泉州市2019~2020学年九(上)期末数学试题及答案

2019-2020学年福建省泉州实验中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.有15位学生参加学校组织的“爱我中华”演讲比赛，比赛结束后根据每位学生的最后得分计算出平均数、中位数、众数、方差．如果修改规则：先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是()A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差2.如图，电线杆CD的高度为ℎ，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A. ℎsinαB. ℎcosαC. ℎtanαD. ℎ⋅cosα3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=()A. 100°B. 72°C. 64°D. 36°4.用配方法将二次函数y=x2−8x−9化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为()A. y=a(x−4)2+7B. y=a(x−4)2−25C. y=a(x+4)2+7D. y=a(x+4)2−255.为了了解某校九年级500名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指()A. 500B. 被抽取的50名学生C. 500名学生的体重D. 被抽取的50名学生的体重6.已知m为实数，抛物线y=x2+mx−2与x轴的交点情况是()A. 没有交点B. 只有一个交点C. 有两个不同的交点D. 无法判断有没有交点7.如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为()个．①√(sinA−1)2=sinA−1；②sinA+cosA>1；③tanA>sinA；④cosA=sin(90°−∠A)A. 1B. 2C. 3D. 48.圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为()A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°9.抛物线y=−x2+ax+b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴于C点，∠OAC=60°，则下列各式成立的是()A. b+√3a−3=0B. b−√3a+3=0C. a+√3b−3=0D. a−√3b+3=010.已知如图，抛物线y=ax2+bx与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P的直线BC分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点B、C.过点C作CD⊥x轴交射线OP于点D.设点P的纵坐标为y p，若OB⋅CD=8，则y的最大值是()A. 8B. 4C. 2√2D. √2二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位后所得函数的解析式是______．12.若抛物线y=x2−2mx+3−m的图象经过原点，则该抛物线与x轴两交点的距离为______．13.如图，△ABC内接于⊙O，AO=2，BC=2√3，则∠BAC的度数为______．14.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为______．15.抛物线y=−x2+4x和x轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为______．16.如图，AB是OO的直径，C是AB的中点，弦CD与AB相交于E.若AE=EO，则sin∠AOD=______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.计算：tan30°⋅cos30°−(−2)−1+√(1−tan60°)2．18.已知：P为⊙O外一点求作：经过点P的⊙O的切线．作法：如图，①连接OP，作线段OP的垂直平分线交OP于点A；②以点A为圆心，OA的长为半径作圆，交⊙O于B，C两点；③作直线PB，PC，所以直线PB，PC就是所求作的切线，根据尺规作图过程：(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；(2)如果切线PB，PC所夹的锐角为50°，点D为优弧BC上的一动点(点D不与B、C重合)求∠BDC的度数．19.如图，重庆楼房的一大特色是：你住底楼门口是公路，坐电梯上顶楼，你的门口还是公路！小明家所住的大楼AB就是这样一栋有鲜明重庆特色的建筑，从距离大楼底部B30米处的C，有条陡坡公路，车辆从C沿坡度i=1：2.4，坡面长13米的斜坡到达D后，再沿坡角为30°的斜坡行进即可达到大楼的顶端A处，求大楼的高度．x2+bx+c经过点A(−2,0)，点B(0,4)．20.抛物线y=−12(1)求这条抛物线的表达式，并求出抛物线的对称轴；(2)P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标．21.垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩(分)7687758787(1)写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；(2)在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？(参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.8、S乙2=0.4、2=0.8)S丙(3)甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？(用树状图或列表法解答)22.古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”.如图1，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ． (1)请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ， 连接MA ，MB ，MC 和MG ． ∵M 是ABC ⏜的中点， ∴MA⏜=MC ⏜， ∴MA =MC ．(2)如图(3)，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =2，D 为⊙O 上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD ，垂足为E ，请你运用“折弦定理”求△BDC 的周长．23. 电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.2m0.250.20.1注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)已知第三类电影获得好评的有45部，则m =______；(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(3)在(1)的条件下电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大？(4)设一到六类电影的票价依次为60元，50元，40元，30元，20元，10元，未获好评的电影的上座率均相同．获好评的六类电影的上座率依次会加120%，100%，70%，50%，20%，20%，在(3)的条件下，试说明总票房是否增加？24.已知抛物线l1：y1=ax2+2的顶点为P，交x轴于A、B两点(A点在B点左侧)，且sin∠ABP=√5．5(1)求抛物线l1的函数解析式；(2)过点A的直线交第四象限的抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1：4两个部分，求直线AC的解析式；(3)将抛物线l1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线l2，Q为y轴上点P上方的一点，过点Q任作直线交旋转后的抛物线l2于M、N两个不同点，是否存在这样的点Q，使得∠MPN恒为直角？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．25.等腰△ABC中，AC=BC，O为AB边上一点，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于G．(1)如图1，求证：ĈD=D̂E；(2)如图2，延长CB交⊙O于H，连接HD、FH，求证：∠EFH=2∠DHC；(3)在(2)条件下，连接CD，若tan∠HDC=24，CH=8，求FH的长．7答案和解析1.【答案】B【解析】解：先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；故选：B．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，此题关键是了解中位数的定义，难度不大．2.【答案】B【解析】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=CDBC，∴BC=CDcos∠BCD =ℎcosα，故选：B．根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=CDBC 知BC=CDcos∠BCD=ℎcosα．本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=28°，∴∠OAB=64°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=64°，故选：C．连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解答即可．本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：y=x2−8x−9=x2−8x+16−9−16=(x−4) 2−25，故选：B．运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：本题考查的对象是某中学九年级500名学生的体重情况，故总体是某中学九年级500名学生的体重情况．故选：C．