，）代入直线得：右边=，左边=，∴左边=右边，∴点<，）在直线上，同理可证：点<，）在双曲线上，∴直线与双曲线有一个交点是<，）3、观察计算:>，=. 探究证明： <1），∴AB 为⊙O 直径,∴.ABCO D，，∴∠A=∠BCD.∴△∽△.∴.即,∴.<2）当时,,=；时,,>．结论归纳:．实践应用设长方形一边长为M,则另一边长为M,设镜框周长为lM，则≥．当,即<M）时,镜框周长最小．此时四边形为正方形时,周长最小为4M.第二部分练习部分答案1、D2、<1）．<2）解：设，则是地二次函数．抛物线开口向上．又当时，，解得．由此得抛物线地大致图象如图所示．观察函数图象可知：当或时，．地解集是：或．3、解：<1）如图，连接AC交BD于O，在正方形ABCD中，AC⊥BD∵BE=BC．∴CO为等腰△BCE腰上地高，∴根据上述结论可得 FM+FN=CO而CO=AC=∴FM+FN=<2）如图，设等边△ABC地边长为，连接PA，BP，PC，则S△BCP+S△ACP+S△ABP=S△ABC即∴<3）…+是定值．…+<为正边形地边心距）4、(1>设抛物线地解读式为：把A<3,0）代入解读式求得所以设直线AB地解读式为：由求得B点地坐标为把，代入中解得：所以(2>因为C点坐标为(１,4>所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方单位>(3>假设存在符合条件地点P，设P点地横坐标为x，△PAB地铅垂高为h，则由S△PAB =S△CAB得：化简得：解得，将代入中，解得P 点坐标为5、解：<1）设直线l地函数表达式为y＝k x＋b.∵直线l与直线y＝—2x—1平行，∴k＝—2.∵直线l过点<1，4），∴—2＋b ＝4，∴b ＝6.∴直线l地函数表达式为y＝—2x＋6.直线地图象如图.(2>∵直线分别与轴、轴交于点、，∴点、地坐标分别为<0，6）、<3，0）.∵∥,∴直线为y＝—2x+t.∴C 点地坐标为.∵t＞0,∴.∴C点在x轴地正半轴上.当C点在B 点地左侧时，;当C点在B点地右侧时，.∴△地面积关于地函数表达式为<5题）申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
专题四 阅读理解问题1．(改编题)定义新运算：ab ＝a (b －1)，若a ，b 是关于一元二次方程x 2－x ＋14m ＝0的两实数根，则bb －aa 的值为( B )A ．－1B ．0C ．1D ．22．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P (3,60°)或P (3，－300°)或P (3,420°)等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是( D )A ．Q (3,240°)B ．Q (3，－120°)C ．Q (3,600°)D ．Q (3，－500°)3．定义[x ]表示不超过实数xy ＝[x ]的图象如图所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( A )A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D ．2或－ 24．定义运算：a ⊗b ＝a (1－b )．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝1，则(a ⊗a )＝(b ⊗b )；④若b ⊗a ＝0，则a ＝0或b ＝1.其中结论正确的序号是( D )A ．②④B ．②③C ．①④D ．①③5．(2018·某某)阅读材料：若a b＝n ，则b ＝log Na ，称b 为以a 为底N 的对数．例如23＝8，则log 82＝log232＝3.根据材料填空：log 93＝__2__.6．(原创题)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 为二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，那么当x ＝1时，二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 10 x －1的值为__0__.7．(改编题)定义：在平面直角坐标系xOy 中，任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的“直角距离”为d (A ，B )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|；已知点A (1,1)，那么d (A ，O )＝__2__.8．已知以点C (a ，b )为圆心，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.例如：已知以点A (2,3)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －3)2＝4，则以原点为圆心，过点P (1,0)的圆的标准方程为__x 2＋y 2＝1__.9．设a ，b 是任意两个实数，规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b a a ＞0，a －b a ≤0.如1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x 2＋1)⊕(x －1)＝x －1x 2＋1.(因为x 2＋1＞0) 参照上面材料，解答下列问题： (1)2⊕4＝__2__，(－2)⊕4＝__－6__；(2)若x ＞12，且满足(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x )，求x 的值．解：(2)∵x>12，∴2x －1＞0，∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝4x 2－12x －1＝2x ＋12x －12x －1＝2x＋1，(－4)⊕(1－4x )＝－4－(1－4x )＝－4－1＋4x ＝－5＋4x.∴2x ＋1＝－5＋4x ，解得x ＝3.10．(2018·内江)对于三个数a ，b ，c 用M {a ，b ，c }表示这三个数的中位数，用max{a ，b ，c }表示这三个数中最大数，例如：M {－2，－1,0}＝－1，max{－2，－1,0}＝0，max{－2，－1，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥－1，－1a ＜－1.解决问题：(1)填空：M {sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝__sin__45°__，如果max{3,5－3x,2x －6}＝3，则x 的取值X 围为__23≤x≤92__；(2)如果2·M {2，x ＋2，x ＋4}＝max{2，x ＋2，x ＋4}，求x 的值； (3)如果M {9，x 2,3x －2}＝max{9，x 2,3x －2}，求x 的值．解：(2)当x ＋4＞x ＋2＞2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋2，max {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，∴2·(x ＋2)＝x ＋4，解得x ＝0；当2＞x ＋4＞x ＋2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，max {2，x ＋2，x ＋4}＝2，∴2·(x ＋4)＝2，解得x ＝－3，当x ＋4＞2＞x ＋2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝2，max {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，∴2·2＝x ＋4，解得x ＝0；所以综上所述，x 的值为0或－3；(3)∵将M {9，x 2,3x －2}中的三个元素分别用三个函数表示，即y ＝9，y ＝x 2，y ＝3x －2，在同一个直角坐标系中表示如下：由几个交点划分区间，分类讨论：当x≤－3时，可知M {9，x 2,3x －2}＝9，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得x 2＝9，x ＝±3，x ＝3(舍)，∴x ＝－3；当－3＜x＜1时，可知M {9，x 2,3x －2}＝x 2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得x 2＝9，∴x ＝±3(舍)；当1≤x≤2时，可知M {9，x 2,3x －2}＝3x －2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得3x －2＝9，∴x ＝113(舍)；当2＜x≤3时，可知M {9，x 2,3x －2}＝x 2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得x 2＝9，∴x ＝±3，x ＝－3(舍)，∴x ＝3；当3＜x≤113时，可知M {9，x 2,3x －2}＝9，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得x 2＝9，∴x ＝±3(舍)；当x ＞113时，可知M {9，x 2,3x －2}＝3x －2，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得3x －2＝x 2，∴x 1＝1(舍)；x 2＝2(舍)．综上所述，满足条件的x 的值为3或－3.11．(2018·某某)【阅读教材】 宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN ＝2)第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图③中所示的AD 处．第四步，展平纸片，按照所得的点D 折出DE ，使DE ⊥ND ，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】(1)图③中AB ＝__5__(保留根号)；(2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；(3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．【实际操作】(4)结合图④.请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．解：(2)四边形BADQ是菱形．理由如下：∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD，∴∠BQA＝∠QAD，由折叠得：∠BAQ＝∠DQA，AB＝AD，∴∠BQA＝∠BAQ，∴BQ＝AB，∴BQ＝AD，∵BQ∥AD，∴四边形BADQ是平行四边形．