专题06 平面向量 -2020年浙江省高考数学命题规律大揭秘

专题06 如何拿捏平面向量基本定理的应用1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2. 向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理:a 是一个非零向量,若存在一个实数λ使得 ,则向量b 与a 共线. (2)性质定理:若向量b 与非零向量a 共线,则存在唯一一个实数λ,使得 .(3)已知OA⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ为常数),则A ,B ,C 三点共线的充要条件是 . 3. (1)PA⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0⇔P 为△ABC 的重心; (2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇔D 是△ABC 中BC 边的中点; (3)PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗ ⇔P 为△ABC 的垂心;(4)(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇔|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔O 为△ABC 的外心4.平面几何的中位线，平行线成比例，相似三角形等几何性质要求熟练掌握.第二步,把基底e 1,e 2,待求向量m 的坐标分别表示出来; 第三步,设m =x e 1+y e 2;第四步,根据向量e 1,e 2,m 的坐标列出相应的方程组,求出x ,y ,从而得到结果温馨提醒零向量和共线向量不能作基底,基向量通常选取确定整个几何图形的从同一顶点出发的两边所对应的向量[例](1)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.14a +12bB.12a +14b C.23a +13bD.13a +23b(2)已知半径为2的扇形AOB 中， 120AOB ∠=︒， C 是OB 的中点， P 为弧AB 上任意一点，且OP OA OC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A. 2B.C. D. (3)在△ABC 中,点H 是边BC 上异于端点B ,C 的一点,M 是AH 的中点,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= .一、单选题1．（2020·广东高三月考（理））在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，4AM MC =，P 为AD 的中点，则MP = （ ） A ．43510a b + B ．4354a b + C ．43510a b -- D ．1344a b -- 2．（2020·天津高三期末）在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =，2CN NB =，若AM AC AN λμ=+，则11λμ+=（ ）A ．1312B ．6413 C ．3512-D ．4013-3．（2019·安徽高三月考（文））在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-4．（2020·山西高三月考（文））如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．345．（2019·河南南阳中学高三月考（文））如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ）A ．89B ．49C ．83D ．436．（2019·河北辛集中学高三期中（文））如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线,AC DB 相交于点O ，若,AD a AB b ==，则OC =（ ）A ．36a b- B ．36a b + C ．233a b + D ．233a b - 7．（2019·内蒙古高三月考（理））在正方形ABCD 中，点O 为ABC ∆内切圆的圆心，若AO xAB yAD =+，则xy 的值为（ ）A BC ．14D ．128．（2020·四川省南充高级中学高三月考（理））已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+（,x y ∈R ），则x y +的最大值为（ ）A ．1B C D ．29．（2019·湖北高三月考）O 为ABC ∆所在平面内的一点，满足0OA OB OC ++=，若OA AB BC λμ=+，则（ ）A ．13λ=-，23μ=-B ．23λ=-，13μ=- C ．13λ=，23μ= D ．23λ=，13μ=10．（2019·全国高三（文））设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AO - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+11．（2019·济南市济钢高级中学高三月考）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且有2BD DC =，2AE EB =，3DF FA =，则EF =（ ）A ．1136AB AC -+ B ．71126AB AC -+ C ．11612AB AC -+D ．51123AB AC -+ 12．（2019·湖南高三月考（文））在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，则BF =（ ）A ．1324AD AB - B ．3142AB AD - C ．4132AB AD -D ．1324AB AD +二、填空题13．（2020·内蒙古高三月考（理））如图，在等腰梯形ABCD 中，12DC AB =，BC CD DA ==，DE AC ⊥于点E ，如果选择向量AB 与CA 作基底，则DE 可用该基底表示为______.14．（2019·山东高三期中）ABC ∆中，D 为AC 上的一点，满足13AD DC =．若P 为BD 上的一点，满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则mn 的最大值为_________；41m n+的最小值为_________．。

专题06 平面向量【真题感悟】1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C．3.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】(1)0 (2)【解析】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正. 比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===则123456max AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ==4.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______.【答案】 4【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有： 212a b -=+=212212cos 4cos a b θ+=+-⨯⨯⨯=，则：54cos a b a b ++-=+令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin2025,164a b a b a b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．5.（2016年浙江文）已知平面向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e 为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______.【解析】由已知得,60<>=︒a b ，不妨取(1,0)=a ，=b ，设(cos ,sin )αα=e ，则cos cos ααα⋅+⋅=++a e b e 2cos αα，取等号时cos α与sin α同号．所以2cos 2cos αααα=αα=)αθ=+（其中sinθθ==θ为锐角）．)αθ+≤ 易知当2αθπ+=时，sin()αθ+取最大值1，此时α为锐角，sin ,cos αα同为正，因此上述不等式中等．6.（2016年浙江理）已知向量a ，b ，｜a ｜ =1，｜b ｜=2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a·e ｜+｜b·e ｜≤,则a·b 的最大值是 ．【答案】12【解析】()221||||262a b e a e b e a b a b a b a b +⋅≤⋅+⋅≤+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12. 7.（2015年浙江文）已知1e ， 2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．【解析】由题可知，不妨()11,0e =，212e ⎛=⎝⎭，设(),b x y =，则11b e x ⋅==，2112b e x y ⋅=+=，所以31,3b ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭，所以113b =+=.8.（2015年浙江理）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．【答案】1，2，22.【解析】问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，两边平方即xy y x y x |+--++5422在0x x =，0y y =时，取到最小值1，2245|b |x y x y xy ++--+ 22(4)5||x y x y b =+--+22243()(2)7||24y x y b -=++--+，∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-+22||211||702024002000y x y y x . 