《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计案例

人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。

本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。

三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。

2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。

3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。

2.二次根式的运算方法。

3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。

3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。

4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。

2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。

人教初中数学八年级下册16-1二次根式（第1课时）教学设计一. 教材分析人教初中数学八年级下册第16-1二次根式（第1课时）的教学内容主要是引入二次根式的概念，使学生理解二次根式的含义，掌握二次根式的性质，会进行二次根式的运算。

教材通过具体的例子引导学生探究二次根式的运算规律，培养学生运用数学知识解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。

但二次根式作为一个新的概念，对于部分学生来说可能较难理解，因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。

2.学会进行二次根式的运算，并能运用二次根式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生运用数学知识解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。

2.二次根式的运算规律。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次根式的运算规律。

2.利用具体例子，让学生在实际问题中体验二次根式的运用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

4.运用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣。

六. 教学准备1.准备相关教学课件和教学素材。

2.准备课堂练习题和课后作业。

3.准备教学板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实际问题，如计算家具的体积、计算运动员跳远的成绩等，引导学生发现这些问题都可以归结为二次根式的运算问题。

从而引出本节课的主题——二次根式。

2.呈现（15分钟）讲解二次根式的概念，通过具体例子让学生理解二次根式的含义。

如：√9，√16等。

同时，引导学生总结二次根式的性质。

3.操练（20分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如：计算√16+√25，√100-√64等。

教师针对学生的练习情况进行讲解和指导。

4.巩固（10分钟）让学生运用所学知识解决实际问题，如：计算一个长方体的体积，计算一个运动员的跳远成绩等。

16.1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x≥0，y≥0）；不是二、1x、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2-x•才能有意义．解：由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析11x+在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-111x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七板书设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．16..1 二次根式教案教学内容 1．a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标知识与技能a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以例1计算1．（5.1）2 2．（2 3．24．（2）2分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥0）的结论解题．解：（5.1）2 =1.5，（2 =22·2=22×5=20，2=56，（2）2=22724=．三、巩固练习计算下列各式的值：2）2 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．七板书设计第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-516.1 二次根式教案第三课时教学内容a（a≥0）教学目标知识与技能（a≥0），（a≥0）并利用它进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（学生讨论）分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0时，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略) 五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业板书设计第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。

16.1二次根式（1）一、教学目标：1.了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。

2.理解二次根式的非负性，提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。

二、教学重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用。

三、教学法指导：小组合作交流 一对一检查过关四、知识链接1. 回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2. 16的平方根是 .3. 圆的面积为S,则圆的半径是 .4. 正方形的面积为,则边长为 .五、教学内容：1、看书后填空.▲ 二次根式的定义: 一般地我们把形如a （______）叫做二次根式 ,a 叫做____________ , “”称为 。

※ 二次根式满足两个条件： （1）形式上必须是a 的形式。

（2）被开方数必须是 数。

▲二次根式的性质：)0(≥a a 是 数，即2、练习：判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶2)21(- ⑷ ()223≥-a a ⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x3、※ 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。

（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0例1．小组交流完成，完成后做如下练习。

4、练习：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？3-b(1) 43-x ⑵x -21⑶ 25+x ⑷ 2x ⑸3x （6）xx -22 5、（1）拓展1：当x+在实数范围内有意义？ （2）拓展2：已知，求的值． 六、归纳小结：(本节要掌握什么？)（1）二次根式的定义及有意义的条件：__________________________________________（2）二次根式的性质:)0(≥a a 是 数，即七、达标检测：1、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D 2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ）A 、 a ＜lB 、a ≤1C 、a ≥1D 、a ＞13有意义的实数x 的取值范围是( ) A 、x ≥1 B 、x ＞1且x ≠－2 C 、x ≠－2 D 、x ≥1且x ≠－24、x 为实数，下列式子一定有意义的是( )A B C D 5、下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。