本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本．解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．6.【答案】C【解析】解：对于抛物线y=x2+mx−2，当y=0时，x2+mx−2=0，∵b2−4ac=m2+8>0，∴抛物线y=x2+mx−2与x轴有两个不同的交点，故选：C．利用一元二次方程根的判别式判断即可．本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与方程的关系是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，如图，sinA=ac ，cosA=bc，tanA=ab，∴√(sinA−1)2=1−sinA，sinA+cosA=ac +bc=a+bc>1，tanA>sinA，∵cosA=bc ，sin(90°−∠A)=sinB=bc，∴cosA=sin(90°−∠A)，即正确的有②③④，共3个，故选C．先画出图形，根据锐角三角函数的定义求出sinA=ac ，cosA=bc，tanA=ab，再分别代入求出，即可判断正误．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，sinA=ac ，cosA=bc，tanA=ab．8.【答案】D【解析】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，根据题意得12⋅2π⋅2⋅R=8π，解得R=4，所以n⋅π⋅4180=2⋅2π，解得n=180，即圆锥的侧面展开图的圆心角为180°．故选：D．设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，先根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到12⋅2π⋅2⋅R=8π，解得R=4，然后根据弧长公式得到n⋅π⋅4180=2⋅2π，再解关于n的方程即可．本题考查了圆锥的计算：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9.【答案】A【解析】解：根据题意画出图形，设OA的长为m，则OC=√3m，∴A(m,0)，C(0,−√3m)，∴{−m 2+am+b=0b=−√3m ，解得{a=m+√3①b=−√3m②，①×√3+②，得，√3a+b=3(√3<a<2√3).故选：A．根据题意画出图形，设OA的长为m，则OC=√3m，由此可求出a和b，再结合各个选项得出结论即可．本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，设出参数表达m，关键是用m表达a和b，再消去m．10.【答案】D【解析】解：如图，作PT⊥x轴于点H，∵CD⊥x轴，OB⊥x轴，∴OB//PT//CD，∴PHOB =CHCO①，PHCD=OHOC②，①+②得PHOB +PHCD=1，∴1OB +1CD=1PH，∴1y P =1OB+1CD=OB+CDOB⋅CD，∴y p=OB+CDOB⋅CD =8OB+CD，∵OB+CD≥2√OB⋅CD，即OB+CD≥4√2(当且仅当OB=CD时取等号)，∴y p≤4√2，即y P≤√2，∴y P的最大值为√2．故选：D．，作PT⊥x轴于点H，利用平行线分线段成比例定理得到PHOB =CHCO①，PHCD=OHOC②，利用①+②得PHOB +PHCD=1，变形得到y p=8OB+CD，根据完全平方公式得到OB+CD≥2√OB⋅CD，即OB+CD≥4√2(当且仅当OB=CD时取等号)，从而得到y P的最大值．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；运用几何计算得到y p=OB+CDOB⋅CD =8OB+CD是解题的关键．11.【答案】y=2x2−3【解析】解：∵原抛物线的顶点为(0,0)，二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位，∴新抛物线的解析式为(0,−3)，∴二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位后所得函数的解析式是y=2x2−3．故答案为：y=2x2−3．易得新抛物线的顶点，根据平移不改变二次函数的系数可得新二次函数解析式．考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：抛物线的平移，看顶点的平移即可；平移不改变二次函数的系数．12.【答案】6【解析】解：∵抛物线y=x2−2mx+3−m的图象经过原点，∴3−m=0，解得：m=3，∴函数解析式为：y=x2−6x，当y=0时，x2−6x=0，解得：x1=0，x2=6，∴该抛物线与x轴两交点坐标分别为(0,0)和(6,0)，则该抛物线与x轴两交点的距离为6，故答案为：6．根据抛物线经过原点求出m，得到抛物线的解析式，解方程求出抛物线与x轴两交点坐标，计算即可．本题考查的是抛物线与x轴的交点，正确求出抛物线与x轴的交点是解题的关键．13.【答案】60°【解析】解：连接OB、OC，作OD⊥BC于D，如图，∵OD⊥BC，∴BD=12BC=12×2√3=√3，在Rt△OBD中，OB=OA=2，BD=√3，∴cos∠OBD=BDOB =√32，∴∠OBD=30°，∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，∴∠BAC=12∠BOC=60°．故答案为60°．连接OB、OC，作OD⊥BC于D，根据垂径定理得BD=12BC=√3，在Rt△OBD中，得cos∠OBD=BDOB =√32，则∠OBD=30°，由于OB=OC，则∠OCB=30°，所以∠BOC=120°，然后根据圆周角定理即可得到∠BAC=12∠BOC=60°．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，考查了圆周角定理和解直角三角形，属于中档题．14.【答案】2【解析】解：如图，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC//BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF=BFPF=2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2．故答案为：2首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．15.【答案】2√5−2【解析】解：如图，设最大正方形ABCD的边长为m，则B、C两点的纵坐标为m，且由对称性可知：B、C两点关于抛物线对称轴对称，∵y=−x2+4x=−(x−2)2+4，∴抛物线的对称轴为：x=2，∴点B的坐标为(2−m2,m)，∵B点在抛物线上，∴m=−(2−m2)2+4(2−m2),整理，得m2+4m−16=0，∴m=−4±4√52=−2±2√5(舍负)∴m=2√5−2．故答案为：2√5−2．设最大正方形ABCD的边长为m，则B、C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B、C两点关于抛物线对称轴对称，求出点B的坐标，B点代入抛物线，解得m．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，熟知二次函数的对称性，表示出B的坐标是解题的关键．16.【答案】35【解析】解：过点D作DH⊥AB于点H，连接OC，如图，∵AB是OO的直径，C是AB⏜的中点，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴OC⊥AB．∵DH⊥AB，∴OC//DH．∴△DHE∽△COE．∴DHHE =OCOE．∵AE=EO，OC=OA，∴OC=2OE．∴DHHE=2．设圆的半径为r，设HE=a，则DH=2a，在Rt△OHD中，∵OH2+DH2=OD2，∴(a+12r)2+(2a)2=r2，解得：a=−12r(不合题意，舍去)或a=310r，∴DH=35r.∴sin∠AOD=DHOD =35rr=35．故答案为：35．过点D作DH⊥AB于点H，连接OC，利用已知条件可得OC//DH，则△DHE∽△COE；利用相似三角形的性质可得DHHE=2.设圆的半径为r，设HE=a，则DH=2a，利用勾股定理列出方程，解方程求得a值，利用直角三角形的边角关系，在Rt△ODH中即可求得结论．本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，过点D 作DH⊥AB于点H，将∠AOD放在直角三角形中是解题的关键．17.【答案】解：tan30°⋅cos30°−(−2)−1+√(1−tan60°)2=√33×√32−(−12)+|1−√3|=12+12+√3−1=√3．【解析】把特殊角的三角函数值代入化简计算即可．本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练的掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．18.【答案】解：(1)如图，直线PB，PC即为所求；(2)∵PB，PC是⊙A的切线，∴∠PBO=∠PCO=90°，∖∴∠BOC=180°−∠BPC=130°，′∴∠BDC=12∠BOC=65°【解析】(1)根据要求作出图形即可；(2)利用切线的性质以及圆周角定理解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥DF与点E，如图所示：则BF=CE，EF=BC=30米，∵CD的坡度i=1：2.4=CE：DE，CD=13米，∴设CE=x米，则DE=2.4x米，∴CD=√x2+(2.4x)2=135x(米)，∴135x=13，∴x=5，∴BF=CE=5(米)，DE=12(米)，在Rt△ADF中，∠ADF=30°，DF=DE+EF=42(米)，∴AF=DF⋅tan∠ADF=42×√33=14√3(米)，∴AB=AF+BF=(14√3+5)米，即大楼的高度为(14√3+5)米．【解析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥DF于点E，通过解直角三角形可求出CE、DE、AF的长，再由AB=AF+BF即可求出答案．本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识，正确作出辅助线，通过解直角三角形求出AF、CE的长是解题的关键．20.