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小学 级数的整除 奥数真题

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99的倍数为n奇数时
8．试证明 n位原序数与n位反序数
的差一定是
9的倍数为偶n 数时
(如：12365 为原序数，那么它对应的反序数为 56321 ，它们的差 43956 是 99 的倍数.)
9．如图，把 1～9 这 9 个数字放在一个圆圈上。请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和 逆时针次序形成两个九位数(比如在 7 和 8 之间剪开，就形成了 826543197 和 791345628 这两个九位数)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么可以从 哪两个数字之间剪开？
位数除以 667 的结果是
。
16．(2009 年学而思五升六竞赛班选拔考试第 20 题)把数字 1 到 9 各使用一次，组成一个被
555667 整除的 9 位数，这个 9 位数是
。
17．如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25 倍．那么，这个五位 数的前两位的最大值是_________。
10 00 1 222 2 13 579 1 4 9 16 25 1 5 14 30 55 2 7 21 51 106
再考虑因数 2，其累积过程如下图。 由于 5 多于 2，则 c 方格内所填的自 01 34 8 1 2 5 9 17 0 2 7 16 33 2 4 11 27 60 0 4 15 42 102
5. 右图的方格表中已经填入了 9 个数，其余 20 个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以 它上面方格中的数。比如 a=5×10=50，b=5×12=60。那么 c 方格内所填的自然数的末尾有 ___个连续的 0。
10 12 14 16
5a b 10
15
20
25
c
【分析】由于考虑的是 c 末尾有多少个连续的 0，则只需考虑有多个 5，有多少个 2 即可。 先考虑因数 5，其累积如下图：
)个 0。
26．要使 26abcd 2 能被 36 整除，而且所得的商最小，那么 a、b、c、d 的和是( )。
27．刘叔叔给 18 名工人发完工资后，把总钱数写在一张纸上，可是由于他吸烟不小心，火 星落在纸上，把这笔帐的总数烧去两个数字， 97 8 ，刘叔叔记得每名工人的工资都 一样，而且都是整数元，每名工人的工资最高可能是( )。
8 7
9
1 3
2 6
5 4
10 ．对怎样的最小值 n，数122221 被 999 整除？
n个2
9个9
11．一个 19 位数 77 ⋅ ⋅ ⋅77 Ο 444⋅ ⋅⋅ 44 能被 13 整除，求 О 内的数字．
9个
9个
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
12．(2003 年希望杯第 1 届五年级 2 试第 3 题)六位数 2003□□能被 99 整除，它的最后两位数
10 12 14 16
5a b
10
15
20
25
c
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
6．右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。第二排的四个 数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数 A 的末尾共有多少个 0 ？
12 15 20 25 29
A
7 ．(2008 年数学解题能力展示初赛试题)已知九位数 2007□1□2 2 既是 9 的倍数，又是11的 倍数；那么，这个九位数是多少？
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？
２．⑴从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ ⑵从 1～3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？
3．在小于 5000 的自然数中，能被11整除，并且数字和为13 的数，共有 个。
21．(2009 年迎春杯高年级复赛试题第 15 题)
老师给前来参加“迎春晚会”的 31 位同学发放编号：1，2，⋯31。如果有两位同学的编
号的乘积是它们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”。从这 31 位同学中至少需
要选出
人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”。
22．对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如 70 与 30。 那么在 1，2，......，16 这 16 个整数中，有好数多少对？
4．(第 2 届华杯赛初赛第 14 题)用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？
5 ．右图的方格表中已经填入了 9 个数，其余 20 个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘 以它上面方格中的数。比如 a=5×10=50，b=5×12=60。那么 c 方格内所填的自然数的末 尾有___个连续的 0。
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
4. （第 2 届华杯赛初赛第 14 题）用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四 位数？
【分析】 用 1、9、8、8 可排成 12 个四位数，即 1988，1898，1889，9188，9818，9881， 8198，8189，8918，8981，8819，8891 它们减去 8 变为 1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973， 8811，8883。其中被 11 整除的仅有 1980，1881，8910，8811，即用 1、9、8、8 可排成 4 个被 1 除余 8 的四位数，即 1988，1889，8918，8819。
3. 在小于 5000 的自然数中，能被11整除，并且数字和为13 的数，共有 个。 【分析】
（1）、两位数字中能被11整除的数字是11、 22 、…… 99 这些数字中显然没有这 样的数. （2）、三位数，设这个三位数为 abc ，有 a + b + c =13 和 a + c − b =11 ，显然有 a + c =12 ， b = 1 ，所以就有 913 ， 814 ， 715 ， 616 ， 517 ， 418 ， 319 这 7 个. （ 3 ） 、 四 位 数 ， 设 这 个 四 位 数 为 abcd ， ① 有 a + b + c + d =13 和 ( a + c ) − ( b + d ) = 11 中，若 a + c =12 ， b + d =1则 a = 3 或 4 有 2 种组合，b 和 d 有 2 种.因此有 4 种；② 有 a + b + c + d =13 和( b + d ) − ( a + c ) = 11 ， a + c =1 ， b + d =12 ，则只能 a = 1， c = 0 ， b 和 d 有 7 种组合. 综上所述，这样的数有 7 + 4 + 7 =18 个。
一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 + □ + 3 + 2 + □是 9 的倍数，而 4 + 3 + 2 = 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数． ⑴依次填入 3、6，因为 4 + 3 + 3 + 2 + 6 = 18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数； ⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9 的倍数，如果和是 9,那么可以是 （9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9）， 共 10 种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有 12 种不同的填法。
是
。
13．六位数 20□□08 能被 99 整除，□□是
.
14．(第 7 届希望杯培训试题)在六位数 11□□11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能 被 17 和 19 整除，那么方框中的两位数是多少？ ：
15．(2009 年迎春杯五年级初赛第 8 题)
将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6
1993个3ab
数，试求 ab = ？
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
特说明：数的整除综合应用共分 2 讲，所选高频考题与今年真题均为这 2 讲范围之内的，共 30 道题目。今后如有类似情况（连续两讲为同一知识点的一，二），2 讲补充题均合并为 1 讲，共出 30 道题。
1. 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□32□是 9 的倍数． （1）、请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； （2）、一共有多少种满足条件的填法？ 【分析】
2 0 20 0 22 20 442 86 14 因子2的个数
23 ．(2004 年希望杯第二届五年级二试第 4 题，6 分)若四位数 9a8a 能被 15 整除，则 a 代表 的数字是 。
24．三位数中能被 11 整除，且数字之和为 11 的有( )个。
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
25．把 30 个自然数1， 2 ， 3 ， 30 乘到一起，那么这个乘积的末尾会有(
18． N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每一个数字整除。 N 的最大值是多 少？
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
19．已知 ABABA 能被 22 整除，B-A 的最大值为
.
20．(2010 年“数学解题能力展示”五年级初赛)已知一个五位回文数等于 45 与一个四位回文 数的乘积(即 abcb=a 45 × deed )，那么这个五位回文数最大的可能值是_____.
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
崔氏五年级第七八讲 数的整除的综合运用㈠㈡
特说明： 数的整除综合应用共分 2 讲，所选高频考题与今年真题均为这 2 讲范围之内的，共 30 道题 目。今后如有类似情况(连续两讲为同一知识点的一，二)，2 讲补充题均合并为 1 讲，共出 30 道题。 1 ．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□32□是 9 的倍数。