16.1二次根式教案篇一：16.1(1)二次根式教案16.1(1)二次根式教学目标1.知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，体会二次根式是数、代数式及其运算的发展；2.理解a有意义的条件，理解a?a；3．会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围.教学重点和难点理解a有意义的条件，掌握a?a.教学流程设计22教学过程设计：一、新课引入：1.上学期学习了开平方运算，正数a的平方根可表示为?练习：当a?0时，化简a2和(a)2二、学习新课：1、观察思考：aa（a?0）是一个代数式，叫做二次根式，a是被开方数.举例说明：2、2、a2?1、b2?4ac(b2?4ac?0)等都是二次根式.在实数范围内，负数3没有平方根，所以象?2，(b?0)这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.二次根式的两个性质：1）a2?a(a?0)；2）(a)2?a(a?0)通过填表，由学生归纳出当a为任意实数时，a2与a的关系.?a(a?0)?2即a?a??0(a?0)??a(a?0)?2、例题分析：例1：设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？1）2x?1；2）2?x；3）1；x4）?x2例2：求下列二次根式的值：21）(3??)2）x2?2x?1，其中x??.22例3：设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：(a?b?c)?(b?c?a)三、课堂小结：1.要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，同时还要特别注意当分母含有字母时分母要不等于0.2.能根据a2与a的关系求出被开方数是完全平方数的二次根式的值，在计算时可先将其整理，尤其注意符号.四、作业布置：练习册习题16.1(1)教学设计说明：1.本节课是在学生学习了数的开方后的延续，因此在教学设计中，重点放在认识二次根式和二次根式有意义所必须满足的条件上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的严谨的思维品质.2.本节课还要求学生掌握二次根式的性质，特别是掌握a2与a的关系，并能够在计算时熟练运用，这是本节课的重点也是难点，在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，例2和例3的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用二次根式的性质进行解题.教学反思：掌握a2与a的关系是本堂课的重点及难点，不仅是二次根式的一个重要性质，同时也渗透了分类思想；另外，要使二次根式有意义，不仅要满足被开方数为非负数，还要注意分母不能为0篇二：16.1二次根式教学设计教案教学准备1.教学目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．2.教学重点/难点1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．3.教学用具4.标签一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：二、探索新知课堂小结课后习题1．教材P51，2，3，42．选用课时作业设计．篇三：16.1二次根式教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：（1）理解二次根式的概念，（2）利用公式的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．2、过程与方法：通过自主合作学习，和教师合作精讲，掌握学习目标。

16.1 二次根式第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.【过程与方法】经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.二、课型新授课三、课时第1课时共2课时四、教学重难点【教学重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【教学难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、平方根、立方根知识等.学生：三角尺、铅笔、立方根、平方根知识.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=√2Rh，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播.半径之比是√2Rh1√2Rh2教师问：式子√2Rh1表示什么?公式r=√2Rh中的√2Rh表示什么意√2Rh2义？（二）探索新知1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（出示课件4-6）用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:(教师依次出示问题)（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____．教师问：上边问题的答案是什么呢？学生1答：（1），.学生2答：（2） .学生3答：（3）．教师问：这些式子分别表示什么意义？学生讨论后并回答.的算术平方根．学生1答：分别表示3，S，65，h5教师问：这些式子有什么共同特征？师生总结：①根指数都为2; ②被开方数为非负数.教师问：你能用语言描述一下它们的特征吗？师生共同讨论后解答如下：都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.教师问：根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？师生共同讨论如下：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.（出示课件7）定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.教师强调：（1）a可以是数，也可以是式.（2）两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0考点1：利用二次根式的定义识别二次根式例：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（出示课件8）（1）；（2）81；（3）；（4）（5） ;（6）；（7） .师生共同分析过程见课件：解答如下：解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.出示课件9，学生自主练习，教师订正。

人教版八年级下册数学第16章二次根式16.1 二次根式课时1 二次根式的概念教案【教学目标】1．理解二次根式的概念；2．掌握二次根式有意义的条件；3．会利用二次根式的非负性解决相关问题【教学重点】能理解二次根式的概念及有意义的条件.【教学难点】会利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.。

