长春市高三上学期期末数学试卷(理科)(I)卷

长春外国语学校2020-2021学年第一学期期末考试高三年级数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合}21|{<<-=x x A ，}02|{2≤+=x x x B ，则=B A （ ）A ．}20|{<<x xB ．}20|{<≤x xC ．}01|{<<-x xD ．}01|{≤<-x x2. 设i z +=1（i 是虚数单位），则=+z z 2（ ） A ．i 22- B ．i 22+ C ．i --3 D ．i +33. 已知)2,1(-=a ，)0,1(=b ，向量b a +λ与b a 4-垂直，则实数λ的值为（ ）A ．31B ．31- C ．3 D ．3-4. 点)1,2(M 到抛物线2ax y =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．41B ．121C ．41或121- D ．41-或1215. 已知三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积是 （ ）A ．32B ．4C ．34D ．66. 若如下框图所给的程序运行结果为35=S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（）A ．6=kB ．6≤kC ．6<kD ．6>k7. 设)(x f 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间]1,2(-上的图像，则=+)2013()2011(f f （ ）A ．3B ．2C ．1D ．08. 已知直线a y x =+与圆122=+y x 交于B A ,两点，O 是坐标原点，向量OB OA ,满足||||OB OA OB OA -=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1±D ．2±9. 椭圆1222=+y x 两个焦点分别是21,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则21PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ． ]1,1[-B ．]0,1[-C ．]1,0[D ．]2,1[- 10. 若函数x mx x x f 632)(23+-=在区间),1(∞+上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ． ]1,(-∞B ．)1,(-∞C ．]2,(-∞D ．)2,(-∞11. 二项式n x x )31(+的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A ．95 B ．35 C ．5 D ．1512. 已知函数)(x f y =是R 上的可导函数，当0≠x 时，有0)()(>+'xx f x f ，则函数xx f x x F 1)()(-⋅=的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

吉林省长春市高三上学期（理科）数学期末模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共60分)1. （5分） (2019高一上·南京期中) 设集合，，则（）.A .B .C .D .2. （5分）若是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （5分） (2017高一上·唐山期末) 在△ABC中，，P在边BC上且BP=2PC，则 =（）A .B .C .D .4. （5分）“若，则”为真命题，那么不能是（）A .B .C .D .5. （5分） (2016高二上·友谊开学考) 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB . 若m⊥α，n⊥α，则m∥nC . 若m∥α，n∥α，则m∥nD . 若m∥α，m∥β，则α∥β6. （5分） (2020高二上·天津期末) 若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是（）A . (-1,0]B . [0,1)C . (-1,1)D . [-1,1]7. （5分）(2017·滨州模拟) 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a=10，b=4，则输出的n=（）A . 4B . 5C . 6D . 78. （5分）(2017·孝义模拟) 已知抛物线y2=2px（p＞0），过点C（﹣4，0）作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2=2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是（）A . y2=4xB . y2=﹣4xC . y2=8xD . y2=﹣8x9. （5分）等差数列中的是函数的极值点，则= （）A . 2B . 3C . 410. （5分） (2019高一上·邵东期中) 函数的零点所在的一个区间为（）A .B .C .D .11. （5分） (2017高三上·唐山期末) 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A .B .C .D .12. （5分）(2017·衡水模拟) 已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（）A . 0B . lD . 3二、填空题 (共4题；共20分)13. （5分）(2017·山东) 已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．14. （5分）(2017·运城模拟) 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为________．15. （5分） (2016高二下·长治期中) 过点P（3，2），且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．16. （5分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于________ （结果用数值表示）.三、解答题 (共5题；共60分)17. （12分）已知函数f（x）= cos（﹣2x）﹣2cos2x+1（1）求f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，所得函数g（x）的图象关于直线x= 对称，求m 的最小值及m最小时g（x）在[0， ]上的值域．18. （12分）(2018·临川模拟) 如图所示，在四棱锥中，平面是的中点, .（1）证明：平面；（2）若是上的点，且，求二面角的正弦值.19. （12分） (2020高三上·泸县期末) 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计参考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．20. （12分） (2019高二上·洮北期中) 已知椭圆的离心率为，且经过点P ，过它的左、右焦点分别作直线l1和12.l1交椭圆于A．两点，l2交椭圆于C,D两点，且（1）求椭圆的标准方程.（2）求四边形ACBD的面积S的取值范围.21. （12分） (2018高二下·河南月考) 已知函数.（1）求的单调区间和值域；（2）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.四、选做题。