【答案】解：(1)由题意得，{−12×(−2)2−2b+c=0c=4，∴{b =1c =4， ∴y =−12x 2+x +4，对称轴是直线：x =−12×(−12)=1；(2)如图，作PC ⊥OB 于C ，∴∠PCB =∠AOB =90°，∵∠PBO =∠BAO ， ∴△BCP∽△AOB ，∴PC BC =OB OA ， ∴1BC =42， ∴BC =12，∴OC =OB −BC =72，∴P(1,72).【解析】(1)把A 、B 两点坐标代入抛物线表达式求得表达式，根据对称轴公式求得对称轴；(2)作PC ⊥OB 于C ，证明△BCP∽△AOB ，从而求得BC ，进而求得点P 坐标．本题考查了求二次函数的表达式和对称轴，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是将角相等转化为三角形相似．21.【答案】解：(1)甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分．(2)∵x 甲−=7(分)，x 乙−=7(分)，x 丙−=6.3(分)，∴x 甲−=x 乙−>x 丙−，S 甲2>S 乙2 ∴选乙运动员更合适．(3)树状图如图所示，第三轮结束时球回到甲手中的概率是p =28=14．【解析】(1)观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分；(2)易知x 甲−=7(分)，x 乙−=7(分)，x 丙−=6.3(分)，根据题意不难判断；(3)画出树状图，即可解决问题；本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键．22.【答案】(1)证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC⏜的中点， ∴MA⏜=MC ⏜， ∴MA =MC ．在△MBA 和△MGC 中∵{BA =GC ∠A =∠C MA =MC，∴△MBA≌△MGC(SAS)，∴MB =MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD =GD ，∴DC =GC +GD =AB +BD ；(2)解：如图3，截取BF =CD ，连接AF ，AD ，CD ，由题意可得：AB =AC ，∠ABF =∠ACD ，在△ABF 和△ACD 中∵{AB=AC∠ABF=∠ACD BF=DC，∴△ABF≌ACD(SAS)，∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE=√2=√2，则△BDC的周长是2+2√2．【解析】(1)首先证明△MBA≌△MGC(SAS)，进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；(2)首先证明△ABF≌ACD(SAS)，进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE 的长即可得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．23.【答案】0.15【解析】解：(1)m=45300=0.15．故答案为：0.15．(2)由题意，如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率为：200×0.252000=140．∴如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率为：140．(3)只需部数最多的那类好评率增加0.1，部数最少的那类好评率减少0.1，就可以使总的好评率达到最大．∴第五类好评率增加0.1，第二类好评率减少0.1，就可以使总的好评率得到最大．(4)因为未获好评电影的上座率相同，故只需计算或好评的电影票房即可．未改变投资策略前，获好评电影票房为：60×140×0.4×(1+120%)+50×50×0.2×(1+100%)+40×300×0.15×(1+70%)+30×200×0.25×(1+50%)+20×800×0.2×(1+20%)+10×510×0.1×(1+20%)=18154(元)．改变投资策略后，或好评电影票房为：获好评电影票房为：60×140×0.4×(1+ 120%)+50×50×(0.2−0.1)×(1+100%)+40×300×0.15×(1+70%)+ 30×200×0.25×(1+50%)+20×800×(0.2+0.1)×(1+20%)+10×510×0.1×(1+20%)=19574(元)．∵19574>18154．∴票房增加．(1)根据所有好评率d的定义计算．(2)根据古典概率公式计算．(3)只需使好评电影部数增加最大即可．(4)分别计算改变投资前后的的票房即可．本题考查概率的计算，理解题意，正确使用概率计算公式是求解本题的关键．24.【答案】解：(1)由题意得：P(0,2)，∴OP=2，∵sin∠ABP=OPBP =√55，∴2BP =√55，∴BP=2√5，∴OB=√BP2−OP2=√(2√5)2−22=4，∴B(4,0)，∴a.42+2=0，∴a=−18，∴y=−18x2+2；(2)如图1，设点C(a,−18a2+2)，作CE⊥AB于E，∴CE//OD，∴△AOD∽△AEC，∴OAAE =ODCE，∴4a+4=OD18x2−2，∴OD=12(a−4)，∵△ABC的面积被y轴分为1：4两个部分，∴S△AOD=15S△ABC，∴12×4×12(a−4)=15×12×8⋅(18a2−2)，∴a=6，当a=6时，OD=12×(6−2)=2，∴D(0,−2)，设AC的解析式是：y=kx+b，∴{b=−2−4k+b=0，∴{b=−2 k=−12，∴y=−12x−2；(3)，如图2，存在Q(0,10)，使∠MPN恒为90°，设Q(0,b)，过Q点作MN//x轴，交抛物线于M，N，∴18x2+2=b，∴x=±√8(b−2)，∴MN=2√8(b−2)2，∵PQ=b−2，∴当MN=2PQ时，∠MPN=90°，∴2√8(b−2)=2(b−2)，∴b=10，∴Q(0,10)，下面证明过Q任意一条直线，能使∠MPN恒为90°，设M(m,18m2+2)，N(n,18n2+2)，MN的中点记作F，∴直线MN的解析式是：y=18(m+n)⋅x+18mn+2，F(m+n2,18m2+18n2+42)，把x=0，y=10代入得，mn=−64，∵MN2=(m−n)2+[(18m2+2)−(18n2+2)]2=m2+n2−2mn+164[m4+n4−2(mn)2]=m2+n2+164(m4+n4)；FQ2=(m+n2)2+(18m2+18n22)2=14[m2+n2+164(m4+n4)]，∴FQ=12MN，∴∠MPN=90°，【解析】(1)解直角三角形POB：OP=2，sin∠ABP，求出OB即可；(2)设点C(a,−18a2+2)，可证△AOD∽△AEC，从而表示出OD=12(a−4)，进而根据△ABC的面积被y轴分为1：4两个部分求得a；(3)用特殊情形找出Q：过Q点作MN//x轴，交抛物线于M，N，从而求得Q(0,10)，下面证明过Q任意一条直线，能使∠MPN恒为90°：设M(m,18m2+2)，N(n,18n2+2)，MN的中点记作F，表示MN2和FQ2，从而得出FQ=12MN，进而可论证得出结果．本题是二次函数综合运用，考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，解直角三角形，一元二次方程根与系数关系等知识，解决问题的关键是先求出Q点．25.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，∵AC切⊙O于点C，∴OC⊥AC，∴∠COA+∠A=90°，又∵CA=CB，∴∠A=∠CBA，∴∠COA+∠CBA=90°，∵EF⊥BC于点G，∴∠GOB=∠CBA=90°，∴∠COA=∠GOB=∠DOE，∴ĈD=D̂E；(2)证明：如图2，连接OC、CE，由(1)知∠COA=∠DOE，∵OC=OE，∴CE⊥OD，∴∠E+∠DOE=90°，∴∠E+∠DOC=90°，∵∠DOC=2∠DHC，∴∠E +2∠DHC =90°，又∠E =∠FHC ，∴∠FHC +2∠DHC =90°，∵∠FHC +∠EFH =90°，∴∠EFH =2∠DHC ；(3)解：如图3，连接OC 、OH 、CF ，∵EF ⊥CH ，∴ĈF =F ̂H ， ∴∠COH =2∠COF ，又∵∠COH =2∠CDH ，∴∠COF =∠CDH ，∵CH =8，∴CG =GH =4，在Rt △COG 中，∠CGO =90°，CG =4，OG =CG tan∠COG =76， ∴CO =√42+(76)2=256， ∴OF =256，GF =3，FH =CF =√32+42=5．【解析】(1)连接OC ，根据AC 切⊙O 于点C 得到∠COA +∠A =90°，根据EF ⊥BC 于点G 得到∠GOB =∠CBA =90°，从而得到∠COA =∠GOB =∠DOE ，相等的圆心角所对的弧相等得到ĈD =D ̂E ； (2)连接OC 、CE ，由(1)知∠COA =∠DOE ，得到∠E +2∠DHC =90°，根据∠E =∠FHC 得到∠FHC +2∠DHC =90°，从而证得∠EFH =2∠DHC ；(3)连接OC 、OH 、CF ，根据EF ⊥CH 得到C ̂F =F ̂H ，从而得到∠COH =2∠COF ，在Rt △COG 中，∠CGO =90°，CG =4，得到OG =76，然后利用勾股定理得到CO ，利用勾股定理得到FH =CF =√32+42=5．本题考查了圆的综合知识及勾股定理的应用、锐角三角函数的应用等知识，综合性强，难度较大，能够正确的作出辅助线是解答本题的关键．。

������. ������������������������26.5° ������
������. ������������������26.5° ������. ������������������������26.5°
������ ������. ������������������26.5°
4
5．（4 分）如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点 O，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的 ，则
9 AO
的值为（ ）
OD
2
A．
3
2
B．
5
4
C．
9
4
D．
13
【答案】A
4
【解析】∵△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点 O，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的 ，
9 ∴ AC 2 ， AC / / DF ，
CD 于点 E，若点 E 将 CD 分为1: 3 的两部分，则 EG=________.
三、解答题：本小题共 9 小题，共 86 分．
17. （8 分）计算： 8 2 + 6 - 2 cos 45 3
18.
