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基与维数的几种求法基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量nαα,,1满足:(1)nααα,2,1 线性无关。
(2)V 中任一向量α总可以由nααα,,21, 线性表示。
那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称nααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例1 设{}0V XAX ==，A 为数域P 上m n ?矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。
解设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r-。
例2 数域P 上全体形如0a ab ??-?的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。
解易证0100,1001-?为线性空间0,a V a b p a b =∈?? ?-｜的一组线性无关的向量组，且对V中任一元素0a ab ??-?有00100+1001a a b ab =按定义0100,1001???? ? ?????为V 的一组基，V 的维数为2。
方法二在已知线性空间的维数为n 时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
例3 假定[]nR x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]nR x 的基。
证明考察()()1121110n n k k x k x -?+-++-=由1n x -的系数为0得0nk=，并代入上式可得2n x -的系数1n k-=依此类推便有110nn k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基。
1．基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.(i)零向量可由唯一地线性表示；(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；(iii).结论2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且.例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.域F是F上向量空间，基是 {1}，.C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.1) 1, 线性无关：设，. 则 (否则，,矛盾)，因此.2) 1, , 线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ),两端平方得,由于1, 线性无关，故假如，则，且，即 . 矛盾.因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1, , 线性无关.3) 1, , ,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有. ( 2 )假如不全为零，则得到"1, , 线性相关"的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1, 线性无关得. 这样，我们证得了1, , ,线性无关.故{1, , ,}是F的一个基..例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使 ( 3 )取n+1个实数，使ab.由(3)知即其中而. 用左乘(4)两端，得这说明线性无关.故C[a,b]是R上无限维向量空间.引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,...,s. 试证明证对s作数学归纳.当 s=1 时，结论显然成立.设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在1) 当时，，故；2) 当时，由于，因此显然 ,,...,.且存在，使（否则，如果,,...,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V的一个基.证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.对任意，有.这样的子空间共有个. 由引理知存在令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.另证：设是V的一个基，令令让,,...,F互不相同，则由于其行列式是Vandermonde行列式，即故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,...,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.证：对s作数学归纳.当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,...,r,设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间 , 由归纳假设知存在V的一个基，使1）如果，那么即满足要求;2）如果. 不妨设∈, , 由最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使同理有F 中非零数，使显然易证线性无关，是V的基，且满足要求.例5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明证令(j)是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.对, i≠t,对, (j) ∈ W.(j)容易验证 }是线性无关的（共个向量）故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故引理设是向量空间V的子空间，则(i)(ii)例 6 设是F上向量空间V的子空间.(i) 证明：(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立.证 (i)===(ii) 在中，令++=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而==={0}, =={0},此时=2<3=-+dim()例7 设A,B.令={∣AB=},= {B∣}求证是的子空间,且dim=秩B-秩(AB)证显然,故B=,即 , ,B,B是的任意向量, ,F,AB()= =0B()因而是的子空间 .当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB=与B=同解.因此={0},故dim=0=秩B－秩(AB)以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. {0},{0}.秩B=n此时{0},设{，，...}为的一个基,其中 t=n- 秩(AB) .则有=(B，B，...B)设B+B+...+B=0, F,i=1,2,...t则B(++...+)=0,而BY=0只有零解,故++...+=0, 又，，...线性无关.所以=0，i=1,2,...n这说明{B，B，...B}是的一个基dim=t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB)秩B<n令={B=}，是B=的解空间，dim=n- 秩B>0显然由于我们事先假设了秩B秩(AB),所以.设{，，...}是的一个基. P=n-秩B>0扩充成的一个基，，，...,，..., t=n-秩(AB)而=(B，B，...B,B，...,B)= (B，...,B)设=0， F, j=p+1,...,t.则B()=0即故存在,F，使=+=0而，，...,，...,线性无关，所以=0，k=1,2,,...,t这说明B,B，...,B线性无关,是的一个基.因此 dim=t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB)例8 设,是向量空间v的子空间,且dim(+)=dim()+1证明,下述两条必有一条成立:(ⅰ) +=,=;(ⅱ) +=,=;2.直和的刻画：结论：设是F上的向量空间V的有限维非零子空间，则下述诸条件彼此等价：（ⅰ）∩（）={0}，i=1,2，...s;（ⅱ）∩（）={0}，i=1,2,...,s-1;(ⅲ) 对任意§∈，§表为§=§+§+...+§,§∈，i=1,2,...,s,的表示法唯一；（ⅳ）一旦§+§+...+§=0，§∈，i=1,2,...,s,就有§=0，i=1,2,...,s；（ⅴ）令{，， ,...， }为的基，i=1,2,...,s,则{，,...，,,,...,,...,,,...,}是的基；（ⅵ）dim()=dim证明：（ⅰ）（ⅱ）：{0}∩（）∩（）={0}（ⅱ）(ⅲ)§∈，令§=§+§+...+§，§=§+§+...+§，§，§，i=1,2,...,s (§-§)+(§-§)+(§-§)=0 (1)假如§-§，§-§，§-§不全为零向量，设第一§个非零向量是§-§；如 j=s,这与(1)式矛盾.如 j<s,则§-§=（§-§）+...+(§-§)则∩（）,且≠0,矛盾.因此, §-§，§-§，§-§全是零向量,即有§=§, i=1,2,...,s； (ⅲ) （ⅳ）:显然（ⅳ）（ⅴ）：设=0，则++...+=0,（其中，，）由（ⅳ）可知=0，i=1,2,,...s.又由于，， ...线性无关,故=0, j=1,2,...;i=1,2,...s.因此，{，， ...}线性无关，且是的生成元，故{，， ...}是的一个基。
