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第六章 保形映射第二节 分式线性函数及其映射性质1、分式线性函数：分式线性函数是指下列形状的函数：,δγβα++=z z w 其中δγβα,,,是复常数，而且0≠-βγαδ。
在0=γ时，我们也称它为整线性函数。
分式线性函数的反函数为,αγβδ-+-=w w z 它也是分式线性函数，其中0))((≠---βγαδ。
注解1、当0=γ时，所定义的分式线性函数是把z 平面双射到w 平面，即把C 双射到C 的单叶解析函数；注解2、当0≠γ时，所定义的分式线性函数是把}{C γδ--双射到}{C γα-的单叶解析函数；注解3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面∞C 。
当0=γ时，规定它把∞=z 映射成∞=w ；当0≠γ时，规定它把∞=-=z z ,γδ映射成γα=∞=w w ,；则把∞C 双射到∞C 。
现在把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域，如果)(1z f t =把0z z =及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，那么我们说w=f (z )把0z z =及其一个邻域保形映射成∞=w 及其一个邻域。
如果)/1(1ζf t =把0=ζ及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，那么我们说w=f (z )把∞=z 及其一个邻域保形映射成∞=w 及其一个邻域。
注解4、分式线性函数把扩充z 平面保形映射成扩充w 平面。
注解5、区域、连通性等概念可以推广到扩充复平面。
一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：（1）、α+=z w （α为一个复数）；（2）、z e w i θ=（θ为一个实数）；（3）、rz w =（r 为一个正数）；（4）、zw 1=。
事实上，我们有：),0( )(=+=+=γδβδαδβαz z w ),0( )(2≠+-+=++=γγδγαδβγγαδγβαz z z w 把z 及w 看作同一个复平面上的点，则有：（1）、α+=z w 确定一个平移；（2）、z e w i θ=确定一个旋转；（3）、rz w =确定一个以原点为相似中心的相似映射；（4）、z w 1=是由映射zz 11=及关于实轴的对称映射1z w =叠合而得。
第六章 共形映射1. 共形映射的概念（1）夹角：如图6.1所示，过z 0点的两条曲线C 1,C 2，它们在交点z 0处的切线分别为T 1，T 2，我们把从T 1到T 2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z 0处 从C 1到C 2的夹角.对于两条曲线的夹角不仅要指出角度的大小，还要指出角的旋转方向.因此在z 0处从C 2到C 1的夹角不等于从C 1到C 2的夹角.图6.1（1）保角映射：若在映射w =f (z )的作用下，过点z 0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z 0处是保角的.（2）伸缩率的不变性：若极限00limz z w w z z →--000limz z w w z z →--存在且不等于零，则这个极限称为映射w =f (z )在z 0处的伸缩率.并称w =f (z )在z 0具有伸缩率的不变性.（3）共形映射：定义6.1 设函数w =f (z )在z 0的邻域内是一一的，在z 0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w =f (z )在z 0是共形的，或称w =f (z )在z 0是共形映射.如果映射w =f (z )在区域D 内的每一点都是共形的，那么称w =f (z )是区域D 内的共形映射. 2.解析函数与共形映射定理6.1 如果函数w =f (z )在z 0解析，且f '(z 0)≠0，那么映射w =f (z )在z 0是共形的，而且Arg f '(z 0)表示这个映射在z 0的转动角，|f '(z 0)|表示伸缩率.如果解析函数w =f (z )在区域D 内处处有f '(z )≠0,那么 映射w =f (z )是D 内的共形映射.3.