∵AB ＝AD，∴四边形BADQ是菱形；(3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE，以黄金矩形BCDE为例，理由如下：∵AD＝5，AN＝AC＝1，∴CD＝AD－AC＝5－1，又∵BC＝2，∴CDBC＝5－12，故矩形BCDE是黄金矩形；(4)如图，在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形长GH＝5－1，宽BG＝3－5，BGGH＝3－55－1＝5－12.12．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.【特例探索】(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝__25__，b＝__25__；如图2，当∠ABE ＝30°，c＝4时，a＝__213__，b＝__27__；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；【拓展应用】(3)如图4，在▱ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，ABAF 的长．解：(2)猜想：a 2，b 2，c 2三者之间的关系是：a 2＋b 2＝5c 2，证明：如图3，连接EF ，∵AF ，BE 是△ABC 的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥AB ，且EF ＝12AB ＝12c ，∴PE PB ＝PF PA ＝12，设PF ＝m ，PE ＝n 则AP ＝2m ，PB ＝2n ，在Rt△APB 中，(2m )2＋(2n )2＝c 2①，在Rt△APE 中，(2m )2＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22②，在Rt △BPF 中，m 2＋(2n )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22③，由①得：m 2＋n 2＝c 24，由②＋③得：5(m2＋n 2)＝a 2＋b 24，∴a 2＋b 2＝5c 2；(3)如图4，连接AC ，EF 交于H ，AC 与BE 交于点Q ，设BE 与AF 的交点为P ，∵点E ，G 分别是AD ，CD 的中点，∴EG ∥AC ，∵BE ⊥EG ，∴BE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝25，∴∠EAH ＝∠FCH ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，BF ＝12BC ，∴AE ＝BF ＝CF ＝12AD ＝5，∵AE ∥BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴EF ＝AB ＝3，AP ＝PF ，在△AEH 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAH ＝∠FCH ，∠AHE ＝∠FHC ，AE ＝CF ，∴△AEH ≌△CFH ，∴EH ＝FH ，∴EP ，AH是△AFE 的中线，由(2)的结论得：AF 2＋EF 2＝5AE 2，∴AF 2＝5(5)2－EF 2＝16，∴AF ＝4.。
2017中考数学阅读理解型问题专题复习一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.谈谈一般阅读理解题的解题技巧。
例1(南通市2003年中考试卷第29题)：某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售。
现有三家运输公司可供选择，这三家公司提供的信息如下：解答下列问题：(1)若乙、丙公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求A、B两市的距离(精确到个位);(2)如果A、B两市的距离为S千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么要使果品公司支付的总费用(包装与装卸及费用、运输费用及损耗三项之和)最小，应选择哪家公司?分析：本题主要考查函数的应用以及分析问题和解决问题的能力，本题的得分率为0.38。
主要错误有：(1)没有完全理解表中各元素之间的关系就开始解题，(2)第2问中的距离S用第1问的结果代替，失误的原因:看图识表的能力及对情境的理解较差，对问题的探究能力较弱。
例2 某市出租车的起步价是7元(起步价是指不超过3km行程的出租车价格)。
超过3km行程后，其中3km的行程按起步价计费，超过部分按每公理1.6元计费，如果仅去时乘出租车而回程时不乘坐，那么顾客还需付回程的空驶费，按每公理0.8元计算(即实际按每公理2.4元计费)。
例如：小文从市中心A处乘出租车去相距5km的B 镇，如果他仅去时乘出租车(回程另行考虑)，则应付出租车的车资为:7+(5-3)×2.4=11.8(元);如果他往返都乘同一辆出租车，则实际行程为10km，应付车资为:7+(5×2-3)×1.6=18.2(元)。
阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．CD EBA22如：<0 >＝<0.48 >＝0，<0.64 >＝<1.493 >＝1，<2 >＝2，<3.5 >＝<4.12 >＝4，… 试解决下列问题：（1）填空：①<π>＝________（π为圆周率）；②如果<2x －1>＝3，则实数x 的取值范围为________________；（2）①当x ≥0，m 为非负整数时，求证：<x ＋m >＝m ＋< x >②举例说明<x ＋y >＝<x >＋<y >不恒成立；（3）求满足<x >＝34x 的所有非负实数x 的值； （4）设n 为常数，且为正整数，函数y ＝x2－x ＋41的自变量x 在n ≤x ＜n ＋1范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ，满足<k >＝n 的所有整数k 的个数记为b ．求证：a ＝b ＝2n ．22如：<0 >＝<0.48 >＝0，<0.64 >＝<1.493 >＝1，<2 >＝2，<3.5 >＝<4.12 >＝4，… 试解决下列问题：（1）填空：①<π>＝________（π为圆周率）；②如果<2x －1>＝3，则实数x 的取值范围为________________；（2）①当x ≥0，m 为非负整数时，求证：<x ＋m >＝m ＋< x >②举例说明<x ＋y >＝<x >＋<y >不恒成立；（3）求满足<x >＝34x 的所有非负实数x 的值； （4）设n 为常数，且为正整数，函数y ＝x2－x ＋41的自变量x 在n ≤x ＜n ＋1范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ，满足<k >＝n 的所有整数k 的个数记为b ．求证：a ＝b ＝2n ．解：（1）①3 ································································································· 1分②47≤x ＜49 ················································································ 2分（2）①证明：方法一：设<x >＝n ，则n －21≤x ＜n ＋21，n 为非负整数··································· 3分 又(n ＋m )－21≤x ＋m ＜(n ＋m )＋21，且n ＋m 为非负整数 ∴<x ＋m >＝n ＋m ＝m ＋< x > ·························································· 4分 方法二：设x ＝k ＋b ，k 为x 的整数部分，b 为其小数部分 1°当0≤b ＜21时，< x >＝k ∴m ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分 ∴<m ＋x >＝m ＋k∴<x ＋m >＝m ＋< x > ···································································· 3分2°当b ≥21时，< x >＝k ＋1 则m ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分 ∴<x ＋m >＝m ＋k ＋1，∴<m ＋x >＝m ＋< x >综上所述，<x ＋m >＝m ＋< x > ························································ 4分②举反例：<0.6 >＋<0.7 >＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7 >＝<1.3 >＝1∴<0.6 >＋<0.7 >≠<0.6＋0.7 >∴<x ＋y >＝<x >＋<y >不恒成立 ······················································· 6分（3）方法一：作y ＝<x >，y ＝34x 的图象，如图所示··············································· 7分 （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）y ＝<x >的图象与y ＝34x 的图象交于点（0，0），点（43，1），点（23，2）∴x ＝0，43，23······························· 8分 方法二：∵x ≥0，34x 为整数，设34x ＝k ，k 为整数 则x ＝43k ，∴<43k >＝k∴k －21≤43k＜k ＋21，k ≥0 ·············· 7分∵0≤k≤2，∴k ＝0，1，2∴x ＝0，43，23··········································································· 8分 （4）∵函数y ＝x2－x ＋41＝(x －21)2，n 为整数 当n ≤x ＜n ＋1时，y 随x 的增大而增大 ∴(n －21)2≤y ＜(n ＋1－21)2，即(n －21)2≤y ＜(n ＋21)2① ∴n2－n ＋41≤y ＜n2＋n ＋41，∵y 为整数 ∴y ＝n2－n ＋1，n2－n ＋2，n2－n ＋3，…，n2－n ＋2n ，共2n 个y∴a ＝2n ② ··········································································· 10分 ∵k ＞0，<k >＝n 则n －21≤k ＜n ＋21，∴(n －21)2≤k＜(n ＋21)2③比较①，②，③得：a ＝b ＝2n ······················································ 12分常的四则运算，例如：b b a T =+⨯⨯+⨯=10210)10(，.（1）已知2)11(-=-，T ，1)24(=，T . ①求a ，b 的值； ②若关于m 的不等式组⎩⎨⎧>-≤-p m m T m m T ），（），（234452恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围.