正方形一课一练·基础闯关题组正方形的性质1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰三角形有( )A.4个B.6个C.8个D.10个【解析】选C.∵在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∴AB=BC=CD=AD,AO=OD=OC=OB,∴△ABC,△BCD,△ADC,△ABD,△AOB,△BOC,△COD,△AOD都是等腰三角形,一共8个.2.(2017·六盘水中考)如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则∠AEB=__________度.【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=∠BAD=90°,在Rt△ABE和Rt△ADF中,∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴∠BAE=∠DAF=(90°-60°)÷2=15°,∴∠AEB=75°.答案:753.(2017·绍兴中考)如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为________m.【解析】连接CG,由对称性可知CG=AG,∵四边形CEGF是矩形,∴CG=EF,∴AG=EF,∵△DEG是等腰直角三角形,∴DE=GE,∴BA+AG+GE=BA+DE+EF=3100m,则小聪行走的路线为(BA+DE+EF)+AD=3100+1500=4600m.答案:46004.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为________.【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,∵F为DE的中点,∴CF=DE=EF=DF.∵△CEF的周长为18,∴CE+CF+EF=18,∵CE=5,∴CF+EF=18-5=13,∴DE=DF+EF=13.在Rt△DCE中,根据勾股定理,得DC==12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE的中点,∴OF为△BDE的中位线,∴OF=BE=.答案:5.(2017·广安中考)如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是AB,AD上的一点,且BF⊥CE,垂足为G.求证:AF=BE.【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,∴∠AFB+∠ABF=90°.∵BF⊥CE,∴∠BEC+∠ABF=90°,∴∠AFB=∠BEC(等角的余角相等).在△AFB和△BEC中,∴△AFB≌△BEC(AAS),∴AF=BE.【变式训练】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G.(1)观察图形,写出图中所有与∠AED相等的角.(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角,并加以证明.【解析】(1)与∠AED相等的角有∠DAG,∠AFB,∠CDE.(2)选择∠AED=∠AFB.在正方形ABCD中,∠DAB=∠B=90°,AD=AB,又∵DE=AF,∴Rt△ADE≌Rt△BAF(HL),∴∠AED=∠AFB.6.如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.【证明】取AB的中点H,连接EH;∵∠AEF=90°,∴∠2+∠AEB=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠1+∠AEB=90°,∴∠1=∠2,∵E是BC的中点,H是AB的中点,∴BH=BE,AH=CE,∴∠BHE=45°,∵CF是∠DCG的平分线,∴∠FCG=45°,∴∠AHE=∠ECF=135°,在△AHE和△ECF中,∴△AHE≌△ECF(ASA),∴AE=EF.题组正方形的判定1.(2017·广安中考)下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选C.根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故③错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故④正确;综上所述,正确的说法有2个.【变式训练】(2016·河北中考)关于▱ABCD的叙述,正确的是( )A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形【解析】选C.当AB⊥BC时,∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形),故选项A 不正确;∵AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形),故选项B不正确;∵AC=BD,∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),故选项C正确;∵AB=AD,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形),故选项D不正确.2.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形(如图).现有下列四种选法,你认为其中错误的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④【解析】选B.A.∵四边形ABCD是平行四边形,当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当②∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形;B.∵四边形ABCD是平行四边形,∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,当AC=BD时,这是矩形的性质,无法得出四边形ABCD是正方形;C.∵四边形ABCD是平行四边形,当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当③AC=BD时,菱形ABCD是正方形;D.∵四边形ABCD是平行四边形,∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,当④AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形.3.▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,请添加一个条件________,使得▱ABCD为正方形.【解析】平行四边形ABCD的对角线互相垂直,所以平行四边形ABCD是菱形,所以只要对角线相等或有一个角为直角即可.答案:AC=BD(或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠CDA=90°或∠DAB=90°)4.(2017·齐齐哈尔中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件__________________,使其成为正方形(只填一个即可).【解析】因为对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形.所以可以添加的条件是AC ⊥BD或AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB.答案:答案不唯一,如AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB5.(2017·邵阳中考)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形.(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.【解题指南】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,根据等角对等边可得OB=OC,然后求出AC=BD,再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明.(2)在矩形的基础上再加上菱形的特征,便得到正方形.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.(2)AB=AD(或AC⊥BD答案不唯一).理由如下:∵四边形ABCD是矩形,又∵AB=AD,∴四边形ABCD是正方形.(或∵四边形ABCD是矩形,又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是正方形.)(2017·陕西中考)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AD和CD边上的点,AE=CF,连接AF,CE交于点G,求证:AG=CG.【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADF=∠CDE=90°,AD=CD.∵AE=CF,∴DE=DF,在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE(SAS),∴∠DAF=∠DCE,在△AGE和△CGF中,∴△AGE≌△CGF(AAS),∴AG=CG.【母题变式】[变式一]如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF.求证:CE=DF.【证明】∵ABCD是正方形,∴AB=BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°,又∵E,F分别是AB,BC的中点,∴BE=CF,在△CEB和△DFC中,∴△CEB≌△DFC,∴CE=DF.[变式二]如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,且AE=BF.求证:CE=DF.【证明】在正方形ABCD中,AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°,∵AE=BF,∴AB-AE=BC-BF,即BE=CF,在△BCE和△CDF中,∴△BCE≌△CDF(SAS),∴CE=DF.。
