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习题及参考答案第五章 波动学基础参考答案思考题5-1把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端，维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则（A ）振动频率越高，波长越长； （B ）振动频率越低，波长越长； （C ）振动频率越高，波速越大； （D ）振动频率越低，波速越大。
5-2在下面几种说法中，正确的说法是（A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的； （B ）波源振动的速度与波速相同；（C ）在波传播方向上的任二质点振动位相总是比波源的位相滞后； （D ）在波传播方向上的任一质点的振动位相总是比波源的位相超前 5-3一平面简谐波沿ox 正方向传播，波动方程为010cos 2242t x y ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (SI)该波在t =0.5s 时刻的波形图是（ ）5-4图示为一沿x 轴正向传播的平面简谐波在t =0时刻的波形，若振动以余弦 函数表示，且此题各点振动初相取-π到π之间的值，则（）（A ）1点的初位相为φ1=0（B ）0点的初位相为φ0=-π/2(m)(A )(m)(m)(B )(C )(D )思考题5-3图思考题5-4图（C ）2点的初位相为φ2=0 （D ）3点的初位相为φ3=05-5一平面简谐波沿x 轴负方向传播。
已知x=b 处质点的振动方程为[]0cos y A t ωφ=+，波速为u ，则振动方程为（ ）(A)()0cos y A t b x ωφ⎡⎤=+++⎣⎦(B)(){}0cos y A t b x ωφ⎡⎤=-++⎣⎦(C)(){}0cos y A t x b ωφ⎡⎤=+-+⎣⎦ (D)(){}0cos y A t b x u ωφ⎡⎤=+-+⎣⎦ 5-6一平面简谐波，波速u =5m·s -1，t =3s 时刻的波形曲线如图所示，则0x =处的振动方程为（ ）（A ）211210cos 22y t ππ-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ (SI) （B ）()2210cos y t ππ-=⨯+ (SI) （C ）211210cos 22y t ππ-⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ (SI) （D ）23210cos 2y t ππ-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ (SI) 5-7一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t =0的波形曲线如图所示，则P 处质点的振动在t =0时刻的旋转矢量图是（ ）5-8当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论一哪个是正确的？ （A ）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减少，总机械能守恒； （B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期变化，但两者的位相不相同；（C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的位相在任一时刻都相同，但两者的数值不相等； （D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。
波动光学知识点总结一、波动光学基础理论1.1 光的波动性光既具有波动性，也具有粒子性。
但在波动光学中，我们更多地将光看作是一种波动。
光的波动性表现为它的波长、频率和波速等特性。
光的波动性对光的传播和相互作用提供了理论基础。
1.2 光的主要波动特性在波动光学中，我们需要了解光的一些主要波动特性，如干涉、衍射、偏振等。
这些特性是光学现象的基础，也是波动光学理论的重要内容。
1.3 光的传播规律波动光学还研究光的传播规律，如菲涅尔衍射、菲涅尔-基尔霍夫衍射等。
这些规律描述了光在不同介质中传播时的行为，为我们理解光学器件的原理和应用提供了基础。
二、干涉2.1 干涉现象干涉是波动光学的重要现象，它描述了两个或多个光波相遇时的相互作用。
我们可以通过干涉实验来观察干涉现象，如杨氏双缝干涉、薄膜干涉等。
2.2 干涉条纹干涉条纹是干涉现象的主要表现形式，它是由干涉光波在空间中的相互叠加而形成的明暗条纹。
通过研究干涉条纹，我们可以了解光的波动规律和光的相位特性。
2.3 干涉的应用干涉在科学研究和技术应用中有着广泛的应用，如干涉测量、干涉成像、干涉光谱等。
通过干涉技术，我们可以实现对光学性质和光学器件的精密测量和分析。
三、衍射3.1 衍射现象衍射是波动光学中的重要现象，它描述了光波在通过障碍物或孔径时的传播规律。
我们可以通过衍射实验来观察衍射现象，如单缝衍射、双缝衍射等。
3.2 衍射图样衍射图样是衍射现象的表现形式，它是光波经过衍射产生的明暗图案。
通过研究衍射图样，我们可以了解光波的传播特性和光的波前重构规律。
3.3 衍射的应用衍射在光学成像、光学通信、激光技术等领域有着重要的应用价值。
通过衍射技术，我们可以实现对微小结构的观测和分析，也可以实现光的调制和控制。