（2）若），（），（x y T y x T =对于任意实数x ，y 都成立，（这里），（y x T 和），（x y T 均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？常的四则运算，例如：b b a T =+⨯⨯+⨯=10210)10(，.（1）已知2)11(-=-，T ，1)24(=，T . ①求a ，b 的值； ②若关于m 的不等式组⎩⎨⎧>-≤-p m m T m m T ），（），（234452恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围.（2）若），（），（x y T y x T =对于任意实数x ，y 都成立，（这里），（y x T 和），（x y T 均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？解：（1）①由2)11(-=-，T ，1)24(=，T 得2112)1(1-=-⨯-⨯+⨯b a 和124224=+⨯⨯+⨯b a即⎩⎨⎧=+-=-10242b a b a ，解得⎩⎨⎧==31b a .②由①得y x yx y x T ++=23），（，则不等式组⎩⎨⎧>-≤-p m m T m m T ），（），（234452可化为⎩⎨⎧->-≤-935510p m m ，解得53921p m -<≤-，又不等式组恰好有3个整数解，则35392≤-<p ，解得312-<≤-p . （2）因），（），（x y T y x T =，所以xy bxay y x by ax ++=++22.则)2()2(y x bx ay y x by ax ++=++）（）（，整理得0)2()2(22=-+-y a b x b a . 对于任意实数x ，y 都成立，则02=-b a ，所以b a 2=.设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y＝2017x是闭区间[1，2017]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y＝kx＋b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y＝15x2－45x－75是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．解：（1）是 由反比例函数y ＝2017x的图象可知，当1≤x≤2017时，函数值y 随自变量x 的增大而减少 当x ＝1时，y ＝2017；当x ＝2017时，y ＝1∴当1≤x≤2017时，有1≤y≤2017∴反比例函数y ＝2017x是闭区间[1，2017]上的“闭函数”（2）∵一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”∴根据一次函数的图象与性质，必有：①当k＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧km ＋b ＝m kn ＋b ＝n （m ≠n ） 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝0∴y ＝x②当k ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧km ＋b ＝n kn ＋b ＝m （m ≠n ） 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝m ＋n∴y ＝－x ＋m ＋n故一次函数的解析式为y ＝x 或y ＝－x ＋m ＋n（3）∵y ＝1 5 x 2－ 4 5 x － 7 5 ＝ 1 5 ( x －2 )2－115∴二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝2，最小值为－115当x＜2时，y 随x 的增大而减小；当x＞2时，y 随x 的增大而增大 分以下三种情况讨论：①当2≤a＜b 时，必有x ＝a 时，y ＝a 且x ＝b 时，y ＝b即⎩⎨⎧1 5 a 2－ 4 5 a － 75＝a 1 5 b 2－ 4 5 b － 7 5＝b 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9－1092b ＝9＋1092（舍去）②当a ＜b≤2时，必有x ＝a 时，y ＝b 且x ＝b 时，y ＝a即 ⎩⎨⎧1 5a2－4 5 a － 75＝b 1 5 b 2－ 4 5 b － 7 5＝a解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1 或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2（舍去）∴a ＝－2，b ＝1③当a＜2＜b 时，必有函数值y 的最小值为－11 5 ∵该二次函数是闭区间[a ，b ]上的“闭函数”，∴a ＝－11 5根据“闭函数”的定义，b 可能等于1 5a2－4 5 a － 7 5，也可能等于 1 5 b 2－ 4 5 b －75当b ＝1 5 a 2－ 4 5 a －7 5时，b ＝ 1 5 ( － 11 5 )2－ 4 5 ( － 11 5 )－ 7 5 ＝166125∴b ＜2，不合题意，舍去当b ＝1 5 b 2－ 4 5 b －75时，解得b ＝9±1092∵b ＞2，∴b ＝9＋1092 ∴a ＝－115，b ＝9＋1092综上所述，a ＝－2，b ＝1或a ＝－115，b ＝9＋1092如图，有A 、B 、C 三种不同型号的卡片，每种卡片各有k 张．其中A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是长为b 、宽为a 的长方形，C 型卡片是边长为b 的正方形．从其中取出若干张卡片，每种卡片至少取一．．．．．．．．张，．．把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．尝试操作：若k ＝10，请选取适当的卡片拼成一个边长为(2a ＋b )的正方形，画出示意图．思考解释：若k ＝20①共取出50张卡片，取出的这些卡片能否拼成一个正方形？请简要说明理由； ②可以拼成___________种不同的正方形 拓展应用：上述A 、B 、C 型的卡片各若干张（足够多），已知：a ＝2b ，现共取出2500张卡片，拼成一个正方形，求可以拼成的正方形中面积最大值．（用含a 的代数式表示）A CBa a bb阅读理解思维训练如图，有A 、B 、C 三种不同型号的卡片，每种卡片各有k 张．其中A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是长为b 、宽为a 的长方形，C 型卡片是边长为b 的正方形．从其中取出若干张卡片，每种卡片至少取一．．．．．．．．张，．．把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．尝试操作：若k ＝10，请选取适当的卡片拼成一个边长为(2a ＋b )的正方形，画出示意图． 思考解释：若k ＝20①共取出50张卡片，取出的这些卡片能否拼成一个正方形？请简要说明理由；②可以拼成___________种不同的正方形拓展应用：上述A 、B 、C 型的卡片各若干张（足够多），已知：a ＝2b ，现共取出2500张卡片，拼成一个正方形，求可以拼成的正方形中面积最大值．（用含a 的代数式表示）解：尝试操作画图正确（答案不唯一思考解释：①假设能拼成一个正方形，不妨设这个正方形的边长为(xa ＋y b )则这个正方形的面积为( xa ＋y b )2＝x 2a 2＋2x y ab ＋y2b 2 即此时需要x 2张A 型卡片，2x y 张B 型卡片，y 2张C 型卡片 因此总共需要( x 2＋2x y ＋y 2 )张卡片，即(x ＋y )2张卡片 根据题意，( x ＋y )2＝50，不存在这样的x 、y因此不能从其中取出50张卡片拼成一个正方形 ②13提示：法一：枚举法，如( a ＋2b )2、( a ＋3b )2、…法二：由①知，令m ＝( x ＋y )2＝x 2＋2x y ＋y2，则m 是一个完全平方数，且满足： ⎩⎨⎧4≤m ≤60x 2≤202x y≤20y2≤201°当m ＝4时，x ＋y ＝2⎩⎨⎧x ＝1y ＝1 1种 2°当m ＝9时，x ＋y ＝3⎩⎨⎧x ＝1y ＝2 ⎩⎨⎧x ＝2y ＝1 2种 3°当m ＝16时，x ＋y ＝4⎩⎨⎧x ＝1y ＝3 ⎩⎨⎧x ＝2y ＝2 ⎩⎨⎧x ＝3y ＝13种 4°当m ＝25时，x ＋y ＝5⎩⎨⎧x ＝1y ＝4 ⎩⎨⎧x ＝2y ＝3 ⎩⎨⎧x ＝3y ＝2 ⎩⎨⎧x ＝4y ＝14种 5°当m ＝36时，x ＋y ＝6⎩⎨⎧x ＝2y ＝4 ⎩⎨⎧x ＝3y ＝3⎩⎨⎧x ＝4y ＝23种 6°当m ＝49时，x ＋y ＝7 0种共13种拓展应用：( x ＋y )2＝2500，x ＋y ＝50，y ＝50－x 边长为：xa ＋y b ＝xa ＋ a 2 (50－x )＝(25＋ x 2)a 25＋ x 2随x 增大而增大，所以当x ＝49时最大 最大面积为：(49a ＋b )2＝(99b )2＝(99a 2 )2 A B C A BB B A A AC B a a b b。
一、选择题1. （2017甘肃庆阳，10，3分）如图①，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 以每秒2cm 的速度从点A 出发，沿AB BC →的路径运动，到点C 停止，过点P 作PQ BD ∥，PQ 与边AD (或边CD )交于点Q ，PQ 的长度y (cm)与点P 的运动时间x (秒)的函数图象如图②所示，当点P 运动2.5秒时，PQ 的长是( ) A.22cmB.32cmC.42cmD.52cm答案：B ，解析：当点P 运动2.5秒时，如图所示：AB CDPQ则PB =1 cm ，因为BC ＝4 cm ，所以PC ＝3 cm ；由题意可知，CQ ＝3 cm ，所以PQ ＝32cm .故选：B ．二、填空题1. (2017广西百色，18，3分)阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． (1)二次项系数212=⨯；(2)常数项3131(3)-=-⨯=⨯-，验算：“交叉相乘之和”；ABCD Q Px （秒）y （cm ）O 2图②图① 第10题图(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211⨯-+⨯=，等于一次项系数－1，即：22(x 1)(2x 3)232323x x x x x +-=-+-=--，则223(x 1)(2x 3)x x --=+-，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：23512x x +-=______． 答案：(x+3)(3x －4).解析：如图．2. （2017贵州毕节）观察下列运算过程： 计算：1+2+22+...+210.. 解：设S =1+2+22+ (210)①①⨯2得2S =2+22+23+…+211,②②-①,得 S =211-1.所以，1+2+22+…+210=211-1.