功率谱密度和白噪声过程+2013

白噪声距离公式一、白噪声的概念。

1. 定义。

- 白噪声是一种功率谱密度在整个频域内均匀分布的随机信号。

简单来说，它在各个频率上具有相同的能量分布。

例如，在声学中，白噪声听起来是一种持续的“嘶嘶”声，就像收音机在没有调准电台时发出的声音。

- 从数学角度看，设白噪声序列为{x_n}，其均值E(x_n) = μ（通常假设μ = 0），自协方差函数r(k)=σ^2δ(k)，其中σ^2为方差，δ(k)为克罗内克（Kronecker）函数，当k = 0时，δ(k)=1；当k≠0时，δ(k) = 0。

2. 性质。

- 白噪声的功率谱密度S(ω)=σ^2（ω为角频率），这表明其功率在所有频率上是常数。

- 由于其自协方差函数的特殊形式，白噪声在不同时刻（除了同一时刻）是不相关的。

二、距离公式相关（假设是在信号处理或空间中的距离概念与白噪声相关的情况）1. 欧几里得距离公式（如果涉及白噪声信号在离散点上的距离度量）- 在n维空间中，对于两个点x=(x_1,x_2,·s,x_n)和y=(y_1,y_2,·s,y_n)，欧几里得距离d(x,y)=√(∑_i = 1)^n(x_i - y_i)^2。

- 如果将白噪声序列看作是在离散时间点上的取值，例如有两个白噪声序列的片段x={x_1,x_2,·s,x_m}和y={y_1,y_2,·s,y_m}，可以使用欧几里得距离来衡量它们之间的“差异”，此时距离d(x,y)=√(∑_i = 1)^m(x_i - y_i)^2。

2. 马氏距离公式（考虑到白噪声可能存在于多元统计分析的背景下）- 设x和y是来自均值向量为μ、协方差矩阵为§igma的总体中的两个向量。

马氏距离d(x,y)=√((x - y)^T§igma^-1)(x - y)。

- 如果白噪声向量符合某种多元正态分布（白噪声在多元情况下的一种可能假设），马氏距离可以用来衡量两个白噪声向量之间的距离，它考虑了变量之间的相关性（通过协方差矩阵§igma）。

现代通信原理作业一姓名：张英伟学号：133320085208036 班级：13级理工部3班利用matlab完成：●产生正弦波信号、均匀白噪声以及高斯白噪声并分别将两种噪声叠加到正弦波信号上，绘出波形。

●分别求取均匀白噪声序列和高斯白噪声序列的自相关及功率谱密度，绘出波形。

一、白噪声区别及产生方法1、定义：均匀白噪声：噪声的幅度分布服从均匀分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

高斯白噪声：噪声的幅度分布服从正态分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

2、matlab仿真函数：rand函数默认产生是区间在[0,1]的随机数，这里需要利用公式：z2=a+(b-(a))*rand(m,n)............（公式1）randn函数默认产生均值是0、方差是1的随机序列，所以可以用其来产生均值为0、方差为1的正态分布白噪声，即N(0，12)。

利用公式：z1=a+b*randn(1,n).................（公式2）可以产生均值为a，方差为b2 高斯白噪声，即N(a，b2)。

二、自相关函数与功率谱密度之间的关系1、功率谱密度：每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度。