长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高三年级数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.A4.A. 2B.15.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A. 30尺B. 90尺C. 150尺D. 180尺6.下列说法不正确．．．的是A.B.C. 是真命题D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,7.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．4 cm3B．5 cm3C．6 cm3D．7 cm38.则①应为A ．n ≤B ．n≤C ．n ≤D ．n ≤8?10.A．12 C ．6 D11.,,若则双曲线的离心率为12.A．．1 D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.14.圆心在直线x －2y＝0上的圆C 与y 轴的负半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________1516.以下命题正确的是②③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2．若ξ内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)2.(1)(2)A为锐角，且满足18.(本小题满分12分)从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E （ξ）．19.(本小题满分12分)如图，(Ⅰ)求证：MN ⊥平面PAB ；(Ⅱ).20.(本小题满分12分)M （），且左焦点为（Ⅱ）已知点A 、B 是椭圆C 上的两个动点，若以AB 为直径的圆过原点O ， 证明：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求这个定值.NMDCBAP21. (本小题满分12分)（1（2（3最大值.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题好进行评分；多涂多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系xoyt 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C（I ）求曲线C 的直角坐标方程；（II ）设曲线C A 、B ，若点P |P A |+|PB |的值.23.（1（2.数学试卷（理科答案）一选择题二填空题13.14.15.6016.①③④三解答题17.（1）m=;(2)18.(1) 92(2)2(3)E(ζ)=119.(1)证明略（2）PN=20.（1）（2）证明略定值为21.（1）a=-2(2);(3)k=3 22(1)(2)23(1)(2)-2。

吉林省长春市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合则（）A .B .C .D .2. （2分）若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A . -2B . 4C . -6D . 63. （2分）(2017·大同模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅造的一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取为3，其体积为12.6（立方升），则三视图中x的为（）A . 3.4B . 4.0C . 3.8D . 3.64. （2分）在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2015高三下·湖北期中) 执行下面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）已知，且，则等于（）A . -7B . -1C .D . 77. （2分） (2018高一下·衡阳期末) 若实数，满足约束条件则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·邵东期末) 将函数y=2sin（﹣2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的解析式应该是（）A . y=﹣2sin（2x）B . y=﹣2sin（2x+ ）C . y=﹣2sin（2x﹣）D . y=﹣2sin（2x+ ）9. （2分） (2018高三上·大连期末) 双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .10. （2分）(2012·陕西理) 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A . 10种B . 15种C . 20种D . 30种11. （2分）四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，=2，则该四面体体积的最大值为（）A .B .C . 2D . 712. （2分） (2017高二下·湖北期中) 直线x=a分别与曲线y=2（x+1），y=x+lnx交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A . 3B . 2C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 有一张画有内接正方形的圆形纸片，若随机向圆形纸片内丢一粒小豆子，则豆子落入正方形内的概率为________．14. （1分） (2019高三上·镇海期中) 已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为________．15. （1分） (2017高一下·淮安期末) 若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为________．16. （2分）(2017·黑龙江模拟) 数列{an}的前n项和Sn满足Sn= +An，若a2=2，则A=________，数列的前n项和Tn=________．三、解答题 (共8题；共85分)17. （5分）求证：=18. （15分） (2016高二下·通榆期中) 甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．（1）求甲、乙两人都被分到A社区的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（3）设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和Eξ的值．19. （10分）(2017·石家庄模拟) 如图，在四棱锥A﹣BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF∥BC，且EF= BC，△ABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且FG= ，CF= ，BF= ．（1）证明：平面FGB⊥平面ABC；（2）求二面角E﹣AB﹣F的余弦值．20. （10分）(2019·上饶模拟) 已知椭圆的两焦点在轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为的等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

2020-2021学年吉林省长春一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1,2，3，4}，B={x∈R|1<x≤4}，则A∩B=()A. {1,2，3，4}B. {2,4}C. {2,3，4}D. {x|1<x≤4}2.已知复数z=1+2i，则|z2|=()A. √3B. 3C. √5D. 53.命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定为()A. ∀x∈R，x2+x+1≥0B. ∀x∉R，x2+x+1≥0C. ∃x0∉R，x02+x0+1<0D. ∃x0∈R，x02+x0+1≥04.cos15°⋅cos75°=()A. √32B. 12C. √34D. 145.一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为()A. 63B. 108C. 75D. 836.若实数x，y满足不等式组{x+1≥0,y≥0,x+y≤3,则x−2y的最大值是()A. −9B. −1C. 3D. 77.已知x，y为正实数，且2x+y=1，则2x +1y的最小值为()A. 4B. 7C. 9D. 118.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=√407，则sinA=()A. 27B. 47C. 57D. 679.∫(2−2x+√4−x2)dx=()A. πB. 4πC. 3πD. 2π10.对于函数f(x)=−2sin(3x+π4)+12(x∈R)，有以下四种说法：①函数的最小值是−32；②图象的对称轴是直线x=kπ3−π12(k∈Z)；③图象的对称中心为(kπ3−π12,0)(k∈Z)；④函数在区间[−7π12,−π3]上单调递增． 其中正确的说法的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 若函数f(x)=ax 3+3x 2+x +b(a >0,b ∈R)恰好有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( )A. (0,3)∪(3,+∞)B. [3,+∞)C. (0,3]D. (0,3)12. 