【考纲要求】1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直.9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.【考向分析】1.平面向量的线性运算2.平面向量的坐标运算3.平面向量的数量积、模、夹角.【高考预测】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年浙江卷主要考查平面向量的坐标运算、模的最值等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等或中等偏难.【迎考策略】1.向量线性运算的解题策略（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．2. 准确理解共线向量定理（1）a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．对于向量a(a≠0)，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a，b共线；若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔a∥b；（2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具：解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB 外任意一点O ，总存在非零实数λ，使()1OP O OB A λλu u u r u u u u r u r＝＋－成立”．3. 基底的“唯一”与“不唯一”“不唯一”：只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一；“唯一”：平面内任意向量a 都可被这个平面内的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．4.平面向量数量积的计算方法①定义法求平面向量的数量积：已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②坐标法求平面向量的数量积： (a)已知或可求两个向量的坐标；(b)已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积．③基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 5.向量数量积的性质（1）如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . （2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0.（3）a ·a ＝|a |2，|a （4）cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)（5）|a ·b |≤|a ||b |.6.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意： (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 7.巧建坐标系系，妙解向量题：坐标是向量代数化的媒介，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：（1）利用图形中现成的垂直关系若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系． （2）利用图形中的对称关系图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限． （3）三角形中有唯一一个特殊角(30°、45°、60°等)时，有以下两种建系方法（4）圆(或半圆、扇形)与其他图形的综合图形通常以圆心为坐标原点建系．（5）所给向量中任意两向量之间的夹角为特殊角，将所给向量平移为共起点，以该起点为坐标原点建系．【强化演练】1．(2019年高考北京卷理)设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．2.(2019届北京市通州区三模)设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则||1+=a b ， 因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+=a b||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3， 所以，由“||+=a b 不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D3.(浙江省温州市2019届高三2月高考适应)在平面上，，是方向相反的单位向量，||＝2 ，(-) •(-) ＝0 ，则|-|的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．3【答案】D【解析】由题意(-) •(-) ＝0，即-（=0，又，是方向相反的单位向量，所以有，即||＝1，记,则A,B两点的轨迹分别是以原点为圆心，以2和1为半径的圆上，当反向共线时，如图：|-|的最大值为1+2=3，故选D.4．(浙江省金华十校2019届高三上期末)已知向量，满足：，，，且，则的最小值为A．B．4 C．D．【答案】A【解析】由题意可知，把看作，，，则可表示为，点B在直线上，设，，，，，，，则的最小值可转化为在直线取一点B，使得最小，作点C关于的对称点，则最小值即可求出，设，由，解得，，则，故的最小值为．故选：A．5．(浙江省嘉兴市2019届高三上期末)已知向量，满足，，则的取值范围是( )A．B．C．[D．[【答案】D【解析】设点M为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义得到点M的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为.,即.故答案为：D.6．(浙北四校2019届高三12月模拟)已知向量，满足，，则的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为，，由绝对值向量三角不等式得：===1，故选A.7．(浙江省2019届高考模拟卷（一)）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )A．B．C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D.8．(浙江省温州九校2019届高三第一次联考)已知是不共线的两个向量，的最小值为，若对任意m,n，的最小值为1, 的最小值为2，则的最小值为（）A．2 B．4 C．D．【答案】B【解析】设的夹角为，则，则由的最小值为,的最小值为，可得，两式相乘可得（*）而，结合（*）可得，解得则故选B.9.(浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考)均为单位向量，且它们的夹角为，设满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴，建立平面直角坐标系则，，则满足，故，如图其轨迹图象则其最小值为故选.10．（天津市和平区2019届高三下学期第三次质量调查）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为( ) A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭， 且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=.故选：B.11．(湖北省黄冈中学2019届高三三模)已知m ，n 是两个非零向量，且||2m =，|2|4m n +=，则||||m n n ++的最大值为______.【答案】【解析】设m 的起点为坐标原点，因为||2m =，所以设m 的终点坐标为(2,0)，即(2,0)m =，设(,)n x y =，因为|2|4m n +=，所以2222(22)(2)16(1)4x y x y ++=⇒++=，21x -≤≤，||||(m n n x ++=+，而2222(1)423x y x x y ++=⇒++=，所以有||||72m n n ++=+≤==1x =-时，取等号，即||||m n n ++的最大值为12．(浙江省七彩联盟2019届高三11月期中】已知向量，满足，，若对任意实数x 都有，则的最小值为______【答案】【解析】如图，由，知在上的投影为2，即，，对任意实数x 都有，．由摄影定理可得，．设，取，可得P在直线BC上，线段OP的最小值为O到直线BC的距离，当时，．故答案为：．13．(浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末)若向量满足，且，则的最小值是_ _.【答案】【解析】设，，，由可知，所以点C在以AB为直径的圆上；设,，则，而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即，所以，即最小值为2.故答案为2.14．(浙江省台州市2019届高三上期末)设圆，圆半径都为1，且相外切，其切点为．点，分别在圆，圆上，则的最大值为__ __．【答案】【解析】以为原点，两圆圆心所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．则，，令，，所以所以，令，则，所以当时，有最大值，填．15.(2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BEy x =-， 直线AE的斜率为3-，其方程为3y x =-.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.16. (2019年高考江苏卷)如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O .若6ABAC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故ABAC=。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出，向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景.