（8
分）已知关于
x
的一元二次方程
ax2
+ bx
+
c
=
0
的两根分别为
x1
、 x2
,有如下结论： x1
D
C
A
B
22.（10 分）将一副直角三角尺按如图所示方式放置，点 A、B、D 在同一直线上， EF∥AB ， EF =AB ， ∠ACB=∠DEF = 90 °，∠A = 45 °，∠F = 30 °， BD = 3 3 − 3 ，求 CF 的长。

A．人教版九年级第一学期期末模拟数学试卷【含答案】一．选择题（共14 小题，满分42 分，每小题3 分）1．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）A．x＜5 B．x≤5 C．x≥5 D．x＞5 2．下列计算正确的是（）A．+ ＝B．3 ﹣＝3C．÷2＝D．＝23．如果与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（）A．a＝7 B．a＝﹣2 C．a＝1 D．a＝﹣1 4．方程x2＝4x 的根是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0 的一个根为x＝3，则另一个根为（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝36.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15 场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．77.将函数y＝2（x+1）2﹣3 的图象向右平移2个单位，再向上平移5个单位，可得到抛物线的顶点为（）A．（﹣3，2）B．（3，8）C．（1，﹣8）D．（1，2）8．在正方形网格中，△ABC 在网格中的位置如图，则c os B 的值为（）B．C．D．29.河堤横断面如图所示，河堤高B C＝6m，迎水坡A B 的坡比为1：，则A B 的长为（）A．12 m B．4 m C．5 m D．6 m10.如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3 的数的概率是（）A．B．C．D．11.如图，在R t△ABC 中，∠ACB＝90°，点D，E 分别是A B，BC 的中点，点F是B D 的中点．若AB＝10，则E F＝（）A．2.5 B．3 C．4 D．512.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD，点G 在线段AD 上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交C D 于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝13.如图，AB 是圆O 的直径，弦AC，BD 相交于点E，AC＝BD，若∠BEC＝60°，C 是的中点，则t an∠ACD 值是（）A.B．C．D．14.二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b 在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共4 小题，满分16 分，每小题 4 分）15.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为把△ABO 缩小，则点A的对应点A'的坐标是．16.已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m 图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．17.如图，在⊙O 中，半径O C 与弦A N 垂直于点D，且A B＝16，OC＝10，则C D 的长是．18.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，若要使△ABD 与△ACB 相似，可添加的一个条件是（只需写出一个）．三．解答题（共6 小题，满分62 分）19.完成下列各题：（1）解方程：x2﹣4x+3＝0；（2）计算：cos60°+ sin45°﹣3tan30°．20.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015 年利润为2 亿元，2017 年利润为2.88 亿元．（1）求该企业从2015 年到2017 年利润的年平均增长率；（2）若2018 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018 年的利润能否超过3.5 亿元？21.如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．（1）转动转盘一次，求转出的数字是﹣2 的概率；（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．22.如图1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC 于点B，底座BC 的长为1 米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB＝60°，点H 在支架AF 上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH 于点E，已知A H HF 长米，HE 长1米．（1）求篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE 的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）23.阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD 中，点E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA 边的中点，连接EG，HF 交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD 均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1 中正方形ABCD 分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，小明发现△ABC 也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD 与△ABC 的相似比为；（3）现有一个矩形A BCD是自相似图形，其中长A D＝a，宽A B＝b（a＞b）．请从下列A、B 两题中任选一条作答：我选择题．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD 纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD 纵向分割成n 个全等矩形，且与原矩形都相似，则a ＝（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形A BCD 先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a＝（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD 先纵向分割出m 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a＝（用含m，n，b 的式子表示）．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c 交x 轴于点A，点A 的坐标为（4，0）．（1）用含a 的代数式表示c．（2）当a＝时，求x为何值时y取得最小值，并求出y的最小值．（3）当a＝时，求0≤x≤6 时y的取值范围．（4）已知点B的坐标为（0，3），当抛物线的顶点落在△AOB外接圆内部时，直接写出a 的取值范围．参考答案一．选【解答】解：择题（共14 小题，满分42 分，每小题3 分）1．∵＝x﹣5，∴5﹣x≤0∴x≥5．故选：C．2.【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式＝2 ，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项错误；D、原式＝＝2 ，所以D选项正确．故选：D．3.【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，＝2 ，∴5+a＝3，解得：a＝﹣2，故选：B．4.【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0 或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．5.【解答】∵关于x 的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0 的一个根为x＝3，∴32﹣3k﹣6＝0，解得k＝1，∴x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3 或x＝﹣2，故选：A．6.【解答】解：设共有x 个班级参赛，根据题意得：＝15，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．7.【解答】解：y＝2（x+1）2﹣3 的图象向右平移2 个单位，再向上平移5 个单位，得y＝2（x+1﹣2）2﹣3+5，化简，得y＝2（x﹣1）2+2，抛物线的顶点为（1，2），故选：D．8.【解答】解：在直角△ABD 中，BD＝2，AD＝4，则A B＝＝＝2 ，则c os B＝＝＝．故选：A．9.【解答】解：∵BC＝6 米，迎水坡A B 的坡比为1：，∴，解得，AC＝6 ，∴AB＝＝12，故选：A．10【解答】解：∵共6 个数，大于3 的有3 个，∴P（大于3）＝＝；故选：D．11【解答】解：在Rt△ABC 中，∵AD＝BD＝5，∴CD＝AB＝5，∵BF＝DF，BE＝EC，∴EF＝CD＝2.5．故选：A．12【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴＝，＝，∴＝＝．故选：D．13【解答】解：连接AD、BC．∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°．在Rt△ADB 与Rt△BCA 中，AB＝AB，AC＝BD，∴Rt△ADB≌Rt△BCA，（HL）∴AD＝BC，＝．故∠BDC＝∠BAC＝∠3＝∠4，△DEC 是等腰三角形，∵∠BEC＝60°是△DEC 的外角，∴∠BDC+∠3＝∠BEC＝60°，∴∠3＝30°，∴tan∠ACD＝tan∠3＝tan30°＝．故选：B．14【解答】解：由二次函数开口向上可得：a＞0，对称轴在y 轴左侧，故a，b 同号，则b ＞0，故反比例函数y＝图象分布在第一、三象限，一次函数y＝ax+b 经过第一、二、三象限．故选：C．二．填空题（共4 小题，满分16 分，每小题 4 分）15【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2×，4×）或[﹣2×（﹣），4×（﹣）]，即点A′的坐标为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．16【解答】解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0 时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x 轴只有一个交点，与Y 轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1 或0或．17【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝10，∴OD＝10﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB＝16，由勾股定理可知：102＝82+（10﹣x）2∴x＝4，∴CD＝4，故答案为：418【解答】解：要使△ABC 与△ABD 相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C 或∠ADB ＝∠ABC 等，故答案为：∠ABD＝∠C．三．解答题（共6 小题，满分62 分）19．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）＝0，则x﹣1∴（x﹣1）＝0 或x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝3；（2）原式＝+ ×﹣3×＝+ ﹣＝1﹣．20【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%；（2）如果2018 年仍保持相同的年平均增长率，那么2018 年该企业年利润为：2.88（1+20%）＝3.456，3.456＜3.5答：该企业2018 年的利润不能超过3.5 亿元．21【解答】解：（1）将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中转出的数字是﹣2 的有2 种结果，所以转出的数字是﹣2 的概率为＝ ；（2）列表如下：由表可知共有 36 种等可能结果，其中数字之积为正数的有 20 种结果， 所以这两次分别转出的数字之积为正数的概率为＝ ．