四、偏振4.1 偏振现象偏振是波动光学中的重要现象，它描述了光波振动方向的特性。
在偏振现象中，我们可以了解线偏振、圆偏振和椭圆偏振等不同偏振状态。
4.2 偏振光的特性偏振光具有独特的性质，如光振动方向的确定性、光强的调制特性等。
)振动学基础一、选择题：1、一质量为m 的物体挂在倔强系数为k 的轻弹簧下面，振动园频率为ω，若把此弹簧分割 为二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动园频率为： （A ）ω2。
（C ）ω2。
（C ）2ω。
（D ）22ω。
2、一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为))(32cos(1042SI t x ππ+⨯=-,从0=t 时刻起，到质点位置在cm x 2-=处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为： （A ）s )8/1(。
（B ）s )4/1(。
（C ）s )2/1(。
（D ）s )3/1(。
（E ）s )6/1(。
3 （A ）s 62.2。
（B ）s 40.2。
（C ）s 20.2。
（D ）s 00.2。
4、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒，则此简谐振动方程为：（A ）cm t x )3232cos(2ππ+=。
（B ）cm t x )3232cos(2ππ-=。
（C ）cm t x 3234cos(2ππ+=。
（D ）cm t x 3234cos(2ππ-=。
（E ）cm t x )434cos(2ππ-=。
5、一弹簧振子作简谐振动，总能量为1E ，如果简谐振动动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量1E 变为：（A ）4/1E 。
（B ）2/1E 。
（C ）12E 。
（D ）14E 。
6、一物体作简谐振动，振动方程为)2/cos(πω+=t A x 。
则该物体在0=t 时刻的动能与8/T t =（T 为周期）时刻的动能之比为：（A ）4:1。
（B ）2:1。
（C ）1:1。
（D ）1:2。
（E ）1:4。
7、一质点在x 轴上作简谐振动，振幅cm A 4=，周期s T 2=，其平衡位置取作坐标原点。
若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为： （A ）s 1。
第二章 波动力学基础一、填空1. 一维谐振子的能量本征值E n 与_____有关，能量是量子化的.最低的能量是____，称为_____.能级都是等间距的，间隔都是____.2. 定态的性质：粒子坐标的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化.二、概念与名词解释1. 态叠加原理；2. 概率流守恒定律；3. 定态，束缚态；4. 奇宇称，偶宇称三、计算1. 由下列定态波函数计算几率流密度： (1) ikr 1e r 1=ψ, (2)ikr 2e r1−=ψ. 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波.2. 设()()为常数a Ae x 22x a 21−=ϕ（1）求归一化常数（2）.?p ?x x ==3. 设在t=0时，粒子的状态为 φ=A[sin 2kx+(coskx)/2]，求粒子动量和能量的平均值.4. 已知做直线运动的粒子处于状态ix11)x (−=ϕ (1) 将φ(x)归一化； (2) 求出粒子坐标取值概率为最大处的位置.5. 若粒子处于状态⎪⎩⎪⎨⎧>β−≤≤<=ϕ)a x ()x exp(B )a x 0()kx sin(A )0x (0)x ( 其中k,β为已知常数。
求归一化常数，并给出在1≤x ≤a 区域内发现粒子的概率.6. 粒子处在势能的场中运动，()⎪⎩⎪⎨⎧+<<+≤≤+≤≤+><∞=b)a x a (,U b)2a x b a a x 0(,0b)2a x 0x (,x U 0当和当和当求在能量小于U 0的情况下，决定能量的关系式.7. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.8. 一维运动的粒子处于的状态. 求归一化系数A ，粒子的动量分布函数及动量平均值。
()⎩⎨⎧<>=ϕλ−0x 00x Axe x x9. 若线谐振子处于第一激发态，)x a 21aexp(-)2a ((x)222131π=ϕ，求其坐标概率最大的位置，其中a>0.10. 设粒子的能量E>0，求粒子在势阱壁x=0处的反射系数. ()⎩⎨⎧><= 0)(x 00)(x U x U 011. 一维谐振子处在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ω−−π=ϕt 2i 2x a exp a (x)221/2状态， 求：势能的平均值；动量的概率分布函数；动量的平均值.12. 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤−<≤<∞=x b ,0bx a ,U a x 0,U 0x ,x U 10求束缚态的能级所满足的方程，其中U 0>0,U 1>0.13. 