向量既是代数研究对象，又是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.2020年的13份高考数学试卷中对平面向量内容均有考查，这些试题视角宽、层次多、区分度强，在考查向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用等内容的同时，也考查转化与化归、数形结合等思想方法.本文针对平面向量试题的考点分布、命题特点和命题趋势，对教学和复习备考提出建议.一、考点分析1.题型分布与分值难度2020年的13份高考数学试卷中平面向量试题的题型分布、分值和难度统计如下表所示.卷别全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷科别理文理文题型分布填空题14解答题20填空题14解答题21填空题13选择题5分值51251255难度容易较难容易较难容易容易卷别全国Ⅲ卷全国新高考Ⅰ卷全国新高考Ⅱ卷北京卷上海卷天津卷江苏卷浙江卷科别理文——————————————题型分布选择题6选择题6选择题7选择题7填空题13填空题12解答题20填空题15解答题18填空题13解答题18填空题17分值555555165155164难度容易容易中等中等中等较难较难中等较难较难较难较难续表根据上表的统计，我们从以下两个方面分析.（1）从题型分布上看，各份试卷均命制了平面向量的试题，每份试卷都有一道选择题或填空题，分值占全卷的3%左右.其中，全国Ⅰ卷（文、理科）、上海卷、天津卷、江苏卷中又都出现了一道与解析几何结合的平面向量解答题，这几份试卷对平面向量的考查分值都在17分以上.对比往年的题型和分值情况，发现2020年高考对平面向量的考查力度有所加强，特别是加强了对平面向量与其他数学知识交会的考查.（2）从试题的难度上看，与往年相比，2020年平收稿日期：2020-08-25作者简介：王峥（1988—）男，中学一级教师，主要从事数学教学研究.2020年高考“平面向量”专题命题分析王摘要：针对2020年13份高考数学试卷中涉及的平面向量试题，从题型分布、分值难度、考点分析、文理差异、核心素养等角度横向比较分析了考查内容和命题特点，在分析考查重点和难点的基础上，探索高考中平面向量试题的命题特点和命题趋势，并针对该专题的教学和复习给出了建议．关键词：2020年高考；平面向量；命题分析；复习建议··2面向量高考试题的难度比较平稳，选择题和填空题延续了题干简洁清晰、几何背景丰富、入口宽泛、解法多样的风格特点，基础题、中档题、压轴题都有出现.大部分试题考查学生的基础知识、基本方法、基本技能，而江苏卷、上海卷、浙江卷中的平面向量试题出现在填空题最后两题的位置上，这三道题对学生能力的要求较高.涉及平面向量的解答题，都与解析几何交会，难度较高，要求学生在平时的学习中形成较好的数学抽象和数学运算素养.2.考点分布2020年高考对平面向量内容的考查主要集中在：平面向量的基本概念；平面向量的线性运算和基本定理；平面向量数量积的概念、几何背景、运算及应用；平面向量与解析几何、三角、函数、不等式交叉考查. 3.文、理科差异2020年很多省份都实行了新高考改革.北京卷、上海卷、天津卷、江苏卷、浙江卷、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷都不分文、理科，而全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷针对文、理科学生能力的差异命制了不同的平面向量试题.总体来看，文、理科试题难度差别不大，以考查学生基础知识、基本方法、基本技能为主，需要学生具有较好的数学抽象、直观想象、数学运算素养.4.核心素养的考查《标准》指出，高中数学关注学生知识技能的掌握，更应该关注数学学科核心素养的形成和发展.因此，立足基础、突出能力、聚焦核心素养是2020年高考数学命题的显著特点.各份高考数学试卷紧紧围绕平面向量的概念、平面向量的运算、向量基本定理及坐标表示、向量的应用等高中平面向量体系的主干内容进行设置，各份试卷不刻意追求知识的覆盖面.除了对基础知识、基本技能的考查，又重点考查学生进一步发展所需要的数学抽象、数学运算、直观想象等数学学科核心素养.二、命题思路分析1.平面向量基本概念和运算的考查平面向量基本概念和运算的考查内容主要集中在向量的加、减法运算，向量的数乘运算及其意义，向量的数量积运算及其意义，两个向量相等、共线、垂直的含义及相应的坐标表示和坐标运算.试题围绕平面向量的基础知识、基本技能命制，对学生的要求以理解和初步应用为主.例1（全国Ⅰ卷·文14）设向量a=()1，-1，b=()m+1，2m-4，若a⊥b，则m的值为.【评析】该题以平面向量的垂直为背景，即a⊥b⇔a·b=0，考查平面向量的坐标运算.例2（全国Ⅱ卷·理13）已知单位向量a，b的夹角为45°∘，k a-b与a垂直，则k的值为.【评析】该题考查平面向量数量积的运算和平面向量的垂直性质.例3（全国Ⅱ卷·文5）已知单位向量a，b的夹角为60°∘，则在下列向量中，与b垂直的是（）.（A）a+2b（B）2a+b（C）a-2b（D）2a-b【评析】该题考查平面向量数量积的运算、平面向量垂直的性质，以及平面向量的加、减运算.例4（全国Ⅲ卷·理6）已知向量a，b满足||a=5，||b=6，a·b=-6，则cos a，a+b的值为（）.（A）-3135（B）-1935（C）1735（D）1935【评析】该题以平面向量的数量积为背景，考查学生对数量积、模长、夹角之间关系的掌握情况，需要学生具备较好的数学运算素养.2.平面向量基本定理、数量积和几何背景的考查平面向量基本定理和数量积都具有丰富的几何特征，如等和线、投影、极化恒等式等可以用向量语言和坐标语言描述，进行代数化运算，结合函数、三角函数、解析几何、不等式等背景命题，综合性较强，常出现在选择题和填空题较靠后的位置上.此类问题是高考的重点和热点，常考常新，具有很好的区分度和选拔功能，可以很好地考查学生的数学抽象、直观想象、数学运算素养.例5（全国Ⅰ卷·理14）设a，b为单位向量，且||a+b=1，则||a-b的值为.【评析】该题考查平面向量数量积和模长之间的转化，以及平面向量数量积的运算，有一定的几何背景，与2017年浙江卷第15题背景相似.··3例6（全国新高考Ⅰ/Ⅱ卷·7）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ·AB 的取值范围是（）.（A ）()-2，6（B ）()-6，2（C ）()-2，4（D ）()-4，6【评析】该题考查平面向量数量积的几何背景——投影，也考查学生运用坐标语言描述、解决平面几何数量积问题的能力.例7（北京卷·13）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP =12() AB + AC ，则||PD 的值为；PB · PD 的值为.【评析】该题以学生十分熟悉的图形——正方形为命题背景，考查平面向量数量积和模的处理，也考查平面向量基本定理，即用基底思想或坐标语言描述、解决平面几何数量积问题的能力.例8（天津卷·15）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ， AD ·AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|| MN =1，则 DM ·DN 的最小值为.A NM DCB图1【评析】该题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量的基底思想、正交分解和坐标表示.该题第（2）小题也可以用极化恒等式解决，即 DM · DN =|| DS 2-14|| MN 2，其中S 为MN 的中点.该题入口宽泛，解法多样，区分度好，体现了从能力立意到素养导向的转变.例9（江苏卷·13）如图2，在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，点D 在边BC 上，延长AD 到点P ，使得AP =9，若 PA =m PB +æèöø32-mPC （m 为常数），则CD 的长度是.AC图2【评析】该题将解三角形和平面向量结合，考查学生平面向量的基底思想和坐标系下的正交分解及坐标表示，考查学生用向量的方法解决平面几何问题的能力，让学生体会向量在解决数学和实际问题中的作用.该题需要学生在掌握平面向量基础知识、基本技能的前提下，探究合适有效的解题方法.其中，应用等和线的结论入手较为简便，即向量系数m +æèöø32-m =32，故||PA || PD=32.该题要求学生在平时的学习中善于总结反思，具有较好的数学探索能力.该题有较好的区分度.例10（上海卷·12）已知a 1，a 2，b 1，b 2，…，b k ()k ∈N ∗是平面内两两互不平行的向量，满足||a 1-a 2=1，且||a i -b j ∈{}1，2（其中i =1，2，j =1，2，…，k ），则k 的最大值为.【评析】该题突出对平面向量符号语言到几何背景转化的考查，需要学生有较好的数形结合的思维能力和数学抽象、直观想象素养，体现了上海卷近年来淡化解题技巧、重视思维分析的风格特点.例11（浙江卷·17）已知平面单位向量e 1，e 2满足||2e 1-e 2≤2.设a =e 1+e 2，b =3e 1+e 2，a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是.【评析】该题以向量为背景，考查学生对数量积和夹角之间关系的理解.同时，结合函数思想进行范围求解，在考查学生数学运算能力的同时，也考查了学生综合应用不同知识的能力，具有较好的选拔功能和教学导向.3.平面向量与解析几何交会点的考查平面向量是沟通几何和代数的桥梁，长度、角、斜率、平行、垂直等都可以用向量表示.近几年，借助几何背景和代数工具结合解析几何、三角、函数、不等式等知识命制的试题经常出现.此类试题常以解答题的形式出现，难度较大，对学生的能力素养要求较高.例12（全国Ⅲ卷·文6）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若 AC ·BC =1，则点C 的轨迹为（）.（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）直线例13（全国Ⅰ卷·理20/文21）已知A ，B 分别··4为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1()a >1的左、右顶点，G 为E 的上顶点， AG ·GB =8.P 为直线x =6上的动点，PA与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.例14（天津卷·18）已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的一个顶点为A ()0，-3，右焦点为F ，且||OA =||OF ，其中O 为原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知点C 满足3 OC =OF ，点B 在椭圆上（点B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.