2、自相关函数：描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。

3、维纳-辛钦定理：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。

幸运的是维纳-辛钦定理提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。

4、平稳随机过程：是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程。

（就是指得仅一个随机过程，中途没有变成另外一个统计特性的随机过程）二、源代码及仿真结果1、正弦波x=(0:0.01:2); %采样频率100Hzy1=sin(10*pi*x); %产生频率5Hz的sin函数plot(x,y1,'b');2、高斯白噪声+正弦波z1=0.1*randn(1,201); %产生方差N（0，0.12）高斯白噪声（b=0.01/0.1/1）plot(x,z1,'b');y2=y1+z1; %叠加高斯白噪声的正弦波plot(x,y2,'b');3、均匀白噪声+正弦波z2=-.3+.6*rand(1,201); %产生-0.3到0.3的均匀白噪声plot(x,z2,'b');y3=y1+z2; %叠加均匀白噪声的正弦波plot(x,y3,'b');4、高斯白噪声序列自相关函数及功率谱密度z1=0.1*randn(1,201); %产生方差N（0，0.12）高斯白噪声[r1,lags]=xcorr(z1); %自相关函数的估计plot(lags,r1);f1=fft(r1);f2=fftshift(f1); %频谱校正l1=(0:length(f2)-1)*200/length(f2)-100; %功率谱密度x轴y4=abs(f2);plot(l1,y4);5、均匀白噪声序列自相关函数及功率谱密度z2=-.3+.6*rand(1,201); %产生-0.3到0.3的均匀白噪声[r2,lags]=xcorr(z2); %自相关函数的估计plot(lags,r2);f3=fft(r2);f4=fftshift(f3); %频谱校正l2=(0:length(f4)-1)*200/length(f4)-100; %功率谱密度x轴y5=abs(f4);plot(l2,y5);。

功率谱密度的估计原始波=余弦波+白噪声这个实验采用了两个输入，一个是白噪声，一个是有用信号和噪声信号作为输入时，他们的功率谱密度的仿真图像，并将他们进行对比。

平稳随机信号的功率谱密度（PSD ）是相关序列的离散傅里叶变换：()()jwm XX x P w r m e ∞--∞=∑采用间接法计算噪声信号的功率谱。

间接法，又称自相关法或者BT 法，在1985年由布莱克曼与图基首先开拓。

间接法的理论基础是维纳-辛钦定理。

他是由N 个观察值x(0),x(1),……,x(N-1),估计出自相关函数R （m ）,然后再求R （m ）的傅里叶变换作为功率谱密度的估计。

()(),||1M jwjwm N m M S e R m e M N -=-=<=-∑clear all;randn('state',0)NFFT=1024; %采样点数Fs=1000; %取样频率（单位为Hz ） t=0:1/Fs:.2;y1=cos(t*20*pi); %余弦序列figure(1)plot(t,y1);ylabel('余弦序列');grid on;%余弦序列的图像：%白噪声m=(0:NFFT-1)/Fs;y=0.1*randn(size(m)); %产生高斯白噪声。

figure(2);plot(m,y);title('白噪声波形');grid on;%白噪声的自相关函数[cory,lags]=xcorr(y,200,'unbiased'); %计算白噪声的自相关函数figure(3)plot(lags,cory); %自相关函数(无偏差的)，其中，cory为要求的自相关函数，lag为自相关函数的长度。

title('白噪声相关函数');grid on;%白噪声的频谱f=fft(cory);k=abs(f);fl=(0:length(k)-1)*Fs/length(k); %f1为他的横坐标，单位为Hz.figure(4)plot(fl,k);grid on;title('白噪声功率谱'); % 自相关函数的傅里叶变换：即功率谱密度。

白噪声的研究与生成目录白噪声的研究与生成 (1)目录 (1)1. 白噪声的定义 (2)2. 统计特性 (2)3. 白噪声的生成 (3)3.1 高斯白噪声的生成 (3)3.1.1. WGN：产生高斯白噪声 (3)3.1.2. AWGN：在某一信号中加入高斯白噪声 (3)3.1.3.注释 (4)3.2 均匀分布的白噪声的产生 (5)4.白噪声的应用 (6)1.白噪声的定义白噪声是指功率密度在整个频域内均匀分布的噪声。

所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。

从我们耳朵的频率响应听起来它是非常明亮的“咝”（每高一个八度，频率就升高一倍。

因此高频率区的能量也显著增强）。

即，此信号在各个频段上的功率是一样的。

由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。

相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。

理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。

实际上，我们常常将有限带宽的平整信号视为白噪声，以方便进行数学分析。

2.统计特性术语白噪声也常用于表示在相关空间的自相关为0的空域噪声信号，于是信号在空间频率域内就是“白色”的，对于角频率域内的信号也是这样，例如夜空中向各个角度发散的信号。