【教学过程设计】一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．问题2：上面得到的式子3，S，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义例 1 下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x(x≤3)；(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围 例 2 求使下列式子有意义的x 的取值范围． (1)14－3x；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义； (2)由题意得⎩⎨⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎨⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 利用二次根式的非负性求解例 3 (1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根． 解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎨⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题 例 4 先观察下列等式，再回答下列问题． ①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用 含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n2＋1（n＋1）2＝1＋1n－1n＋1＝11n（n＋1）(n为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．【板书设计】16.1 二次根式课时1 二次根式的概念1．二次根式的定义一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.【教学反思】通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．人教版八年级下册数学第16章二次根式16.1 二次根式课时1 二次根式的概念学案【学习目标】1．理解二次根式的概念；2．掌握二次根式有意义的条件；3．会利用二次根式的非负性解决相关问题【学习重点】能理解二次根式的概念及有意义的条件.【学习难点】会利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.。

沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。

本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。

二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。

本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。

但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。

三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。

2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。

2.二次根式的运算方法。

五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。

2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。

3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。

2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。

”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。

3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。

教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。

5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。

1 二次根式（1）一等奖创新教案16.1二次根式（第1课时）教学设计课题16.1二次根式（1）单元第十六章学科数学年级八年级教材分析本节课是在学生学方根、立方根，以及知道了开方和乘方互为逆运算的基础上进行的，它不仅是对前面所学知识的应用，也为后面学习二次根式的性质和运算作铺垫。

核心素养分析本节课通过深入分析算术平方根，找出它的双重非负性，在课堂上培养学生的观察、分析问题的能力，同时渗透类比的数学思想，发展学生的核心数学思维。

教学目标知识与技能：理解二次根式的概念。

过程与方法：通过对概念的探究，提高数学探究能力。

情感态度与价值观：经历观察、比较总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识。

重点二次根式的概念难点二次根式的概念教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课1.复习旧知(1)如果x2=4，那么x= 。

(2)如果x2=3，那么x= 。

(3)在实数范围内，如果x2=a，那么x= 。

(4)在中，被开方数的取值范围是什么？又是什么数？2.情境导入用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（1）面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为 .（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则它的宽为m.（3）一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t, 那么t为_________. 学生观察几组题目，思考相应的答案。

通过复习旧知让学生回忆起相关知识点——算术平方根及平方根，从而顺利完成情境导入部分，也为新课讲解做足铺垫。

讲授新课思考：1.这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，的算术平方根．2.这些式子有什么共同特征？都表示一个数的算术平方根．定义：形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数。

注意：①必需含有二次根号“”.②被开方数a≥0.③a可以是数,也可以是含有字母的式子。

16.1 二次根式（第1课时）教学目标1. 了解二次根式概念，利用a (a ≥0)的意义解答题目．2. 能用二次根式表示实际问题中的数量和数量的关系．3. 经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力. 教学重点难点 形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式的概念. 利用“a (a ≥0)”解决具体问题．一、问题导入1. 面积为3的正方形的边长是多少？面积为S 的正方形的边长是多少？2. 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽是多少m ？3. 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系h ＝5t 2．如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为 ．二、新课教学教师引导学生思考上面的问题，用算术平方根表示结果，可以进行适当的评价，帮助学生实现从数的算术平方根过渡到用含有字母的式子表示算术平方根. 教师：上面的问题的结果分别是3、S 、65、5h （当h 的值分别是10、15、25时，得到的结果分别是2、3、5），很明显，这些都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．三、实例探究例1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、x1、x (x >0）、0、42、2-、yx +1、y x +（x ≥0，y ≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有2、x (x >0）、2-、y x +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有33、x 1、42、yx +1． 例2 当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x -2≥0，2-x 才有意义． 解：由x -2≥0，得x ≥2. 当x ≥2时，2-x 在实数范围内有意义．四、巩固练习： 教材第3页练习1、2．五、应用拓展当x 是多少时，1132+++x x 在实数范围内有意义？ 分析：使1132+++x x 在实数范围有意义，必须同时满足32+x 中的2x ＋3≥0和11+x 中的x +1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩. 可得，当x ≥－23且x ≠－1时，1132+++x x 在实数范围内才有意义．六、归纳小结1．形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七、布置作业： 1. 习题16.1复习巩固1、综合应用5． 2. 同步训练.教学反思：。

16.1 二次根式〔第1课时〕教学内容本节课主要学习二次根式的概念及其运用教学目标一、知识技能理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围。