例15（江苏卷·18）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B.（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求 OP ·QP 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标.例16（上海卷·20）双曲线C 1：x 24-y2b2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2()b >0在第一象限交点为A ()x A ，y A ，曲线Γ：ìíîïïx 24-y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b2()||x >x A .（1）若x A =6，求b ；（2）若b =5，C 2与x 轴交点记为F 1，F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足||PF 1=8，求∠F 1PF 2；（3）过点S æèçöø÷0，2+b 22且斜率为-b 2的直线l 交曲线Γ于M ，N 两点，用b 的代数式表示 OM ·ON ，并求出 OM ·ON 的取值范围.【评析】以上几道例题，以向量的几何背景和代数工具为载体，考查圆锥曲线中长度、角的大小、平行、垂直等几何背景问题.利用向量既有几何背景，又能通过坐标表示转化为代数工具的重要特点来命制解析几何解答题，是近年来的趋势，如2017年浙江卷第21题、2018年北京卷理科第19题等.三、复习建议随着新高考在全国各地的陆续推行，越来越多的高考数学试卷不分文、理科，起点低、区分度好、覆盖面全、思维能力要求高是这些试卷的共同特点.关注高考的变化趋势，研究高考试题，可以引领课堂教学和高三复习.1.重视知识本质，提升数学学科核心素养《标准》指出，通过高中数学课程的学习，学生能获得基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）.同时，高考改革使得高考命题正在由能力立意向素养导向变革.在平面向量的教学中，一定要以教材为依据，以高考试题为导向，切实理解平面向量的概念；掌握平面向量加法、减法、数乘、数量积运算及其运算法则，理解其几何意义；理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.帮助学生理清知识网络，引导学生养成用图形语言、向量语言、坐标语言去思考和解决平面向量问题的习惯，培养和发展学生的数学抽象、直观想象、数学运算等数学学科核心素养.2.关注高考差异，转变课堂教学模式教育部公布的“一核”“四层”“四翼”的中国高考评价体系中指出，高考的核心功能是“立德树人、服务选才、引导教学”.2020年起山东、海南率先使用了全国新高考数学试卷；2021年起江苏使用全国卷；2023年起浙江使用全国卷.横向比较各份高考数学试卷的差异，纵向关注历年高考的命题趋势，可以发现高考对平面向量内容的考查总体变化不大，但是对平面向量问题中数形结合思想应用的考查和将平面向量作为沟通几何和代数的工具解决三角、解析几何问题的考查明显增多.在高中数学教学中，要立足教材，··5以高考的变化引领高中数学课堂的改变，优化课程结构，改进教学过程，重视思想方法的渗透，强化学科核心素养的培养.3.加强热点研究，把握高考命题方向近几年的高考数学试卷中对向量基础知识和基本方法的考查是平稳变化的，而平面向量基本定理、数量积及其应用等重点问题一直是高考试题的热点、亮点和生长点.例如，2019年江苏卷第12题，2019年浙江卷第17题，2018年浙江卷第9题，2017年天津卷文科第14题，2017年上海卷第15题，2017年浙江卷第15题等，都体现了高考继承和创新的特点.因此，教师在引导学生复习时，要合理利用历年高考试题，研究问题的本质，总结并推广应用，如等和线的结论应用、极化恒等式a ·b =14[]()a +b 2-()a -b 2、向量三角不等式||||a -||b ≤||a ±b ≤||a +||b 等.这样学生可以在高考解题中迅速抓住问题的本质，理解命题意图，进而精准解决问题.四、模拟题欣赏1.在△ABC 中，若 AB · BC = BC · CA =2 CA ·AB ，则|| AB || BC的值为（）.（A ）1（B）（C）（D）解法1：设 CA ·AB =t ，则 AB ·()BC + CA = AB · BC + AB ·CA =2t +t =3t ，即-|| AB 2=3t ，|| AB 2=-3t .因为 BC ·()AC - AB = BC · AC - BC ·AB =-2t -2t =-4t ，所以|| BC 2=-4t .所以|| AB 2|| BC2=-3t -4t ，即|| AB || BC=.故答案选C.解法2：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由题意，得-ac cos B =-ab cos C =-2bc cos A .结合余弦定理，有a 2+c 2-b 22=a 2+b 2-c 22=b 2+c 2-a 2.得b =c ，且3a 2=4c 2.故|| AB || BC=c a=.故答案选C.2.在平面直角坐标系xOy 中，A ()2，0，B ()0，3，点C 在线段AB 上，若 OC · AB =143，||AC ||AB 的值为.解：由已知，得AB =()-2，3.设||AC ||AB =λ，则 AC =λ AB ，λ∈[]0，1.所以 OC · AB =()OA + AC · AB=()OA +λ AB · AB=()2-2λ，3λ·()-2，3=13λ-4=143.解得λ=23.故||AC ||AB 的值为23.3.已知向量a ，b 满足||a =4，||b -t a ()t ∈R 的最小值为1，当b ·∙()a -b 最大时，||a -2b 的值为.解：设 OA =a ，OB =b .由题意，知||OA =4，点B 到直线OA 的距离为1.设OA 的中点为C ，得b ·()a -b = OB ·()OA -OB=- BO · BA=-()BC 2- CA2=4- BC 2≤4-1=3，当且仅当||BC =1时，等号成立.此时||a -2b =||OA -2 OB =2||BC =2.4.设平面向量a ，b 满足||a ，||b ，||a -b ∈[]1，5，则a ·b 的最大值为，最小值为.解：因为a ·b =||a 2+||b 2-()a -b 22≤5+5-12=92，··6a ·b =()a +b 2-()a -b 24≥-()a -b 24=-54，所以a ·b 的最大值为92，最小值为-54.5.已知平面向量a ，b ，c 满足a ·b =60，||a -b =4，||c -a =1，则||c 的取值范围为.解法1：因为a ·b =60，||a -b =4，所以a 2+b 2=136.因为||a ||b ≥a ·b =60，所以||b ≥60||a .所以a 2+b 2≥a 2+3600a 2.所以36≤a 2≤100，即6≤||a ≤10.因为||c -a =1，所以1=||c -a ≥||||c -||a .所以||a -1≤||c ≤||a +1.所以5≤||c ≤11.解法2：如图4，由极化恒等式，得a ·b =|| OD 2-|| DA 2=60.O图4所以||OD =8.因为6≤||OA ≤10，所以5≤|| OA -|| OC ≤|| AC ≤|| OA +||AC =11，即5≤||c ≤11.6.已知平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，||a -b =5，c -a ，c -b 的夹角为3π4，||c -a =32，则a ·c 的最大值为.解：如图5，设a =OA ，b = OB ，c =OC .图5因为a ，b 的夹角为π4，c -a ，c -b 的夹角为3π4，所以∠AOB =π4，∠ACB =3π4.所以∠AOB +∠ACB =π.所以O ，A ，B ，C 四点共圆.设圆心为O ′，圆的半径为R ，取AC 的中点M ，则a ·c = OA ·OC =OM 2-MC 2，2R =AB sin∠ACB ∘=5sin 3π4=52.所以||O ′M =22.所以||OM max =22+R =.所以()a ·c max =èø2-èø2=36.7.已知非零向量a ，b ，c 满足||a =2，a ·b =3||b ，c 2=32a ·c -2，则对任意实数t ，||c -t b 的最小值为.解：由||a=2，a ·b =3||b ，得2||b cos a ，b 3||b ，即cos a ，b .由a ，b ∈[]0，π，得a ，b =π6.如图6，记a = OA ，b = OB ，c =OC .则点B 的轨迹在与OA 夹角为π6的两条射线上.（方法1）由c 2=32a ·c -2，得c ·∙æèöøc -32a =-2.由极化恒等式，可得æèöø2c -32a 2-æèöø32a 24=-2.因为||a =2，化简，得||||||c -34a =14.记34a = OM ，得||||||c -34a =||OC - OM =|| MC =14，··7即点C 在以点M 为圆心、以12为半径的圆上运动.所以||c -t b min =|| CC 0≥||MM 0-r =34-12=14.（方法2）由||a =2，c 2=32a ·c -2，得c 2-32a ·c +12a 2=0.配方，得æèöøc -34a 2=116a 2，即||||||c -34a =14.下同解法1.8.已知平面向量a ，b ，c 满足a ·b =74，||a -b =3，()a -c ·()b -c =-2，则||c 的取值范围是.解法1：由||a -b =3，得||a -b 2=||a 2+||b 2-2a ·b =9.因为a ·b =74，所以||a +b 2=||a 2+||b 2+2a ·b =16，即||a +b =4.由()a -c ·()b -c =a ·b -()a +b ·c +||c 2=-2，得||c 2+154=()a +b ·c ≤||a +b ||c =4||c ，即||c 2-4||c +154≤0.所以32≤||c ≤52.解法2：如图7，设 OA =a ， OB =b ，OC =c .图7由||a -b =3，得AB =3.取线段AB 的中点为D ，则由极化恒等式，得a ·b =|| OD 2-|| AD 2=74.所以||OD =2，即点O 在以点D 为圆心、以2为半径的圆上运动.同时，()a -c ·()b -c =|| CD 2-|| AD 2=-2.所以||CD =12，即点C 在以D 为圆心，12为半径的圆上运动.