同济大学材料力学复习课
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一. 绪论
1. 衡量构建承载能力的三个指标: 强度、刚度、稳定性。
2．变形固体的三个基本假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设。
3. 研究材料力学的前提：小变形假设。
4. 正应变和切应变：
0lim s u s ε∆→∆=∆
微体相邻棱边所夹直角的改变量 g ，称为切应变
5. 虎克定律 E σε=； G τγ=
二. 轴向拉压
1. 轴向拉压应力公式
N F A
σ= 2.斜截面应力公式
cos cos cos N F F F p A A A αααασαα
==== 2cos cos p αασασα==
sin sin 22p αασ
ταα==
x 轴逆时针转到 n 轴 “a ”规定为正值；
t a ：在保留段内任取一点，如果“t a ”对保留段内任
一点之矩为顺时针方向规定为正值，反之为负值。
2．画轴力图
3.给出拉应力、压应力和截面尺寸，求许用荷载
4. 轴向拉压变形公式：
N F L L EA ∆= （L L ε∆=； E σε=； N F A
σ=） εμε
'= 5. 轴向拉压变形
重点：
6. 低碳钢拉伸
p e s b σσσσ----比例极限
弹性极限屈服极限
强度极限
冷作硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。
塑性材料： d ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等
脆性材料： d <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等
铸铁拉伸
{}0.2,,jx s b σσσσ=
7. 超静定问题
温度引起的变形：L tL α∆=∆
装配应力
三. 剪切
1.切应力公式：s F A
τ=
2.
3.
四.扭转
1. 外力偶矩计算公式
9550(N m)N m n
=⋅； N 千瓦( KW ）；n 转／分 (r ／min) 2. 绘制扭矩图
3. 切应力计算公式 薄壁圆筒：202T r t τπ=；0110
t r ≤ 圆筒：P P P T T T I I W ρτρ
===
（实心圆截面：43
ππ;3216
p p d d I W ==； 空心圆截面：()()4344ππ1;13216p p D D I W αα=-=-；d D
α=） 剪切虎克定律：G τγ=，2(1)
E G μ=
+ 4. 切应力互等定理
5. 强度校核
6.扭转杆的变形
d =d L p p
T T dx x GI GI φφ=⎰； /P d T rad m dx GI φθ==
max 2
t 1max
3
t T T W hb Tl Tl GI Ghb τατγτφβ====
=
7. 扭转超静定问题
五. 弯曲
1.剪力方程和弯矩方程求解，画剪力图和弯矩图。
2.简易法画弯矩图，叠加法画弯矩图。
()()s 22d d d ()()d d ()()d s F x q x x
M x F x x
M x q x x
=== 基本步骤： （1）确定梁上所有外力（求支座反力）；
（2）分段
（3）利用微分规律判断梁各段内力图的形状；
（4）确定控制点内力的数值大小及正负；
（5）画内力图。
控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
3．弯曲变形基本公式：
Z
1
M EI ρ=；z z My M I W σ== 矩形：312z bh I =；2
6
z bh W = 圆形：4π64z y d I I ==；3
π32
z y d W W == ()44π164z y D I I α==-；()3
4π132
z y D W W α=-= 4.强度校核
5.切应力
s z z F S I b
τ*=；矩形：max 3 1.52s F A ττ==；圆形：S max 43F A τ= z S *为所求点对应位置以外的面积对Z 轴的静矩。
max 3 1.52s F A
ττ==
S max 43F A
τ=
弯曲中心：
6.积分法求梁的挠度和转角。
挠曲线，挠度向下为正；向上为负。
转角，由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。
22()d y M x dx
EI =-
7.叠加法计算梁的变形。
8.梁的刚度校核。
9.简单超静定梁
六. 应力状态分析
1.主应力和主平面：123σσσ≥≥
2. 任意斜截面上的应力：
cos 2sin 22
2
x y
x y
xy ασσσσσατα+-=+
-
sin 2cos 22
x y
xy ασστατα-=
+
平面主应力：max min
2
x y
σσσ+=
±；022xy
x y
tg τασσ-=
-
最大切应力：max min
τ=1tan 22x y
xy
σσατ-=
010(45)αα=+
3.莫尔圆的绘制和求解
4.广义虎克定理
1
[()]1
[()]1
[()]
x x y z y y z x z z x y E E E
εσμσσεσμσσεσμσσ=
-+=-+=-+
5.四大经典强度理论和强度校核 最大拉应力理论：[]b
1n
σσσ≤
=；
最大伸长拉应变理论：123()[]b
n
σσμσσσ-+≤=
最大切应力理论：[]s
13s
n σσσσ-≤
=
[]s s
n σσ≤= []r σσ≤
1、一般情况下：
脆性材料采用第一、第二强度理论（断裂破坏）； 塑性材料采用第三、第四强度理论（屈服破坏）。
2、三向受拉的应力状态：采用第一、第二强度理论 （断裂破坏）
3、三向受压的应力状态：采用第三、第四强度理论 （屈服破坏）
[
][]
34r r σσσσ=≤=≤
七.组合变形 1.斜弯曲
y
z
M y k
M z k k k k
z y
M z M y I I σσσ=+=
+
max f =
tan tan z z z z
y y y y
f F I I f I F I βϕ=
== 2.
轴向拉(压)与弯曲组合
N
z z F M W A
σ=
+ 偏心拉压
y N
z M y k
F M z k k k
k
k
z y
M z M y F A I I σσσ
σ
=++=---
3.弯扭组合变形
M M
W
σ=
；T p 2T T W W τ==
r3[]σσ=≤
；r3[]σσ==
=
≤
r4[]σσ=≤
；r4[]σσ=
=
≤
八. 压杆稳定 1. 临界压力
22
()cr EI F l πμ=
μ？
2.临界应力
22cr cr F E A πσλ==；l i
μλ=
；i =
大柔度杆：
()p p λλσσ≥≤；22cr E
πσλ
=
中柔度杆：
()s p p s λλλσσσ<<<<；cr a b σλ=-
小柔度杆：
()s s λλσσ≤≥；[]N
F A
σσ=
≤ 安全系数法：
[].cr cr st F F F n ≤
=[].cr cr st
n σ
σσ≤= 折减系数法：
[][]().cr F
A
σσϕλσ=
≤=
中性轴：横截面上正应力为0的点组成的直线。
（？为什么一定是直线？）平面弯曲中，根据横截面上的轴向力=0的条件可证明“中性轴通过截面形心”。