22【解答】解：（1）在 R t △EFH 中，cos ∠FHE ＝ ＝，∴∠FHE ＝45°，答：篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE 的度数为 45°；（2）延长 FE 交 CB 的延长线于 M ，过点 A 作 AG ⊥FM 于 G ，过点 H 作 HN ⊥AG 于 N ，则四边形 ABMG 和四边形 HNGE 是矩形，∴GM ＝AB ，HN ＝EG ， 在 R t △ABC 中，∵tan ∠ACB ＝，∴AB＝BC tan60°＝1× ＝，∴GM＝AB＝，在Rt△ANH 中，∠F AN＝∠FHE＝45°，∴HN＝AH sin45°＝× ＝，∴EM＝EG+GM＝+ ，答：篮板底部点E到地面的距离是（+ ）米．23【解答】解：（1）∵点H是A D的中点，∴AH＝AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为：＝＝；故答案为：；（2）在Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝3，根据勾股定理得，AB＝5，∴△ACD 与△ABC 相似的相似比为：＝，故答案为：；（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB＝AB：AD，即a：b＝b：a，∴a＝b；故答案为： b②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a＝a：b，∴a＝b；故答案为： bB、①如图2，由①②可知纵向2 块矩形全等，横向3 块矩形也全等，∴DN＝b，Ⅰ、当FM 是矩形DFMN 的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN＝AD：AB，即F D：b＝a：b，解得FD＝a，∴AF＝a﹣a＝a，∴AG＝＝＝a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB＝AB：AD即a：b＝b：a得：a＝b；Ⅱ、当DF 是矩形DFMN 的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN＝AB：AD 即FD：b＝b：a解得F D＝，∴AF＝a﹣＝，∴AG＝＝，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB＝AB：AD即：b＝b：a，得：a＝b；故答案为： b 或b；②如图3，由①②可知纵向m 块矩形全等，横向n 块矩形也全等，∴DN＝b，Ⅰ、当FM 是矩形DFMN 的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN＝AD：AB，即F D：b＝a：b，解得FD＝a，∴AF＝a﹣a，∴AG＝＝＝a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB＝AB：AD即a：b＝b：a得：a＝b；Ⅱ、当DF 是矩形DFMN 的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN＝AB：AD 即FD：b＝b：a解得F D＝，∴AF＝a﹣，∴AG＝＝，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB＝AB：AD即：b＝b：a，得：a＝b；故答案为： b 或24．【解答】解：（1）将A（4，0）代入y＝ax2﹣5ax+c，得：16a﹣20a+c＝0，解得：c＝4a．（2）当a＝时，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2＝（x﹣）2﹣．∵a＝＞0，∴当x＝时，y 取得最小值，最小值为﹣．（3）当a＝﹣时，c＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+ x﹣2＝﹣（x﹣）2+ ．∵a＝﹣＜0，∴当x＝时，y 取得最大值，最大值为；当x＝0 时，y＝﹣2；当x＝6 时，y＝﹣×62+ ×6﹣2＝﹣5．∴当0≤x≤6 时，y 的取值范围是﹣5≤y≤．（4）∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣5ax+4a＝a（x﹣）2﹣a，∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，﹣a）．设线段AB 的中点为O，以AB 为直径作圆，设抛物线对称轴与⊙O 交于点C，D，过点O作OH⊥CD 于点H，如图所示．∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标（0，3），∴AB＝5，点O的坐标为（2，），点H的坐标为（，）．在Rt△COH 中，OC＝AB＝，OH＝，∴CH＝，∴点C的坐标为（人教版九年级数学上册期末考试试题(含答案)一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列根式中，能与合并的二次根式为（）A．B．C．D．2．甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（）A．40cm B．400cm C．0.4cm D．4cm3．点（5，﹣2）关于x轴的对称点是（）A．（5，﹣2）B．（5，2）C．（﹣5，2）D．（﹣5．﹣2）4．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤15．随机掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上的概率是（）A．1B．C．D．06．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A是（）A．B．C．D．7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由156元降为118元．已知两次降价的百分率相同每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．156（1+x）2＝118B．156（1﹣x2）＝118C．156（1﹣2x）＝118D．156（1﹣x）2＝1188．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任一点（不含端点O、A），二次函数y1的图象过P、O两点，二次函数y2的图象过P、A两点，它们的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．则当OD＝AD＝9时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．8B．3C．2D．6二、填空题（每小题3分，共18分）9．﹣＝．10．已知＝，则的值为．11．关于x的方程x2﹣kx+2＝0有一个根是1，则k的值为．12．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若＝，AE＝4，则EC等于．13．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD，点A（2，0），B（0，4），那么点C的坐标是．14．在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），此函数图象与x轴相交于P、Q两点，且PQ＝6，若此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d中为正值的是（选填“a”、“b”“c”或“d”）三、解答题（本大题10小题，共78分）15．计算：（+）×16．计算：tan60°﹣cos45°•sin45°+sin30°．17．解方程（1）x2﹣x＝0（2）x2﹣2x﹣3＝018．张明和王华两人玩“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．请用树状图（或列表）的方法，求王华胜出的概率．19．“会如”海鲜商场经销一种成本为每千克40元的海产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种海产品的销售情况，解答下列问题：（1）当销售单价定位55元时，计算：月销售量＝千克，月销售利润＝元；（不要求写出过程，直接写出计算结果即可）（2）若该商场想使每月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？20．如图，在一滑梯侧面示意图中，BD∥AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E．BC＝1.8cm，BD＝0.5m，∠A＝45°，∠F＝29°．（1）求滑道DF的长（结果精确到0.1m）．（2）求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF（结果精确到0.1m）．参考数据：sin29°＝0.48，cos29°＝0.87，tan29°＝0.55．21．方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，解答问题：（1）请按要求对△OAB作变换：以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA′B′．（2）写出点A′的坐标；（3）△OA′B'的面积为．22．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC ＝（用含a的代数式表示）23．已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．（1）如图，当AP＝3cm时，求y的值；（2）设AP＝xcm，试用含x的代数式表示y（cm2）；（3）当y＝2cm2时，试确定点P的位置．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x与x轴交于O、A两点，与直线y＝x 交于O、B两点，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，2）．点P在抛物线上，且不与点O、B重合，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边作R△PQN，点N 与点B始终在PQ同侧，且PN＝1．设点P的横坐标为m（m＞0），PQ长度为d．（1）用含m的代数式表示点P的坐标．（2）求d与m之间的函数关系式．（3）当△PQN是等腰直角三角形时，求m的值．（4）直接写出△PQN的边与抛物线有两个交点时m的取值范围．2018-2019学年吉林省长春市新区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．【分析】分别化简二次根式进而得出能否与合并．【解答】解：A、＝2，故不能与合并，不合题意；B、＝，不能与合并，不合题意；C、＝2，能与合并，符合题意，D、＝3，不能与合并，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．2．【分析】根据实际距离×比例尺＝图上距离，代入数据计算即可．【解答】解：20千米＝2000000厘米，2000000×＝4（cm）．故选：D．【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．3．【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．【解答】解：（5，﹣2）关于x轴的对称点为（5，2），故选：B．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．5．【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，则P＝，（正面朝上）故选：B．【点评】此题考查了概率公式，概率＝发生的情况数÷所有等可能情况数．6．【分析】连接CE，则CE⊥AB，根据勾股定理求出CA，在Rt△AEC中，根据锐角三角函数定义求出即可．【解答】解：如图所示：连接CE，则CE⊥AB．∵根据图形可知：BC＝2，BE＝EC＝，∠EBC＝∠ECB＝45°∴∠BEC＝∠AEC＝90°∵AC＝＝，∴sin A＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角形．7．【分析】设每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：156（1﹣x）2＝118．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝6，DE＝3．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出＝，＝，代入求出BF和CM，相加即可求出答案【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，∵OD＝AD＝9，DE⊥OA，∴OE＝EA＝OA＝6，由勾股定理得：DE＝＝3．