运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017=______________.答案：2018312-，解析：设S =1+3+32+ (32017)①①⨯3得3S =3+32+33+…+32018,②②-①,得 2S =32018-1.所以，1+3+32+ (32017)2018312-.3. （2017湖南湘潭，16，3分）阅读材料：设),,(),,(2211y x b y x a ==如果b a //，则x 1·y 2=x 2·y 1.根据该材料填空：已知),4(),3,2(m ==，且b a //，则m=_________.答案：6，由材料可以得到：2m=3×4,从而求得m=6.三、解答题1. 20．(2017湖南张家界)(本小题满分6分)阅读理解题：i．2.△ABC2S△ABC＝12ac sin∠B，aDBC＋S 4．60°S 4S 3S 2S 1B'A'ABC3. （2017•日照，21，12分）阅读材料：在平面直角坐标系xOy 中，点P （x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离公式为：d =0022Ax By C A B+++．例如：求点P 0（0，0）到直线4x +3y －3=0的距离． 解：由直线4x +3y －3=0知，A =4，B =3，C =－3， ∴点P 0（0，0）到直线4x +3y －3=0的距离为d =224030343⨯+⨯-+=35． 根据以上材料，解决下列问题： 问题1：点P 1（3，4）到直线y =－34x +54的距离为 4 ； 问题2：已知：⊙C 是以点C （2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C 与直线y =－34x +b 相切，求实数b 的值； 问题3：如图，设点P 为问题2中⊙C 上的任意一点，点A ，B 为直线3x +4y +5=0上的两点，且AB =2，请求出S △ABP 的最大值和最小值．【思路分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可； （2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C 到直线3x +4y +5=0的距离，求出⊙C 上点P 到直线3x +4y +5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．解：（1）点P 1（3，4）到直线3x +4y －5=0的距离d 223344534⨯+⨯-+，故答案为4．（2）∵⊙C 与直线y =－34x +b 相切，⊙C 的半径为1， ∴C （2，1）到直线3x +4y －b =0的距离d =1，解得b =5或15．（3）点C （2，1）到直线3x +4y +5=0的距离d，∴4.－ （（为图1思路分析：（1）将tan75°转化为tan （45°＋30°），根据公式计算即可； （2）根据（1）中tan75°的值及AC 的值，先求出BE ，然后加上AE 的值也就是CD 即可．解：（1）tan75°＝ tan （45°＋30°）＝ tan45tan301tan45tan30+-ooo o g 1+33＝2（2）依题有DE＝CA＝5.7，∴BE＝DE×tan75°＝5．7×（2 5.7×3.732≈21.3，∴AB＝BE＋AE＝BE ＋CD＝21.27＋1.72≈23（米）。
阅读理解型问题（专题4）——合情推理【考点透视】阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理， 【典型例题】例1．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）a ＋b ＝2，ab ≤1； （2）a ＋b ＝3，ab ≤23； （3）a ＋b ＝6，ab ≤3．根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，ab ≤ ．（2000年北京市东城区中考试题）分析：观察（1）、（2）、（3）中的数字规律：不等号右边的数都是等号右边的数的21，由此可以作出猜想．解：ab ≤29． 说明：本题要求直接通过不完全归纳，总结规律，猜想结论． 例2．例2．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．①322322=+（ ）；②833833=+（ ）； ③15441544=+（ ）； ④24552455=+（ ）． （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．图4—1AD nB CD 1 D 2D 3E 1 E 2 E 3 E n 图4—2（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．（2000年江苏省常州市中考试题）分析：判断式子①、②、③、④内在的规律时可以发现：①中3＝2 2－1；②中8＝3 2－1；③中15＝4 2－1；④中24＝5 2－1．这样就可以统一用含n 的式子表示出来．解：（1）①√；②√；③√；④√．（2）12-+n n n ＝n 12-n n．其中n 为大于1的自然数． （3）12-+n n n ＝123-n n ＝122-⋅n n n ＝n 12-n n ． 说明：本题虽然需要说明所写式子的正确性，但本题主要考查学生的合情推理能力，即用含有n 的式子将规律表示出来．例3．下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n (n ＞1)盆花，每个图案花盆的总数是S ．按此规律推断，S 和n 的关系式是 ．（2000年山西省中考试题）分析：由正三角形每条边的花盆数n 与花盆的总数S 之间的关系，可以看出S 总是比n 的3倍少3． 解：S ＝3n －3．说明：本题的答案不唯一，其它形式也可以． 例4． 如图4—2所示，在△ABC 中，BC ＝a ，若D 1、E 1分别是AB 、AC 的中点，则D 1E 1＝a 21； 若D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2E 2＝a a a 43)2(21=+； 若D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点，则D 3E 3＝a a a 87)43(21=+；…………若D n 、E n 分别是D 1-n B 、E 1-n C 的中点，则D n E n ＝ （n ≥1，且n 为整数）．（2001年山东省济南市中考试题）分析：因为12121=；2221243-=；3321287-=；……，所以D n E n 也可以用含数字2的式子来表示．解：D n E n ＝11212---n n （n ≥1，且n 为整数）．说明：寻找数字规律，应把已给的数写成有规律的一组数．n ＝2，S ＝3 n ＝3，S ＝6 n ＝4，S ＝9例5．问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数可写成10•n＋5，即求（10•n＋5）2的值（n为自然数）．你试分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）．（1）通过计算，探索规律：152＝225可写成100×1（1＋1）＋25，252＝625可写成100×2（2＋1）＋25，352＝1225可写成100×3（3＋1）＋25，452＝2025可写成100×4（4＋1）＋25，……752＝5625可写成，852＝7225可写成，……（2）从第（1）的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝．（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝．（1999年福建省三明市中考试题）分析：在对这些式子进行规律探索的时候，要找出哪些数是不变的，哪些数是随式子的序号变化而逐步变化的．然后就可以用n来表示这些逐步变化的数．解：（1）100×7（7＋1）＋25；100×8（8＋1）＋25．(2)100n2＋100n＋25100n（n＋1）＋25．(3) 100×199（199＋1）＋25＝3980025．说明：本题不仅要求归纳猜想和探索规律，而且要运用归纳猜想得出的结论解决问题．例6．如图4—3，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P＇，使得OP·OP＇＝r 2 ，这种把点P变为点P＇的变换叫做反演变换，点P与点P＇叫做互为反演点．图4—3 图4—4（1） 如图4—4，⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ＇和B ＇．求证：∠A ＇＝∠B ； （2） 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线l 与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是（ ）． (A)一个圆 (B)一条直线 (C)一条线段 (D)两条射线 ②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．（2001年江苏省南京市中考试题）分析：求解本题首先要理解“反演变换”的意义，并理解圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内；其次，第（2）题的第①小题，由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．另外，第（2）题的第②小题，由于直线与圆的切点的反演点是它本身，因此只要在该直线上取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．（1）证明：∵A 、B 的反演点分别是A’、B’，∴OA ·OA’＝r 2，OB ·OB’＝r 2． ∴OA ·OA’＝OB ·OB’，即''OA OBOB OA ． ∵∠O ＝∠O ，∴△ABO ∽△B’A’O ． ∴∠A’＝∠B ．． （2）解：①A ．②圆；内切．说明：本题主要考查学生通过观察、分析，从特殊的点的研究归纳、推测图形形状的合情推理能力．另外，还可以研究下列问题：如果直线⊙O’与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是什么？该图形与圆O 的位置关系是是什么？例7．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图4—5中的三角形被一个圆所覆盖，图4—6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （3）长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ， 这两个圆的圆心距是 cm.（2003年江苏省南京市中考试题）图4—5图4—6分析：本题首先要理解图形被圆所覆盖的定义，其次，可以推测正方形、等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 取最小值时，显然这个圆就是正方形、等边三角形的外接圆．