1．1.3集合的基本运算第1课时并集、交集[目标] 1.理解两个集合的并集和交集的定义，明确数学中的“或”“且”的含义；2.能借助于V enn图或数轴求两个集合的交集和并集，培养直观想象和数学运算两大核心素养；3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题，培养逻辑推理的核心素养．[重点] 两集合并集、交集的概念及运算．[难点] 两个集合并集、交集运算的应用及数形结合思想的渗透.知识点一并集[填一填]1．并集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B 的并集，记作A∪B，读作A并B.符号语言表示为：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．2．并集的运算性质(1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝A；(3)A∪∅＝A；(4)A∪B⊇A，A∪B⊇B；(5)A⊆B⇔A∪B＝B.[答一答]1．“或”的数学内涵是什么？提示：“x∈A，或x∈B”包括了三种情况：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A，且x∈B.2．A∪B的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗？提示：不一定，用Venn图表示A∪B如下：当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，如上图②③④中，A∪B的元素个数都小于A与B的元素个数的和．知识点二交集[填一填]1．交集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B 的交集，记作A∩B，读作A交B.符号语言表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．2．交集的运算性质对于任何集合A，B，有(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A；(3)A∩∅＝∅；(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B；(5)A⊆B⇔A∩B＝A.[答一答]3．如何理解交集定义中“所有”两字的含义？提示：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B的所有公共元素都属于A∩B；③当集合A与B没有公共元素时，A∩B＝∅.4．当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时A∩B ＝∅.5．若A∩B＝A，则A与B有什么关系？A∪B＝A呢？提示：若A∩B＝A，则A⊆B；若A∪B＝A，则B⊆A.类型一集合的并集运算[例1](1)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}[答案](1)B(2)A[解析](1)集合M，N都是以列举法的形式给出的，根据并集的定义，可得M∪N＝{－1,0,1,2}．(2)将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示．可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．当求两个集合的并集时，对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助于数轴写出结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，此时要注意端点处是实心点还是空心点；对于用列举法给出的集合，则依据并集的含义，可直接观察或借助于Venn图写出结果，但要注意集合中元素的互异性.[变式训练1](1)满足条件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的个数是(D)A．1B．2C．3D．4解析：由条件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根据并集的定义可知5∈B，而1,3是否在集合B中不确定．所以B可能为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的个数为4.(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，求A∪B.解：∵A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，如图所示．故A∪B＝{x|x≤3，或x>a，a≥4}．类型二集合的交集运算[例2](1)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝() A．(0,2) B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}(2)若集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅[分析]化简A、B，然后利用交集的定义或数轴进行运算．[答案](1)D(2)C[解析](1)∵|x|≤2，∴－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}．∵x≤4.∴0≤x≤16.又∵x∈Z，∴B＝{0,1,2,3，…，16}，∴A∩B＝{0,1,2}．(2)∵A＝{x|－1≤x≤1}，又B＝{x|x≥0}，所以A∩B＝{x|－1≤x≤1}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x≤1}．1.求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果.2.在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰.此时数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集.[变式训练2] (1)已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B ＝( C ) A ．{2,1} B ．{x ＝2，y ＝1} C ．{(2,1)} D ．(2,1) (2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈N }，则A ∩B ＝( D )A ．{3}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{2,3}D ．{1,2}解析：(1)A ∩B ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝1}＝{(2,1)}．(2)由题意，知A ＝{1,2,3}，B ＝{0,1,2}，结合Venn 图可得A ∩B ＝{1,2}，故选D.类型三 并集、交集的综合运算命题视角1：与参数有关的交集、并集问题[例3] 已知集合A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |x ≥a ，a >0}，求A ∪B ，A ∩B . [解] (1)当0<a <2时，如图(1)所示．所以A ∪B ＝{x |x >0}，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}． (2)当a ＝2时，如图(2)所示．所以A ∪B ＝{x |x >0}，A ∩B ＝{2}．(3)当a >2时，如图(3)所示．所以A ∪B ＝{x |0<x ≤2，或x ≥a }，A ∩B ＝∅.含参数的集合进行并集与交集的基本运算时，要注意参数的不同取值对相关集合的影响，此类问题应根据参数的不同取值进行分类讨论.如该题中，应依据a 与2的大小关系分为三类.若无a >0的限制条件，则应根据a 与0，2的大小分为五类.[变式训练3] 设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A ，且－3∈B ， 将－3代入方程x 2＋ax －12＝0得a ＝－1， ∴A ＝{－3,4}，又A ∪B ＝{－3,4}，A ≠B ，∴B ＝{－3}． ∵B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，∴(－3)＋(－3)＝－b ，(－3)×(－3)＝c ， 解得b ＝6，c ＝9，则a ＝－1，b ＝6，c ＝9. 命题视角2：并集、交集的性质运用[例4] 设集合A ＝{－2}，B ＝{x ∈R |ax 2＋x ＋1＝0，a ∈R }．