右面的图片显示了计算机产生的一个有限长度的离散时间白噪声过程。

需要指出，相关性和概率分布是两个不相关的概念。

“白色”仅意味着信号是不相关的，白噪声的定义除了要求均值为零外并没有对信号应当服从哪种概率分布作出任何假设。

因此，如果某白噪声过程服从高斯分布，则它是“高斯白噪声”。

类似的，还有泊松白噪声、柯西白噪声等。

人们经常将高斯白噪声与白噪声相混同，这是不正确的认识。

根据中心极限定理，高斯白噪声是许多现实世界过程的一个很好的近似，并且能够生成数学上可以跟踪的模型，这些模型用得如此频繁以至于加性高斯白噪声成了一个标准的缩写词：AWGN。

高斯白噪声功率白噪声是一种随机信号，其功率谱密度在所有频率上都是常数。

高斯白噪声是一种特殊的白噪声，其幅度和相位都是高斯分布的。

在通信系统中，高斯白噪声是一种常见的噪声源，对系统的性能有着重要的影响。

一、高斯白噪声的定义高斯白噪声是一种随机信号，其幅度和相位都是高斯分布的。

在频域上，其功率谱密度在所有频率上都是常数，即：S(f) = N0/2其中，S(f)表示功率谱密度，N0表示噪声功率谱密度，f表示频率。

二、高斯白噪声的特性1. 幅度和相位都是高斯分布的，即其幅度和相位的概率密度函数都是高斯分布。

2. 在频域上，其功率谱密度在所有频率上都是常数，即其功率谱密度是平坦的。

3. 高斯白噪声是一种无记忆的信号，即其当前值与过去的值无关。

三、高斯白噪声的功率高斯白噪声的功率可以通过积分其功率谱密度得到，即：P = ∫S(f)df = N0/2 ∫df = ∞其中，P表示噪声功率。

在通信系统中，高斯白噪声功率是一个重要的参数，它决定了系统的信噪比和误码率等性能指标。

因此，对于通信系统的设计和分析，需要准确地估计高斯白噪声功率。

四、高斯白噪声功率的估计在实际应用中，通常需要通过采样信号来估计高斯白噪声功率。

一种常用的方法是利用自相关函数和功率谱密度之间的关系，即：P = 2 ∫Rxx(τ)dτ其中，Rxx(τ)表示信号的自相关函数。

另一种常用的方法是利用噪声功率谱密度的估计值，即：P = N0/2 = 2 ∫S(f)df ≈ 2 ∑S(kΔf)Δf其中，Δf表示频率分辨率，S(kΔf)表示在第k个频率点上的功率谱密度估计值。

