河北冀州中学2013-2014学年高二上学期期末考试 数学文B卷 Word版含答案
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试卷类型：B 卷 河北冀州中学2013—2014学年度上学期期末考试高二年级文科数学试题考试时间120分钟 试题分数150分 命题人：李青第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝( )A 、22n －1B 、2(1)n n +C 、22(1)n + D 、22n －12、从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是（ ）A 、35B 、25C 、15D 、453、函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ）A 、12B 、163C 、323D 、94、已知函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则实数a 的值是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、55、某单位为了了解用电量y (度)与气温x (°C)之间的关系，随机统计了某4天的由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ≈－2，预测当气温为－4 °C 时，用电量的度数约为( )A 、68B 、66C 、58D 、706、不等式1x －1<1的解集记为p ，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a>0的解集记为q ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A 、(－2，－1]B 、[－2，＋∞)C 、[－2，－1)D 、[－2，－1]7、已知椭圆22221x y a b+=(a >0，b >0)，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点．若AB ⊥BF ，则该椭圆的离心率为( )A 、5＋12B 、5－14C 、5＋14D 、5－128、抛物线x y 42=上一点A 的横坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A.2B.5C.4D.3 9、当x ∈(0,5)时，函数y ＝x ln x ( )A 、在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递减B 、在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递增C 、是单调增函数D 、是单调减函数10、已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为( ) A 、18 B 、48 C 、36 D 、24 11、如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是( ) A 、13 13 B 、12.5 13 C 、13 12.5 D 、12.5 12.512、设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A 、12B 、－2C 、－12D 、2第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填入答题纸相应位置)13、已知平面区域}{(,)6,0,0,U x y x y x y =+≤≥≥}{(,)4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 。
14、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是_____________。
15、如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是__________。
16、以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点M （－2，－4）的抛物线方程是 。
三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤） 17、（本小题满分12分）巴西医生马廷思收集犯有各种贪污、受贿罪的官员与廉洁官员寿命的调查资料：50名贪官中有35人的寿命小于平均寿命、15人的寿命大于或等于平均寿命；60名廉洁官员中有10人的寿命小于平均寿命、50人的寿命大于或等于平均寿命这里，平均寿命是指“当地人均寿命”试用独立性检验的思想分析官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间是否独立?22()n ad bc k -=18、（本小题满分12分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示． (1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不 低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学 被抽中的概率．19（本小题满分12分）设函数329()62f x x x x a =-+-.(1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的取值范围；(2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围。
20、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且△AF 2B 的面积为1227，求直线l 的方程． 21、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax ＋ln x(a ∈R)．(1)若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在x ＝12处切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝2x ，若对任意x 1∈(0，＋∞)，存在x 2∈[0,1]，使f(x 1)＜g(x 2)， 求实数a 的取值范围．请考生在第23、24两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
（本小题满分10分）23、已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩．（1）化直线l 的方程为直角坐标方程,化圆的方程为普通方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．24、已知函数f(x)＝|x ＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1)当a ＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x ∈R ，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．冀州中学2013－2014年度高二上学期期末试卷数学（文）(B 卷)BBCDA ADBBA BD13. 9214.(2,+∞) 15.225 16. y 2=－8x 或x 2=－y假设0H ：官员是否清白与他们的寿命长短无关,由公式 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++2110(35501510)32.0915*******⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为32.091＞10.828，所以我们有的99.9％的把握拒绝0H ．即我们有99.9％的把握认为官员在经济上是否清廉与他们的寿命长短有密切关系．18．解(1)x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，甲班的样本方差为s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A ，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,176)，(181,173)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P (A )＝410＝25.19.解:(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-,即m 的最大值为34-(2) 因为当1x <时,'()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 20．解(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可得椭圆C 两焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．∴2a ＝＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322 ＝52＋32＝4.∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝4－1＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)当直线l ⊥x 轴时，计算得到：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，S △AF 2B ＝12·|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3，不符合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.又|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2 ＝1＋k 2·64k 4＋4k 22－k 2－3＋4k 2＝1＋k 2·12k 2＋13＋4k 2＝k 2＋3＋4k 2，圆F 2的半径r ＝|k ×1－0＋k |1＋k 2＝2|k |1＋k2， 所以S △AF 2B ＝12|AB |·r ＝12·k 2＋3＋4k 2·2|k |1＋k 2＝12|k |1＋k 23＋4k 2＝1227，化简，得17k 4＋k 2－18＝0，即(k 2－1)(17k 2＋18)＝0，解得k ＝±1.所以y=±(x+1)21．解：(1)f ′(x )＝1＋1x (x ＞0)，f ′(12)＝1＋2＝3.故曲线y ＝f (x )在x ＝12处切线的斜率为3.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x ＞0)．①当a ≥0时，由于x ＞0，故ax ＋1＞0，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a ，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上f ′(x )＞0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上f ′(x )＜0.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(3)由题可知，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＜g (x 2)，转化为[f (x )]max ＜[g (x )]max ，而[g (x )]max ＝2.由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．(或者举出反例：存在f (e 3)＝a e 3＋3＞2，故不符合题意．)当a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2＞－1－ln(－a )，解得a ＜－1e3.所以，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 3 23、2211sin 3231212042100736101610y y x y d r πρθρθθ-∴-=-+=+===∴解：（）由sin(-)=6得:()=6------------2分-----------------------分（）------------------------------------ 分（）且弦长等于------------------------分24．已知函数f(x)＝|x ＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1)当a ＝0时，解不等式f(x)≥g(x)； (2)若存在x ∈R ，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．综上可得：φ(x)≤1，即a≤1.。