基与维数的求法线性空间基和维数的求法 （邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1Λ满足:(1)n ααα,2,1Λ线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21,Λ线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1Λ为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的.例1 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基.解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2.方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----L 构成[]n R x 的基.证明 ()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=L由1n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====L ， 故()()11,1,,1n x x ---L 线性无关又[]n R x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---L 为[]nR x 的基.方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.例3 设0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈易证σ是'V 到V 上既是单射又是满射即一一映射. 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构 另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V ='V V Q ;dim 2V ∴=方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n αααL 与12,,,n βββL 是n 维线性空间V 中两组向量，已知12,,,n βββL 可由12,,,n αααL 线性表出：11112121n n a a a βααα=+++L 21212222n n a a a βααα=+++L 1122n n n nn n a a a βααα=+++L令111212122212n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L如果12,,,n αααL 为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββL 也是V 的一组基.例4 已知231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基. 证明 因为23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅ 23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅()223111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()323111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅且11110123000120001A =≠所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基.例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基. 证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++= 则121233000k k k k k k +=⎧⎪-+=⎨⎪= ⎩解得3210k k k ===于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.方法六（求两个子空间交集的基确定维数法）：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：00rI B ⎛⎫⎪⎝⎭，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V I 的一个基，从而确定了维数.例6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V I 的一个基与维数.解 若12r V V ∈I ，则存在1212,,,x x y y F --∈，使11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)即有112211220x x y y ααββ+++= (2)若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立 那么12V V I 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和 若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V I 有可能是非零子空间 若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r .以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .11211001211101041103001301170000A A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行初等变换212143βααβ=-++()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V I 的一个基 ()12dim 1V V =I同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩方法七(极大无关组确定基法):线性空间V 中任意一个向量α，都可以表示成V 中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是V 的基. 例7 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数.设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨=-⎩，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，，解 任取12V V α∈I ，则11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，1122112x x y y αααββ=+=+（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V I 中将α线性表出）11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y121212121222122020300x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨+-=⎪⎪--=⎩ ７ 解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-故12V V I 是一维的，基是(5,2,3,4)- 易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的.方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法）：按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++I例8 已知()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基.解 因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：3012000110311032011001112360003A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪----⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基.又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V I 的维数为()2231+-=.从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V I 的一组基.方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数.替换定理：设向量组12,,,r αααL 线性无关，并且12,,,r αααL 可由向量组12,,,s βββL 线性表出，那么()1r s ≤()2必要时可适当对12,,,s βββL中的向量重新编号，使得用12,,,r αααL 替换12,,,r βββL 后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+L L 与向量组12,,,s βββL 等价.特别，当r s =时，向量组12,,,s αααL 与向量组12,,,s βββL 等价.例9 已知向量组()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,,m r r r L 与向量组123,,βββ等价，试求12,,,m r r r L 生成的空间的交空间的基和维数.解 201304110701031003100310120212021202263306200000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r L 与123,,ααα等价 于是()12,,,m L r r r L 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基为12,,αα 因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα⊂L故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r L 的交空间的基为12,,αα维数为2。