而第（3）题可把长为2cm ，宽为1cm 的矩形分割成两个边长为1 cm 的正方形，根据第（1）题，不难得到结论．解：（1）22； （2）33； （3）22，1． 说明：本题的合情推理是建立在空间想象的基础上，并把问题转化为多边形的外接圆问题．另外，还可以研究下列问题：1．如果边长为1cm ，有一个锐角是60°的菱形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？2．如果上低和腰长都是1cm ，下低长是2cm 的梯形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？【习题4】1．观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝15，而15＝42－1； 5×7＝35，而35＝62－1；11×13＝143，而143＝122－1； ……请你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来： ．（2000年山东省济南市中考试题）2．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为 ．（2003年北京市中考试题）3．观察下列各式： 1×3＝12＋2×1， 2×4＝22＋2×2， 3×5＝32＋2×3，……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： ．（2003年福建省福州市中考试题）4．观察以下等式：1×2＝31×1×2×3；1×2＋2×3＝31×2×3×4；1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5；1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝31×4×5×6；……根据以上规律，请你猜测：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝ ．（2001年山东省威海市中考试题）5．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26根据上面的排列规律，则2000应在（ ）．A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列（2001年湖北省荆州市中考试题）6．细心观察图形4—7，认真分析各式，然后解答问题． 21,21)1(12==+S ； 22,31)2(22==+S ； 23,41)3(32==+S ； ……（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2的值．（2003年山东省烟台市中考试题）7．(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点， 如图4—8，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b |； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图4—9，当点A 、B 都在原点右边时，则 |AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |； ②如图4—10，当点A 、B 都在原点左边时，则O (A ) B图4—8O B A图4—9O A B 图4—10O A 2 A 4A 1 …1 A 5S 3 S 5 S 2S 1 S 41 1 1A 6 A 3…图4—7|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－a )＝|a －b |；③如图4—11，当点A 、B 在原点的两边时，则 |AB |＝|OA |+|OB |＝|a |+|b |＝a +(－b )＝|a －b |. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |.(2)回答相应问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果|AB |=2，那么x 为 ． ③当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，x 相应的取值范围是 .（2002年江苏省南京市中考试题）8．如图4—12，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点， AF =21AB ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ． （2）阅读下面材料：如图4—13，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置； 如图4—14，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置； 如图4—15，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． （3）回答下列问题：①在图4—12中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到 △ADF 的位置？答： ． ②指出图4—12中线段BE 与DF 之间的关系．答： ．（2000年江苏省南京市中考试题）9．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生研究这一问题时，发现了如下事实．EDCBADCBAEDCA图4—13 图4—14 图4—15FABC D E图4—12OA B a 图4—11图4—16E A B C O D图4—17 B C A D EOB C A 图4—18 D E O C A 图4—19 D F EO①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO （如图4－16）； ②当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图4－17）； ③当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图4－18）． 在图4－19中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．（2001年河北省中考试题）10．某厂要制造能装250毫升(1毫升＝1厘米3 )饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部的厚度都是0.02厘米，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“呯”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来．设一个底面半径是x 厘米的易拉罐的用铝量是y 厘米3． （1）利用用铝量＝底圆面积×底部厚度＋顶圆面积×顶部厚度＋侧面积×侧壁厚度)求y 与x 之间的函数关系式；（2②根据上表推测：要使用铝量y （厘米）的值尽可能小，底面半径x （厘米）的值所在范围是( )．A ．1.6≤x ≤2.4B ．2.4＜x ＜3.2C ．3.2≤x ≤4（2002年江苏省南京市中考试题）11．如图20，正方形ABCD 和正方形EFGH 对角线BD 、FH 都在直线l 上．O 1、O 2 分别是正方形的中心，O 1D ＝2，O 2F ＝1，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距．．．．当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2 ＝ ． （2）随着中心O 2在直线l 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程 ）．（2003年江苏省徐州市中考试题）图4—20【习题4】1．解：（2n －1）（2n ＋1）＝（2n ）2－1． 2．解：9（n －1）＋n ＝10（n －1）＋1． 3．解： n （n ＋2）＝n 2 ＋2n ．4．解：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝31×n ×（n ＋1）×（n ＋2）．5．解：选C ．6．解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+． （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， ∴OA 10＝10．（3）S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2＝2)21(＋2)22(＋2)23(＋…＋2)210(＝41（1＋2＋3＋…＋10） ＝455． 7．解：（1）3，3，4；（2）∣x ＋1∣，－3或1； （3）－1≤x ≤2． 8．解：（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵ AB=AD ，AD ⊥AB ， ∴∠BAE =∠DAF =90°．∵AE =21AD ，AF =21AB ， ∴AE =AF ．∴△ABE ≌△ADF ．（3）①答：△ABE 绕点A 逆时针旋转90度到△ADF 的位置． ②答：BE =DF ，且BE ⊥DF ．9．解：根据题意，可以猜想：当n AC AE +=11时，有n AD AO +=22成立． 证明：过D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．∵D 是BC 的中点， ∴F 是EC 的中点． ∵n AC AE +=11， ∴n EC AE 1=． ∴nEF AE 2=．∴nAF AE +=22． ∵DF ∥BE ， ∴nAF AE AD AO +==22． 10．解：（1）解：222250202.0302.0xx x x y ππππ⋅+⋅⋅+⋅=·0.02 =xx 102522+π． （2）B ．11．解：．（1）2，1． （2）3．（3）①当1＜O 1O 2＜3时，两个正方形有2个公共点；②当O 1O 2＝1时，两个正方形有无数个公共点；③当O 1O 2 ＜1，或O 1O 2＞3时，两个正方形没有公共点．。