斜率为12的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，则|AF|+|BF||AF|⋅|BF|的值为( )A. 12B. 1C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(x,1)，若(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数x 等于______．14. 数列1，(1+2)，(1+2+22)，(1+2+22+23)，(1+2+22+23+24)，…的前n 项之和S n = ______ ． 15. 已知函数f(x)=−x 3+ax 2−x −1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是______ ． 16. 已知在锐角△ABC 中，A =π3，|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+√3bc ．(1)求sin A ；(2)若△ABC 外接圆的面积为16π，求边长a ．18. 已知等差数列{a n }的前项和为S n ，S 5=60，S 10=245．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AP=AB，E为CD的中点．(1)求证：CD⊥平面PAE；(2)求平面PAE与平面PBC所成二面角的正弦值．20.已知椭圆E：x25+y24=1．(1)求与方程E焦点相同，且过Q(√2,√62)的椭圆方程C；(2)若直线y=12x+m交椭圆C于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且3x1x2+4y1y2=0，试求△AOB的面积．21. 已知函数f(x)=(x +a)lnx −12x 2−ax +a −1．(1)若a =1，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)>alnx −12x 2−2x 在(1,+∞)上恒成立，求整数a 的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=1． (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2相交于A ，B 两点，设P(−1,√3)，求|PA|⋅|PB|．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={1,2，3，4}，B={x∈R|1<x≤4}，∴A∩B={2,3，4}，故选：C根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】D【解析】解：∵z=1+2i，∴z2=(1+2i)2=−3+4i，则|z2|=|−3+4i|=√(−3)2+42=5．故选：D．由已知求得z2，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定为：∃x0∈R，x02+x0+1≥0．故选：D．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，考查转化能力．4.【答案】D【解析】解：cos15°⋅cos75°=cos15°⋅sin15°=12×2cos15°⋅sin15°=12sin30°=14．故选：D．利用诱导公式以及二倍角公式结合特殊角的三角函数求解即可．本题考查特殊角的三角函数求值，二倍角公式以及诱导公式的应用，是基本知识的考查．5.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k 项的和也成等比数列． 则等比数列的第一个n 项的和为48，第二个n 项的和为60−48=12， ∴第三个n 项的和为：12248=3，∴前3n 项的和为60+3=63． 故选：A ．根据等比数列的性质可知等比数列中每k 项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n 项的和和第二个n 项的和，求得第三个n 项的和，进而把前2n 项的和加上第三个n 项的和，即可求得答案． 本题主要考查了等比数列的前n 项的和．解题的关键是利用等比数列每k 项的和也成等比数列的性质．6.【答案】C【解析】解：由z =x −2y 得y =12x −z2， 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)： 平移直线y =12x −z2，由图象可知当直线y =12x −z2，过点A 时，直线y =12x −z2的截距最小，此时z 最大， 由{y =0x +y =3解得A(3,0) 代入目标函数z =x −2y ，得z =3， ∴目标函数z =x −2y 的最大值是3． 故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7.【答案】C【解析】解：∵x ，y >0且2x +y =1， ∴2x +1y =(2x +1y )(2x +y)=5+2x y +2y x≥5+2√2x y ⋅2y x=9，当且仅当2xy =2yx，即x =13,y =13时，等号成立． ∴2x +1y 的最小值为9．故选：C ．由2x +1y =(2x +1y )(2x +y)，展开后利用基本不等式求最值． 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由于：cosC =√407，则：sinC =√1−cos 2C =37， 又a =2c ，利用正弦定理：asinA =csinC ， 解得：sinA =67， 故选：D ．直接利用三角函数关系式的恒等变换，求出sin C 的值，进一步利用正弦定理求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．9.【答案】D【解析】解：∵∫√4−x 22−2dx 表示的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的12， ∴∫√4−x 22−2dx =π⋅22=4π，则原式=∫x 2−2dx +∫√4−x 22−2dx =12x 2|−22+∫√4−x 22−2dx =0+2π=2π， 故选：D ．根据定积分的几何意义，∫√4−x 22−2dx 表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积，问题得以解决． 此题考查了定积分，熟练掌握定积分的几何意义是解本题的关键．【解析】解：函数f(x)=−2sin(3x +π4)+12(x ∈R)，当3x +π4=π2时，即x =π12，函数f(x)取得最小值为−2×1+12=−32，故①正确； 当3x +π4=π2+kπ时，即x =π12+kπ3,k ∈Z ，函数f(x)的图象的对称轴是直线x =π12+kπ3,k ∈Z ，故②错误；当3x +π4=kπ时，即x =−π12+kπ3,k ∈Z ，函数f(x)的图象的对称中心为(−π12+kπ3,12),k ∈Z ，故③错误；当π2+2kπ≤3x +π4≤3π2+2kπ，即π12+2kπ3≤3x ≤5π12+2kπ3,k ∈Z ，函数f(x)的递增区间为[π12+2kπ3,5π12+2kπ3],k ∈Z ，当k =−1时，f(x)的递增区间为[−7π12,−π4]，故④正确 故选：B ．求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误．本题考查函数的最值，对称中心，函数的对称轴的求法，函数f(x)=−2sin(3x +π4)+12(x ∈R)的递增区间转化为y =sin(3x +π4)的递减区间是解题的关键，是中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意得f′(x)=3ax 2+6x +1(a >0)， ∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间， ∴f′(x)有两个不同的零点，所以，{△=36−12a >0a >0，解得0<a <3．因此，实数a 的取值范围是(0,3)． 故选：D ．求得f′(x)=3ax 2+6x +1(a >0)，由题意可知，f′(x)有两个不同的零点，可得出△>0，进而可求得实数a 的取值范围．本题利用函数的单调区间个数求参数，解题的关键就是结合题意确定函数的极值点的个数，结合二次函数的基本性质解题，是中档题．【解析】解：由y2=4x得F(1,0)，p=2．由已知得{y=12(x−1)y2=4x，消去y得x2−18x+1=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=18，x1x2=1．又|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，所以|AF|⋅|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=20．故|AF|+|BF||AF|⋅|BF|=x1+x2+220=2020=1．故选：B．