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乘法公式应用综合在咱们的数学世界里，乘法公式那可真是个神奇的存在！就像一把万能钥匙，能帮咱们打开好多难题的锁。
先来说说完全平方公式吧，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，这玩意儿可太有用啦！我记得有一次，我去逛菜市场，看到一个卖水果的摊位。
摊主正在算着成本和利润。
他说一箱苹果进价是 a 元，他打算每箱加价 b 元出售。
那按照完全平方公式，他每箱的利润就是 (a + b)² - a² = 2ab +b²。
这可让他一下子就清楚了自己能赚多少钱。
还有平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²，也是解决问题的好帮手。
比如在装修房子的时候，要计算房间地面的面积。
如果房间的长是 (a + b) 米，宽是 (a - b) 米，那么地面的面积就是 a² - b²平方米。
乘法公式在代数运算中更是大显身手。
比如化简式子 (x + 2y)² - (x - 2y)²，咱们就可以直接套用公式。
先把前面的 (x + 2y)²展开得到 x² +4xy + 4y²，后面的 (x - 2y)²展开得到 x² - 4xy + 4y²，然后一减，4xy 就抵消掉了，剩下 8xy 。
是不是很简单？再看这道题：已知 a + b = 5 ，ab = 3 ，求 a² + b²的值。
这时候咱们就可以用完全平方公式啦，(a + b)² = a² + 2ab + b²，变形一下，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，把数值带进去，5² - 2×3 = 19 。
乘法公式在几何图形中也有出色的表现。
比如说一个正方形的边长增加了 x ，那它的面积增加多少呢？原来正方形的边长是 a ，面积就是 a²。
平方差公式一、内容和内容解析【内容】八年级上册第15章第2节乘法公式---平方差公式【内容解析】整式乘法的平方差公式是把特殊形式的多项式相乘写成公式的形式，既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便；又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；同时平方差公式将在九年级“一元二次方程”中有广泛地应用。
“平方差公式”又是初中阶段的第一个公式，无论是公式的探究过程，还是结构特征的剖析都是学习其它公式的基础。
所以“平方差公式”是一个重要公式。
基于上述分析，确定本节的教学重点是；理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算。
二、目标和目标解析【目标】1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。
2、经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，积累数学活动的经验，感受利用归纳、转化、数形结合等数学思想与方法解决数学问题的策略。
3、在探索平方差公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力，同时在解决问题过程中学会与他人合作交流。
在公式的学习及运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦，增强学生学数学、用数学的兴趣，【目标解析】1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。
让学生经历特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示，这一数学活动过程，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，让学生能清楚地知道公式中a 、b 各代表什么，并在运用中与平方差公式的结构特征联系起来分析解答题目。
2、在探索平方差公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力，体会数形结合、转化等思想。
让学生能够认识到从具体到抽象，从特殊到一般，找寻规律，自我归纳，建立解决同类问题的模型，并能了解公式的几何意义及运用转化的思想解决数学问题。
3、通过探索新知，应用新知这一过程，创设自主探究与合作交流的学习气氛。
体验知识的产生与发展，积累数学活动的经验，在公式的学习及运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦，增强学生学数学、用数学的兴趣，三、教学问题诊断分析学生的认知基础：第一、七年级学生已有用字母表示数的基础。
乘法公式的用法1、套用 : 这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例 1. 计算:解:原式2、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例 2.计算：解：原式例 3.计算：解：原式3、逆用 : 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4.计算:解：原式5、变用: 题目变形后运用公式解题。
例 5.计算：解：原式6、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例 6. 已知，求的值。
解:例 7. 计算：解：原式例 8. 已知实数 x 、 y 、 z 满足，那么（）解：由两个完全平方公式得：从而学习乘法公式应注意的问题注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1、计算 (-2 x 2 -5)(2 x 2 -5)分析：本题两个因式中“ -5 ”相同，“ 2 x 2 ”符号相反，因而“ -5 ”是公式 ( a + b )( a - b )= a 2 - b 2 中的 a ，而“ 2 x 2 ”则是公式中的 b ．解：原式 =(-5-2 x 2 )(-5+2 x 2 )=(-5) 2 -(2 x 2 ) 2 =25-4 x 4 ．例2、计算 (- a 2 +4 b ) 2分析：运用公式 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 时，“ - a 2 ”就是公式中的 a ，“ 4 b ”就是公式中的 b ；若将题目变形为 (4 b - a 2 ) 2 时，则“ 4 b ”是公式中的 a ，而“ a 2 ”就是公式中的 b ．（解略）注意为使用公式创造条件例 3 计算 (2 x + y - z +5)(2 x - y + z +5) ．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“ 2 x ”、“ 5 ”两项同号，“ y ”、“ z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式 = 〔 (2 x +5)+( y - z ) 〕〔 (2 x +5)-( y - z ) 〕=(2 x +5) 2 -( y - z ) 2=4 x 2 +20 x +25- y +2 yz - z 2 ．