粒子在如下三维势场()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧><∞≤≤==⎩⎨⎧><∞≤≤==b/2)(x -b/2),(x b/2)y (-b/2 0U 0U a/2)(x -a/2),(x a/2)x (-a/2 0U z y,,x U y z x中运动, 求粒子的能量和对应的波函数.14. 设粒子处于一维势阱中，式中U ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤−<∞=a)(x 0a)x (0 U 0)(x U(x) 00>0.若粒子具有一个E=－U 0/4的本征态，试确定此势阱的宽度.15. 设粒子在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数a x cos a x sin 4(x)2πππ=ϕ描述，求粒子能量的可能值和相应的概率. 16. 在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数φ(x)=Ax(a-x)描述，A 为归一化常数，求粒子的能量的概率分布和能量的平均值.17. 一个粒子处与中心势场中，设其径向波函数为R(r)=u(r)/r ，u(r)满足的方程为⎩⎨⎧<≥=a)(r 0a)(r U )r (U 00)r (u r )1l (l ))r (U E (2)r (u dr d 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−µ+h ，若l=0，求该粒子小于U 0的能量和相应的本征函数.18. 粒子在势场中运动，试给出小于零的能量本征值和本征函数，其中U ⎩⎨⎧≥<δ−=0)(x U 0)(x (x)a U )x (U 101>0,U 0a>0.19. 粒子在如下势场中运动，求其能级. ⎩⎨⎧>ω≤∞=0)(x /2x m 0)(x )x (U 2220. 粒子在双δ势阱U(x)= -U 0d[δ(x+a)+ δ(x-a)]中运动，求其束缚能级满足的方程. 21. 设两个方势垒的形状分别是⎩⎨⎧≤≤><<=⎩⎨⎧≤≤<=c)x (b U c)x b,x (a 0)x (U , a)x (0 U 0)(x 0)x (U 21，求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数.22. 求势场U(x)= -U 0/(e x/a +1)，入射粒子能量E>0时的反射系数.23. 能量为E=3U 0的粒子射向如下势场，求粒子的透射和反射系数.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=a)(x 2U a)x (0 U 0)(x 0U(x)0 024. 能量为E>0的粒子通过如下势阱U(x)= -U 0δ(x)，求粒子的透射和反射系数，其中U 0>0.25. 氢原子处在基态0a /r 30e a 1−π=ψ, 求：(1) r 的平均值； (2) 势能-e 2/r 的平均值； (3) 最可几的半径；(4) 动能的平均值； (5) 动量的几率分布函数.26. 设氢原子处于状态()()()()()/2,Y r R 3/2,Y r R ,,r 11211021ϕθ−ϕθ=ϕθψ−求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值, 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.27. 粒子处于状态()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛πξ=ψ2202124x x p i exp 21x h 式中ξ为常量. 求粒子的动量平均值, 并计算测不准关系 ()()_______2_____2p x ∆∆28. 设粒子在一维势垒宽度为a 的无限高势垒中运动，求粒子作用在势垒壁上的平均力.29. 设氢原子处在基态，求：它在动量表象中的表示式；p x 和p x 2的平均值；x 和x 2的平均值.30. 设势场为U(r)= -a/r+A/r 2(a 、A>0)，求粒子的能量本征值.31. 设势场为U(r)= Br 2+A/r 2 (A 、B>0)，求粒子的能量本征值.32. 一个质量为m 的粒子被限制在半径为r=a 和r=b 的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其他势场.求粒子的基态能量和基态波函数.33. 求一维薛定谔方程在势场V(x)= -Ze 2/x 下的能级和波函数，并与势场⎩⎨⎧≤∞>=0)(x 0)(x /x Ze -V(x)2的结果相比较. 四、证明1. 证明在定态中, 几率流密度与时间无关.2. 设粒子处于复位势V(r)=V 1(r)+iV 2(r)中，式中V 1(r)和V 2(r)皆为实函数，证明此时粒子的概率不守恒.3. 设粒子处于实位势V(r)中，证明在任意束缚态下其能量平均值为τ⎥⎦⎤⎢⎣⎡φφ+φ∇⋅φ∇=τρ=∫∫d )r ()r )V(r ()r ()r (2md E **2h 式中ρ为能量密度.4. 证明属于不同本征能量的束缚态本征函数是正交的.5. 利用厄米多项式的递推关系H n+1(ξ)-2ξH n (ξ)+2n H n-1(ξ)=0，证明[][]22n n 2-n n 21n 1-n n /2(x) 2)1)(n (n (x)1)(2n (x) 1)-n(n (x)x /(x) 1)/2(n (x) n/2(x)x αφ+++φ++φ=φαφ++φ=φ++ 式中φn (x)为线谐振子的第n 个本征波函数，h /m ω=α.进而证明在任意本征态下，坐标的平均值为零，势能的平均值为相应本征能量的一半.6. 