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方差分析报告引言方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个样本均值的统计方法。
通过方差分析，我们可以确定不同组别之间是否存在显著差异，以及这种差异是否是由随机因素引起的。
本文将对方差分析的原理、应用场景以及实施过程进行详细介绍，并通过一个案例来展示如何进行方差分析并解读结果。
原理方差分析基于总体均值和个体观测值的关系进行推断，其基本思想是将总体方差分解为组内方差（Within-group Variance）和组间方差（Between-group Variance），然后通过比较这两部分方差的大小来判断是否存在组别间的显著差异。
方差分析的假设： - 原假设（H₀）：各组别样本均值没有显著差异。
- 备择假设（H₁）：各组别样本均值存在显著差异。
应用场景方差分析常用于以下场景： - 不同治疗方法的疗效比较 - 不同教育水平对工资的影响分析 - 不同广告投放策略的销售效果比较实施步骤进行方差分析的基本步骤如下：1.收集数据：根据实际需求，收集符合要求的样本数据。
2.建立假设：明确原假设和备择假设。
3.计算总体均值：计算每个组别的样本均值和总体均值。
4.计算组间方差：计算组间平方和、组间均方和和组间自由度。
5.计算组内方差：计算组内平方和、组内均方和和组内自由度。
6.计算F值：根据组间均方和和组内均方和计算F值。
7.判断显著性：根据F值和显著性水平对结果进行判断。
8.结果解读：根据显著性水平，判断组别间的差异是否显著。
案例分析我们以某个电商平台的不同广告投放策略的销售额数据为例，进行方差分析。
首先，我们从该电商平台收集到了三个组别的销售额数据，分别为A组、B组和C组。
我们的目标是比较这三个组别的销售额是否存在显著差异。
数据组别销售额（万元）A组15.6A组13.2A组16.5B组12.3B组11.8B组10.9C组14.6C组16.2C组15.8首先，我们要计算每个组别的样本均值和总体均值。
第六章 例题及作业参考答案【 P101-例1】 方差齐性检验：242322210:σσσσ===H 05.0981.0>=p 方差齐。
43210:μμμμ===H方差分析表方差来源 离差平方和 由度方差 F 值P 结论 组间 5.399 3 1．800 505.4880.000 * 组内 0.043120.004*：P<0.05不同工艺处理间的氨基酸百分含量有显著性差异。
两两比较：各组按平均值由好到差依次排序，4213x x x x>>> 05.0000.0:05.030.0:210130<==>==p H p H μμμμ破壁和酸处理对氨基酸的百分含量的影响无显著差异。
酸处理和碱处理对氨基酸的百分含量的影响有显著差异。
最佳工艺为破壁和酸处理。
【 P105-例3】 方差齐性检验：242322210:σσσσ===H 05.0079.0>=p 方差齐。
43210:μμμμ===H方差分析表方差来源 离差平方和 由度方差 F 值P 结论 A138.21 3 46.07 10.13 0.000 * 误差e 104.57234.55*：P<0.05不同剂量的葛根素对心脏冠脉血流量有显著性差异。
两两比较：各组按平均值由好到差依次排序，1234x x x x>>> 05.0002.0:05.0122.0:05.049.0:05.036.0:120420230430<==>==>==>==p H p H p H p H μμμμμμμμ1.5g,3g,5g 剂量的葛根素对心脏冠脉血流量彼此之间无显著性差异，与1g 均有显著性差异。
【本题讨论】1、 第一组：建议删除第4、第7个数据，补充试验，以满足大鼠支数的最低要求。
2、 第二组：数据波动过大52.2,25.2==S x，建议补充试验，确定有效试验数据。
3、 鉴于存在以上问题，最终结论可能不客观。
