第九讲作图法解题例题：两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米。
余下的铁丝，第一根是第二根的3倍，原来每根铁丝各长多少厘米？思路导航：用作图的方法把应用题的数量关系揭示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，这对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起到化难为易的作用。
把作图方法与其他的解题方法巧妙结合起来，还能收到更佳的效果。
先根据题意作示意图：将第二根从右往左任意取一段表示余下的铁丝，则第一根就有相应的3份余下来，那么其他部分分别是18厘米和26厘米了（如图）。
这时，我们就能清楚地看到：由于第二根比第一根多剪了26-18=8（厘米），使得第一根余下的部分是第二根余下部分的3倍。
而这个8厘米正好相当于第二根剪剩的2倍，那么第二根铁丝剪剩下的长度为8÷2=4（厘米），原来的长度就是26+4=30（厘米）了。
解：（26-18）÷（3-1）+26=8÷2+26=30（厘米）或（26-18）÷（3-1）×3+18=8÷2×3+18=30（厘米）答：原来每根铁丝都是30厘米举一反三：1.三（1）班共有52人，他们都参加了语文、数学兴趣小组的活动，其中参加语文兴趣小组的有30人，参加数学小组的有40人，两种兴趣小组都参加的有多少人？2.甲、乙两仓库有相同数量的货物，甲仓库取出31吨货物，乙仓库取出19吨货物后，乙仓库的剩余量是甲仓库的4倍。
两仓库原来各存货多少吨？3.一块正方形地，一边划出15米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比原来减少1750平方米。
求这块地原来的面积。
4.某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有4人语、数成绩均未获优。
这个班共有多少个学生？5.一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，要求每人都至少参加一个队，这个班有多少学生两个队都参加？知识链接：不要破坏我的图形阿基米德是古希腊伟大的数学家。
他一生中写了大量的数学论著，流传至今的就有十多部。
阿基米德才智惊人，他将数学成功地应用到力学中，帮助叙拉古城抵挡罗马军队的进攻。
他设计了可调整射程且带有活动射杆的弩炮，能把重物射到靠近城墙的敌舰上；他还用较大的反射镜反射太光，使敌舰着火。
罗马侵略军惊恐地称阿基米行是“数学恶魔”。
阿基米德的智慧使叙拉古城的陷落推迟了三年。
后来，由于守城军队的疏忽，使得罗马军队乘虚而入。
城破之时，喊杀声惊天动地。
阿基米德没有逃命，他仍聚精会神地在沙盘中画图，研究几何问题。
一个罗马士兵手执利剑冲到他面前，阿基米德大呼：“不要破坏我的图形！”虽然罗马大将马塞拉斯深赞阿基米德的才智，为收买人心曾下令不准伤害他，但这个愚蠢而凶残的罗马士兵还是将阿基米德这位千古奇才遭刺死在他所画的几何图形上。
第十讲列车过桥题例题：一列列车长150米，每秒行19米，全车通过420米的大桥，需要多少时间？思路导航：有关列车过桥、列车过隧道，两列车车头相遇，车尾相离等问题，是一种行程问题。
在考虑速度、时间、距离三种量之间关系的同时，还必须注意到列车本身的长度。
过桥时，火车是动的，桥是静止的，“列车过桥”是以动对静。
有些问题不容易一下子看出运动过程中的数量关系，可以利用身边的物体，根据题意动手演示，使应用题的内容形象化，从而找到解题的线索。
列车通过大桥，就是从车关上桥起到车尾离桥止。
一般我们可以把车尾看作标准点，用“A”表示。
如果我们假设某人站在车尾A 点上，那么势必有如下图像。
当车头刚上桥的霎间，A距桥150米，当车尾离桥时，A实际运动了（150+420）米，即全车通过大桥，列车需运动的总距离为（列车长+桥长）。
解：150+420)÷19=570÷19=30(秒)答：需要30秒。
举一反三：1.一列为车长750米，从路边的一棵大树旁边驶过，用了0.25分钟。
以同样的速度驶过苏通大桥，从东头上桥到车尾离桥共用2.51分钟，苏通大桥长多少米?2.某人沿着铁路边的便道步行，一列货车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒。
货车长585米，速度为每小时144千米，求步行人每小时行多少千米。
3.一列火车长360米，每秒行30米，全车通过一个山洞需要20秒，这个山洞长多少米？4.一列火车通过长199米的桥需要40秒，用同样的速度通过长172米的隧道需要36秒，求列车的速度和车长。
5.一列火车全车通过990米长的大桥用65秒，用同样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，用了10秒，求这列火车的速度。
知识链接：船舶知识三则1.海船速度的“节”早在16世纪，海上航行已相当发达，但当时一无时钟，二无航程记录仪，所以，难以确切判断船的航行速度。
有一位聪明的水手想出一个妙法，他在船航行时，向海面抛出拖有绳索的浮体，再根据一定时间里放出的绳索长度来计算船速。
那时候，计时使用的是流沙计时器。
为了较准确地计算船速，人们在放出的绳索上等距离地打了许多结，这样，把整根计速绳分成若干节。
只要测出单位时间里绳索被放出的节数，也就测得了航速。
于是，“节”成了海航速度的计量单位。
与此相应，海水流速、海上风速、鱼雷等水中兵器速度的计量单位，国际上也通用“节”。