专题14 阅读理解问题一、选择题1. （2017湖南株洲第10题）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．3+ 2D．2+ 2【答案】D.故选D.考点：旋转的性质；平行线的判定与性质；等腰直角三角形．二、填空题1.（2017贵州遵义第16题）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有_两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）【答案】46两．考点：一元一次方程的应用．2. （2017广西百色第18题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2x3的方法.（1）二次项系数212；（2）常数项3131(3)验算：“交叉相乘之和”；132(1)11(1)2351(3)211112(3)5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211，等于一次项系数-1，即(x1)(2x3)2x23x2x32x2x3，则2x2x3(x1)(2x3).像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：3x25x12．【答案】（x+3）（3x﹣4）．【解析】试题分析：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．考点：因式分解﹣十字相乘法．3. （2017黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是ABC的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，A46，则ACB的度数为．【答案】113°或92°．考点：1.相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质．4. （2017上海第18题）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=．【答案】32【解析】考点：1.正多边形与圆；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数5. （2017贵州六盘水第15题）定义：A b,c,a，B{c}，AUB{a,b,c}A U B=a b c，若M{1}，N{0,1,1}，则M U N=．,,1,0,1.【答案】试题分析：根据题目中的规律可得M U N={1,0,1}(无序)考点：新定义运算．三、解答题1. （2017贵州遵义第22题）乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′．（1）求主桥AB的长度；（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．（长度均精确到1m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）【答案】(1).168m；(2). 32m．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．2. （2017贵州遵义第25题）为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：问题1：单价该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500 元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？问题2：投放方式该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放8a辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，240a如果两个街区共有15万人，试求a的值．【答案】问题1：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：a的值为15．考点：分式方程的应用；二元一次方程组的应用．3. （2017郴州第21题）某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg，现用两种原料生产处A,B两种产品共30件，已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获得700元；生产每件B产品甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利润900元，设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产A,B两种产品的方案有哪几种？（2）设生产这30件产品可获利y元，写出关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润.【答案】（1）共有三种方案：方案一：A产品18件，B产品12件，方案二：A产品19件，B 产品11件，方案三：A产品20件，B产品10件；（2）利润最大的方案是方案一：A产品18 件，B产品12件，最大利润为23400元．考点：一元一次不等式组的应用；一次函数的应用.4. （2017郴州第24题）设a,b是任意两个实数，用max{a,b}表示a,b两数中较大者，例如：max{1,1}1，max{1,2}2,max{4,3}4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5,2}，max{0,3}；（2）若max{3x1,x1}x1，求x的取值范围；（3）求函数y x22x4与y x2的图象的焦点坐标，函数y x22x4的图象如下图所示，请你在下图中作出函数y x2的图象，并根据图象直接写出max{x2,x22x4}的最小值.【答案】(1)5；3．（2）x≤0；（3）﹣1．观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．考点：阅读理解题.5. （2017湖北咸宁第23题）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：⑴如图1，已知A,B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；1⑵如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF CD，试判断4 AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：⑶如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（﹣223，13），（223，13）．（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；考点：圆的综合题．6. （2017湖南张家界第20题）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为i 2 1，这个数i 叫做虚数单位，把形如 a bi （ a ,b 为实数）的数叫做复数，其中 a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘 法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算 ：2 i 5 3i 2 5 1 3i 7 2i1 i2 i 12 i 2i i 2 2 1 2i 13 i ；根据以上信息 ，完成下列问题：（1）填空：i 3_________，i 4 ___________；（2）计算：1 i 3 4i ； （3）计算：i i 2 i 3 L i 2017 .【答案】（1）﹣i ，1；（2）7﹣i ；（3）i ．考点：实数的运算；新定义；阅读型．。
2017年数学中考专题《阅读理解题》2017年数学中考专题《阅读理解题》题型概述【题型特征】阅读理解题一般篇幅比较长，由“阅读”和“问题”两部分构成，其阅读部分往往为学生提供一个自学材料，其内容多以定义一个新概念(法则)，或展示一个解题过程，或给出一种新颖的解题方法，或介绍某种图案的设计流程等.学生必须通过自学，理解其内容、过程、方法和思想，把握其本质，才可能会解答试题中的问题.阅读理解题呈现的方式多种多样，有纯文型(全部用文字展示条件和问题)、图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)、表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)、改错型(条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程一般要改正).考查内容可以是学过知识的深入探索，也可以是新知识的理解运用.阅读理解题按解题方法不同常见的类型有:(1)定义概念与定义法则型;(2)解题示范(改错)与新知模仿型;(3)迁移探究与拓展应用型等.【解题策略】解答阅读理解型问题的基本模式:阅读—理解—应用.重点是阅读，难点是理解，进行是非辨别.(3)迁移探究与拓展应用型，即阅读新问题，并运用新知识探究问题或解决问题，解答这类题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决.真题精讲类型一 定义概念与定义法则型 典例1 (2016·湖北咸宁)阅读理解: 我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图(1)，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形.设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sin α的值叫做这个平行四边形的变形度.(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°,则这个平行四边形的变形度是 ; 猜想证明:(2)若矩形的面积为1S ，其变形后的平行四边形面积为1S ，试猜想121,,sin S S α之间的数量关系，并说明理由;拓展探究:(3)如图(2)，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，且2ABAE AD=⋅，这个矩形发生变形后为平行四边形11111,A B C D E 为E 的对应点，连接1111,B E B D ，若矩形ABCD的面积为4(0)m m >，平行四边形1111A B C D 的面积为2(0)m m >，试求111111A EB A D B ∠+∠的度数.【解析】(1)根据新定义，平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角18012060α=︒-︒=︒,所以1123sin sin 603α===︒;(2)设矩形的长和宽分别为,a b ，其变形后的平行四边形的高为h.从面积入手考虑,12,,sin h S ab S ah b α===，所以121,sin Sab b b Sah h hα===，因此猜想121sin S S α=.(3)由2AB AE AD=⋅，可得2111111A BA E A D =⋅,即11111111A B A E ADA B =,可证明111B A E ∆∽111D A B ∆,则111111A B EA DB ∠=∠，再证明111111111111A EB A D BC B E A B E ∠+∠=∠+∠=111A B C ∠，由(2)121sin S S α=，可知111142sin 2mA B Cm==∠,可知1111sin 2A B C ∠=，得出11130A B C ∠=︒，从而证明11111130A E B A D B ∠+∠=︒.