例 4 计算 ( a -1) 2 ( a 2 + a +1) 2 ( a 6 + a 3 +1) 2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式 =[( a -1)( a 2 + a +1)( a 6 + a 3 +1)] 2=[( a 3 -1)( a 6 + a 3 +1)] 2=( a 9 -1) 2 = a 18 -2 a 9 +1例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1) ．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（ 2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式 =(2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)=(2 2 -1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)=(2 4 -1)(2 4 +1)(2 8 +1)= （ 2 8 -1 ）（ 2 8 +1 ）=2 16 -1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ，可推广得到： ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2 ab + 2 ac +2 bc ．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的 2 倍．例 6 计算 (2 x + y -3) 2解：原式 =(2 x ) 2 + y 2 +(-3) 2 +2 · 2 x · y +2 · 2 x (-3)+2 · y (-3)=4 x 2 + y 2 +9+4 xy -12 x -6 y ．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例 7 (1) 已知 x + y =10 ， x 3 + y 3 =100 ，求 x 2 + y 2 的值；(2) 已知： x +2 y =7 ， xy =6 ，求 ( x -2 y ) 2 的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形： x 2 + y 2 =( x + y ) 2 -2 xy ， x 3 + y 3 =( x + y ) 3 -3 xy ( x + y ) ， ( x + y ) 2 -( x - y ) 2 =4 xy ，问题则十分简单．解： (1) ∵ x 3 + y 3 =( x + y ) 3 -3 xy ( x + y ) ，将已知条件代入得 100=10 3 -3 xy · 10 ，∴ xy =30 故 x 2 + y 2 =( x + y ) 2 -2 xy =10 2 -2 × 30=40 ．(2)( x -2 y ) 2 =( x +2 y ) 2 -8 xy =7 2 -8 × 6=1 ．例 8 计算 ( a + b + c ) 2 +( a + b - c ) 2 +( a - b + c )+( b - a + c ) 2 ．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 ( a + b ) 2 +( a - b ) 2 =2( a 2 + b 2 ) ，因而问题容易解决．解：原式 =[( a + b )+ c ] 2 +[( a + b )- c ] 2 +[ c +( a - b )] 2 +[ c -( a - b )] 2=2[( a + b ) 2 + c 2 ]+2[ c 2 +( a - b ) 2 ]=2[( a + b ) 2 +( a - b ) 2 ]+ 4 c 2= 4 a 2 +4 b 2 + 4 c 2（五）、注意乘法公式的逆运用例 9 计算 ( a -2 b + 3 c ) 2 -( a +2 b -3 c ) 2 ．分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式 =[( a -2 b + 3 c )+( a +2 b -3 c )][( a -2 b + 3 c )-( a +2 b -3 c )]= 2 a (-4 b + 6 c )=-8 ab + 12 ac ．例 10 计算 ( 2 a +3 b ) 2 -2( 2 a +3 b )(5 b -4 a )+( 4 a -5 b ) 2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．解：原式 =( 2 a +3 b ) 2 +2( 2 a +3 b )( 4 a -5 b )+( 4 a -5 b ) 2=[( 2 a +3 b )+( 4 a -5 b )] 2=( 6 a -2 b ) 2 = 36 a 2 -24 ab +4 b 2 ．四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母 a 、 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（ x +2 y － 3 z ） 2 ，若视 x +2 y 为公式中的 a ， 3 z 为 b ，则就可用（ a － b ） 2 = a 2 － 2 ab + b 2 来解了。
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。
复杂乘法公式及整式除法公 式推导过程三项完全平方公式：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()2222222a b c a b c ab ac bc --=++--+222()()()a b b c c a +++++ 222222222a b c ab bc ca =+++++()()()()22222222222222222a b c a b c a b a b c c a ab b ac bc ca b c ab ac bc++=++⎡⎤⎣⎦=++++=+++++=+++++立方和公式的逆用：2233()()a b a ab b a b +-+=+ 立方差公式的逆用：2233()()a b a ab b a b -++=- ()()22a b a ab b +-+322223a a b ab a b ab b =-++-+ 33a b =+和的完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++ 差的完全立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-3()a b +=2()()a b a b ++ 22()(2)a b a ab b =+++32222322a a b ab a b ab b =+++++ 322333a a b ab b =+++易错点：公式在运用过程中注意每一项的符号特征.模块一 复杂乘法公式知识导航知识互联网【例1】 利用三项完全平方公式计算：⑴ 2(3)x y ++=；⑵ 2122x y z ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ .【例1】 利用立方和（差）公式的逆用填空：⑴ 2(2)(24)x x x +-+= ；⑵ 33(25)()8125a b a b +=+；⑶ 2(21)(421)x x x -++= ；⑷ 3311()32278a b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ⑸ ()()()4222416x x x x -+++= .【例2】 利用完全立方公式计算：⑴ 3(2)x +⑵ 3(32)x y + ⑶ 3(45)a b -【例3】 ⑴ 已知3a b +=且2ab =，则33a b +的值为 .⑵ 已知1a b -=-且225a b +=，则33a b -的值为 . ⑶ 已知：1x y +=，则333x y xy ++= ．能力提升模块二 整式除法基本运算夯实基础定 义示例剖析⑴ 单项式除以单项式： 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 523122a a x x x ÷=÷=，2623ab ab b ÷=⑵ 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．()423264232x x x x x x +-÷=+- ()22232321a b ab ab ab ab b -+÷=-+易错点：多项式除以单项式，商的每一项的符号易错.【例4】 ⑴ 计算：224(6)=x y xy ÷- ；⑵ 计算：322223=533y y y y ⎛⎫-+÷ ⎪⎝⎭ ；⑶ 计算：()()23422261222xy x y x y xy -+÷-= ； ⑷ 计算：()()()()343827x y x y x y x y -+÷+-=⎡⎤⎣⎦ ；⑸ 计算：()23293n m m a b ab ++÷-（m 、n 是正整数）．【例5】 ⑴已知：42==mnmna a a a a a ÷， ，求2m n -的值。
乘法公式的复习讲义平文一、重要的乘法公式：1.平方差公式：(a+b)．(a-b) =a2-b2体会：①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：(x+y-z)(x-y-z) =[ (x-z) +y][ (x-z) -y]= (x-z) 2-y2．从图形的角度对它验证 :如图，边长为 a 的正方形。
aba b b在下边切去一个宽为 b,长为(a-b)的长方形 ,再在右边加去一个宽为 b,长为 (a-b ) 的长方形这时，红色和黄色区域的面积和是________.(a+b)(a-b)2.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 、(a-b)2=a2-2ab+b2体会： __________________________________________________ 3.多项式的完全平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac思考： (a+b-c)2=_______________(a-b+c)2=_______________体会： __________________________________________________ ___________________________________________.4.两个一次二项式相乘： (x+a) ． (x+b) =x2+(a+b)x+ab.体会： a、b 可以是正数也可以是负数。
5.补充几个乘法公式：①立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3② 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3体会规律： _____________________________________6. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 :(a+b) (a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4；(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5；(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2 －…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2 －…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：(a－b) (a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 二、例题分析：题型 1 ：平方差公式的应用：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．例 1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)例 2.计算(2x-1)2(1+2x)2- (2x+3) 2(2x-3)2例 3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)变式 1：计算(x+y+z)(x+y-z)变式 2：已知 z2=x2+y2 ，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．变式 3：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) 2变式 4： (a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)例4. 计算(1)899×901＋1 (2) 1232-122×118变式 1：计算： 1002-992+982-972+ …+42-32+22-1例 5：计算： (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1)++变式：计算：+例 6.探索题：(x-1)(x+1)=x 2 1(x-1) (x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1……试求 26+25+24+23+22+2+1 的值，判断 22005+22004+22003+ …+2+1 的末位数。
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。
这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。
但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。
2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。
2.准备一些实际问题，让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。
学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。
5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。