若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围．[解] 由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ， 因为A ＝{－2}≠∅. 所以B ＝∅或B ≠∅.(1)当B ＝∅时，方程ax 2＋x ＋1＝0无实数解，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a <0，解得a >14.(2)当B ≠∅时，①当a ＝0时，方程变为x ＋1＝0， 即x ＝－1.所以B ＝{－1}，此时A ∩B ＝∅，所以a ≠0. ②当a ≠0时，依题意知方程ax 2＋x ＋1＝0有相等实根， 即Δ＝0，所以1－4a ＝0，解得a ＝14.此时方程变为14x 2＋x ＋1＝0，其解为x ＝－2，满足条件．综上可得a ≥14.求解“A ∩B ＝B 或A ∪B ＝B ”类问题的思路：利用“A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ”转化为集合的包含关系问题.当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视，从而引发解题失误.[变式训练4] 已知集合A ＝{x |0≤x ≤4}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－m }，且A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{x |0≤x ≤4}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，有m ＋1>1－m ，解得m >0.当B ≠∅时，用数轴表示集合A 和B ，如图所示，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤1－m ，0≤m ＋1，1－m ≤4，解得－1≤m ≤0.检验知m ＝－1，m ＝0符合题意．综上所得，实数m 的取值范围是m >0或－1≤m ≤0，即m ≥－1.1．已知集合A ＝{1,6}，B ＝{5,6,8}，则A ∪B ＝( B ) A ．{1,6,5,6,8} B ．{1,5,6,8} C ．{6}D ．{1,5,8}解析：求两集合的并集时，要注意集合中元素的互异性． 2．设S ＝{x |2x ＋1>0}，T ＝{x |3x －5<0}，则S ∩T ＝( D ) A ．∅ B ．{x |x <－12}C ．{x |x >53}D ．{x |－12<x <53}解析：S ＝{x |2x ＋1>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12， T ＝{x |3x －5<0}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <53， 则S ∩T ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <53. 3．若集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,4}，C ＝{1,4,6}，则(A ∩B )∪C ＝( D ) A ．{1} B ．{1,4,6} C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}解析：由集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,4}，得集合A ∩B ＝{1,2}． 又由C ＝{1,4,6}，得(A ∩B )∪C ＝{1,2,4,6}．故选D.4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，4，14.解析：∵B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，4，14，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，4，14.5．已知A ＝{1,4，x }，B ＝{1，x 2}，且A ∩B ＝B ，求x 的值及集合B . 解：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴x 2＝4或x 2＝x .解得x ＝±2或x ＝0或x ＝1.经检验知，x ＝1与集合元素的互异性矛盾，应舍去．∴x ＝±2或x ＝0，故B ＝{1,4}或B ＝{1,0}．——本课须掌握的两大问题1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．学习至此，请完成课时作业4。
必修一、二、三、四、五章节内容必修一必修四第一章集合与函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1任意角和弧度制1.2 函数及其表示 1.2任意角的三角函数1.3 函数的基本性质 1.3三角函数的诱导公式第二章基本初等函数 1.4三角函数的图像与性质2.1 指数函数 1.5函数y=Asin(?x+?)2.2对数函数 1.6 三角函数模型的简单应用2.3 幂函数第二章平面向量第三章函数的应用 2.1平面向量的实际背景及基本概念3.1函数与方程 2.2平面向量的线性运算3.2 函数模型及其应用 2.3平面向量的基本定理及坐标表必修五 2.4 平面向量的数量积第一章解三角形 2.5 平面向量应用举例1.1 正弦定理和余弦定理第三章三角恒等变换1.2 应用举例 3.1 两角和与差的正弦、余弦第二章数列 3.2 简单的三角恒等变换2.1 数列的概念与简单表示方法必修二2.2 等差数列第一章空间几何体2.3等差数列的前n项和 1.1 空间几何体的结构2.4 等比数列 1.2 空间几何体的三视图和直观图2.5 等比数列前n项和 1.3 空间体的表面积与体积第三章不等式第二章点、直线、平面间的关系3.1 不等关系与不等式 2.1空间点、直线、平面之间的位3.2一元一次不等式及其解法 2.2 直线、平面平行的判定及其性质3.3 二元一次不等式(组)及其解法 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质3.4基本不等式第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体2.3 变量的相关性第三章概率3.1 随机现象3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.4 概率的应用。
高一数学新授课课时安排表课程内容：高一（上）普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章集合与函数概念 8课时（包含习题课）1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ） 6课时（包含习题课）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用 4课时（包含习题课）3．1 函数与方程3．2函数模型及其应用小结:总结+习题 2课时普通高中课程标准实验教科书数学必修2第一章空间几何体 4课时（包含习题课）1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系 4课时（包含习题课）2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程 6课时（包含习题课）3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程 6课时（包含习题课）4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系小结：总结+习题 2课时高一（下）普通高中课程标准实验教科书数学必修3第一章算法初步 4课时（包含习题课）1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例第二章统计 4课时（包含习题课）2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量间的相关关系第三章概率 6课时（包含习题课）3．1 随机事件的概率3．2 古典概型3．3 几何概型小结+习题 4课时普通高中课程标准实验教科书数学必修4第一章三角函数 8课时（包含习题课）1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量 8课时（包含习题课）2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换 4课时（包含习题课）3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换小结+习题 4课时。