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四年级奥数数论数的整除专项试题

四年级奥数数论数的整除专项试题

四年级奥数数论数的整除专项试题
四年级奥数数论数的整除专项试题
例1.在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?
解：如果56□2能被9整除，那么
5+6+□+2=13+□
应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;
如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;
如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的`特征。

根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。

例如，判断一个数能否被6整除，因为6=2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。

同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除;判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除;如此等等。

五年级奥数第一讲：整除初步

五年级奥数第一讲：整除初步

五年级奥数第一讲：整除初步例题1，判断下面12个数的整除性。

23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407，91301301。

（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。

分析：3568、5880、198954、6512、864都是4的倍数，因为末尾2位数都是4的倍数。

（2）哪些数能被8整除？--末尾3位数。

分析：3568、5880、6512、864都是8的倍数，末尾三位数是8的倍数即可。

（3）哪些数能被25整除？---末尾2位数。

分析：8875、93625都是25的倍数，因为末尾2位数是25倍数。

（4）哪些数能被125整除？---末尾3位数。

分析：8875、93625，末尾三位数都是125的倍数。

（5）哪些数能被3整除？-----数字和是3的倍数。

分析：23487、6765、5880、198954、864、91301301都是3的倍数，因为数字和都是3的倍数。

（6）哪些数能被9整除？---数字和是9的倍数。

分析：198954、864，因为数字和是9的倍数。

（7）哪些数能被11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。

分析：6765、6512、407是11的倍数。

（8）哪些数能被13整除？-截位判别法。

分析：91301301，末尾三位数和末尾三位数之前的数的差是13的倍数。

练习1：在数列3124，312，3823，45235，5289，5588，661，7314中。

（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。

分析：3124、312、5588的末尾两位数都是4的倍数，所以是4的倍数。

（2）哪些数能被3整除？---数字和。

分析：312、5289、7314都是3的倍数，因为数字和是3的倍数。

（3）哪些数能11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。

分析：3124、5588是11的倍数。

例题2，173（）是一个四位数，在括号内依次输入三个数字，分别得到三个四位数，依次分别能被9，11，8整除。

小学生数的整除问题奥数练习题

小学生数的整除问题奥数练习题

小学生数的整除问题奥数练习题-1.小学生数的整除问题奥数练习题篇一1、一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。