乘法公式的综合应用乘法公式是数学中常见的一个工具，它可以在各种实际问题中得到广泛的应用。
本文将介绍乘法公式的几个重要应用，包括比例关系、面积和体积计算、概率问题等。
第一部分：比例关系的应用乘法公式在比例关系的建立和求解中起着关键作用。
比例关系是两个或多个量之间的等比关系，常用形式为a:b=c:d。
乘法公式可以用来求解未知量或进行比较。
例子1：若一辆汽车每小时行驶60公里，则2小时行驶的里程是多少？解：根据题意可知，汽车的行驶速度为60公里/小时，行驶时间为2小时。
我们可以用乘法公式来求解问题。
令行驶里程为x公里，则60公里/小时乘以2小时等于x公里，即60*2=x。
通过计算可得，x=120公里。
例子2：一桶水中液位每分钟下降0.5厘米，若桶里的水先后下降了10厘米和15厘米，则这两段时间的时间差是多少？解：设时间差为t分钟，根据题意可得水面下降的速度为0.5厘米/分钟。
利用乘法公式，可以得到0.5厘米/分钟乘以t分钟等于水位下降的总高度，即0.5t=25、通过计算可得，t=50分钟。
第二部分：面积和体积的计算乘法公式在计算面积和体积时也起到重要的作用。
对于不规则图形和立体图形，乘法公式可以通过将各个边长或高度相乘得到最终的结果。
例子3：一个长方形花坛的长为5米，宽为3米，求其面积是多少？解：面积可以通过将长和宽相乘得到，即5米*3米=15平方米。
因此，该花坛的面积为15平方米。
例子4：一个正方体的边长为2厘米，求其体积是多少？解：体积可以通过将边长相乘三次得到，即2厘米*2厘米*2厘米=8立方厘米。
因此，该正方体的体积为8立方厘米。
第三部分：概率问题乘法公式在概率问题中也发挥着重要的作用。
通过乘法公式，可以计算得到事件发生的概率。
例子5：有一个有15个白色球和10个红色球的箱子，从箱子中随机抽取两个球，不放回。
求抽出两个白色球的概率。
解：首先计算抽出第一个白色球的概率，为15/25；然后计算抽出第二个白色球的概率，为14/24、通过乘法公式，可以得到两个白色球同时被抽出的概率为(15/25)*(14/24)=7/20。
专题 乘法公式-重难点题型【知识点1 乘法公式】平方差公式：(a +b )(a -b )=a 2-b 2。
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a -b )2=a 2-2ab +b 2。
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。
这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2021•锦江区校级开学）下列运算正确的是（ ）A ．（x +y ）（﹣y +x ）＝x 2﹣y 2B ．（﹣x +y ）2＝﹣x 2+2xy +y 2C ．（﹣x ﹣y ）2＝﹣x 2﹣2xy ﹣y 2D ．（x +y ）（y ﹣x ）＝x 2﹣y 2【变式1-1】（2021春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（ ）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2+2ab +b 2【变式1-2】（2021春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．（m +1）（﹣1+m ）B ．（2a +3b ﹣5c ）（2a ﹣3b ﹣5c ）C ．2021×2019D ．（x ﹣3y ）（3y ﹣x ） 【变式1-3】（2021春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（2a +b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a +2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a +3b ）D ．（13a +1）（−13a −1） 【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（2021春•仪征市期中）若多项式4x 2﹣mx +9是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．6B ．12C ．±12D ．±6 【变式2-1】（2021春•南山区校级期中）如果x 2+8x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．4B ．16C ．±4D ．±16【变式2-2】（2021春•新城区校级期末）已知：（x ﹣my ）2＝x 2+kxy +4y 2（m 、k 为常数），则常数k 的值为 ．【变式2-3】（2021春•邗江区期中）若x 2﹣2（m ﹣1）x +4是一个完全平方式，则m ＝ ．【题型3 完全平方公式的几何背景】【例3】（2021春•兴宾区期末）有A ，B 两个正方形，按图甲所示将B 放在A 的内部，按图乙所示将A ，B 并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A ，B 的面积之和为（ ）A．13B．19C．11D．21【变式3-1】（2021春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【变式3-2】（2021春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（）A．3B．6C．12D．18【变式3-3】（2021春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（）A．28B．29C．30D．31【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（2021•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【变式4-1】（2021春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x【变式4-2】（2021春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【变式4-3】（2020春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式．【题型5 乘法公式（求代数式的值）】【例5（2021春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．【变式5-1】（2021•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝．【变式5-2】（2021春•驿城区期末）已知a ﹣b ＝9，ab ＝﹣14，则a 2+b 2的值为 ．【变式5-3】（2021春•聊城期末）已知：a ﹣b ＝6，a 2+b 2＝20，求下列代数式的值：（1）ab ；（2）﹣a 3b ﹣2a 2b 2﹣ab 3．【题型6 乘法公式的综合运算】【例6】（2020秋•东湖区期末）实践与探索如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）A ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）B ．