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴＝，＝，∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（12﹣2x）＝6﹣x，即＝，＝，解得：BF＝，CM＝3﹣x，∴BF+CM＝3．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．二、填空题（每小题3分，共18分）9．【分析】直接进行开平方的运算即可．【解答】解：﹣＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了算术平方根的知识，属于基础题，关键是掌握算术平方根的定义及开平方的运算．10．【分析】依据＝，即可得到﹣1＝，进而得出的值．【解答】解：∵＝，∴﹣1＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．11．【分析】根据一元二次方程的定义，把x＝1代入方程x2﹣kx+2＝0得关于k的方程，然后解关于k的方程即可．【解答】解：根据题意将x＝1代入方程，得：1﹣k+2＝0，解得：k＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．【分析】由DE∥BC，AD：AB＝3：4，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：AC ＝AD：AB＝2：3，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，＝，∴AE：AC＝AD：AB＝2：3，∴AE：EC＝2：1．∵AE＝4，∴CE＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系．13．【分析】如图，作CE⊥y轴于点E，根据已知条件得到OA＝2，OB＝4，根据四边形ABCD是正方形，得到∠ABC＝90°，BC＝BA，根据余角的性质得到∠CBE＝∠BAO，根据全等三角形的性质得到BE＝OA＝2，CE＝OB＝4，求得OE＝OB﹣BE＝4﹣2＝2，于是得到结论．【解答】解：如图，作CE⊥y轴于点E，∵A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∵∠ABO+∠A＝90°，∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠BAO，在△ABO和△BCE中，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴BE＝OA＝2，CE＝OB＝4，∴OE＝OB﹣BE＝4﹣2＝2，∴C点坐标为（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是作CE⊥y轴于点E后求出CE 和OE的长．14．【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），此函数图象与x轴相交于P、Q 两点，且PQ＝6，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），∵此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，∴a＜0，b＜0，c＝0，d＞0，故答案为：d．【点评】本替考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．【分析】先化简二次根式，再利用乘法分配律计算可得．【解答】解：原式＝（2+2）×＝6+2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．16．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝﹣×+＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．17．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，则x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1；（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．【分析】采用树状图法或者列表法列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：列表如下由表知，共有9种等可能结果，其中王华胜出的有3种等可能结果，所以王华胜出的概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．【分析】（1）根据月销售量为＝500﹣（销售单价﹣50）×10，即可得出结论，再根据月销售利润＝销售每千克的利润×销售数量，代入数据即可得出结论；（2）根据月销售利润＝销售每千克的利润×销售数量，即可得出有关x的一元二次方程，解一元二次方程即可得出x的值．【解答】解：（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为500﹣（55﹣50）×10＝450（千克），月销售利润为（55﹣40）×450＝6750（元）．故答案为：450；6750．（2）根据题意得：（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]＝8000时，有﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，解得：x1＝80，x2＝60．答：销售单价定为60元或80元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或列式计算）是解题的关键．20．【分析】（1）在Rt△DEF中，用正弦函数求解即可；（2）分别在Rt△ABC、Rt△DEF中，通过解直角三角形求出AC、EF的长，进而由AF ＝AC+BD+EF求得AF的长．【解答】解：（1）在Rt△DEF中，∠DEF＝90°，DE＝BC＝1.8，∠F＝29°．∵sin F＝，∴DF＝＝≈≈3.8（m）；答：滑道DF的长约为3.8m；（2）∵cos F＝，∴EF＝DF•cos29°≈3.75×0.87≈3.26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠A＝45°，∴AC＝BC＝1.8．又∵CE＝BD＝0.5，∴AF＝AC+CE+EF≈1.8+0.5+3.26≈5.6（m）．答：踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF约为5.6m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用、三角函数的运用能力；熟练掌握三角函数是解决问题的关键．21．【分析】（1）根据位似中心的位置以及位似比的大小作出△OA′B′；（2）根据三角形的位置得出点A′的坐标即可；（3）根据△OA′B'的位置，运用割补法求得△OA′B'的面积即可．【解答】解：（1）如图所示，△OA′B′即为所求．（2）由图知，点A′的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为：（﹣6，﹣2）．（3）△OA′B'的面积为6×4﹣×2×4﹣×2×4﹣×2×6＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．22．【分析】探究：欲证明DB＝DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD＝EB即可解决问题．【解答】探究：证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC＝DB．应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，∴△DFC≌△DEB，∴DF＝DE，CF＝BE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴△ADF≌△ADE，∴AF＝AE，∴AB﹣AC＝（AE+BE）﹣（AF﹣CF）＝2BE，在RT△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，∴BE＝a，∴AB﹣AC＝a．故答案为a．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．23．【分析】（1）先根据AP的长，求出PQ的值，然后看看正方形与矩形是否重合，若重合求出重合部分的线段的长，然后根据矩形的面积计算公式进行求解即可．（2）要分四种情况进行讨论：①当N在D点或D点左侧时，当正方形PQMN的边MN与矩形EDBF的边ED重合时，利用相似三角形的性质可得出x＝，即0＜x≤时，此时正方形与矩形没有重合，因此y＝0；②当N在D点右侧，而P点在D点左侧或与D点重合时，即＜x≤4，此时正方形与矩形重合的面积应该是以DN为长，NM为宽的矩形，DN＝PN﹣PD＝PN﹣（AD﹣AP）＝x﹣（4﹣x）＝x﹣4．而NM＝PQ＝x，因此重合部分的面积应该是y＝（x﹣4）×x＝x2﹣2x；③当P在D点右侧，而N点在B点左侧或与B点重合时，即4＜x≤时，此时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长，DE为宽的矩形的面积，PN＝x，DE＝2，因此此时重合部分的面积是y＝x×2＝x；④当P在B左侧时，而N点在AB延长线上时，即＜x＜8时，此时重合部分的面积应该是以DE长为宽，PA长为长的矩形的面积．BP＝AB﹣AP＝8﹣x，BF＝DE＝2，因此此时重合部分的面积应该是y＝（8﹣x）×2＝16﹣2x．（3）将y＝2代入（2）的式子中，看看求出的x哪个符合条件即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，∴tan A＝＝，∵D是AB中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AD＝BD＝4cm，DE＝2cm，∴Rt△APQ中，AP＝3cm，∴PQ＝AP•tan A＝3×＝1.5cm，∴DN＝AN﹣AD＝AP+PN﹣AD＝3+1.5﹣4＝0.5，∴重合部分的面积应该是y＝DN×MN＝1.5×0.5＝0.75cm2；（2）当0＜x≤，y＝0；当＜x≤4，y＝，当4＜x≤，y＝x；当＜x＜8，y＝16﹣2x；（3）当＜x≤4时，如果y＝2，2＝，解得x＝或x＝（舍去）；当4＜x≤时，如果y＝2，x＝2，也不符合题意，当＜x＜8时，如果y＝2，2＝16﹣2x，解得x＝7，因此当AP＝7cm时，y＝2cm2．∴当x＝7cm或x＝cm时，y＝2cm2．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，正方形的性质，中位线定理以及解直角三角形的应用等知识点，要注意（2）（3）中，正方形的位置不同时，函数解析式是不同的，要分类讨论，不要漏解．24．【分析】（1）把把x＝m代入y＝﹣x2+3x即可；（2）分类用两点纵坐标之差即可表示；（3）由△PQN是等腰直角三角形得出PQ＝PN＝1，列方程求解即可；（4）把点P在OB上侧和下侧分类研究即可；【解答】解：（1）把x＝m代入y＝﹣x2+3x，y＝﹣m2+3m∴P（m，﹣m2+3m）（2）①当0＜m＜2时，d＝﹣m2+3m﹣m＝﹣m2+2m，②当m＞2时，d＝m﹣（﹣m2+3m）＝m2﹣2m（3）当△PQN是等腰直角三角形，∴PQ＝PN＝1，①当0＜m＜2时，﹣m2+2m＝1，解得m1＝m2＝1．②当m＞2时，m2﹣2m＝1，解得m1＝1+，m2＝1﹣（舍）（4）m＝1或m＞2．当点P在OB上侧时，当△PQN是直角三角形，PN平行于x轴，所以P和N关于对称轴x＝对称，又因为PN＝1，所以m＝1；当点P在OB下方时，因为点N与点B始终在PQ左侧，所以这时△PQN的边与抛物线始终有两个交点，所以m＞2．所以m＝1或m＞2．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会表示函数图象上点的坐标，会运用方程解决点的存在问题是解题的人教版九年级数学上册期末考试试题(含答案)。

