高中数学第一章-1.3-第1课时

1．3 集合的基本运算

第1课时 并集与交集

学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

知识点一 并集

思考 集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？

答案 不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．

知识点二 交集

预习小测 自我检验

1．设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，则M∪N＝________.

答案 {3,4,5,6,7,8}

解析 ∵M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，∴M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．

2．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.

答案 {x|x>0}

解析 A∪B＝{x|x>1}∪{x|x>0}＝{x|x>0}．

3．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝________.

答案 {－1,0}

解析 由A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，得A∩B＝{－1,0}． 4．已知集合M＝{x|－3

答案 ∅

解析 利用数轴表示集合M与N，可得M∩N＝∅.

一、并集、交集的运算

例1 (1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2

A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}

C．{x|－2

答案 A

解析 画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )

A．5 B．4 C．3 D．2

答案 D

解析 ∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，

∴8∈A,14∈A，

∴A∩B＝{8,14}，故选D.

反思感悟 求解集合并集、交集的类型与方法

(1)若是用列举法表示的数集，可以根据并集、交集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；

(2)若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．

二、并集、交集性质的应用

例2 已知集合A＝{x|－3

解 (1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.

(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，

只需 －3

综合(1)(2)可知k k≤52.

延伸探究

1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．

解 由A∩B＝A可知A⊆B.

所以 －3≥k＋1，2k－1≥4，即 k≤－4，k≥52，所以k∈∅.

所以k的取值范围为∅.

2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3

解 由题意可知 －3

所以k的值为3.

反思感悟 (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．

(2)集合运算常用的性质：

①A∪B＝B⇔A⊆B；

②A∩B＝A⇔A⊆B；

③A∩B＝A∪B⇔A＝B.

跟踪训练 (1)A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a

A．3≤a<4 B．－1

C．a≤－1 D．a<－1

答案 C

解析 利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.

(2)若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，则m的取值范围是________．

答案 －2≤m≤－1

解析 ∵A∪B＝B，

∴A⊆B，如图所示，

∴ 2m－1≤－3，2m＋9≥5，解得－2≤m≤－1.

∴m的取值范围为{m|－2≤m≤－1}．

含字母的集合运算忽视空集或检验

典例 (1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是( )

A．1或2 B．2或4 C．2 D．1

答案 C

解析 ∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意．

(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．

答案 {a|a≥2}

解析 由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴B⊆A，

∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；

当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；

当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．

综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．

[素养提升] (1)经过数学运算后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．

(2)在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．

1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B等于( )

A．{1,6,5,6,8} B．{1,5,6,8}

C．{0,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}

答案 B

解析 求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．

2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于( )

A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}

C．{－1,0,1} D．{0,1}

答案 D

解析 N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．

3.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )

A．{0,1} B．{0}

C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}

答案 D 解析 由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.

4．已知集合A＝{x|－1

答案 {x|－1

解析 因为A＝{x|－1

5．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．

答案 m≥2

解析 ∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2.

1．知识清单：

(1)并集、交集的概念及运算．

(2)并集、交集运算的性质．

(3)求参数值或范围．

2．方法归纳：数形结合、分类讨论．

3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．

1．(2019·全国Ⅱ)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于( )

A．{x|x>－1} B．{x|x<2}

C．{x|－1

答案 C

解析 A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1

2．A，B是两个集合，则集合{x|x∈A，且x∈B}可用阴影表示为( )

答案 D

解析 集合{x|x∈A，且x∈B}＝A∩B，故D正确．

3．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C之间的关系必有( )

A．A⊆C B．C⊆A

C．A＝C D．以上都不对 答案 A

解析 A∩B＝A⇒A⊆B，B∪C＝C⇒B⊆C，∴A⊆C.

4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )

A．0 B．1 C．2 D．4

答案 D

解析 ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.

5.如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为( )

A．{x|0

B．{x|1

C．{x|0≤x≤1，或x≥2}

D．{x|0≤x≤1，或x>2}

答案 D

解析 因为A∩B＝{x|12}．

6．若集合A＝{x|－1

答案 R {x|4≤x<5}

解析 借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．

7．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是__________．

答案 2

解析 由{1}∪B＝{1,2}，故B＝{2}，{1,2}，共2个．

8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．

答案 {a|a≤1}

解析 因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.

9．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值．

解 因为A∩B＝{3}，所以3∈A.

从而可得p＝8，所以A＝{3,5}．

又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，

所以B＝{2,3}．