【全解】(1)根据新定义，平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角α为:18012060α=︒-︒=︒,∴1123sin sin 603α===︒.(2) 121sin S S α=,理由如下：如图(1)，设矩形的长和宽分别为,a b ，其变形后的平行四边形的高为h .则12,,sin hSab S ah bα===，121,sin S ab b b S ah h h α∴===，∴121sin S S α=.(3)由2AB AE AD=⋅，可得2111111A BA E A D =⋅，即11111111A BA E ADA B =.又111111B A ED A B ∠=∠，∴111B A E ∆∽111D A B ∆.111111A B E A D B ∴∠=∠.1111//A D B C ，111111A EBC B E ∴∠=∠.111111111111111A EB A D BC B E A B EA B C ∴∠+∠=∠+∠=∠, 由(2)121sin S S α=，可知11112sin A B C==∠.1111sin 2A B C ∴∠=.11130A B C ∴∠=︒.11111130A E B A D B ∴∠+∠=︒.1.(2016·浙江舟山)我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” (1)概念理解:请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;(2)问题探究;如图(1)，在等邻角四边形ABCD中，,,DAB ABC AD BC∠=∠的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接,AC BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由;(3)应用拓展;如图(2)，在Rt ABC ∆与Rt ABD ∆中，90C D ∠=∠=︒,3,5BC BD AB ===，将Rt ABD ∆绕着点A 顺时针旋转角(0)BAC αα︒<∠<∠得到Rt AB D ''∆ (如图 (3))，当凸四边形AD BC '为等邻角四边形时，求出它的面积.【考情小结】此题属于几何变换综合题，涉及的知识有:全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.正确理解题目中的定义是关键.类型二 解题示范与新知模仿型(改错) 典例2 (2016·浙江湖州)定义:若点(,)P a b 在函数1y x=的图象上，将以a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数2y axbx=+称为函数1y x=的一个“派生函数”.例如:点1(2,)2在函数1y x=的图象上，则函数2122y xx =+称为函数1y x=的一个“派生函数”.现给出以下两个命题:(1)存在函数1y x =的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧(2)函数1y x =的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是( ). A.命题(1)与命题(2)都是真命题 B.命题(1)与命题(2)都是假命题 C.命题(1)是假命题，命题(2)是真命题 D.命题(1)是真命题，命题(2)是假命题【解析】(1)根据二次函数2y ax bx=+的性质,a b同号对称轴在y 轴左侧，,a b 异号对称轴在y 轴右侧即可判断.(2)根据“派生函数” 2,0y ax bx x =+=时，0y =，经过原点，不能得出结论.【全解】(1)(,)P a b 在1y x=上， ∴a 和b 同号，所以对称轴在y 轴左侧，∴存在函数1y x=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧是假命题.(2)函数1y x=的所有“派生函数”为2y axbx=+，x ∴=时，0y =,∴所有“派生函数”为2y axbx=+经过原点，∴函数1y x =的所有“派生函数”的图象都进过同一点，是真命题. 故选C. 2.(2014·湖南永州)在求1+6+62+63+64+65+66+67+68 + 69的值时，小林发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设:S =1+6+62+63+64+65+66+67+68+69.① 然后在①式的两边都乘以6，得 6S =6+62+63+64+65 +66 +67+68 +69+610.② ②－①，得6S －S =610－1，即5S = 610－1，所以10615S -=.得出答案后，爱动脑筋的小林想:如果把“6”换成字母“a ”(0a ≠且1a ≠)，能否求出23420141a a a a a +++++⋯+的值?你的答案是( ). A.201411a a -- B.201511a a -- C.20141a a-D.20141a-3. (2015·广西南宁)对于两个不相等的实数,a b ，我们规定符号max {},a b 表示,a b 中的较大值，如:max {}2,4=4，按照这个规定，方程max {}21,x x x x +-=的解为( )A.1 B.2 C.1+1 D.1+14. (2015·浙江湖州)如图，已知抛物线21111:C y a x b x c =++和22222:Cy a x b x c =++都经过原点，顶点分别为,A B ，与x 轴的另一个交点分别为,M N ，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C和2C为姐妹抛物线，请你1写出一对姐妹抛物线C和2C，使四边形ANBM恰1好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和.【考情小结】弄清题中的技巧是解题的关键.我们只要按照示例中的思路技巧去类比、模仿，一般不会做错，做题时要克服思维定势的影响和用“想当然”代替现实的片面意识.类型三迁移探究与拓展应用型典例3 (2016·江西)如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称OAB∠为“叠弦角”，AOP∆为“叠弦三角形”.【探究证明】(1)请在图(1)和图(2)中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(AOP∆)是等边三角形;(2)如图(2)，求证: OAB OAE'∠=∠.【归纳猜想】(3)图(1)、图(2)中的“叠弦角”的度数分别为，;(4)图n中，“叠弦三角形”等边三角形(填“是”或“不是”)(5)图n中，“叠弦角”的度数为(用含n的式子表示)【全解】(1)如图(1),四边形ABCD是正方形，由旋转知:,90,AD AD D D ''=∠=∠=︒60DAD OAP '∠=∠=︒,DAP D AO '∴∠=∠. APD AOD '∴∆≅∆( ASA) . AP AO ∴=.60OAP ∠=︒,AOP ∴∆是等边三角形. (2)如图(2),作AM DE ⊥于M ，作AN CB ⊥于N . 五边形ABCDE 是正五边形，由旋转知:,108,60AE AE E E EAE OAP '''=∠=∠=︒∠=∠=︒, EAP E AO '∴∠=∠. APE AOE '∴∆≅∆( ASA). OAE PAE '∴∠=∠.在Rt AEM ∆和Rt ABN ∆中，72AEM ABN AE AB∠=∠=︒⎧⎨=⎩,Rt AEM Rt ABN∴∆≅∆(AAS).,EAM BAN AM AN∴∠=∠=.在Rt APM ∆和Rt AON ∆中，AP AO AM AN=⎧⎨=⎩，Rt APM Rt AON ∴∆≅∆(HL).PAM OAN ∴∠=∠.PAE OAB∴∠=∠.OAE OAB'∴∠=∠(等量代换).(3)由(1)有，APD AOD '∆≅∆， DAP D AO '∴∠=∠在AD O '∆和ABO ∆中，AD AB AO AO'=⎧⎨=⎩,AD O ABO'∴∆≅∆. D AO BAO'∴∠=∠.由旋转，得60DAD '∠=︒,90DAB ∠=︒,30D AB DAB DAD ''∴∠=∠-∠=︒. 1152D AD D AB ''∴∠=∠=︒.同理可得，24E AO '∠=︒, 故答案为:15°,24°. (4)如图(3),六边形ABCDEF 和六边形A B C D E F ''''''是正六边形，120F F '∴∠=∠=︒.由旋转，得,AF AF EF E F '''==,APF AE F ''∴∆≅∆. PAF E AF ''∴∠=∠.由旋转，得60,FAF AP AO'∠=︒=.60PAO FAO ∴∠=∠=︒.PAO∴∆是等边三角形.故答案为:是(5)图n 中是正n 边形.同(3)的方法得，[]180(2)18060260OAB n n n︒∠=-⨯︒÷-︒÷=︒-. 故答案：18060n︒︒-.5. (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，将ABO ∆绕点A 顺时针旋转到11AB C ∆的位置，点,B O分别落在点11,B C 处，点1B 在x 轴上，再11AB C ∆绕点1B顺时针旋转到12AB C ∆的位置，点2C 在x 轴上，将12AB C ∆绕点2C 顺时针旋转到222A B C ∆的位置，点2A 在x轴上，依次进行下去.…若点3(,0),(0,2)2A B ，则点2016B 的坐标为 .6. (2016·湖北荆州)阅读:我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”.例如，点M(1,3)的特征线有:1,3,2,4x y y x y x ===+=-+.问题与探究:如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC , 点B 在第一象限, ,A C分别在x 轴和y轴上，抛物线21()4y x m n=-+，经过,B C 两点，顶点D在正方形内部.(1)直接写出点(,)D m n 所有的特征线;(2)若点D 有一条特征线是1y x =+，求此抛物线的解析式;(3)点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将OAP ∆沿着OP 折盛，点A 落在点A '的位置，当点A '在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上?7. (2915·溯南郴州)阅读下面的材料:如果函数()y f x =满足:对于自变量x 的取值范围内的任意12,x x .(1)若12x x <，都有12()()f x f x <，则称()f x 是增函数;(2)若12x x <，都有12()()f x f x >，则称()f x 是减函数.例题:证明函数2()(0)f x x x =>是减函数. 证明:假设12x x <，且120,0x x >>,212112121212222()22()()x x x x f x f x x x x x x x ---=-==,12x x <且120,0x x>>，21120,0x x x x ∴->>.21122()0x x x x -∴>,即12()()0f x f x ->. 12()()f x f x ∴>.∴函数2()(0)f x x x=>是减函数. 