因此|| OD -|| CD ≤||c ≤|| OD +|| CD .所以32≤||c ≤52.9.如图8，已知矩形ABCD 中，AD =1，AB =2，E 为边AB 的中点，P 为边DC 上的动点（不包括端点）， DP =λ DC ()0<λ<1.设线段AP 与DE 的交点为G ，则 AG ·AP 的最小值是.PGE DCBA图8解：因为△AGE ∽△PGD ，所以AG GP =AE DP =12λ.则 AG · AP =11+2λ· AP 2=11+2λ()1+2λ2.令t =1+2λ()1<t <3，则 AG · AP =t 2-2t +32t =12æèöøt +3t -1≥3-1.当且仅当t =3，即λ=2()0，1取到等号.所以 AG ·AP 的最小值为3-1.10.已知平面向量a ，b 满足||a =1，||b =2，向量a ，b 的夹角为π3，则||λa +b -||||||a -λ2b （其中λ为实数）的最大值为.解：因为||a =1，||b =2，向量a ，b 的夹角为π3，所以a ·b =1.所以()λa +b 2=λ2+2λ+4，即æèöøa -λ2b 2=λ2-λ+1.所以||λa +b -||||||a -λ2b =λ2+2λ+4-λ2-λ+1=()λ+12+3-=()λ+12+()0-32-.（下转第13页）··8题，一些试题源于教材又高于教材，重点考查向量问题的一般处理方法.因此，对于高三阶段的向量复习，教师应当帮助学生追本溯源，构建向量知识结构体系；引导学生紧追“数”和“形”两条主线，重视向量的几何背景；倡导学生举一反三，形成解决向量问题的一般思路.1.追本溯源，理清向量知识结构体系概念、定理与运算法则是知识运用的前提，如果没有对主干知识的理解，那么对向量体系的掌握也就无从谈起.因此，在高三向量复习中，教师的首要任务就是帮助学生梳理、建构向量的主干知识体系，明晰向量的概念和两个定理，熟练掌握向量数量积的运算及其几何意义，掌握向量平行、垂直的数量表示，掌握与长度、角度有关的运算技巧及坐标运算等核心知识.2.数形结合，充分重视向量的几何背景向量具有大小和方向，具有数与形两方面的特征.从核心知识点来说，向量服从平行四边形法则和三角形法则，具有明显的几何特征，向量的数量积运算也具有几何特征，特别在平行与垂直、长度与角度运算中起到纽带作用.因此，复习中要特别重视数形结合思想.例如，三角形四心问题的向量表述务必引导学生在理解的基础上掌握.教师要通过典型例题，引导学生明晰诸如三点共线的充要条件、距离为定长引发的圆、极化恒等式、绝对值三角不等式、阿波罗尼斯圆等常见模式，掌握这些常见模式应用的前提条件，引导学生既要善于转化图形关系，把向量问题几何化，使问题简洁直观，又要把几何问题向量化，通过平面向量运算解决一类几何问题.数形结合、类比联想是解题的核心思想.3.举一反三，初步形成问题解决思路在知识体系构建、数学思想方法提炼的基础上，教师要善于收集、整理近几年高考试题和各地模拟试题中的典型问题，引导学生通过举一反三进行重点强化训练，逐步形成解决向量问题的一般思路.例如，几何直观相对明确的问题，要尽可能理解其几何背景，挖掘出其几何意义，使问题表述简明直观，便于寻找解题的切入点.又如，涉及平面向量数量积的计算问题时，优先考虑三种常规方法，即定义法、基底法、坐标法.定义法局限性较大，如果没有模和夹角，很难直接套用.如果几何意义也不明显，就要考虑基底法是否适用，合理选取一组向量基底，把其余向量用基底表示，再进行运算；如果图形背景较为直观，就要建立坐标系实现坐标转化，把几何问题转化为代数运算是比较好的选择.几种方法各具特色，教师要引导学生进行甄别，合理选取方法求解问题，提升高三复习效率.参考文献：［1］庄迁福.品读平面向量考题、构建复习教学框架［J ］.中学教研，2018（10）：36-38.［2］邓城.平面向量的复习策略及其案例设计［J ］.中国数学教育（高中版），2018（3）：21-26.则问题转化为求平面内的动点P ()λ，0到两个定点A ()-1，3，B æèçø12，距离之差的最大值.当A ，B ，P 三点不共线时，||||PA -||PB <||AB =3；当A ，B ，P 三点共线时，||||PA -||PB =||AB =3.故||||PA -||PB ≤3.所以æèçöø÷||λa +b -||||||a -λ2b max =3.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］金克勤.2017年高考“平面向量”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2017（7/8）：53-59，96.［3］邹发明，张晓斌.2018年高考“平面向量”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：46-51，58.［4］张永成.2019年高考“平面向量”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（7/8）：53-57.（上接第8页）··13。

课时跟踪检测（二十九）平面向量的基本定理及坐标表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快------- >--------------------------------- >--------------------------------------- >1在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若AB = (2,4), AC = (1,3)，则BD =( )A. (-2,—4)B. (- 3,—5)C. (3,5)D. (2,4)解析：选 B 由题意得济=A D -^AB =1B C - ^AB = (^AC -^A B)--AEB = ^AC - 2^AB=(1,3) - 2(2,4) = (-3, - 5).2.已知A(- 1,- 1), B(m, m + 2), C(2,5)三点共线，则m的值为()A. 1B. 2C . 3D . 4解析：选 A AB = (m, m+ 2)- ( - 1,- 1) = (m+ 1, m+ 3),-------- CAC = (2,5) - (- 1,- 1)= (3,6),••• A, B, C三点共线，/• y AB // y AC ,••• 3(m+ 3)- 6(m+ 1) = 0,m= 1.故选A.3. 如图，在△ OAB中，P为线段AB上的一点,y OB，且 = 2 —，则（）21A .x=3，y= 112B .x=3，y=213C .x=4，y=331D .x=4，y=1解析：选 A 由题意知6? =6? + 13?，又面？ = 2-p A，所以6? ="O B + 2 I B? = C)B32 ? ―? 2 ? 1 ? 2 1 + 3( OA - OB) = 3OA +3 OB，所以x = 3, y= 3.4. (2019舟山模拟)已知向量a = (2,3), b = (- 1,2)，若m a + b与a- 2b共线，则m的值为.解析：由a= (2,3), b= (- 1,2)，得m a + b = (2m- 1,3m+ 2), a-2b= (4, - 1),又m a1+ b 与a- 2b 共线，所以一1X (2m- 1)= (3m + 2) x 4,解得m=- ?.O P = x1答案：-25. ________________________________________________________________________ 已知向量 a = (1,2) ,b = (x,1) ,u = a + 2b,v = 2a - b,且 u II v ，则实数 x 的值为 ___________________ .解析：因为 a = (1,2), b = (x,1), u = a + 2b , v = 2a - b , 所以 u = (1,2) + 2(x,1)= (2x + 1,4), v = 2(1,2) - (x,1)= (2 - x,3).又因为 u // v ，所以 3(2x + 1)- 4(2- x)= 0, 1即 10x = 5,解得 x = ?.1答案：1二保咼考，全练题型做到咼考达标1. (2018 温州十校联考)已知 a = (-3,1), b = (- 1,2)，贝U 3a -2b =( )A . (7,1)B . (-7,- 1)C . (-7,1)D . (7, - 1)解析：选 B 由题可得，3a - 2b = 3(- 3,1) - 2(- 1,2) = (-9 + 2, 3- 4) = (-7, - 1). 2. 已知△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b, c ,向量mi = (a , 一 3b)与n = (cos A , sin B)平行，则 A =()A. C.解析：选B 因为m// n ,所以asin B - 3bcosA = 0,由正弦定理，得sin Asin B - 3sin BcosA = 0,又 sin B M 0,从而 tan A = '.3，由于 0v A v n 所以 A =；3.已知A(7,1), B(1,4)，直线y = *ax 与线段AB 交于点C ,且N6 = 2©盲，则实数a 等于()-- > ------------------ >解析：选 A 设 C(x , y),则 AC = (x - 7, y - 1), CB = (1 - x,4- y),1 1又•••点 C 在直线 y = 2ax 上，••• 3 = ?a x 3,「. a = 2.-- > ----•/ AC =x - 7 = 2 1-x , y -1 =2 4- y , 解得x= 3,y = 3. •••C(3,3).B.4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0), B(0,1), C为坐标平面内第一象限内的点,且/ A0C = n , |0C|= 2,若 ©= X0A + —5，贝U 入+ 尸()4/ A0C = n ,所以 C({2, ^2)，又 ©0? = X 0A + ^OB ，所B与 CD 交于点 F.若 AC = a , BD = b ,贝U AF =(1 1 A ・4a+2bD.1a + 3b 3 3解析：选C 如图，T 瓦C = a , ©B = b ,--- B ---- B ---- B 1 ----- B 1 ---- B 1 1• AD = A0 + 0D = 2 AC + 2 BD = ?a + b .•/ E 是0D 的中点, • |DE|_ 1 |EB| 3，••• |DF |= 3|AB|.A I D F = 3 —A B = $ ©)B - ~0A 1 16a- 6b，• A T = AD +BT =1 a+ 2b+1a—1 b=彳汀1b，故选 c.6. __ 已知向量 a = (1,3), b = (— 2,1), c = (3,2).