方差分析举例一、什么是方差分析例1：某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同，先从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表10-1。
表10-1 该饮料在五家超市的销售情况单位：箱问饮料的颜色是否对销售量产生影响。
解：从表10－1中看到，20个数据各不相同，其原因可能有两个方面：一是销售地点不同的影响。
即使是相同颜色的饮料，在不同超市的销售量也是不同的。
但是，由于这五个超市地理位置相似、经营规模相仿，因此，可以把不同地点产品销售量的差异看成是随机因素的影响。
二是饮料颜色不同的影响。
即使在同一个超市里，不同颜色的饮料的销售量也是不同的。
哪怕它们的营养成分、味道、价格、包装等方面的因素都相同，但销售量也不相同。
这种不同，有可能是由于抽样的随机性造成的，也有可能是由于人们对不同颜色的偏爱造成的。
于是，上述问题就归结为检验饮料颜色对销售量是否有影响的问题。
我们可以令μ1、μ2、μ3、μ4分别为四种颜色饮料的平均销售量，检验它们是否相等。
如果检验结果显示μ1、μ2、μ3、μ4不相等，则意味着不同颜色的饮料来自于不同的总体，表明饮料颜色对销售量有影响；反之，如果检验结果显示μ1、μ2、μ3、μ4之间不存在显著性差异，则意味着不同颜色的饮料来自于相同的总体，可认为饮料颜色对销售量没有影响。
这就是一个方差分析问题。
在方差分析中常用到一些术语。
1．因素因素是一个独立的变量，也就是方差分析研究的对象，也称为因子。
如：例1中，我们要分析饮料的颜色对饮料的销售量是否有影响，在这里，“饮料的颜色”是所要检验的对象，它就是一个因素。
在有的书中把因素称为“因子”。
2．水平因素中的内容称为水平，它是因素的具体表现。
如：例1中“饮料的颜色”这一因素中的水平有四个，即饮料的四种不同颜色：无色、粉色、桔黄色、绿色；它们是“饮料的颜色”这一因素的四种具体表现。
例6.1 测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5个地区黄鼬冬季针毛的长度，每个地区随机抽取4个样本，测定的结果列于表6-1。
试比较各地区黄鼬针毛长度的差异显著性。
表6-1 不同地区黄鼬冬季针毛长度（单位：mm）
地区东北内蒙古河北安徽贵州合计
1 32.0 29.
2 25.5 23.
3 22.3
2 32.8 27.4 26.1 25.1 22.5
3 31.2 26.3 25.8 25.1 22.9
4 30.4 26.7 26.7 25.
5 23.7
∑x126.4 109.6 104.1 99.0 91.4 530.5
n 4 4 4 4 4 20
x31.60 27.40 26.03 24.75 22.85 26.53 ∑X23997.44 3007.98 2709.99 2453.16 2089.64 14258.21
例6.2 园艺研究所调查了3个品种草莓的维生素C含量（mg/100g），测定结果列于表6-2。
试分析不同品种之间维生素C含量是否有显著性差异。
表6-2 不同品种草莓维生素C含量（单位：mg/100g）
例6.3 研究三种不同日粮对猪日增重的影响，每种日粮饲喂5头猪，三种日粮分别用TR1、TR2、TR3表示。
相关数据如下表所示：
TR1 TR2 TR3
270 290 290
300 250 340
280 280 330
280 290 300
270 280 300 总和 1400 1390 1560 4350
n 5 5 5 15
y280 278 312 290。
方差分析方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。
下面通过一个例子说明方差分析的内容。
例：某化妆品生产公司研制出一种饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