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线的方程和抛物线的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，求出x1+x2，x1⋅x2，然后将结论用x1+x2，x1⋅x2表示出来，结论可求．本题考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的定义等知识．属于中档题．13.【答案】7【解析】解：a⃗−b⃗ =(3−x,3)，∵(a⃗−b⃗ )⊥a⃗，∴(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=3(3−x)+12=0，解得x=7．故答案为：7．(a⃗−b⃗ )⊥a⃗，可得(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】2n+1−n−2【解析】解：由题意a n=1+2+22+⋯2n−1=1−2n1−2=2n−1，∴S n=(2−1)+(22−1)+⋯+(2n−1)=(2+22+⋯+2n)−n=2(1−2n)1−2=2n+1−2−n．故答案为：2n+1−n−2．先归纳出通项公式，然后再分组求和．本题考查数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】[−√3,√3]【解析】【解析】本题考查利用导数研究函数单调性，导数的运算，考查转化思想，是基础题．由求导公式和法则求出f′(x)，由题意和导数与函数单调性的关系可得：f′(x)≤0在R 上恒成立，利用二次函数的图象和△列出不等式，求出实数a 的取值范围． 【解答】解：由题意知，f(x)=−x 3+ax 2−x −1， 则f′(x)=−3x 2+2ax −1，∵f(x)=−x 3+ax 2−x −1在R 上是单调函数， ∴f′(x)=−3x 2+2ax −1≤0在R 上恒成立，则△=(2a)2−4×(−3)×(−1)≤0，解得−√3≤a ≤√3， ∴实数a 的取值范围是[−√3,√3]， 故答案为：[−√3,√3]．16.【答案】(0,12)【解析】解：因为锐角△ABC 中，A =π3，|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 故c =2，设∠C =α，则B =2π3−α，所以{0<α<π20<2π3−α<π2，解得π6<α<π2． 由正弦定理得2sinα=asin π3=bsin(2π3−α)，所以a =√3sinα,b =2sin(2π3−α)sinα=√3cosα+sinαsinα． 令f(α)=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =abcosα=3cos 2α+√3sinαcosαsin 2α=3(1tanα)2+√3(1tanα)，因为α∈(π6,π2)，故0<1tanα<√3，易知1tanα→0时，f(α)→0；1tanα→√3时，f(α)→12，且当1tanα∈(0,√3)时，f(α)随着1tanα的增大而增大． 故CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(0,12)． 故答案为(0,12)．将给的向量条件转化为△ABC 的边角关系，然后借助于正弦定理将CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为∠C 的三角函数的函数，结合C 的范围求解即可．本题考查平面向量的几何意义和三角函数求值域的思路方法．属于中档题．17.【答案】解：(1)由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，又b 2+c 2=a 2+√3bc ，∴2cosA =√3， ∴cosA =√32，又A 为三角形ABC 的内角，∴sinA =12；(2)∵△ABC 外接圆的面积为16π，设该圆半径为R ， ∴R =4，∴由正弦定理得：asinA =2R =8， 由(1)得a =4．【解析】(1)由余弦定理可求得角A 的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得sin A 的值； (2)先求出外接圆的半径R ，再利用正弦定理的推论asinA =2R 可求得a ． 本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)设数列{a n }的公差为d由题意有{5a 1+10d =6010a 1+45d =245，解得{a 1=2d =5．所以a n =2+5(n −1)=5n −3 故数列{a n }的通项公式为a n =5n −3． (2)由b n =1(5n−3)(5n+2)=15(15n−3−15n+2)有T n =15[(12−17)+(17−112)+⋯+(15n−8−15n−3)+(15n−3−15n+2)]， 故T n =15(12−15n+2)=n10n+4．【解析】(1)首先利用数列的关系式建立方程组求出数列的通项公式； (2)利用裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：连结AC ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴AC =AD ，∵AC =AD ，DE =CE ，∴AE ⊥CD ，∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ， ∵AE ∩AP =A ，∴CD ⊥平面PAE ． (2)解：由(1)知CD ⊥AE ，∵AB//CD ，∴AB ⊥AE ，∴AB 、AE 、AP 两两垂直， 令AB =2，可得AD =AP =2，AE =√3，ED =CE =1，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AE 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,0，0)，P(0,0，2)，B(0,0，2)，E(0,√3,0)，C(1,√3,0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2)， 平面PAE 的法向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)， 设平面BCP 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,1,√3)， 设平面PAE 与平面PBC 所成二面角的平面角为θ， 则cosθ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√32×7=√217， ∴平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值为(√217)=2√77．【解析】(1)连结AC ，推导出AC =AD ，DE =CE ，从而AE ⊥CD ，推导出PA ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面PAE ．(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AE 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意得椭圆E 的焦点为(−1,0)和(1,0)，设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，且过Q(√2,√62)， 可得方程组{a 2−b 2=12a 2+32b 2=1， 解得{a 2=4b 2=3或{a 2=12b 2=−12<0(舍去)． 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)联立直线与椭圆C 的方程，得{y =12x +mx 24+y 23=1，消y 得x 2+mx +m 2−3=0，由韦达定理得{x 1+x 2=−mx 1x 2=m 2−3，则3x 1x 2+4y 1y 2=3x 1x 2+4(m +12x 1)(m +12x 2)=4x 1x 2+2m(x 1+x 2)+4m 2=6(m 2−2)=0． 解得m 2=2满足△=m 2−4(m 2−3)>0，则|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+(12)2⋅√m 2−4(m 2−3)，所以S △AOB =12|AB|⋅d =12√1+(12)2⋅√m 2−4(m 2−3)⋅√1+(12)=12√2−4(2−3)×√2=√3．