若向量c 与向量k a + b 共线，则实数 k = ________ ，若 c = x a + y b ，贝U x + y 的值为 _________ .解析：k a + b = k(1,3) + (— 2,1) = (k — 2,3k + 1),因为向量 c 与向量 k a + b 共线，所以 2(k —2) — 3(3k + 1)= 0，解得 k =— 1.因为 c = x a + y b ,所以(3,2) = (x — 2y,3x + y),即 x — 2y = 3,3x + y = 2,解得 x = 1, y =— 1,所以 x + y = 0.答案：—1------- B---------B------- B7•已知向量 OA = (1,— 3), OB = (2,— 1), OC = (k + 1, k — 2),若 A , B , C 三点 能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是 __________ .------- B ------------- B解析：若点A , B , C 能构成三角形，则向量 AB , AC 不共线.-------- B -------------- B ------------ B•/ AB = OB — OA = (2, — 1) — (1,— 3) = (1,2),------- B -------------- B ------------- BAC = OC — OA = (k + 1, k — 2) — (1, — 3)= (k , k + 1),解析：选A 因为|0C|= 2, 以(2, ,2)=仲)+ 如)=(入卩），所以L 尸』2,入 +尸2 2.5.在平行四边形 ABCD 中,AC 与BD 交于点 O , E 是线段0D 的中点，AE 的延长线1 1 B.1a + 2 41 ―> 1 ―> =6 AC- 6BD••• 1X (k+ 1)—2k M 0，解得k M 1.答案：k M 1-- > ____ >8.如图，在正方形ABCD 中, P为DC边上的动点，设向量AC = XDB+ (1AP，^U H卩的最大值为__________解析：以A为坐标原点，以AB, AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2,则B(2,0), C(2,2), D(0,2), P(x,2), x € [0,2].D p• ^AC = (2,2), 15E3 = (2, —2), -? = (x,2).•/ AC = XDB +X=2 —x2 +x，43= c i ，2 + x6 —x 6 —x• H 3=.令f(x)= (0 < x< 2),2+ x ' 1 2+ x' 八••• f(x)在［0,2］上单调递减，•- f(X)max = f(0) = 3, 即即入 + 3 的最大值为3.答案：39.平面内给定三个向量 a = (3,2), b = (—1,2), c= (4,1).(1) 求满足a= m b + n c的实数m, n;(2) 若(a + k c) // (2b—a),求实数k.解：(1)由题意得(3,2) = m(—1,2)+ n(4,1),—m+ 4n = 3,所以2m + n= 2, 解得5m= 9,8(2)a+ k c = (3 + 4k,2+ k), 2b—a= (—5,2),由题意得2X (3 + 4k) —(—5)X (2 + k) = 0,解得k =—Jr.13110.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,且AD = ^BC, E , F分别为线段AD与BC的中点.设-Y = a, 1B C = b，试用a, b为基底表示向量E F^ , B F , (:D.解：—> =—t + 能 + 曲一1b-a+1b=3b-a,3b-a= i b-a-- 1 ---- 1 ----- 1 1DF = DE + EF =-6 b+CD +_FD t= - 1 b- 1b- a = a-2b.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3), B(3,2), C(1,1)，点P(x, y)在厶ABC三边围成的区域(含边界)内，设OP = m A B —n CA (m, n€ R),贝V 2m+ n的最大值为()B. 1---- B --- B解析：选B 由已知得AB = (1, - 1), CA = (1,2),-B -B -B x= m- n,y),T OP = mAB —n CA ,「.|y=- m- 2n,/• 2m+ n = x-y.作出平面区域如图所示，令z= x-y,贝U y= x —z,由图象可知当直线y= x-z经过点B(3,2)时，截距最小，即z最大.••• z的最大值为3-2 = 1,即2m+ n的最大值为1._ -------- B-------- B ---- B2.设A1, A2, A3, A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A G=知人2(入€ R), A1A4---- B 1 1=S1A2 (让R),且-+-= 2,则称A3, A4调和分割A1, A?.已知点C(c,0), D(d,0)(c, d€R)调和分割点A(0,0), B(1,0),则下面说法正确的是()A. C可能是线段AB的中点B. D可能是线段AB的中点C . C, D可能同时在线段AB上D . C, D不可能同时在线段AB的延长线上解析：选 D 根据已知得(c,0) - (0,0)=开(1,0) —(0,0)]，即(c,0)= ”1,0),从而得c=入(d,0)1 1 1 1-(0,0)=叭1,0) - (0,0)]，即(d,0)=附,0)，得d= w根据；+_ = 2,得—+ = 2.线段AB 的方人卩 c d程是y= 0, x€ [0,1] .若C是线段AB的中点，贝U c=1，代入1+三=2得，三=0，此等式不2 c d d可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不1 1 1 1正确；若C, D同时在线段AB上，贝U 0v c< 1,0v d< 1,此时一》1, 1> 1, 1+ - >2, c dc d若等号成立，则只能c= d= 1，根据定义，C, D是两个不同的点，矛盾，故选项C的说法当且仅当a = b = 4时, = 成立.11 11也不正确；若 C , D 同时在线段 AB 的延长线上，即 c > 1, d > 1,^卜+ - v 2,与-+ - = 2 cd c d 1 1 1 1 1 1 矛盾，若c v 0, d v 0,则一+1是负值，与一 +1= 2矛盾，若c > 1, d v 0,则一v 1,匚< 0, c dcd c d1 1 1 1此时丄+ 1v 1,与-+1= 2矛盾，故选项 D 的说法是正确的.c d c d3.已知三点 A(a,0), B(0, b), C(2,2),其中 a >0, b >0.(1) 若O 是坐标原点，且四边形 OACB 是平行四边形，试求 a , b 的值； (2) 若A , B , C 三点共线，试求 a + b 的最小值. 解：(1)因为四边形 OACB 是平行四边形，所以—5X =玄，即(a,0) = (2,2- b),故 a = 2, b = 2.(2)因为 AB = (— a , b), BC = (2,2 — b),-- > --- >由A , B , C 三点共线，得AB // BC ,即(a + b)2— 8(a + b)》0, 解得a + b 》8或a + b w 0.所以—a(2 — b) — 2b = 0,即 2(a + b)= ab ,因为a > 0, b > 0，所以 2(a + b)= ab w 因为a > 0, b > 0，所以 a + b 》8, 即卩a + b 的最小值是&a = 2, 2-b = 0,解得r =2,b = 2.。

浙江高考自主命题七年中《平面向量》试题赏析与启示浙江省富阳二中马华明浙江省高考自主命题已进行了七年，这七年的试卷里命题组编制了许多新颖独特的试题，其中的新增内容《平面向量》试题更是新颖独特.背景深刻.构思巧妙，笔者每年做完这个题目时都有一种意犹未尽、爱不释手的心情。

下面笔者将它们整理出来与各地同仁赏析后，再提一点教学启示以期抛砖引玉。

一、试题赏析1.（04 年理14）己知平面上三点4、B、C满足\AB\=3y |BC|=4, I | CA |= 5 ,则ABBC^BCCA^CA・AB 的值等于・25 .解：・.・| AB\2 -^\BC |2=| CA |2, :. ZB = 90°・・・原式=0 +石•反 +荷）=顶•入0 = —25图1 几何背景：直角三角形(文14)已知平面上三点A、B、C、满足| AB\= 2,|BC|=1,|C4|=V3，则・BC + BC・C4 +C4・AB的值等于.2.(05年理10)已知向量匝| e |= 1,对任意rWR,恒有|莎一毎|辺匝一0 |, 则(C )(A) Q 丄0(B) Q 丄(d-e) (C) 0 丄(a-e) (D)(a+e)丄 @一0)解一(代数法)：由\a-te ^\d-e\恒成立得到，厂一2/(0・0)+2Q・0 — 1 2 0恒成立，所以A = （-2a -e）2 - 4（2a • e -1） < 0 ,推出d •e = 1 = e・0=> （方—0）・0 = O,:.e l（d-e）解二（几何法）:如图2,因\d-te ^.\a-e \成立, 所以,:.e丄@一0)几何背景：直线(向量0所在直线)外的一点(〃的终点)与直线上的各点(巨的终点)的连线中，垂线段最短。

(文8)已知向量方=(x —5,3),乙=(2,工)，且方丄乙，则由/的值构成的集合是(C )（A）{2,3} （B）{-1,6} （C） {2} （D） {6}3.（06年理13）设向量Q ,b,c满足Q +万+ e = 0,（Q—万）丄丄方，若|Q|=1, 则适f +|万|2 +|纠2的值是__________________ o解一（代数法）：在+ c = 6两边同乘以匝，得到矿+&・皿・e = o,所以Q・C =-1 ,又由（a-b）丄e得,a-c=b-c ,扌巴a + =0平方得，d2 ^b2 +c2 -}-2a•方+ 2方・0 + 2方・0 = 0 ,所以\d\2 +|阡+|c |2=40解二（几何法）：如图3,由已知得MBC是等腰直角三角形，角C是肓角，所以，\b\=\a\= 1,02=|科+|歼=2:.a2 + 沪4-c2 =4几何背景：等腰直角三角形斜边上的高线=中线=斜边的一半。