随机从五家专卖市场上收集了前一期该种饮料的销售量，如表9－1所示。
这是一个方差分析问题，即对四种不同颜色的饮料的销售量均值是否相等进行检验。
我们把四种不同颜色的饮料的销售量均值分别记为，由题意知，要检验假设；不全相等如果检验结果为不全相等，则表明饮料颜色对销售量产生影响。
反之，如果检验结果为不存在显著影响，则可以认为饮料颜色对销售量没有影响，他们来自于相同的总体。
方差分析的基本概念在方差分析中，常常用到一些术语。
我们把要考察的对象的某种特征称为指标。
试验条件分为可控制的和不可控制的两类，称可控制的试验条件为因素；因素所处的状态称为该因素的水平。
如果在一项试验中只有一个因素在变化，称他为单因素试验。
若试验中变化因素多于一个，称他为双因素以及多因素试验。
在上例中，饮料的销售量为指标，饮料的颜色为因素，饮料的四种颜色为该因素的四个水平，该例是一个单因素四水平试验。
上一章所讲的对两个总体均值的比较，实际上就是单因素两水平试验。
下面，我们简单阐述单因素方差分析的基本原理。
1.2单因素方差分析1.2.1 单因素方差分析的基本原理单因素方差分析是研究一个因素的变化对试验指标的影响是否显著的统计分析方法，是方差分析中最简单的情形。
设因素A有r个水平在水平下进行次独立试验，试验记录如表9－2其中表示第i水平进行第j次试验的可能结果。
假设，。
待检假设为：，不全相等。
如果成立，那么r个总体间无显著差异，即是说因素A对试验结果的影响不显著，所有可视为来自同一个总体,各间的差异只是由随机因素引起的。
若不成立，则在所有的总变差中，除随机波动引起的变差外，还应包括由于因素A的不同水平作用产生的差异。
如果不同水平作用产生的差异比随机因素引起的差异大得多，就认为因素A 对试验结果有显著影响，否则就认为因素A对试验的影响不显著。
“地域”与“抑郁”朱平辉改编自西南财大网（案例分析者刘玲同学）一、案例简介美国人作了一项调查，研究地理位置与患抑郁症之间的关系。
他们选择了60个65岁以上的健康人组成一个样本，其中20个人居住在佛罗里达，20个人居住在纽约、20个人居住在北卡罗来纳。
对中选的每个人给出了测量抑郁症的一个标准化检验，搜集到表1中的资料，较高的得分表示较高的抑郁症水平。
研究的第二部分考虑地理位置与患有慢性病的65岁以上的人患抑郁症之间的关系，这些慢性病诸如关节炎、高血压、心脏失调等。
这种身体状况的人也选出60个组成样本，同样20个人居住在佛罗里达，20个人居住在纽约、20个人居住在北卡罗来纳。
这个研究记录央视主持人崔永元对外公开其患有抑郁症后，使人们对这种精神疾病有了更多的关注。
通过对以上两个数据集统计分析，你能从中看出什么结论？你对该疾病有什么认识？二、抑郁症的相关知识抑郁症有两种含义，广义的抑郁症包括情感性精神病、抑郁性神经症、反应性抑郁症、更年期抑郁症等；狭义的则仅指情感性精神病抑郁症。
抑郁症在国外是一种十分常见的精神疾病，据报告，其患病率最高竟占人群的10％左右，而且社会经济情况较好的阶层，患病率越高。
世界卫生组织预测，抑郁症将成为21世纪人类的主要杀手。
全世界患有抑郁症的人数在不断增长，而抑郁症患者中有10—15%面临自杀的危险……引起抑郁症的原因有很多，为了了解地理位置对抑郁症是否有影响,我们做如下的案例分析：三、地理位置与患抑郁症之间是否有关系作为对65岁以上的人长期研究的一部分，在纽约洲北部地区的Wentworth医疗中心的社会学专家和内科医生进行了一项研究，以调查地理位置与患抑郁症之间的关系。
选择了60个相当健康的人组成一个样本，其中20人居住在佛罗里达，20人居住在纽约，20人居住在北卡罗米纳。
对中选的人给出了测量抑郁症的一个标准化实验，搜集到表1中的资料，较高的分表示较高的抑郁症水平。
研究的第二部分考虑地理位置与患有慢性病的65岁以上的人患抑郁症之间的关系，这些慢性病诸如关节炎、高血压、心脏失调等。
方差分析实例
案例分析一：
方差分析实例
某化工厂化验室检验过程中要确定温度（记为因子A)对检验结果的影响。