福建省泉州市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卡的相应位置内作答.1.有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 0x ≥ B. 0x >C. 1x ≤-D. 1x ≥-【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得，x 10+≥， 解得，x 1≥-． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，熟记知识点是解此题的关键．2.若52a b =，则a b a +=（ ） A. 35 B. 32C. 75D.72【答案】C 【解析】 【分析】根据比例设a=5k ，b=2k ，(k 0≠)，代入求解即可． 【详解】解：∵52a b =， ∴设a=5k ，b=2k ，(k 0≠)， ∴52755a b k k a k ++==．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是求分式的值，此类题目还可以将a b a +化简为含ab的代数式，然后再代入求值．3.．．同类二次根式的是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．【详解】解：A =B =C =不是同类二次根式，符合题意；D = 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的化简以及同类二次根式的定义，将以上二次根式正确的化为最简二次根式是解此题的关键．4.某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件.设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A. ()81211x += B. ()28111x +=C. ()281211x += D. 288(1)8(12)11x x ++++=【答案】B 【解析】 【分析】根据2019年“双十一”期间完成投递件数=2017年“双十一”期间完成投递的件数()21x ⨯+列方程即可．【详解】解：设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为x ，由题意得出，()28111x +=． 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解题的关键．5.如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的49，则AO ：AD 的值为（ ）A. 2：3B. 2：5C. 4：9D. 4：13【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC 经过位似变换得到△DEF ，点O 是位似中心，根据位似图形的性质得到AB ：DO═2：3，进而得出答案．【详解】∵△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的49， ∴AC DF ＝23，AC ∥DF ， ∴AO DO ＝AC DF ＝23， ∴AO AD ＝25． 故选B ．【点睛】此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．6.利用配方法解一元二次方程2670x x -+=时，将方程配方为()2x m n -=，则m 、n 的值分别为（ ） A. 9m =，2n = B. 3m =-，2n =- C. 3m =，0n =D. 3m =，2n =【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案．【详解】解：∵2670x x -+= ∴267x x -=-∴()()2226373x x -+-=-+- ∴()232x -= ∴3m =，2n =． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，熟记配方法的一般步骤是解此题的关键． 7.如图为某一试验结果的频率随试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（ ）A. 掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2B. 掷一枚硬币，出现正面朝上C. 从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球D. 从分别标有数字l ，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记的数字不小于7 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据折线统计图可得出该事件的概率在30%以上，分别计算各选项概率，即可得出答案． 【详解】解：A ． 掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2的概率为13，符合该图；B ． 掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，不符合该图； C ． 从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球的概率为13，符合该图； D ． 从分别标有数字l ，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记的数字不小于7概率为13，符合该图． 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是用频率估计概率，解题的关键是从折线统计图中得出事件的概率值． 8.西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC 高为a .已知冬至时某地的正午日光入射角ABC ∠约为26.5︒，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC 的长）约为（ ）A. sin 26.5a ︒B.cos 26.5a︒C. tan 26.5a ︒D.tan 26.5a︒【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形，可用含a 的式子表示出BC 的长，即可得出答案．【详解】解：由题意可知，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC 的长）约为，tan ACABC =∠tan 26.5a ︒．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，熟记知识点是解此题的关键．9.如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 的中点，AE 与BD 相交于点G ，则GDBD的值为（ ）A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得出BGE ~DGA ，再根据相似三角形的性质可得出BE BGAD DG=，得出DG=2BG ，从而可得出答案．【详解】解：∵在ABCD 中， ∴AD//BC ，AD=BC ∴BGE ~DGA ∴BE BGAD DG= ∵点E 是BC 的中点 ∴DG=2BG ∴2233GD BG BD BG == 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，利用平行四边形的性质得出BGE ~DGA 是解此题的关键．10.已知实数a 是一元二次方程270x x +-=的根，则4371a a a ++-的值为（ ） A. 48 B. 49C. 50D. 51【答案】A 【解析】 【分析】将一元二次方程的解a 代入方程可得出27a a +=，再将代数式化为含2a a +的式子代入计算即可． 【详解】解：∵实数a 是一元二次方程270x x +-=的根，∴27a a +=，∵43222271()717717()148a a a a a a a a a a a ++-=++-=+-=+-=． 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是求代数式的值，此类题目不需要求出a 的值，再代入求解，只需将所求代数式化为含已知条件的式子求值即可．第Ⅱ卷 非选择题（共110分）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的相应位置.11.=__________．【答案】【解析】 【分析】将二次根式化为最简二次根式再合并即可．【详解】解：原式==故答案为：【点睛】本题考查的知识点是二次根式的加法运算，将二次根式化为最简二次根式是解此题的关键． 12.一元二次方程()()1210x x x +-+=的根是__________． 【答案】11x =-，22x = 【解析】 【分析】将一元二次方程提公因式再用因式分解法求解即可． 【详解】解：原方程提公因式得出：()()x 1x 20+-=， 则x+1=0或x-2=0， 解得，x=-1或x=2． 故答案为：11x =-，22x =．【点睛】本题考查的知识点是用因式分解法求一元二次方程的解，属于基础题目，易于掌握．13.如图，河堤横断面迎水坡AC 的坡度1:2i =，若30BC =米，则高度AB 为__________米．【答案】15 【解析】 【分析】在直角三角形中，已知坡面AC 的坡比以及BC 的值，通过解直角三角形可得出铅直高度AB 的值． 【详解】解：由题意可得：1tan 2AB C BC ==， ∵30BC =米, ∴AB=15米． 故答案为：15．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，掌握坡度、坡角．坡比的概念是解此题的关键． 14.如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，M 、N 分别是AB 与BC 的中点，则MN 的长为__________．33【解析】 【分析】利用勾股定理可求出AC 的值，又因为MN 为三角形的中位线即可得出答案． 【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =， ∴BC=3，AC=33，∵M 、N 分别是AB 与BC 的中点， ∴MN 为Rt ABC 的中位线，∴133MN 2AC ==． 故答案为：332． 【点睛】本题考查的知识点是三角形的中位线定理以及用勾股定理解直角三角形，利用勾股定理得出AC 的值是解此题的关键．15.如图，在正方形网格中，ABC ∆的三个顶点都在格点上，则()sin CAB ABC ∠+∠=__________．【答案】22【解析】 【分析】根据所给图形可得出CAB ABC 45∠∠+=︒，再求正弦值即可． 【详解】解：根据网格所示，可得出CAB ABC 45∠∠+=︒， ∴()sin CAB ABC ∠+∠2sin 45=︒=． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的知识点是用格点解直角三角形，根据格点找出CAB ABC 45∠∠+=︒是解此题的关键． 16.在正方形ABCD 中，8AB =，点F 在边AD 上，作点A 关于BF 的对称点G ，连接AG 并延长交CD 于点E ，若点E 将CD 分为1:3的两部分，则EG =__________． 【答案】25或1717【解析】【分析】根据正方形的性质得到边长相等和直角，再应用勾股定理计算线段的长度，应用相似三角形和等积公式计算注意分类讨论．【详解】解：当DE:EC=1：3时，∵四边形是正方形，∴AB=BC=CD=DA=8，DAB D 90∠∠==︒ ∴DE=2，EC=6，∵G 是A 的对称点，设BF 交AG 于点O ， ∴AG BF ⊥，AO=GO ， ∴DAE BFA 90∠∠+=︒， ∵BFA ABF 90∠∠+=︒， ∴DAE ABF ∠∠=， ∴DAE FAB ≅， ∴DE=FA=2，AE=BF ， ∵DA=8，DE=2，∴22AE 82217+= ∵1122ABFSAB AF AO BF =⨯⨯=⨯⨯， ∴817AO =1617，∴16171817 EG AE AG217=-=-=；当CE:DE=1:3时，DE=6，CE=2，同理可证：DAE ABF≅，∴AF=DE=6，AE=BF=10，∴1122ABFS AO BF AB AF =⨯⨯=⨯⨯，∴24 AO5=，∴48 AG2AO5==，∴482 EG AE AG1055 ===-=．故答案为：251817【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用面积相等求线段的长是解此题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卡的相应位置内作答.17.6822cos453-︒.【答案】4【解析】【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算，再将二次根式化简，结合特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：原式24222=+-⨯422=+-4=【点睛】本题考查的知识点是二次根式的化简以及特殊角的三角函数值，熟记以上知识点是解此题的关键．18.已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为1x 、2x ，有如下结论：12bx x a +=-，12c x x a=.试利用上述结论，解决问题：已知关于x 的一元二次方程2320190x x --=的两根分别为1x 、2x ，求()()1222x x ++的值. 【答案】20053-. 【解析】 【分析】根据已给结论可得出121133x x -+=-=，1220193x x =-，将()()1222x x ++展开，再代入求解即可． 【详解】解：∵121133x x -+=-=，1220193x x =-， ∴()()()1212122224x x x x x x ++=+++20191200524333=-+⨯+=-． 【点睛】本题考查的知识点是根与系数的关系，根据所给结论得出12x x +的值与12x x 的值是解此题的关键． 19.某校有一块矩形绿地（数据如图所示，单位：m ），现在其中修建一条道路（阴影所示），若所修建道路面积为2325m ，求x 的值.【答案】5m . 【解析】 【分析】利用直角三角形的面积求法可得出绿地剩余的面积(40-x)(30-x)，列方程求解即可．