§6.3 平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b 投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影 几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.概念方法微思考1．a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相同吗？提示 不相同．因为a 在b 方向上的投影为|a |cos θ，而b 在a 方向上的投影为|b |cos θ，其中θ为a 与b 的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (6)若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．[P105例4]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．[P106T3]已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 题组三 易错自纠4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|. 又∠AOB ＝60°， 所以|a ＋2b |＝2 3.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________． 答案322解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，由定义知，AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的基本运算1．已知a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，若(a ＋b )⊥b ，则x 等于( ) A ．8 B ．10 C ．11 D ．12 答案 D解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，∴a ＋b ＝(x －2,5)， 又(a ＋b )⊥b ，∴(x －2)×(－2)＋20＝0，∴x ＝12.2．(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )等于( )A ．4B ．3C ．2D ．0 答案 B解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．(2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16 解析 如图所示，AB →＝AM →＋MB →，AC →＝AM →＋MC →＝AM →－MB →， ∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →)＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义求解． 题型二 平面向量的模例1 (1)(2018·浙江五校联考)如图，已知在平行四边形ABCD 中，E ，M 分别为DC 的两个三等分点，F ，N 分别为BC 的两个三等分点，且AE →·AF →＝25，AM →·AN →＝43，则|AC →|2＋|BD →|2等于( )A ．45B ．60C ．90D ．180 答案 C解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，依题意得AE →＝AD →＋DE →＝13a ＋b ，AF →＝AB →＋BF →＝a ＋13b ，AM →＝AD →＋DM →＝23a ＋b ，AN →＝AB →＋BN →＝a ＋23b ， ∵AE →·AF →＝25，AM →·AN →＝43，∴⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫13a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝25，⎝⎛⎭⎫23a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＝43，即⎩⎨⎧13(a 2＋b 2)＋109a ·b ＝25，23(a 2＋b 2)＋139a ·b ＝43，∴a 2＋b 2＝45，∴|AC →|2＋|BD →|2＝|a ＋b |2＋|b －a |2＝(a ＋b )2＋(b －a )2＝2(a 2＋b 2)＝90.故选C.(2)(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 答案 4 2 5解析 设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2 ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]． 思维升华 计算平面向量模的方法利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.跟踪训练1 (1)(2014·浙江)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1，则( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定 答案 B解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2 ＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1. 所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ.即θ确定，|b |唯一确定．(2)(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知向量a ，b 满足|a －b |＝|a ＋3b |＝2，则|a |的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 方法一 设a －b ＝m ，a ＋3b ＝n ，则a ＝14(3m ＋n )，b ＝14(n －m )，因为|m |＝|n |＝2，所以16a 2＝(3m ＋n )2＝9m 2＋n 2＋6m ·n ＝9×4＋4＋6×2×2×cos θ＝40＋24cos θ，其中θ为向量m ，n 的夹角，cos θ∈[－1,1]，40＋24cos θ∈[16,64]，即a 2∈[1,4]，所以|a |的取值范围是[1,2]． 方法二 由|a －b |＝2得a 2＋b 2－2a ·b ＝4，由|a ＋3b |＝2得a 2＋9b 2＋6a ·b ＝4，所以a 2＋3b 2＝4，b 2＋a ·b ＝0，设向量a ，b 的夹角为θ，所以|b |＝－|a |cos θ，－cos θ∈[0,1]，所以|b |≤|a |，a 2＋3b 2≤4a 2，即4a 2≥4，所以|a |≥1，又a 2≤4，所以1≤|a |≤2，故|a |的取值范围是[1,2]． 题型三 平面向量的夹角例2 (1)(2018·浙江高考适应性考试)若向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝1，且(a ＋8b )⊥a ，则向量a ，b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 C解析 由(a ＋8b )⊥a ，得|a |2＋8a ·b ＝0，因为|a |＝4，所以a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3，故选C.(2)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 思维升华 求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos θ＝a·b|a||b |，θ的取值范围为[0，π]．(2)坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练2 (1)(2011·浙江)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析 由题意知S ＝|α||β|sin θ＝12≤sin θ，∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.(2)(2018·浙江金华名校统考)已知向量a ，b 是夹角为π3的单位向量，当实数λ≤－1时，向量a 与向量a ＋λb 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，2π3 C.⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎣⎡⎭⎫π3，π答案 B解析 根据向量a ，b 是夹角为π3的单位向量，画出图形，如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝π3，当λ＝－1时，a ＋λb ＝OA →＋OC →＝OD →， 此时a 与a ＋λb 的夹角为∠AOD ＝π3；当λ<－1时，a ＋λb ＝OE →＋OA →＝OF →，此时a 与a ＋λb 的夹角为∠AOF ，且∠AOD <∠AOF <∠AOE ，即π3<∠AOF <2π3.综上，向量a 与向量a ＋λb 的夹角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，2π3.1．已知a ，b 为非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 根据向量数量积的定义式可知，若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或零角，若a 与b 的夹角为锐角，则一定有a ·b >0，所以“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B. 2．(2018·台州调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,3)，则向量2a －b 与a 的夹角为( ) A ．135° B ．60° C ．45° D ．30° 答案 C解析 由题意可得2a －b ＝2(2,1)－(1,3)＝(3，－1)， 则|2a －b |＝32＋(－1)2＝10， |a |＝22＋12＝5，且(2a －b )·a ＝(3，－1)·(2,1)＝6－1＝5， 设所求向量的夹角为θ，由题意可得 cos θ＝(2a －b )·a |2a －b ||a |＝510×5＝22，则向量2a －b 与a 的夹角为45°.