分式线性变换（1）定义：形如 , (0).az bw ad bc cz d+=-≠+ (6.3) 的映射称为分式线性变换，其中a ,b ,c ,d 为复常数. （2）逆变换：d , (()()0),w bz a d cb cw a-+=---≠- (6.5)（3）复合：两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换.事实上，(0),(0).z w z αξβαβαδγβξαδβγγξδγδ''++''''=-≠=-≠''++把后式代入前式得az b w cz d+=+ 其中()()0.ad bc αδγβαδβγ''''-=--≠（4）分解：根据这个事实，我们可以把一个一般形式的分式线性变换分解成一些简单映射的复合.不妨设c ≠0，于是.()az b a bc adw cz d c c cz d +-==+++令,a bc adA B c c-==则上式变为 .Bw A cz d=++ 它由下列三个变换复合而成;1;,z cz d z z w A Bz '=+''='''=+ (6.5) 其中(6.5)中的第一和第三式为整线性变换. 4.分式线性变换性质1° 共形性定理6.2 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，且是共形的. 2°保圆性定理6.3 分式线性变换将扩充z 平面上的圆映射成扩充w 平面上的圆，即具有保圆性. 在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周.推论6.1 在分式线性变换下，圆C 映射成圆C '.如果在C 内任取一点z 0，而点z 0的象在C '的内部，那么C 的内部就是映射到C '的内部；如果z 0的象在C '的外部，那么C 的内部就映射成C '的外部.3° 保对称性先引进对称点的概念.定义6.2 设C 为以z 0点为中心，R 为半径的圆周.如果点z ,z *在从z 0出发的射线上，且满足|z -z 0|·|z *-z 0|=R 2, (6.6)则称z ,z *关于圆周C 是对称的.如果C 是直线，则当以z 和z *为端点的线段被C 平分时，称z ,z *关于直线C 为对称的.我们规定： 无穷远点关于圆周的对称点是圆心.定理6.4 设点z ,z *是关于圆周C 的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w 及w *也是关于C 的像曲线C '的一对对称点.5. 确定分式线性变换的条件定理6.5 在z 平面上任意给定三个不同点z 1,z 2,z 3，在w 平面上也任意给定三个不同点w 1,w 2,w 3，那么就存在分式线性变换，将z k 依次映射成w k (k =1,2,3)，且这种变换是唯一的.推论6.2 z 1,z 2,z 3所在的圆C 的象C ′是w 1,w 2,w 3所在的圆.且如果C 依z 1→z 2→z 3 的绕向与C ′依w 1→w 2→w 3的绕向相同时，则C 的内部就映射成C ′的内部（相反时，C 的内部就映射成C ′的外部）图6.8例6.1 求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z 0映射为圆心w =0的分式线性变换.所求映射的一般形式为00, Im 0.i z z w e z z z θ-=>- (6.8) 例6.2 求将单位圆|z |<1映射为单位圆|w |<1的分式线性变换. 所求映射的一般形式为00 (1)1i z z w e z z zθ-=<-. 6. 几个初等函数所构成的映射（1） 幂函数：w =zn(n ≥2)作用： 1° 圆|z |=r 映射成|w |=r n ，即在以原点为中心的圆有保圆性.2°射线0θθ=映射成射线0n ϕθ=，特别地，正实轴θ=0映成正实轴ϕ=0； 3°将角形域02π0()nθθ<<<映射成角形域00n ϕθ<<.(a) 公式图6.10（2）指数函数：w =e z作用： 1° 平面上的直线x =常数，被映射成w 平面上的圆周ρ=常数；而y =常数，被映射成射线ϕ=常数.2° 把水平带形域0Im (2π)z a a <<≤映射成角形域0arg w a <<.（如图6.12(a)） 3° 带形域0Im 2πz <<映射成沿正实轴剪开的w 平面：0arg 2πw <<(如图6.12(b)).3.求2w z =在z =i 处的伸缩率和旋转角，问：2w z =将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面 上哪一个方向？并作图.例6.5 求将|z |<1,Im z >0映为|w |>1的一个共形映射.。