现让同一个检验人员从同一批样品中随机抽取三个样品，用同一种测量方法、同一台仪器，在四个温度水平（记为A1、A2、A3、A4）下对三个样品主要成分进行测量，数据如下表，其中，含量的单位为％，温度单位为℃，测定结果的显著性水平α＝0.05。
温度和含量的数据分析图含量（％）
从数据图可清晰得知，温度对样品中主要成分的含量的测量结果有着显著的影响，即温度越高，样品含量越大。
为了减少决策风险，对于
该结论还需进行方差分析。
（二）组间方差齐性检验
1、计算A1~A4的极差R1~R4,
2、平均极差R ,
3、根据α＝0.05，m＝3，查“均值－极差控制图系数表”得D3、D4，
4、计算上临界值：D4*R；下临界值：D3*R
5、验证R1~R4是否在上下临界值直间，即D3R﹤R1,R2,R3,R4﹤D4R，则证明每个水平内样品的测定数据方差是一致的。
（三）计算因子A在每一温度水平下不同样本测定数据的和Ti及总和Tn
（四）依次计算平方和Sr、S A、Se及自由度fr、f A、fe
（五）计算各均方及F比值并列出方差分析表
F＝105.685
（六）根据F＝105.685，对于给定的显著性水平α＝0.05，查F 分布表F1-α（F A，Fe），可得1-α＝0.95，F0.95（3，8）＝4.07，F﹥F0.95（3，8），因此，温度对含量测定结果的影响是显著的。
⽅差分析Spss16.0与统计数据分析上机实验报告⼀、实验⽬的：①：掌握单因素⽅差分析的原理与步骤②：掌握多因素⽅差分析的原理与步骤③：掌握协⽅差分析的原理与步骤⼆、实验内容：1. 某农场为了⽐较4种不同品种的⼩麦产量的差异，选择⼟壤条件基本相同的⼟地，分成16块，将每⼀个品种在4块试验⽥上试种，测得⼩表亩产量（kg ）的数据如表6.17所⽰（数据⽂件为data6-4.sav ），试问不同品种的⼩麦的平均产量在显著性⽔平0.05和0.01下有⽆显著性差异。
（数据来源：《SPSS 实⽤统计分析》郝黎仁，中国⽔利⽔电出版社）表6.17 ⼩麦产量的实测数据解：第1步分析。
由于考虑的是⼀个控制变量（⼩麦品种）对⼀个观测变量（⼩麦产量）的影响，⽽且是4种不同的品种，所以不适宜⽤样本T 检验（仅适⽤两组数据），应采⽤单因素⽅差分析。
第⼆步数据的组织。
数据分成两列，⼀列是⼩麦的产量，变量名为“output ”，另⼀变量名为⼩麦的品种（变量值分为1，2，3，4），变量名为“breed ”，输⼊数据并保存。
如下图所⽰：第3步⽅差相等的齐性检验： =0.05由于sig=0.46>0.05说明应该接受H0假设（即⽅差相等）。
故下⾯⽤⽅差相等的检验⽅法。
表ANOVA中sig=0.001<0.05，故应拒绝H0检验（不同品种的⼩麦的平均产量⽆显著性差异），说明不同品种的⼩麦的平均产量有显著性差异。
第4步多重⽐较分析由于第3步检验出⽅差具有齐性，故选择LSD⽅法。
第5步运⾏结果及分析由表中所得：A1品种与A2，A3，A4均存在显著性差异，⽽且从产量差异上看均⾼于其他3种品种，说明A1⽐其他三种品种好。
且A2与A4存在显著性差异，A2与A3，A3与A4⽆显著性差异。
（均为在显著性⽔平0.05下）同理可得在显著性⽔平0.01下：A1的产量最好，A1与A2、A3存在显著性差异，A1与A4，A2与A3、A4，A3与A4⽆显著性差异。
第二十五课 方差分析当影响观察结果的影响因素（原因变量或分组变量）的水平数大于2或原因变量的个数大于1个，一元时常用F 检验（也称一元方差分析），多元时用多元方差分析（最常用Wilks ’∧检验）。
一、 方差分析概述方差分析（analysis of variance ）又称变异数分析，可简记为ANOV A ，主要用于检验计量资料中的两个或两个以上均值间差别显著性的方法。
当欲比较几组均值时，理论上抽得的几个样本，都假定来自正态总体，且有一个相同的方差，仅仅均值可以不相同。
还需假定每一个观察值都由若干部分累加而成，也即总的效果可分成若干部分，而每一部分都有一个特定的含义，称之谓效应的可加性。