证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值.7. 在一维势场中运动的粒子, 势能对原点对称:U(-x)=U(x), 证明粒子的定态波函数具有确定的宇称.8. 证明对于任意势垒，粒子的反射系数R 和透射系数D 之和等于1.9. 粒子在势能为的场中运动，证明对于能量E<U ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=)a x (U )a x 0(0)0x (U )x (U 21当当当1<U 2的状态，能量由21mU 2k arcsin mU 2k arcsinn ka h h −−π=关系式决定，其中2/mE 2k h = 10. 证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的.11. 证明在非相对论量子力学中，在辏力场V(r)中运动的粒子，其束缚态满足322r L 21dr )r (dV 2m )0(π−π=ϕ，式中φ(0)是原点波函数，L 2是角动量平方（选ћ=1为单位）.五、综合题1. 利用氢原子的能谱公式，写出：(1) 电子偶素(positronium)，即e +-e -形成的束缚态的能级；(2) 以µ-子代表核外电子所形成的µ原子的能级；(3) µ+和e -形成的束缚态(Muonium)的能级.2. 一个质量为m 的粒子在一个三维方势阱V(r)中运动.(1) 证明：对于一个半径R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态，并计算这一极小值.(2) 在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？(3) 上述(1)、(2)结果中的一般性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若，保持f(x)不变，讨论不同的λ值.⎩⎨⎧><≤≤<λ=）或b x a (x 0b)x (a 0f(x)U(x)3. 一电子在一无限大接地平面导体的上方运动，它被自己的像电荷吸收，但电子不能穿透导体表面.试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件，并求出电子的能级和在基态时，电子和导体表面之间的平均距离.4. 质量为m 的非相对论粒子在一势场中运动，势场是U(x,y,z)=A(x 2+y 2+2λxy)+B(z 2+2µz)，其中A>0,B>0,|λ|<1，µ是任意的，求：(1) 能量的本征值；(2) 使势变成，求基态能量. ⎩⎨⎧µ<∞µ>=任意）、＋任意）、y x ,-(z y x ,-(z U U new 5. 一个刚体具有惯性矩I z ，可以自由的在x-y 平面中运动.令θ为x 轴与转动轴之间的夹角，求：(1) 能量本征值和相应的本征函数；(2) 若在t=0时，转子由波包φ(0)=Asin 2θ描述，求在t>0时的φ(t).6. 考虑一维波函数φ(x)=A(x/x 0)n e -x/x0，其中A 、n 、x 0是常数，(1) 利用薛定谔方程，求势场U(x)和能量E.（这时φ(x)可视为当x →∞时V(x)→0的薛定谔方程的本征函数）.(2) 比较你所给出的势场和轨道角动量为l 的氢原子态的有效径向势的异同.7. 通常在量子力学薛定谔方程中，若已知全部能谱和全部本征函数，可以反过来推出相互作用势，这称为反散射问题.若只知道部分能谱和波函数，有时也可给出关于势场的一些性质.证明：(1) 若势场满足d 2V/dr 2>或<0，则零点波函数满足|φ2s (0) |>或<|φ1s (0) |；(2) 记势场V(r)中粒子状态为l n r r l ,n φ=，则若，0r 1)l(l V dr d 222>⎥⎦⎤⎢⎣⎡++必有|φ0l (0) |≤|φ1l (0) |.8. 对于2P 和3D 能级，定义ε=E 2P －E 3D ，u=r φ2P ，v=r φ3D .势场满足V=λ2V(λr)，λ是小参量，证明：(1) 在(0,∞)区间中，u 2-v 2有且仅有一个零点；(2) 令W(x)=x[2V+x(dV/dx)]，则若满足W(0)=0，且d 2W/dx 2≥或≤0，相应的必有d ε/d λ≤或≥0.9. 粒子在势壁附近的行为，可从下面近似模型出发考虑. 一粒子在一维势场⎩⎨⎧<∞>δ=-d)(x -d)(x (x)U -U(x)0中运动，求： (1) 当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值.并据此说明“远离”的意义；(2) 至少存在一个束缚态时，U 0和d 应满足的条件.10. 一维薛定谔方程的本征值谱可依次排列成：E 1<E 2<…<E n <….(1) 若势场U 1(x)给的本征值为E 1n ，U 2(x)给的本征值为E 2n ，且U 1(x) ≤ U 2(x)，证明必有E 1n ≤E 2n .(2) 考虑势场,a)x ( /2ka a)x ( /2kx U(x)22⎪⎩⎪⎨⎧≥<=求这个势所能具有的最大的束缚态的数目N.11. 放射性同位素83Bi 212衰变成81Tl 208，同时放出能量为6.1MeV 的α粒子(1) 为了计算寿命，首先讨论如下图有限高势垒，计算一个质量为M 的粒子从左边入射的透射系数T ，粒子的能量为E ，并设T<<1；(2) 利用上面的结果，选择敏感的势垒参数来近似α粒子势，对83Bi 212的寿命做一个粗略的数值估计.12. 一束单一能量E 的非相对论中子打到一个厚度为t 的平板平面上，在这平板中。
