格林函数与输运

多体量子力学中的格林函数方法多体量子力学是研究多粒子体系中粒子之间相互作用的力学理论。

在这个理论框架下，我们需要处理多个粒子的波函数，同时考虑它们之间的相互作用。

为了解决这个问题，物理学家们提出了多种方法，其中一种重要的方法就是格林函数方法。

格林函数方法最早由德国物理学家赫尔曼·哈库斯（Hermann Hankel）于1859年提出，后来由多位物理学家进一步发展和推广。

格林函数可以用来描述量子态的演化和性质，是求解多体问题的有力工具。

在多体量子力学中，格林函数是描述粒子行为的函数。

它可以用来计算不同时间和位置下粒子的性质，比如粒子的动量、位置和电荷等。

格林函数的形式由一般的波函数演化方程决定。

它可以被分为两个部分：单粒子格林函数和相互作用格林函数。

单粒子格林函数描述了一个单粒子在外势场下的行为。

它可以被定义为粒子在某个时刻从一个位置传播到另一个位置的概率幅。

通过计算单粒子格林函数，可以得到粒子的一些重要性质，比如能谱和态密度等。

相互作用格林函数描述了多个粒子之间的相互作用。

在多体问题中，粒子之间的相互作用是一个非常重要的因素。

通过计算相互作用格林函数，可以探究粒子之间的相互作用强度和方式。

相互作用格林函数的求解可以通过一系列的近似方法，比如平均场理论、扰动方法和重整化群等。

格林函数方法在各个领域都有广泛的应用。

在凝聚态物理中，格林函数方法可以用来研究电子系统和其他凝聚态物理体系的性质。

通过计算格林函数，可以得到电子的输运性质、激发态和自能等重要信息。

格林函数方法在量子化学、固体物理、统计物理和粒子物理等领域也都有着重要的应用。

虽然求解格林函数的问题是一个复杂的任务，但是近年来，在计算机科学和数值方法的发展下，越来越多的精确和高效的方法被提出。

比如，基于数值求解的格林函数方法、基于图像处理的格林函数方法、基于机器学习的格林函数方法等。

这些方法为求解多体问题提供了新的思路和工具。

总结起来，格林函数方法是解决多体量子力学问题的一种重要方法。

第十四章 格林函数--偏微分方程解的积分表示解偏微分方程主要有两种方法：A: 数理方法中的分离变量法：正交的多项式或无穷级数解，但需要齐次边界条件。

B: 理论物理中的Green 函数方法：既是简单的有理形式解，又允许任意的边界条件！ 1，Green 函数（GF ）的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布。

特别是它在空间是源函数；在时空是传播函数。

(See below)数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界区域、初值条件下的解。

2，GF 的分类：边界值GF ：(,')G r r 即源函数；初始值GF ：(,;',')G r t r t 即传播函数。

3，Green 函数的性质：1）对称性：(,')(',)G r r G r r =，它与定解问题相关，即与厄米性相关。

(See 4 below)2）时间传播函数没有对称性：(,;',')(',';,)G r t r t G r t r t ≠.（因果律引起） 3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在。

这是因为既有点源：(')r r δ-矛盾于又无流：|0.n G ∂∑∂= 本征值问题存在，但是没有激发，物理上自相矛盾！平面波(),ik xat Ae 球面波1()ik xat Ar e -和柱面波1/2()ik at A e ρρ-均是LaplaceEquation 的解，但不是Possion Equation 的解。

球、柱面波分别来自于1x时（散射问题）渐近行为：(1,2)[(1/2)/2](1,2)[(1)/2]21(),().i x m i x l ml xxH x e h x e πππ±-+±-+4，Green 函数的边值条件：选取边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。

非平衡格林函数方法
非平衡格林函数方法是一种量子力学计算方法，用于研究非平衡态下的电子结构和输运性质。

它通过求解非平衡格林函数来描述系统的电子态和输运性质。

非平衡格林函数是描述非平衡态下的电子密度矩阵和电子自能的重要工具。

在非平衡态下，电子系统中存在着电子的注入和抽出，因此电子系统的密度矩阵和自能不再是平衡态下的对角化态。

非平衡格林函数方法通过求解非平衡态下的格林函数，可以得到体系的电子密度矩阵和自能，从而研究体系的输运性质。

非平衡格林函数方法可以用于研究各种体系的输运性质，如半导体器件、分子器件、纳米结构等。

该方法的优点在于可以考虑电子-电子相互作用和电子-声子相互作用等非平衡效应，可以得到更为准确的结果。

非平衡格林函数方法的实现需要使用一系列数学工具，如Keldysh路径积分、费曼图等。

这些工具的使用使得非平衡格林函数方法的计算复杂度较高，但是在研究非平衡态下的电子输运性质时，该方法是一种非常有效的计算工具。

总之，非平衡格林函数方法是一种重要的量子力学计算方法，可以用
于研究非平衡态下的电子结构和输运性质。

在未来的研究中，非平衡格林函数方法将继续发挥重要作用，推动纳米电子学、分子电子学等领域的发展。

一般地，点源作用产生的场就是格林函数。

在地震学中，格林函数是单位集中脉冲力产生的场，可以是位移，速度或加速度等，一般指位移场。

集中意味着力只作用于空间中一点，脉冲指力只作用于时间中某一时刻。

在地震学中，应特别注意：1) 集中脉冲型单力产生的位移场是格林函数；2) 一对单力组成的力偶产生的位移场是格林函数空间导数；3) 断层剪切位错所产生的位移场，等效于双力偶所产生的位移场，也等效于单力+单力偶所产生的位移场。