【解析】(1)求得E 的焦点，设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，结合a ，b ，c 的关系和Q 的坐标满足椭圆方程，可得a ，b 的方程组，解得a ，b ，可得椭圆C 的方程；(2)联立直线y =12x +m 和椭圆C 的方程，运用韦达定理，结合A ，B 的坐标满足椭圆C 的方程，化简整理可得m ，再由弦长公式和点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=(x +1)lnx −12x 2−x ，函数f(x)的定义域是(0,+∞)，得f′(x)=lnx −x +1x ，设g(x)=lnx −x +1x ，则g′(x)=1x−1−1x 2=−(x−12)2−34x 2<0，故g(x)在(0,+∞)递减，且g(1)=0，故当x ∈(0,1)时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)递增， 当x ∈(1,+∞)时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)递减， 综上，f(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减； (2)原不等式等价于xlnx −a(x −1)+2x −1>0， 即a <xlnx+2x−1x−1在(1,+∞)上恒成立，设φ(x)=xlnx+2x−1x−1，x >1，则φ′(x)=x−lnx−2(x−1)2，设ℎ(x)=x −lnx −2，则ℎ′(x)=1−1x =x−1x>0，故ℎ(x)在(1,+∞)递增，又ℎ(3)=3−ln3−2=1−ln3<0，ℎ(4)=4−ln4−2=2−2ln2>0， 根据零点存在性定理可知ℎ(x)在(1,+∞)上有唯一零点，设该零点为x 0，则x 0∈(3,4)，且ℎ(x 0)=x 0−lnx 0−2=0，即x 0−2=lnx 0， 当x ∈(1,x 0)时，ℎ(x)<0，即φ′(x)<0，故φ(x)在(1,x 0)递减， 当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ(x)>0，即φ′(x)>0，故φ(x)在(x 0,+∞)递增， 故φ(x)min =x 0lnx 0+2x 0−1x 0−1=x 0+1，由题意可知a <x 0+1，又x 0∈(3,4)，得4<x 0+1<5， ∵a ∈Z ，故整数a 的最大值是4．【解析】(1)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2))原不等式等价于xlnx −a(x −1)+2x −1>0，问题转化为a <xlnx+2x−1x−1在(1,+∞)上恒成立，设φ(x)=xlnx+2x−1x−1，x >1，根据函数的单调性求出a 的最大值即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =2sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x +√3y −2=0．(2)由于点P(−1,√3)满足直线x +√3y −2=0的方程，转换为参数方程为{x =−1−√32ty =√3+12t (t 为参数)，代入x 2+y 24=1，得到13t 2+20√3t +12=0，(A 和B 对应的参数为t 1和t 2)，所以t 1t 2=1213，则|PA||PB|=|t 1t 2|=1213．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．。

吉林省长春市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·福州期末) 已知集合A＝，B＝，则A∩B等于（）A . [1,3]B . [1,5]C . [3,5]D . [1，＋∞)2. （2分） (2016高二下·浦东期末) b=2，c=3若1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A . b=2，c=3B . b=﹣2，c=3C . b=﹣2，c=﹣1D . b=2，c=﹣13. （2分） (2019高三上·广州月考) 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；②支出最高值与支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入为50万元；④利润最高的月份是2月份.A . ①②③B . ②③C . ②③④D . ①②④4. （2分）已知a=5+2 ，b=5﹣2 ，则a与b的等差中项、等比中项分别为（）A . 5，1B . ，1C . ，±1D . 5，±15. （2分） (2018高二下·滦南期末) 使的展开式中含有常数项的最小的为（）A . 4B . 5C . 6D . 76. （2分）为得到函数y=cos(2x+)的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A . 向左平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位7. （2分）函数在区间上的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2017高一下·沈阳期末) 如图所示的程序框图给出了求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为3，2，则输出的值为（）A . 9B . 18C . 20D . 359. （2分）(2017·山东模拟) 三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A .B .C . 3πD . 12π10. （2分） (2016高一下·重庆期中) △ABC中，角C=90°，若 =（t，1）， =（2，2），则t=（）A . ﹣1B . 1C . ﹣3D . 311. （2分）已知，，则下列结论中正确的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·银川期中) 下列结论正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一下·扬州期末) 已知变量x，y满足，则z=x﹣y的最小值为________．14. （1分） (2018高一下·宜昌期末) 如下图，在空间四边形中，，分别是、的中点， = ，则异面直线与所成角的大小为________．15. （2分） (2017高二下·宜昌期中) 已知双曲线的方程为 =1，则此双曲线的离心率为________渐近线方程为________．16. （1分） (2018高一下·台州期中) 已知向量及向量序列: 满足如下条件:，且 ,当且时, 的最大值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2017高三上·韶关期末) 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn ．18. （10分）(2017·大庆模拟) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B= +A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．19. （10分）(2019·金华模拟) 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为线段上的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．20. （15分）（理科）在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第3次，某同学在A处的抽中率q1=0.25，在B处的抽中率为q2 ，该同学选择现在A处投第一球，以后都在B处投，且每次投篮都互不影响，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：X02345P0.03P2P3P4P5（1）求q2的值；（2）求随机变量X的数学期望E（X）；（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在B处投篮得分超过3分的概率的大小．21. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 已知直线y=﹣x+1与椭圆 + =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；（2）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[ ， ]时，求椭圆的长轴长的最大值．22. （5分）(2017·日照模拟) 己知函数f（x）= （其中e为自然对数的底数），h（x）=x﹣．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）设g（x）= ，．已知直线y= 是曲线y=f（x）的切线，且函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．（i）求实数a的值；（ii）求实数c的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。