所谓的方差是离均差平方和除以自由度，在方差分析中常简称为均方MS （mean square ）。
1. 方差分析的基本思想根据效应的可加性，将总的离均差平方和分解成若干部分，每一部分都与某一种效应相对应，总自由度也被分成相应的各个部分，各部分的离均差平方除以相应部分的自由度得出各部分的均方，然后列出方差分析表算出F 值，作出统计推断。
方差分析的关键是总离均差平方和的分解，分解越细致，各部分的含义就越明确，对各种效应的作用就越了解，统计推断就越准确。
方差分析表的一般形式见表25.1所示：表25.1 方差分析表形式变异来源 source 离差平方和SS 自由度 df 均方 MS F 统计量FP 概率值P 效应S 1 SS 1 df 1 MS 1= SS 1/df 1 F 1(df 1, df e )= MS 1/ MS e P 1 效应S 2 SS 2 df 2 MS 2= SS 2/df 2F 2(df 2, df e )= MS 2/ MS eP 2 …… …… …… …… ……效应S m SS m df m MS m = SS m /df m F m (df m , df e )= MS m / MS eP m 误差S e SS edf eMS e = SS e /df e总变异S TSS T = SS 1+ SS 2+…+ SS m + SS edf T =df 1+ df 2+…+ df m + df eMS T = SS T /df TF T (df T , df e )= MS T / MS eP T表中变异来源一栏，可分为总变异（total ），误差（residual ）,各个效应（effect ）相对应的项。
例题讲解例3。
1、某灯泡厂用４种不同材料的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中随机抽取若干只观测其使用寿命（单位：小时）。
观测数据如下：甲灯丝：1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 乙灯丝：1580 1640 1640 1700 1750丙灯丝：1540 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 丁灯丝：1510 1520 1530 1570 1600 1680问这四种灯丝生产的灯泡的使用寿命有无显著差异（0.05α=）？ 第一种方法：直接用手工计算解：由题意知要检验的假设为H0： 四种灯丝生产的灯泡的使用寿命无显著差异。
为了简化计算，把各观测值都减去一个数1600，简化后的数据及有关计算如下：其中i t 表示重复次数；2221111111,,,,ii i t t t rr i i i ij i i ij ij i j j i j i n t t x x t x x K x P K t n =====⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑，2211111,;ii t t rrij ij i j i j i W x R x t ====⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑∑所以2180549.297044360.726A S R P =-=-=，21231900970195711.526T S W P =-=-=，151350.8E T A S S S =-=.最后填写方差分析表。
因为2.15<3.05，接受H0，故四种灯泡的使用寿命无显著差异。
第一种方法：用SPSS 软件操作 操作过程与结果如下： 操作步骤1、建立数据文件。
假设在SPSS环境下建立数据文件，该文件中定义两个数值型变量：一个变量为寿命time，宽度按默认值设置；另一个是属性变量kind，宽度为3，无小数位，它表示四批灯丝的类别，例如用1表示甲、2表示乙、3表示丙、4表示丁。
其部分数据见图3—1所示。