二、数学思考理解二次根式被开方数的取值范围的重要性。

三、解决问题培养根据条件处理问题的能力及分类讨论问题。

四、情感态度经历观察比拟总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。

重难点、关键重点：会求二次根式中，被开方数所含字母的取值范围。

难点：理解二次根式的概念。

关键：利用“a〔a ≥0〕〞解决具体问题教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程情境引入【问题情境】1、面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为；2、要修建一个面积为6.28 m2的圆形喷水池，它的半径为 m〔π取〕；3、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，那么它的宽为；4、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t〔单位：s〕与开始落下时的高度h〔单位：m〕满足关系h=5t2 ．如果用含有h的式子表示t，那么t = 。

【活动方略】学生根据所学知识答复以下问题。

【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生从不同的式子中探寻规律，为二次根式的引入作好铺垫。

一、探索新知【提出问题】1、所填的结果有什么特点？2、平方根的性质是什么？3、如果把上面所填式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次根式吗？教师提出问题。

学生总结出二次根式的概念。

【设计意图】使学生有一个由浅入深的学习过程，并体会到学习的内容是融会贯穿的。

二、 范例点击例1当x 是怎样的实数时，2x -在实数范围内有意义？ 例2当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，掌握解答二次根式取值范围的习题，防止一些常见错误。

精选教课教课方案设计 | Excellent teaching plan教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校育人好像春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan《二次根式》教课方案事例（第 1 课时）一、内容和内容分析1．内容二次根式的看法.2．内容分析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的看法，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的看法. 它不但是对前面所学知识的综合应用，也为后边学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实质问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再经过例 1 谈论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教课要点是：认识二次根式的看法；二、目标和目标分析1.教课目标（1）领会研究二次根式是实质的需要．（2）认识二次根式的看法．2.教课目标分析（ 1）学生能用二次根式表示实质问题中的数目和数目关系，领会研究二次根式的必需性．（2）学生能依据算术平方根的意义认识二次根式的看法，知道被开方数一定是非负数的原由，知道二次根式自己是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教课识题诊断分析对于二次根式的定义，应重视让学生理解“的两重非负性，”即被开方数≥ 0是非负数，的算术平方根≥ 0也是非负数.教课时注意指引学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特色，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教课难点为：理解二次根式的两重非负性.育人好像春风化雨，授业不惜蜡炬成灰四、教课过程设计1．创建情境，提出问题问题 1 你能用带有根号的的式子填空吗？（ 1）面积为 3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（ 2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为130m?，则它的宽为 ______m．（ 3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位： s）与开始落下的高度h（单位： m）满足关系h =5t?，假如用含有h 的式子表示t ，则 t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行合适指引和评价.【设计企图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实质生活的密切联系，领会研究二次根式的必需性．问题 2上边获得的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特色？师生活动：教师指引学生说出各式的意义，概括它们的共同特色：都表示一个非负数（包含字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计企图】为概括二次根式的看法作铺垫．2．抽象概括，形成看法问题 3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组谈论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（ a≥ 0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计企图】让学生领会由特别到一般的过程，培育学生的概括能力．追问：在二次根式的看法中，为何要重申“a≥ 0”？师生活动：教师指引学生谈论，知道二次根式被开方数一定是非负数的原由．【设计企图】进一步加深学生对二次根式被开方数一定是非负数的理解．3．辨析看法，应用牢固例 1当时如何的实数时，在实数范围内有意义？师生活动 :指引学生从看法出发进行思虑，牢固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．育人好像春风化雨，授业不惜蜡炬成灰例 2当是如何的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动 :先让学生独立思虑，再追问．【设计企图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题 4你能比较与0的大小吗？师生活动：经过分和这两种状况的谈论，比较与0的大小，指引学生得出≥ 0 的结论，增强学生对二次根式自己为非负数的理解，【设计企图】经过这一活动的设计，提升学生对所学知识的迁徙能力和应企图识；培养学生分类谈论和概括概括的能力.4．综合运用，牢固提升练习 1完成教科书第 3 页的练习 .练习 2当x是什么实数时，以下各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计企图】辨析二次根式的看法，确立二次根式有意义的条件.【设计企图】设计有必定综合性的题目，观察学生的灵巧运用的能力，宽阔学生的视野，训练学生的思想.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师指引，学生小结 .【设计企图】：学生共同总结，相互扬长避短，再一次突出本节课的学习要点，掌握解题方法 .6．部署作业：教科书习题16.1 第 1， 3， 5， 7， 10 题．五、目标检测设计1. 以下各式中，必定是二次根式的是（）A. B. C. D.育人好像春风化雨，授业不惜蜡炬成灰【设计企图】观察对二次根式看法的认识，要特别注意被开方数为非负数．2. 当时，二次根式无心义．【设计企图】观察二次根式无心义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计企图】本题主要观察二次根式被开方数是非负数的灵巧运用．4.对于，小红依据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧以为还应试虑分母不为0 的状况．你以为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计企图】观察二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不可以为0，解题时需要综合考虑．育人好像春风化雨，授业不惜蜡炬成灰。