长春市数学高三上学期理数期末质量检测试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2019·十堰模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分）(2019·江南模拟) 复数满足，则（）A .B . 3C .D . 53. （1分）下列四个命题中可能成立的一个是（）A . ，且B . sinα=0，且cosα=﹣1C . tanα=1，且cosα=﹣1D . α是第二象限角时，4. （1分） (2020高二上·兰州期末) 若直线y＝2x与双曲线 (a＞0，b＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A . (1， )B . (，＋∞)C . (1， ]D . [ ，＋∞)5. （1分）下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A . y=sinxB . y=﹣|x+1|C . y=D . y=（2x+2﹣x）6. （1分） (2019高一下·三水月考) 下表是高一级甲，乙，丙三位同学在先后五次数学考试中的成绩折线图，那么下列说法正确的是（）A . 甲平均分比丙要高；B . 按趋势，第6次的考试成绩最高分必定是丙；C . 每个人五次成绩的标准差最大的是乙；D . 从第1次考试到第5次考试，进步幅度最大的是丙.7. （1分） (2017高一上·廊坊期末) 在△ABC中，已知点D为AB边的中点，点N在线段CD上，且 =2，若 = +λ ，则λ=（）A .B . ﹣C .D . ﹣8. （1分） (2017高一下·西华期末) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A . 1﹣B . ﹣C .D .9. （1分） (2018高一下·西华期末) 已知曲线，则下面结论正确的是（）A . 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B . 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C . 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D . 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线10. （1分）已知四面体ABCD中，AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝，AB⊥平面ACD，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A . 36πB . 88πC . 92πD . 128π11. （1分） (2018高二上·新乡月考) 中，已知其面积为，则角的度数为（）A .B .C .D .12. （1分）已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设a＝－21.2 ，，c＝2log52，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为（）A . f(c)<f(b)<f(a)B . f(c)<f(a)<f(b)C . f(c)>f(b)>f(a)D . f(c)>f(a)>f(b)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）的各项系数和是1024，则由曲线y=x2和y=xa围成的封闭图形的面积为________．14. （1分）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师最多是________ 名．15. （1分） (2018高三上·黑龙江期中) 已知正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是________．16. （1分）(2020·淮南模拟) 设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长 ________．三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分）(2017·吴江模拟) 各项为正的数列{an}满足，（1）当λ=an+1时，求证：数列{an}是等比数列，并求其公比；（2）当λ=2时，令，记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项之积为Tn，求证：对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值．18. （2分） (2018高一下·龙岩期末) 中国共产党第十九次全国代表大会于2017年10月18日至10月24日在北京召开，会议提出“决胜全面建成小康社会”.某市积极响应开展“脱贫攻坚”，为2020年“全面建成小康社会”贡献力量.为了解该市农村“脱贫攻坚”情况，从某县调查得到农村居民2011年至2017年家庭人均纯收入（单位：百元）的数据如下表：注：小康的标准是农村居民家庭年人均纯收入达到8000元.（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，预测2020年该县农村居民家庭年人均纯收入指标能否达到“全面建成小康社会”的标准？附：回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，其中 .19. （2分） (2016高二上·武邑期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，设 = ， = ， = ．（1）以{，， }为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．20. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知抛物线：，直线： .（1）若直线与抛物线相切，求直线的方程；（2）设，直线与抛物线交于不同的两点，，若存在点，满足，且线段与互相平分（为原点），求的取值范围.21. （2分） (2018高二上·长安期末) 已知 .（Ⅰ）对一切恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：对一切，都有成立．22. （2分）(2018·茂名模拟) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角).（1）若，求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与有两个不同的交点，且为的中点，求 .23. （2分） (2018高三上·湖南月考)已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。

吉林省长春市高三上学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2019 高一上·宜昌期中) 设集合，A. B. C. D.2. （2 分） (2018·衡水模拟) 若 A.1 B . -1 C.i D . -i，则（）3. （2 分） 点到直线的距离为（ ）则（ ）A. B. C. D. 4. （2 分） a<0 是方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根的（ ） A . 必要不充分条件第 1 页 共 12 页B . 充分不必要条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件5. （2 分） 已知 x,y 满足 A . 有最小值 1 B . 有最小值 C . 有最大值， 则关于的说法，正确的是（ ）D . 有最小值 6. （2 分） (2016 高二下·韶关期末) 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A . 12π B . 45π C . 57π D . 81π7. （2 分） (2019 高三上·衡阳月考) 已知函数．若的图象在点处的切线与的图象在点第 2 页 共 12 页，，其中处的切线重合，则 a 的取值范围为（ ） A. B.C. D. 8. （2 分） (2017 高二下·南昌期末) 已知函数 f（x）=2x2﹣ax+5 在区间[1，+∞）上是单调递增函数，则 实数 a 的取值范围是（ ） A . （﹣∞，4] B . （﹣∞，4） C . [4，+∞） D . （4，+∞）9. （2 分） (2016 高二上·诸暨期中) 若 F1 ， F2 分别是双曲线 C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以 F1 ， F2 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 M，N 两点，且满足∠MAN=120°，则双曲线的离心率为（ ）A.B. C.D.10. （2 分） (2019 高一上·河南月考) 已知正方体靠近 A 的四等分点，平面平面，记A.