《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：0911009课程中文名称：复变函数与积分变换课程英文名称：Complex Function and Integral Transformation课程性质：公共基础理论必修课考核方式：考试开课专业：全校理工科各专业开课学期：3总学时：48学时(全部为理论学时)总学分：3学分二、课程目的复变函数与积分变换是工科类及应用理科类有关专业的基础课。
通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，掌握保形映射的理论和方法，傅里叶变换与拉普拉斯变换的特性与应用，为学习相关专业课程及以后实际应用提供必要的数学基础。
三、教学基本要求1．熟练掌握复数的各种表示方法及其运算；了解点集、区域的概念；理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续性的概念。
2．理解复变函数的导数概念及求法，理解解析函数的概念，掌握柯西—黎曼条件判断解析性，了解某些初等解析函数的基本性质；了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实部）的方法。
3．理解积分的定义与性质，会求复变函数的积分；掌握柯西定理，会用柯西定理和复合闭路定理计算定积分；掌握柯西积分公式和高阶导数公式计算积分。
4．理解复数项级数、幂级数（绝对收敛、条件收敛）的概念，了解幂级数的基本性质；了解收敛圆概念、会求收敛半径；了解泰勒定理及其初等函数的马克劳林展式，并利用它们将一些简单解析函数展开为幂级数；理解洛朗级数，掌握简单函数在不同圆环域内展开为洛朗级数的间接方法。
5．理解孤立奇点及其分类及函数在各类奇点邻域内的性质；留数的概念及留数定理；掌握极点处留数的求法及用留数求闭路积分和某些实积分的方法。
6．了解导数的几何意义及保角映射的概念；掌握分式线性映射的保圆性、保对称性等映射性质及幂函数、指数函数的映射特点；会求一些简单区域（如半平面、角形域、圆域、带形域等）之间的保形映射。
7．理解Fourier变换的概念,会求函数的Fourier变换，了解δ函数及其性质；掌握Fourier 变换性质和卷积定理。
第七章保形变换前几章主要是用分析的方法，也就是用微分、积分和级数等，来讨论解析函数的性质和应用。
内容主要涉及所谓柯西理论；这一章主要是用几何方法来揭示解析函数的特征和应用。
保形变换现审定名为“共形映射”或“共性映照”。
它在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的主要方法。
第一节解析变换的特性一.保域性1.定理7.1(保域定理)设在区域内解析且不恒为常数，则的象也是一个区域。
证先证的每一个点都是内点。
，使,则为的一个零点,由解析函数的零点孤立性知,,使,且在上无异于的零点。
令,则。
下证。
，考察，当时，，由Rouché定理，即在内有解,从而。
再证内任两点,可用全含于内的折线连接起来。
由于是区域,在内有折线,,连接,其中。
函数把折线映射成内连接的逐段光滑曲线。
由于为内紧集，根据有限覆盖定理,可被内有限个开圆盘所覆盖,从而在内可作出连接的折线。
综合，知为区域。
2.推论7.2设在区域内单叶解析,则的象也是一个区域。
证因为在区域内单叶，故在内不恒为常数。
3.定理还可推广为：在扩充平面的区域内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数，则的像为扩充平面上的区域。
4.单叶解析函数的性质定理6.11若在区域内单叶解析，则在内。
定理7.3(局部单叶性) 设在解析且，则在的某个邻域内单叶解析。
(证明类似于和）二.解析变换的保角性——导数的几何意义1.导数辐角的几何意义设为过的光滑曲线,,则且是在处的切线的辐角。
设，故也是光滑的,。
若内过还有一个光滑曲线。
设，则即处曲线与的夹角恰好等于处曲线与的夹角。
单叶解析函数作为映射时,曲线间夹角（即切线的夹角）的大小及方向保持不变，这一性质称为旋转角不变性。
称为变换在的旋转角,仅与有关，与过的曲线的选择无关。
象曲线在处的切线正向可由原象曲线在的切线正向旋转一个旋转角得到。
2.导数模的几何意义由于,故象点间的无穷小距离与原象点间无穷小距离之比的极限是,称为变换在的伸缩率。