[二次根式]教案（第一课时）教学目的：1．使学生了解二次根式的概念2．使学生掌握二次根式的简单性质：a≥0)总是一个非负实数。

②2=a(a≥0)3．培养学生观察能力，抽象概括能力，渗透分类的思想方法。

教学重点：二次根式概念以及二次根式的性质：2=a(a≥0)教学难点：公式2=a(a≥0)教学用具：投影仪和投影胶片教学过程：一、复习提问：观察以下各式分别表示什么？他们在形式上有什么共同特征？在被开方数方面有什么共同特征？二、引入新课：①如果用字母a②引导学生讨论：a可以取哪些实数？③引入课题三、讲解新课1．二次根式概念：⑴板书二次根式定义。

⑵学生讨论：这里为什么规定a≥0？⑶强调二次根式的两个特征（其中a≥0用红粉笔强调）。

⑷结合复习题举例说明。

2．练习（投影出示）选择题（1x≤0)(x>2)中属于二次根式的是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④（2）当x=-2时，在实数范围内没有意义的式子是（）是二次根式的关键是a ≥03．例1：x（1）学生讨论解题思路；（2）师生共同完成解题过程并强调书写各式的规范。

4．巩固练习（投影出示）x 取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴39x - ⑵43x - ⑶124x - 请三位学生上黑板板演，然后学生评讲刚才我们研究了二次根式的概念，下面我们来共同研究二次根式的性质5a ≥0)的非负性（1）判断题：1°当a >0>0（ ），2°当a =0=0（ ）3°对于任何实数a 0（ ）（2a ≥0)≥0（3）学生讨论：前面还学过那些具有非负性的数？6．公式：2a =(a ≥0) （1）实例：因为(±2)2=4，所以±2是4的平方根，其中2是4的算术平方根。

由此可知当2时4的算术平方根时，他们应该满足22=43的算术平方根，根据平方根意义可知，他们应满足的关系是( )2=5的算术平方根，同样有( )2=你能举出一个类似的例子吗？（2）学生观察归纳：2a =（3）提问：这个公式在什么条件下成立呢？为什么a ≥0？（4）公式2a =(a ≥0)7．例2，计算①2 ②2 ③2师生共同完成解题过程，并说明表示3135不同，遇到52的正确写法。

第16章 二次根式 16.1 二次根式（1）【教学目标】1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．【教学重点】从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．【教学过程】一.创设情境 提出问题1.电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h （单位：km ）与电视节目信号的传播半径 r （单位：km ）之间存在近似关系 ，其中地球半径R ≈6 400 km ．如果两个电视塔的高分别是h 1 km 、h 2 km你能化简这个式子吗？式子表示什么？公式中 中的表示什么意义？2.问题：（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m 2，则它的宽为______m ． （2）中得到的式子有什么意义？（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s ）与开始落下的高度h （单位：m ）满足关系 h =5t 2，如果用含有h 的式子表示 t ，则．（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？r =r =表示的数怎样变化？二.合作探究形成知识（1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？分别表示3，S ，65， 的算术平方根这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．三.初步应用 巩固知识练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．5h例2 当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？答案：（1） a 为任何实数； （2） a =1．总结：被开方数不小于零． 四.比较辨别 探索性质五.综合应用 深化提高六.课堂小结七.回顾总结反思提升我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？八.作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题．九.教学反思本节课是二次根式第一节课，内容较简单，学生刚开始接收新知识的状态很好，但是在授课后期，由于时间关系，学生用来思考和板书的时间较少，导致学生落实不好。