【详解】解：()()12003040325x x ---= 整理得：2703250x x -+=， 解得：15=x ，265x =（舍去）， ∴x 的值为5m ．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意找出题目中的等量关系式是解此题的关键． 20.已知关于x 的一元二次方程()2110kx k x +++=.（1）求证：这个方程一定有实根； （2）若这个方程有一根为-3，试求k 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13k =. 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式直接可求解； （2）将方程的解直接代入可求k 的值．【详解】解：（1）证明：2222(1)421421(1)k k k k k k k k ∆=+-=++-=-+=-， ∴()210k ∆=-≥ ∴这个方程一定有实根．（2）把3x =-代入这个方程，得2(3)(3)(1)10k k -⋅+-⋅++=， 解得：13k =． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，熟记根的判别式是解此题的关键． 21.如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =.（1）尺规作图：在线段CD 上求作一点E ，使得30AED ∠=︒，（保留作图痕迹，不写作法与证明）； （2）连接BE ，若点F 为边BE 的中点，求证：EAF EBC ∠=∠.【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）以A 为圆心，AB 为半径作圆交CD 与点E ，点E 即为所求；（2）由已知条件可得出AF 平分EAB ∠，进而有15EAF ∠=︒，再求出907515EBC ∠=︒-︒=︒，即可得以证明．【详解】（1）如图，点E 是所求作的．（2）如图，∵四边形ABCD 为矩形， ∴90ABC ∠=︒，AB CD ∥， ∴30EAB AED ∠=∠=︒．∵AB AE =，点F 为边BE 的中点，∴AF 平分EAB ∠，即15EAF ∠=︒（三线合一）． ∵AB AE =，30EAB ∠=︒， ∴18030752ABE ︒-︒∠==︒， ∴907515EBC ∠=︒-︒=︒， ∴EAF EBC ∠=∠．【点睛】本题考查的知识点是尺规作图以及矩形的性质和三角形的内角和定理，掌握以上知识点是解此题的关键．22.将一副直角三角尺按如图所示方式放置，点A 、B 、D 在同一条直线上，EF AB ∥，EF AB =，90ACB DEF ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30F ∠=︒，333BD =-，求CF 的长.【答案】436-. 【解析】 【分析】作CH AB ⊥于点H ，可得12CH HB AB ==，设CH HB x ==，进一步得出3HD x =，3CH HB ==，，26CD HB ==在Rt DEF ∆中，求出DF 的值，即可求出答案． 【详解】解：作CH AB ⊥于点H ， 在等腰Rt ABC ∆中，12CH HB AB ==， ∵EF AB ∥，∴30CDH EFD ∠=∠=︒． 在Rt CHD ∆中，设CH HB x ==，tan CH CDH HD ∠=，tan 30xHD︒=，3HD x =， ∵HD HB BD -=，∴3333x x -=-，解得：3x =，即3CH HB ==． ∴26CD HB ==，26EF AB HB ===．在Rt DEF ∆中，30F ∠=︒，cos30EF DF︒=，43cos3032EF F D ︒===， ∵CF DF CD =-，∴436CF DF CD =-=-．【点睛】本题考查的知识点是等腰直角三角形的性质以及用勾股定理解直角三角形，解此题的关键是通过作辅助线构造新的直角三角形，利用勾股定理求解．23.某台机床生产铸件产品，按照生产标准，铸件产品评定等级、整改费用规定如下：注：在统计优等品个数时，将特优品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特优品）计算在内. 现该机床生产20件产品，测量其重量，得到如下统计表：对照生产标准，发现这批铸件产品的合格率为80%. （1）求x 与y 的值；（2）根据客户要求，这批铸件产品的合格率不得低于90%.现决定从不合格产品中随机抽取两件进行整改，求整改费用最低的概率.【答案】（1）5x =，2y =.（2）P （整改费用最低）21126==. 【解析】 【分析】（1）根据统计表中的产品合格的件数结合产品的合格率可得出x 的值，进而可得出y 的值； （2）利用列表法或画树状图法来求解即可．【详解】解法一：（1）由题意得：34312080%x ++++=⨯， 解得：5x =．∴()202345312y =-+++++=．（2）记“重量小于或等于29.7kg ”的两件产品为A 、B ， 记“重量大于或等于30.3kg ”的两件产品为C 、D ． 画树状图如下：所有机会均等的结果有12种，其中整改费用最低的结果有2种， ∴P （整改费用最低）21126==． 解法二：（1）同解法一：（2）记“重量小于或等于29.7kg ”的两件产品为A 、B ， 记“重量大于或等于30.3kg ”的两件产品为C 、D ． 列表如下：所有机会均等的结果有12种，其中整改费用最低的结果有2种， ∴（P （整改费用最低）21126==． 【点睛】本题考查的知识点是求事件的概率问题，从所给统计图中得出有效的信息是解此题的关键． 24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4:43l y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于B 、A 两点，点C 是AB的中点，点E 、F 分别为线段AB 、OB 上的动点，将BEF ∆沿EF 折叠，使点B 的对称点D 恰好落在线段OA 上（不与端点重合）.连接OC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，连接FM.（1）求tan ABO ∠的值； （2）试判断DE 与FM的位置关系，并加以证明；（3）若MD MN =，求点D 坐标.【答案】（1）4tan 3ABO ∠=；（2）DM FM ⊥，证明见解析；（3）点D 的坐标为90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）结合A ，B 的坐标，在在Rt AOB ∆中，即可求出tan ABO ∠的值；（2）DE 与FM 的位置关系为DM FM ⊥，利用折叠的性质以及Rt AOB ∆斜边AB 上的中线定理可证明DNM ONF ∆∆∽，再利用相似三角形的性质进一步证明DNO MNF ∆∆∽，结合三角形内角和定理即可证明结论；（3）设()30DM t t =>，则4MF t =，5DF BF t ==，用含t 的式子表示出DN ，再由DNO MNF ∆∆∽，得出OD 的值，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）由题意得：()0,4A ，()3,0B ．Rt AOB ∆中，4tan 3OA ABO OB ∠==． （2）DM FM ⊥，理由如下： 由折叠的性质得：EDF EBF ∠=． ∵OC 为Rt AOB ∆斜边AB 上的中线， ∴12OC AB BC ==，∴COB CBO ∠=∠， ∴EDF COB ∠=∠． 又∵DNM ONF ∠=∠， ∴DNM ONF ∆∆∽， ∴DN MN ON FN =，即DN ONMN FN=， 又∵DNO MNF ∠=∠， ∴DNO MNF ∆∆∽， ∴DON MFN ∠=∠，∴90EDF MFN COB DON ︒∠+∠=∠+∠=， ∴180()90DMF EDF MFN ︒︒∠=-∠+∠=， ∴DM FM ⊥．（3）∵MDF ABO ∠=∠∴在Rt DMF △中，4tan tan 3MDF ABO ∠=∠=， 设()30DM t t =>，则4MF t =，5DF BF t ==， 当MD MN =时，MDN MND ∠=∠． 又∵MDN COB ∠=∠，MND FNO ∠=∠， ∴COB FNO ∠=∠， ∴35FO FN t ==-，∴()535103DN t t t =--=-． 由DNO MNF ∆∆∽得：OD DN FM MN =，即10343OD t t t-=， ∴()41033OD t =-． 在Rt DOF ∆中，由勾股定理得：222OD OF DF +=，即2224(103)(35)(5)3t t t ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦，解得：11532t =，2310t =， ∴94OD =或0（不合题意，舍去），∴点90,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，点D 的坐标为90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是一道关于一次函数与几何图形的综合题目，主要用到的知识点是相似三角形的判定及其性质和勾股定理的综合应用，充分考查了学生综合分析问题的能力．25.如图，45MBN ∠=︒，点P 为MBN ∠内的一个动点，过点P 作BPA ∠与BPC ∠，使得135BPA BPC ∠=∠=︒，分别交BM 、BN 于点A 、C .（1）求证：CPB BPA ∆∆∽； （2）连接AC ，若AC BC ⊥，试求PCAC的值； （3）记AP a =，BP b =，CP c =，若20a b c +-=，2a b ≥，且a 、b 、c 为整数，求a 、b 、c 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）5PC AC =（3）16a =，8b =，4c =. 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理可得出PCB ABP ∠=∠即可证明结论； （2）结合角的三角函数以及相似三角形的性质可得出12PC PA =，利用135BPA BPC ︒∠=∠=，得出90APC ︒∠=，最后利用勾股定理求解即可；（3）设()0a b x x b c==>，则b cx =，2a cx =，将式子转化为关于x 的一元二次方程求解，利用求根公式以及a ，b ，的取值范围可求出c 的求值范围，再求出整数解即可；同理可以令b ax =，2c ax =求a 的取值范围再求解．【详解】解：（1）∵180PCB PBC BPC ︒∠+∠+∠=，135BPC ︒∠=，∴45PCB PBC ∠+∠=︒，又∵45MBN ∠=︒，∴45ABP PBC ∠+∠=︒，∴PCB ABP ∠=∠．又∵135BPA BPC ∠=∠=︒，∴CPB BPA ∆∆∽．（2）由（1）得：CPB BPA ∆∆∽， ∴PCBPBCBP PA AB ==．∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒．又45MBN ∠=︒，∴ACB ∆是等腰三角形．∴cos 45BC AB ︒=，即2PCBP BC BP PA AB ===，∴1222PC BP BP PA ⋅==，即12PCPA =．∵135BPA BPC ︒∠=∠=，∴360135290APC ︒︒︒∠=-⨯=．在Rt APC ∆中，设()0PC t t =>，则2PA t =，由勾股定理，得AC =．∴PCAC==（3）解法一：由（1）知：AP BPBP CP=，即a bb c=，设()0a bx xb c==>，则b cx=，2a cx=．∵20a b c+-=，∴220cx cx c+-=，即22010x xc+--=（*）又∵2a b≥，∴2ab≥，即2x≥，∴方程（*）应有根2x≥，∴208014150c c⎛⎫∆=---=+≥⎪⎝⎭，∴1x=，2x=<（舍去）由12x∆≥⎧⎨≥⎩，解得：4c≤．又∵c为整数，∴1,2,3,4c=．当1,2,3c=时，方程（*）的根为无理数，此时b不为整数，不合题意．当4c=时，2x=，此时，16a=，8b=．综上所述，16a=，8b=，4c=．解法二：由（1）知：BP CPAP BP=，即b ca b=，设b cxa b==，则b ax=，2c ax=．∵20a b c+-=，∴220a ax ax+-=，即22010x xa-+-=（*）又∵2a b≥，∴102x <≤， 即方程（*）应有根满足102x <≤．∴208014150102a a ⎧⎛⎫∆=--=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎪<≤⎩或208014150102a a ⎧⎛⎫∆=--=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎪<≤⎩解得：1616a a ≥⎧⎨=⎩或161620a a ≥⎧⎨≤<⎩， ∴1620a ≤<又∵a 为整数，∴16,17,18,19a =．当16a =时，方程（*）化为：2104x x -+=， 解得：1212x x ==． ∴8b =，4c =．当17,18,19a =时，方程（*）的根为无理数，此时b 不为整数，不合题意．综上所述，16a =，8b =，4c =．【点睛】本题是一道关于相似三角形的综合题目，用到的知识点有相似三角形的判定定理及其性质，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式等，掌握以上知识点是解此题的关键．。