根据以上材料，解答下面的问题: (1)函数2221111()(0),(1)1,(2)124f x x f f x =>====.计算:(3)f = ,(4)f = , 猜想21()(0)f x x x =>是 函数(填“增”或“减”);(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.【考情小结】解答本类题要仔细审题，理解题意所给的方法，达到学以致用的目的.例3主要考查了锐角三角函数关系知识，根据已知得出边,AC AB 的长是解题关键.举一反三考查了一道关于不等式的新型题和一道正误辨析型阅读理解题.提供的阅读材料中，在进行开方时，没有注意一个正数的平方根有两个.本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程.参考答案1.(1)矩形或正方形; (2)AC BD =，理由为: 连接,PD PC ，如图(1)所示:PE是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线，,PA PD PC PB∴==,,PAD PDA PBC PCB∴∠=∠∠=∠, 2,2DPB PAD APC PBC∴∠=∠∠=∠,即PAD PBC ∠=∠，APC DPB ∴∠=∠.APC DPB ∴∆≅∆(SAS),AC BD∴=;(3)分两种情况考虑:(i)当AD B D BC ''∠=∠时，延长,AD CB '交于点E ， 如图(2)所示，ED B EBD ''∴∠=∠,EB ED '∴=.设EB ED x '==. 由勾股定理，得2224(3)(4)x x ++=+,解得 4.5x =.过点D '作D F CE '⊥于F ,//D F AC'∴.ED F'∴∆∽EAC ∆.D F ED AC AE''∴=, 即4.544 4.5D F '=+，解得3617D F '=.11(3 4.5)1522ACE S AC EC ∆∴=⨯=⨯4⨯+=; 113681221717BED S BE D F '∆'=⨯=⨯4.5⨯=,则81415101717ACE BED ACBD SS S ''∆∆=-=-=四边形，(ii)当90D BC ACB '∠=∠=︒时，过点D '作D E AC '⊥于点E , 如图(3)所示，∴四边形ECBD '是矩形.3ED BC '∴==.在Rt AED '∆中，根据勾股定理，得22437AE =-=1137322AED S AE D '∆'∴=⨯E =7=, (47)1237ECBD S CE CB '=⨯=⨯3=-矩形373712312AED ECBD ACBD S S S '''∆=+=-7=矩形四边形2. B3. D4.答案不唯一，比如2y =+和2y =+.5. (6 048,2)6. (1)点(,)D m n ,∴点(,)D m n 的特征线是,,,x m y n y x n m y x m n ===+-=-++; (2)点D 有一条特征线是1y x =+, 1n m ∴-=.1n m ∴=+.抛物线解析式为21()4y x m n=-+，21()14y x m m ∴=-++.四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，(,)D m n ,(2,2)B m m ∴.21(2)24m m n m ∴-+=.将1n m =+带入得到2,3m n ==.(2,3)D ∴.∴抛物线解析式为21(2)34y x =-+.(3)如图，当点A '在平行于y 轴的D 点的特征线时，根据题意，得(2,3)D ，4,2OA OA OM '∴===, 60A OM '∴∠=︒. 30A OP AOP '∴∠=∠=︒,233MN ∴==.∴抛物线需要向下平移的距离23923333-=-=.如图，当点A '在平行于x 轴的D 点的特征线时，设(,3)A p ',则224,3,437OA OA OE EA ''====-=47A F '∴=设(4,)(0)P c c >， 在Rt A FP '∆中，222(47)(3)c c +-=，163c -∴=.16(4,3P -∴.∴直线OP解析式为43y x -=,N ∴.∴抛物线需要向下平移的距离3==距离，其顶点落在OP 上. 7.(1)19116减(2)假设12x x <，且120,0x x>>,2221122222121211()()x x f x f x x x x x --=-=21212212()()x x x x x x +-=.z} z2 zl.z212x x <,且120,0x x>>， 222121120,0,0x x x x x x ∴+>->>.21212212()()x x x x x x +-∴>，即12()()0f x f x ->.12()()f x f x ∴>.∴函数21()(0)f x x x =>是减函数.。
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解阅读理解问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题．既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力．这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律．该类问题一般是提供一定的材料或介绍一个概念或给出一种解法等，让考生在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题．基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”．类型一新概念学习型新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用．例1 (2017·枣庄) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p ×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【自主解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．变式训练1．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 ______________2．(2016·荆州) 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．类型二新公式应用型新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题．解决这类问题，一是要所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；二是要创造条件，准确、规范、灵活地解答．例2（2017•日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．例如：求点P解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．∴点P根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；1问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S的最大值和最小值．△ABP【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d=【自主解答】解：（1）点P1=4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b=0的距离d=1，∴=1， 解得b=或．（3）点C （2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3， ∴⊙C 上点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S △ABP 的最大值=×2×4=4，S △ABP 的最小值=×2×2=2．变式训练3．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D 中每一个点都是等可能的，用A 表示“实验结果落在D 中的某个小区域M 中”这个事件，那么事件A 发生的概率P(A)＝ .如图，现在等边△ABC 内射入一个点，则该点落在△ABC 内切圆中的概率是____ ．4．(2016·随州)如图1，PT 与⊙O 1相切于点T ，PB 与⊙O 1相交于A ，B 两点，可证明△PTA ∽△PBT ，从而有PT 2＝PA ·PB ．请应用以上结论解决下列问题：如图2，PAB ，PCD 分别与⊙O 2相交于A ，B ，C ，D 四点，已知PA ＝2，PB ＝7，PC＝3，则CD ＝______.类型三 新方法应用型新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题．例3 (2017·毕节)D M 93 35）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【自主解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．变式训练5、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．设另一个因式为（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=-4m=3n 解得：n=-7，m=-21∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．问题：（1）若二次三项式x2-5x+6可分解为（x-2）（x+a），则a=______；（2）若二次三项式2x2+bx-5可分解为（2x-1）（x+5），则b=______；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是（2x-3），求另一个因式以及k的值．解：（1）∵（x-2）（x+a）=x2+（a-2）x-2a=x2-5x+6，∴a-2=-5，解得：a=-3；（2）∵（2x-1）（x+5）=2x2+9x-5=2x2+bx-5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，则2n-3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k 的值为12．故答案为：（1）-3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）． 6、（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++． 令111234t ++=，则 原式=11(1)()(1)55t t t t -+--- =22114555t t t t t +---+ =15 问题：（1）计算1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014-----⨯+++++--------⨯++++。