这个整数是__。

解析：所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同。

但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7整除了。

因为3、5和7的最小公倍数是105。

3600÷105=34余30，105-30=75，所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。

即所求这个整数是3675。

2、在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。

如52中间插入4后变成542。

有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。

这样的两位数共有__个。

解析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。

则原两位数的个位数字一定是0或5。

又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。

因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。

2.小学生数的整除问题奥数练习题篇二从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是（）号。

分析：第一次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数；这些留下的继续报数，那么再留下的学生最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号。

解：第一次报数后留下的`同学最初编号都是11倍数；第二次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数；第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数；所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331；答：从左边数第一个人的最初编号是1331号。

3.小学生数的整除问题奥数练习题篇三试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明。

小学四年级奥数竞赛班作业第51讲：数的整除特征(一)

小学四年级奥数竞赛班作业第51讲：数的整除特征(一)

数的整除特征练习题一．夯实基础：1.一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少？2.将1996加一个整数，使所得的和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么所加整数是多少？3.一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少？4.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？5.如果一个六位数2000a b能被26整除，所有．．这样的六位数是二．拓展提高：6.多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除.求这样的A的最小值.7.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?8.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？9.六位数2008能同时被9和11整除.这个六位数是多少？10.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?三. 超常挑战11.包含0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除；（2）它与2004的和能被13整除.那么这样的“十全数”中最小的是多少？12.在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？13.把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？14.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？四．杯赛演练：15.（迎春杯试题）用4,5,6,7,8,9组成一个没有重复数字的六位数，并且这个六位数能被667整除，求这个六位数除以667的商是多少？答案： 1. 42()33()abc a b c abc a b c =++⇒⇒++，所以99912617126abc k k ⎡⎤=⇒≤≤=⎢⎥⎣⎦经试验当6k =时，75642(756)abc ==⨯++2. (911)21199683⨯⨯-=3. 设这个五位数的各位数字之和为a ，则这个五位数为2009a ，则920089a a ⇒又100009999954920092009a a ≤≤⇒≤≤，所以9,18,27,36,45a =，将上述5个值依次尝试，只有18a = 时，200936162a =4. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.5. 26200022000,132000a b a b a b ⇒，经试验得520000,420004,3200086. 至少5位，由于31357925++++=，所以数字和至少增加2，为使其尽量小，位数应尽量小，增加的数也应尽量小，取极端情况251127++=，可满足3A 且9A ，又5A ，所以个位是5，依次考虑：1113795,1113975,1117395,1117935…，经用被7整除试验，得1117935符合要求7. 方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80． 又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，1993A20，1993B40，1993C60，1993D80的数字和分别为24A +，26B +，28C +，30D +，对应的A 、B 、C 、D 只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被32235789572520⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=整除．用1993000试除，1993000252079÷=，余2200可以看成不足25202200320-=，所以在末三位的方格内填入320即可，或用1993999进行试除，19939992520791679÷=，所以19939996791993320-=能被2520整除，所以1993320为所求的这个数．8. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.9. 为便于表示，设这个六位数为2008a b ，它能同时被9和11整除，所以能被99整除，28991,7a b a b +=⇒==，所以这个六位数是12008710. 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个 数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A ；另外一组作为百位和个位数，它 们之和加上3记作B ．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法： 偶位 奇位⑴ 1，8 9，8⑵ 1，9 8，8⑶ 9，8 1，8⑷ 8，8 1，9经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：189A =+=，98320B =++=，11B A -=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．11.能被10整除，说明个位为0，为了使这个十位数尽可能小，就不妨假设它依次为1234560,123450abc abcd，经试验都不行，再假设它为12340abcd，经试验得这个数最小为123475968012.7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除÷=，所以所得六位数是524000344523656-=，或5240005041039344-=．因此三个数字的和是17或8．52365650452315213.1到10的乘积里会出现25⨯和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是408149++=个0，还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．343=，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其14.因为37中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．15.4+5+6+7+8+9=39，是3的倍数，所以这个六位数一定可以被3整除又这个六位数能被667整除，所以这个六位数是3×667=2001的倍数即一个三位数乘以2002得到这个六位数所以这个六位数的前三位是后三位的2倍，所以这个六位数是956478956478÷667=1434，即商是1434.。