（见《定量地震学》等效体力章节，即3.2节）。

注：单力偶就是一般意义上的力偶，代表一对单力组成的力偶；双力偶是指两个单力偶的组合。

1 什么是格林函数对线性算子 L ，在点源 \delta 作用下的输出（或响应）就是格林函数G，即： LG=\delta 。

不同线性算子对应不同物理问题，也就对应不同性质的方程，如拉普拉斯方程，泊松方程，亥姆霍兹方程，波动方程等，这些方程都对应着各自不同的格林函数（见第二部分Wikipedia汇总）。

如，对声波波动问题，线性算子为 L=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \nabla^2 .格林函数妙处在于若已知格林函数与源分布（包括时间上与空间上），则可通过格林函数与源的卷积求得在此源作用下系统的输出（或响应）。

郭敦仁先生曾讲：“从物理上看，一个数理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（如热传导方程表示温度场和热源的关系），而格林函数则代表了一个点源所产生的场。

知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。

”推导：已知： L\varphi=Q ,其中 L 是线性算子，Q 为源分布， \varphi 为待求输出。

利用卷积的性质，可得： \varphi=\varphi *\delta=\varphi * (LG)=(L\varphi) * G=Q*G .（注：卷积的实质就是把所有源的作用都通过积分叠加起来）因此，问题的关键就是求格林函数。

非平衡格林函数非平衡格林函数（Non-equilibriumGreen'sfunctions,NEGF）是描述非平衡态下系统行为的重要工具。

它是格林函数的一种推广，广泛应用于凝聚态物理、纳米电子学、光电子学等领域。

本文将从NEGF 的基本概念、历史发展、理论框架、应用研究等方面进行介绍和分析。

一、基本概念NEGF是一种描述量子系统非平衡态下的行为的理论工具。

它是格林函数理论的一种推广，用于描述系统中的电荷、能量、自旋等自由度在时间和空间上的演化。

NEGF理论可以用来计算非平衡态下的输运性质，如电导率、热导率等，也可以用于描述非平衡态下的光学性质，如吸收谱、发射谱等。

NEGF理论的核心是非平衡态下的格林函数。

格林函数是描述量子系统中的相互作用效应的数学工具，它反映了系统中某个自由度的激发情况对其他自由度的影响。

在平衡态下，格林函数可以用来描述系统的激发态密度、热力学性质等。

在非平衡态下，格林函数则可以用来描述系统中的输运性质。

二、历史发展NEGF理论的历史可以追溯到20世纪50年代。

当时，人们开始研究电子在晶体中的输运性质，发现传统的电子输运理论无法解释一些实验现象，如局域化、能级移动等。

为了解决这些问题，人们开始研究非平衡态下的电子输运理论。

1960年代初，Kadanoff和Baym等人提出了非平衡态下的格林函数理论，为后来的NEGF理论的发展奠定了基础。

NEGF理论在20世纪80年代得到了快速发展。

当时，人们开始研究纳米电子学、光电子学等领域，需要描述非平衡态下的输运性质。

NEGF理论的优越性质得到了广泛认可，并被应用于多个领域。

目前，NEGF理论已经成为描述非平衡态下的量子系统行为的重要工具。

三、理论框架NEGF理论的核心是非平衡态下的格林函数。

在NEGF理论中，系统的哈密顿量可以表示为H=H0+V其中H0是自由哈密顿量，V是相互作用哈密顿量。

系统的演化可以用密度矩阵来描述。

在NEGF理论中，密度矩阵可以表示为ρ(t)=ρ0+δρ(t)其中ρ0是平衡态下的密度矩阵，δρ(t)是非平衡态下的扰动。

§2.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。

格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。

格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。

知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。

一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。

设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 化成体积积分.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑TTTvdV u vdV u dV v u S d v u ϖ（12-1-1）这叫作第一格林公式。

同理，又有.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑TTvdV u udV v S d u v ϖ（12-1-2）（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 亦即.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n vu（12-1-3）n ∂∂表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。

（12-1-3）叫作第二格林公式。

现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。

泊松方程是)( ),(T r r f u ∈=∆ϖϖ（12-1-4）第一、第二、第三类边界条件可统一地表为),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑（12-1-5）其中 ϕ（M ）是区域边界 ∑ 上的给定函数。

α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。

泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。

《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运内容提要：1概述；2单粒子性质的格林函数表述；3用格林函数推导迁移率中1-α项1概述 1． 1金属中电子输运特性对于金属*m e τμ-=， μσ0en -=，τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记忆。

输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等：∑=--ii 11ττ即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。

绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。

T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。

在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。

低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。

不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。

这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。

这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。

杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。

声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。

这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。

上述金属中的杂质不含磁性杂质。

磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。

1． 2半导体输运特性半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。

晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。

声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。