“节”的代号是英文“Knot”的词头，用“Kn”表示，1节等于每小时1海里，也就是每小时1.852千米。
2.轮船的舷窗不是圆形的，而是带角的（例如，长方形或正方形），那么，当轮船不停地上下颠簸时，就会将压力集中在边角处，从而损坏船壳。
圆形舷窗的窗框受力均衡，能起到保护船壳的作用。
3.船舶的“吨”不是指重量船的大小是用吨位来表示的。
有些人把表示船的容积的“吨”和表示重量的“吨”（1000千克）混为一谈。
其实，两者并不是同一单位。
15世纪时，英国航海业已很发达。
造船业也应运而生。
当时英国衡量船大小的尺度是看一艘船上能装载多少个酒樽（古代盛酒的器具）。
譬如，一艘窗能装载500只酒樽，就称这艘船为500吨级。
这种酒樽，容积为252加仑（约合1146立方分米），装满酒时重2240磅（约合1016千克）。
敲击空酒樽时，它会发出“吨”、“吨”的声响，所以就把樽叫做“吨”了。
由于英国是一个航海大国，不少有关船舶和航海的词汇，便成了世界通用的词汇。
第十一讲图形的面积例题：把任意三角形ABC平均分成面积相等的四份。
思路导航：要计算平面图形的面积，我们必须认识各种几何图形，牢固地掌握各种图形的面积计算公式，并且具有较强的想像能力和准确的作图力，能灵活运用割补、剔除等方法，求出那些比较复杂的图形的面积。
解一：把任意一条边，如BC边平均分成四份，等分点记为D、E、F,并分别用线段把等分点和顶点A连续起来，则分成面积相等的四个三个形。
很显然，这时的四个三角形（三角形ABD、三角形ADF、三角形AEF、三角形AFC）的四条底边分别相等（BD=DE=EF=FC）,而四个三个形的高也都相等（用虚线表示公共的高）。
等底等高的三角形面积相等，所以分成的四个三角形面积相等。
解二：把任意一条边，如BC边，平均分成四份，D为一个等分点，连续AD，再将AD平均分成三份，等分点为E、F，连结CE、CF，则分成面积相等的四个三角形。
举一反三：1.右图梯形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点。
已知三角形BCE的面积为8平方厘米，三角形ABF的面积为5平方厘米，则梯形ABCD的面积为多少平方厘米？2.如图1：一个正方形的边长为4厘米，D、P分别是两条边的中点，阴影部分的面积是多少?3.如图2，在三角形ABCK ,DC=2BD,CE=3AF,三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
4.已知平形四边形的面积是128平方厘米，E、F分别是两边上的中点，求阴影部分的面积。
知识链接：“度”的含义1.电表上的“度”，计算耗电量的单位，1度为1千瓦小时的电能。
2.自来水表上的“度”。
计算耗水重量的单位，1度为1吨水。
3.人工煤气表上的“度”。
计算耗气量的单位，1度为1立方米体积的煤气。
4.眼镜片上的“度”。
眼镜片上的1度时镜片屈光度的100倍。
例如，当眼镜片的度数为200时，此眼镜片的屈光度为2度。
5.一般酒的“度”。
指含酒精的百分比浓度。
例如，52度的白酒是指此种白酒中含酒精的浓度为52%。
6.啤酒的“度”。
是指每升麦芽汁所含糖分的浓度，而不是指含酒精的浓度。
7.烧伤医学的“度”。
根据皮肤被烧伤的程度而定，一般分为三度。
8.温度计上的“度”。
表示物体冷热程度的物理量。
常用的是摄氏温标，它规定在一个大气压下，纯净水的凝固（结冰）点为0摄氏度，沸腾为100摄氏度。
9.地里中的“度”。
划分地球上经纬度的单位。
经度：东、西经度0度到180度。
纬度：南、北纬度0度到90度。
10.几何学中的“度”。
弧和角的计量单位。
圆周的为1度弧，1度弧所对的圆心角叫1度角。
第十二讲开放与操作例题：将下图中的长方形分成三块，再将它们拼成一个三角形，请画出示意图。
思路导航：这一题使我们在推导三角形面积计算公式时，将三角形剪拼成一个长方形的情形（如下图）。
将这一推导过程反过来思考，便可以得到这题的两种解：解一：A、B两点是所在边的中点，C点是在边上的任意一点解二：线段AB的长是所在边的长的一半举一反三：1.在8×8的方格棋盘中，取出一个由3个小方格组成的“L”形，一共有多少种不同的方法？2.在2×2的方格中，画一条直线最多可能穿过3个方格，在30×30的方格中，画一条直线最多可以穿过多少个方格？3.将一个正方形分在三块，并拼成一个三角形。
4.试将任意一个长方形分成三块，然后拼成一个三角形。
5.从一个6×8的长方形的棋盘中，取出一个由三个方格组成的L 形，有多少种不同的取法？知识链接：投票的学问（一）投票，举手表决，超过半数赞成就通过，这么简单的事还有什么学问呢？有的同学可能这样想。
学问可大了！这里先讲两个故事：一是中华人民共和国在联合国的合法席位问题。
这个问题经过好几届联合国大会的反复投票，每届联合国大会都有两个提案，各年提案的内容大致相同（为简单起见，我们分别称作“提案A”和“提案B”）.提案A：中华人民共和国时入联合国，作为中国的唯一合法代表。
提案B：提案A必须有三分之二赞成票才能通过。
有一次投票，提案A和提案B都获得超过半数赞成，但提案A没有获得三分之二多数赞成，结果提案A没有通过！以后的一次投票，提案B没有获得半数赞成，而提案A却获得超过三分之二的赞成票，当然提案A就通过了。
从此，中华人民共和国作为中国的唯一合法代表进入联合国。
另一个故事是国内的某一次无记名投票。
由于计算计程序的问题，计票只分为“赞成”和“反对”两类，而没有“弃权”类，只好将弃权票也当作反对票来计，这当然是令人遗憾的。