的表面积为 24，点 M 是线段 上，则（）第 3 页 共 12 页B.C.D.二、 填空题 (共 7 题；共 9 分)11. （1 分） (2020·肇庆模拟) 记 为等比数列 的前 项和，若，，则________.12. （1 分） (2016 高二下·长春期中) （1﹣ x）（1+2 ）5 展开式中 x2 的系数为________．13. （2 分） (2020 高三上·浙江月考) 不等式 的解集是________.14. （1 分）的解集是________；不等式 ，则 • =________15. （2 分） (2019 高一下·衢州期中) 已知钝角的面积为 ，，________，________．，则角16. （1 分） (2018 高二上·宾阳月考) 将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 ax－by=0 与圆(x－ 2)2＋y2＝2 相交的概率为________．17. （1 分） 工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y=a•0.5x+b，现已知该厂今年 1 月份、2 月份生 产该产品分别为 1 万件、1.5 万件．则此工厂 3 月份该产品的产量为________万件．三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)18. （15 分） 已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜ ）的一系列对应值如下表：x ﹣y ﹣1131﹣113第 4 页 共 12 页（1） 根据表格提供的数据求函数 y=f（x）的解析式； （2） 求函数 f（x） 的单调递增区间；（3） 若对任意的实数 a，函数 y=f（kx）（k＞0），x∈（a，a+ ]的图象与直线 y=1 有且仅有两个不同的 交点，又当 x∈[0， ]时，方程 f（kx）=m 恰有两个不同的解，求实数 m 的取值范围．19. （5 分） (2019·台州模拟) 已知函数（ 为自然对数的底数，）.（Ｉ）若关于 的方程有三个不同的解，求实数 的取值范围；（Ⅱ）若实数 ， 满足，其中，分别记：关于 的方程在上两个不同的解为 ， ；关于 的方程在上两个不同的解为 ， ，求证：.20. （5 分） (2018·南宁模拟) 如图长方体 的中点.的，底面的周长为 4， 为（Ⅰ）判断两直线 （Ⅱ）当长方体与 的位置关系，不需要说明理由； 体积最大时，求二面角的大小；（Ⅲ）若点 满足，试求出实数 的值，使得平面.21. （10 分） (2020 高二上·兰州期末) 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点 M(4,1)， N(2,2).第 5 页 共 12 页（1） 求椭圆 C 的方程； （2） 若斜率为 1 的直线与椭圆 C 交于不同的两点，且点 M 到直线 l 的距离为 ，求直线 l 的方程. 22. （10 分） 已知等差数列{an}满足 a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn ． （1） 求 an 及 Sn；（2） 令，求数列{bn}的前 n 项和 Tn ．第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 7 题；共 9 分)11-1、 12-1、参考答案13-1、 14-1、第 7 页 共 12 页15-1、 16-1、 17-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)18-1、 18-2、第 8 页 共 12 页18-3、第 9 页 共 12 页19-1、20-1、第 10 页 共 12 页21-1、21-2、22-1、22-2、。

吉林省长春市第一中学2021届高三数学上学期期末考试试题 文考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题 1．已知复数21z i=-，则||z 等于（ ） A ．1B ．2C ．2D ．222．已知集合{}110A x x =-≤<，集合{}lg 1B x x =≤，则AB =（ ）A ．{}110x x -≤<B ．{}110x x -≤≤C ．{}010x x <<D ．{}010x x <≤3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352a =，99S =，则7a =（ ） A ．12B ．1C ．12-D ．24．在△ABC 中，“sin sin A B <”是“A ＜B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知下表为x 与y 之间的一组数据，若y 与x 线性相关，则y 与x 的回归直线y bx a =+必过点( ) x 0 1 2 3 y 1357A ．(2,2)B ．(1.5,0)C ．(1,2)D ．(1.5,4)6．已知直线、经过圆的圆心，则 的最小值是A ．9B ．8C ．4D ．27．已知函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 A ．(1,8)B ．(1,)+∞C ．(4,8)D ．[4,8)8．如图所示，在正方体1AC 中，E ，F 分别是1DD ，BD 的中点，则直线1AD 与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．12B ．32C ．63D ．629．函数()cos(2)()2f x x πϕϕ=+<图象向右平移6π个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 在[,]33ππ-上的单调递增区间为（ ） A ．[,]312ππ-B ．[,0]3π-C ．[,]44ππ-D ．[,]123ππ10．2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款（德国4款，法国8款、荷兰4款），其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国，A 地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区一婴幼儿用品商店在售某品牌的奶粉共6袋，这6袋奶粉中有4袋含有芳香矿物油成分，则随机抽取3袋恰有2袋含有芳香经矿物油成分的概率为（ ） A ．310B ．710C ．25D ．3511．已知P 为双曲线122=-y x 右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则12FP F Q ⋅=（） A ．1B ．-1C ．2D ．-212．已知偶函数f （x ）的导函数是f '（x ），当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （2）＝0，则f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）第II 卷（非选择题)二、填空题13．三角形ABC 中，45A =︒，75B =︒，AB 边的长为26，则BC 边的长为________.14．设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -⎧⎪+⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.15．正三棱锥P －ABC 高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点 A 到侧面PBC 的距离是 16．给出下列不等式:111123++> 111312372+++⋯+>111122315+++⋯+>………则按此规律可猜想第n 个不等式为____________ 三、解答题17．(12分)已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+ （1）证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列， （2）求数列{}n a 的前n 项和n S18．