五、总结高斯白噪声是一种特殊的白噪声，其幅度和相位都是高斯分布的。

在通信系统中，高斯白噪声是一种常见的噪声源，对系统的性能有着重要的影响。

高斯白噪声的功率是一个重要的参数，需要准确地估计。

在实际应用中，可以利用自相关函数和功率谱密度之间的关系或噪声功率谱密度的估计值来估计高斯白噪声功率。

输出噪声功率谱密度计算公式噪声功率谱密度是衡量信号中噪声成分强度的一个重要指标。

它描述了噪声信号在频域上的能量分布情况，通过对信号进行傅立叶变换可以得到噪声在各频率成分上的功率。

噪声功率谱密度的计算公式可以通过傅立叶变换和功率谱的定义推导得到。

假设有一个信号x(t)，其噪声成分可以表示为n(t)，可以将信号x(t)表示为噪声n(t)和所感兴趣的信号s(t)的叠加：x(t) = s(t) + n(t)。

傅立叶变换公式为：X(jω) = ∫[x(t) * e^(-jωt)] dt，其中X(jω)表示信号x(t)的频域表示。

信号的功率谱密度Sx(ω)的定义为信号x(t)的自相关函数Rx(τ)的傅立叶变换的模的平方：Sx(ω) = |Rx(τ)|²。

根据噪声的定义，噪声信号的自相关函数Rn(τ)为：Rn(τ) =E[n(t) * n(t-τ)]，其中E[.]表示期望值运算符。

根据Wiener-Khinchin定理，噪声功率谱密度Sn(ω)等于噪声的自相关函数的傅立叶变换的模的平方。

综上所述，噪声功率谱密度Sn(ω)可以通过噪声信号的自相关函数Rn(τ)进行计算。

具体计算步骤如下：1. 计算噪声信号的自相关函数Rn(τ)，其中τ为时间延迟。

2. 对Rn(τ)进行傅立叶变换，得到噪声信号的频域表示N(jω)。

3. 计算N(jω)的模的平方，即|N(jω)|²。

4. 结果|N(jω)|²即为噪声功率谱密度Sn(ω)。

需要注意的是，噪声功率谱密度的计算需要基于足够长的信号样本来进行统计分析。

此外，噪声功率谱密度的计算还需要注意信号的归一化处理，以使结果具有物理可解释性。

上述内容参考自《信号与系统》，作者Alan V. Oppenheim和Alan S. Willsky，第二版，13.3章节中的相关内容。

噪声功率谱密度的计算公式是一种重要的理论工具，在多个领域的信号与系统分析中得到广泛应用。

fft变换白噪声功率摘要：1.FFT 变换与白噪声介绍2.白噪声的功率特性3.FFT 变换在白噪声功率计算中的应用4.总结正文：1.FFT 变换与白噪声介绍快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。

它可以在较低的计算复杂度下，将一个信号从时域转换到频域。

白噪声，又称为高斯白噪声，是一种在各个频率上具有相同功率谱密度的随机信号。

白噪声广泛应用于通信、信号处理和统计学等领域。

2.白噪声的功率特性白噪声的功率谱密度是常数，即：E[|X(f)|^2] = σ^2，其中E[·] 表示期望值，|X(f)|表示信号在频率f 处的幅度，σ^2 表示白噪声的功率谱密度。

根据功率谱密度的定义，我们可以得到白噪声的功率表达式：P(X) = ∫[E[|X(f)|^2]] df = ∫σ^2 df = σ^2。

3.FFT 变换在白噪声功率计算中的应用计算白噪声的功率通常需要对其进行频域分析。

FFT 变换可以在较低的计算复杂度下实现这一目标。

具体步骤如下：（1）对白噪声信号进行采样，得到离散信号X_n = ∑[X(k) * δ(n - k)]，其中X(k) 表示白噪声在频率k 处的幅度，δ(n - k) 表示单位脉冲函数，∑表示求和符号。

（2）对离散信号X_n 进行FFT 变换，得到频域信号X_k = FFT[X_n]。

（3）计算频域信号X_k 的模长，即：|X_k| = √[∑|X_k(n)|^2]。

（4）对频域信号X_k 的模长进行逆FFT 变换，得到时域信号X_n" = FFT^-1[|X_k|]。

（5）计算时域信号X_n"的均方根值，即：X = √[1/N * ∑|X_n"|^2]，其中N 表示信号长度。

（6）根据白噪声的功率表达式P(X) = σ^2，计算信号X 的功率，得到白噪声的功率。

4.总结FFT 变换在计算白噪声功率方面具有重要应用。

通过FFT 变换，我们可以在较低的计算复杂度下实现白噪声信号的频域分析，进而计算其功率。

正态分布功率谱密度
正态分布功率谱密度又称为高斯白噪声功率谱密度，是一种在时间和频率上都呈正态分布的随机信号。

其功率谱密度为：
$$S_{xx}(\omega) = \frac{N_0}{2}$$
其中$N_0$是噪声的功率谱密度，是一个常数，表示单位频率
范围内的噪声功率。

这个常数可以通过方差$\sigma^2$来表示：
$$N_0 = \frac{\sigma^2}{T}$$
其中$T$是信号的采样时间。

正态分布功率谱密度是由频率范
围为$(-\infty,\infty)$的白噪声加性高斯性噪声混合而成的。

在
实际应用中，高斯白噪声功率谱密度被广泛用于系统建模和信号处理中的噪声分析。