a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2C ．a 2+ab ＝a （a +b ）（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a 2﹣b 2＝24，2a +b ＝6，则2a ﹣b ＝ ．①计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【变式6-1】（2021•滦南县二模）【阅读理解】我们知道：（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2①，（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2①，①﹣①得：（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab ，所以ab =(a+b)24−(a−b)24=(a+b 2)2−(a−b 2)2． 利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499． 【发现运用】根据阅读解答问题 （1）填空：102×98＝ （102+982） 2﹣ （102−982） 2；（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．【变式6-2】（2021春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab= (a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝．（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如图，四边形ABED是梯形，DA①AB，EB①AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为．【变式6-3】（2021春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；①已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．。
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。
2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。
例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。
2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。
x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。
第一讲：乘法例1：解答：56×4=例2：解答：3×42= 把42分拆成40和2例3：解答：4×329=例4：有9箱货物（重量如下所示），你能想个好办法计算出结果吗？123kg 124kg 125kg133kg 134kg 135kg143kg 144kg 145kg例5：计算：73÷5 （被除数可以分拆成除数5的倍数50和23）73÷5=14…3 50÷5=1023÷5=4 (3)例6：王华在数学考试时，把一个数除以3错算成了乘3，结果得225，正确答案应该是多少？练习：1.用数卡①②③④⑤⑥⑦⑧⑨摆数（1）任选其中6张数卡，摆出2个三位数，使它们的差最大（2）任选其中6张数卡，摆出2个三位数，使它们的差最小（3）你发现了什么特征吗？2.小华在练习英文打字，5分钟打了450个字母，他平均每分钟打几个字母，照这样计算，10分钟能打多少个字母？（用两种方法解）3.☆7 7×△___________2 4 9 3☆,△各是多少？4.在□里填上适当的数（1）□□□（2）□□ 7× 8 ×□__________ ___________5 2 3 2 2 7 8 5(3) 45÷□=□...3 (4) 51÷□=□ (3)5.从4-9这六个数中选出不同的数字填入□中，使得到的商最接近200。
□□□÷□6.在□中填上合适的数7.一个数与自己本身相乘相除，所得的积与商相乘结果为100，这个数是多少？第二讲：运算定律二、例题例3 4821-998 例4 4×125×25×8例5 125×（8+10）例6 9123-（123+88）例7 124×83+83×176例8 9999×1001例9 136--（36--18）例10 269+(31—17)练习：1、2105－769－2312、585－438+15－623、32×125×73+732+2684、425－2217－7835、38+137+62+12636、（1528+2899）+20727、1245－135－65 8、2132－（632+83）9、7755－(2187+755) 10、3065－738－106511、1883－398 12、（13×125)×(3×8)第三讲：乘法应用题知识要点：理解1．求几个相同数的和的问题可用乘法计算。
北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》说课稿3一. 教材分析《北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》》这一节的内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方差公式和完全平方公式的基础上进行讲解的。
通过这一节的内容，学生能够进一步理解和掌握乘法公式的运用，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的数学基础，对于有理数的乘法和平方差公式、完全平方公式已经有了一定的了解。
但是，学生在运用乘法公式解决实际问题方面还存在一些困难，需要通过本节课的学习来进行巩固和提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握乘法公式的运用，能够运用乘法公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握乘法公式的运用。
2.教学难点：学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究和合作交流来解决问题。
同时，我也会运用多媒体教学手段，如PPT等，来进行辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。
2.自主探究：学生通过自主学习，理解乘法公式的运用，并能够解决一些简单的问题。
3.合作交流：学生分组讨论，共同解决一些复杂的问题，培养学生的合作交流能力。
4.总结提高：学生进行总结，教师进行点评，加强对乘法公式的理解和运用。
5.巩固练习：学生进行练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的重点内容。
可以设计一些乘法公式的示例，以及解决实际问题的步骤，帮助学生理解和掌握。
八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、练习成绩和课后反馈来进行。