（12分）为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）记A 表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分”，估计A 的概率；（Ⅲ）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀合计 男生 40女生 50 合计100参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是棱11B C 的中点，2AB AC ==，12BC BB ==.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1A BD ； （Ⅱ）求点D 到平面1ABC 的距离.20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，椭圆C 的右顶点为A .（Ⅰ）求椭圆的C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为R ，求直线AR 的斜率的取值范围.21．（12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．22．（10分）已知直线L的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=-.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线L 的参数方程化为直角坐标方程； （2）求直线L 被曲线C 截得的弦长.高中数学2020--2021年度期末考试试卷一、单选题1．已知复数21z i=-，则||z 等于（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】B 【解析】 ∵复数()()()()22121211111i i z i i i i i++====+--+-∴z ==故选B2．已知集合{}110A x x =-≤<，集合{}lg 1B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}110x x -≤< B ．{}110x x -≤≤ C ．{}010x x << D ．{}010x x <≤【答案】C 【解析】 【分析】对集合B 进行整理，然后根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合{}{}lg 1010B x x x x =≤=<≤， 集合{}110A x x =-≤<， 所以{}010A B x x ⋂=<<， 故选：C. 【点睛】本题考查解对数不等式，集合的交集运算，属于简单题. 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352a =，99S =，则7a =（ ） A ．12B ．1C ．12-D ．2【答案】C【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式得1999()2a a S +=，又由等差数列性质1937a a a a +=+，综合可得7a 的值. 【详解】解：由已知71937959()9()9()29222a a a a a S +++====，得712a =-， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，关键是等差数列性质的应用，是基础题. 4．在△ABC 中，“sin sin A B <”是“A ＜B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先利用大角对大边得到a b <，进而利用正弦定理将边边关系得到sin sin A B <，即证明了必要性，再同理得到充分性． 【详解】在三角形中，若A ＜B ，则边a ＜b ，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin A B <．若sin sin A B <，则由正弦定理sin sin a b A B=，得a ＜b ，根据大边对大角，可知A ＜B ，即sin sin A B <是A ＜B 的充要条件．故选C .【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行sin sin A B <与A B <的转化.5．已知下表为x 与y 之间的一组数据，若y 与x 线性相关，则y 与x 的回归直线y bx a=+必过点( ) x 0 1 2 3 y 1357A ．(2,2)B ．(1.5,0)C ．(1,2)D ．(1.5,4)【答案】D 【解析】 【分析】根据表格先求出x 和y ，再由公式121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-求得ˆb 和ˆa 即可得回归方程，再将4个点分别代回，可知必过点。

长春市高三上学期（理科）数学期末模拟试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共60分)1. （5分） (2019高二下·嘉兴期末) 已知全集，则（）A .B .C .D .2. （5分） (2019高三上·西湖期中) 设纯虚数z满足（其中i为虚数单位），则实数a等于（）A . 1B . －1C . 2D . －23. （5分）(2018·曲靖模拟) 如图，在中，，，若，则（）A .B .C .D .4. （5分） (2019高三上·城关期中) 下列说法错误的是（）A . 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”B . “ ”是“ ”的充分不必要条件C . 若且为假命题，则、均为假命题D . 命题：“ ，使得”，则：“ ，均有”5. （5分）平行六面体ABCD—A1B1C1D1的六个面都是菱形，则D1在面ACB1上的射影是的（）A . 重心B . 外心C . 内心D . 垂心6. （5分） (2016高一上·杭州期末) 己知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A . ﹣1＜a＜B . a＜C . a＞D . ＜a＜7. （5分）下图所示的程序的输出结果为sum＝132，则判断框中应填（）A . i≥10B . i≥11C . i≤11D . i≥128. （5分） (2018高二上·黑龙江期末) 抛物线的焦点坐标为（）A .B .C .D .9. （5分）已知等差数列的前项和为，且,则（）A .B .C .D . 410. （5分） (2016高一上·晋江期中) 函数的零点有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 411. （5分） (2018高二下·南宁月考) 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A . 6+B . 6C . 4+D . 4+12. （5分）(2020·厦门模拟) 已知方程只有一个实数根，则的取值范围是（）A . 或B . 或C .D . 或二、填空题 (共4题；共20分)13. （5分） (2019高二下·虹口期末) 有个元素的集合的3元子集共有20个，则 = ________.14. （5分） (2016高二上·如东期中) 已知点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，则实数a的取值范围是________．15. （5分） (2015高二上·西宁期末) 已知直线l被坐标轴截得线段中点是（1，﹣3），则直线l的方程是________．16. （5分）若二项式的展开式中的常数项为﹣160，则=________三、解答题 (共5题；共60分)17. （12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式并写出其对称中心；（2）若g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=4对称，当x∈[2，8]，求g（x）的最大值和最小值．18. （12分）(2020·辽宁模拟) 如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.19. （12分）某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{1，2，3}），随即按如下所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收入（含门票）的期望．20. （12分）(2015·三门峡模拟) 已知F1 ， F2分别为椭圆C1：（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|= ．（1）试求椭圆C1的方程；（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足，求实数λ的取值范围．21. （12分） (2018高三上·河北月考) 已知函数 .（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围.四、选做题。