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5 答案 A解析 根据题意，|a －b |＝3＋2＝5， 则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝5－2a ·b ＝5， 可得a ·b ＝0，结合|a |＝1，|b |＝2， 可得(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4＋4＝8， 则||2a －b ＝22，故选A.4．(2018·宁波质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259 D.269 答案 B解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.5．已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量a －b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．－1 B ．1 C ．－12 D.12答案 D解析 由题意可得 |a |＝|b |＝1， 且 a ·b ＝|a |×|b |×cos 60°＝12，a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－12＝12，则向量a －b 在向量a 方向上的投影为 (a －b )·a |a |＝121＝12.故选D.6．(2018·温州“十五校联合体”联考)已知向量a ，b 的夹角为θ，|a ＋b |＝6，|a －b |＝23，则θ的取值范围是( ) A ．0≤θ≤π3B.π3≤θ＜π2 C.π6≤θ＜π2 D ．0＜θ＜2π3答案 A解析 由|a ＋b |＝6， 得|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝36，① 由|a －b |＝23，得|a |2－2a ·b ＋|b |2＝12，②由①②得|a |2＋|b |2＝24，且a ·b ＝6， 从而有cos θ＝a ·b |a ||b |≥2a ·b |a |2＋|b |2＝12， 又0≤θ≤π，故0≤θ≤π3.7．若平面向量a ，b 满足()a ＋b ·b ＝7，|a |＝3，|b |＝2，则向量a 与b 的夹角为________． 答案 π6解析 ∵(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2＝7， ∴a ·b ＝7－b 2＝3.设向量a 与b 的夹角为α， 则cos α＝a ·b |a ||b |＝323＝32.又0≤α≤π，∴α＝π6，即向量a 与b 的夹角为π6.8．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞.9．(2018·浙江名校协作体试题)已知在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝7，AC ＝2，且O 是△ABC 的外心，则AO →·AC →＝________，AO →·BC →＝________. 答案 2 －52解析 因为O 是△ABC 的外心，所以向量AO →在向量AC →上的投影AO →·AC →|AC →|＝1，向量AO →在向量AB →上的投影为AO →·AB →|AB →|＝32，所以AO →·AC →＝2，AO →·AB →＝92，所以AO →·BC →＝AO →·AC →－AO →·AB →＝2－92＝－52.10．(2018·温州市高考适应性测试)若向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3，且|b |≥2，则a 在b 方向上的投影的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－32，0 解析 由(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3，得(a ＋b )2－b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2－|b |2＝9＋2a ·b ＝3，解得a ·b ＝－3，又因为|b |≥2，则向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b|b |∈⎣⎡⎭⎫－32，0. 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3， 所以64－4a·b －27＝61， 所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3， 所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，求P A →·(PB →＋PC →)的最小值． 解 方法一 设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →， 则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD → ＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →) ＝2(PE →2－EA →2)． 而AE →2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0， 故此时P A →·(PB →＋PC →)取最小值， 最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.方法二 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝⎛⎭⎫12，32.P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝⎛⎭⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12＋y ·⎝⎛⎭⎫y －32 ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －342－34. 因此，当x ＝－14，y ＝34时，P A →·(PB →＋PC →)取最小值，为2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32.13．(2018·浙江名校联盟联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1a AD →，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－72答案 C解析 由AP →＝1a AC →＋a －1a AD →知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,2)，B (23，0)，C (0,0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，33x ，则P A →＝⎝⎛⎭⎫－x ，2－33x ，PB →＝⎝⎛⎭⎫23－x ，－33x ，PC →＝⎝⎛⎭⎫－x ，－33x ，∴PB →＋PC →＝⎝⎛⎭⎫23－2x ，－233x ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x＝83x 2－1033x ＝83⎝⎛⎭⎫x －5382－258， ∴当x ＝538时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值－258.14．(2018·杭州质检)记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c )＝2.则( ) A ．|a －c |max ＝3＋72 B ．|a ＋c |max ＝3＋72 C ．|a －c |min ＝3＋72 D ．|a ＋c |min ＝3＋72. 答案 A解析 由题意，建立平面直角坐标系(图略)，不妨取a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，则a ＋2b ＝(4,23)．设c ＝(x ，y )，由c ·(a ＋2b －2c )＝2得(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝34， 即c 对应的点在以⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，32为半径的圆上，则|a －c |max ＝(2－1)2＋⎝⎛⎭⎫0－322＋32＝3＋72.故选A.15．已知OP →，OQ →是非零不共线的向量，设OM →＝1m ＋1OP →＋m m ＋1OQ →，定义点集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫F ⎪⎪⎪⎪FP →·FM →||FP →＝FQ →·FM →||FQ →，当F 1，F 2∈A 时，若对于任意的m ≥3，当F 1，F 2不在直线PQ 上时，不等式||F 1F 2→≤k ||PQ →恒成立，则实数k 的最小值为________． 答案 34解析 由OM →＝1m ＋1OP →＋m m ＋1OQ →(m ≥3)，可得P ，Q ，M 三点共线，且(m ＋1)OM →＝OP →＋mOQ →， 即mOM →＋OM →＝OP →＋mOQ →，即mQM →＝MP →，所以PM QM ＝m ，由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫F ⎪⎪⎪⎪FP →·FM →||FP →＝FQ →·FM→||FQ →， 可得||FM →cos ∠PFM ＝||FM→cos ∠QFM ， 即∠PFM ＝∠QFM ，则FM 为∠PFQ 的角平分线， 由角平分线的性质定理可得PF QF ＝PM QM＝m ， 以P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则P ()0，0，Q ()1＋m ，0，F (x ，y )， 于是x 2＋y 2()x －1－m 2＋y 2＝m ，化简得⎝⎛⎭⎫x ＋m 21－m 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫mm －12，故点F (x ，y )是以⎝⎛⎭⎫m 2m －1，0为圆心，m m －1为半径的圆．要使得不等式||F 1F 2→||≤k PQ →对m ≥3恒成立， 只需2m m －1≤k ()m ＋1，即k ≥2m m 2－1＝2m －1m对m ≥3恒成立，∴k ≥23－13＝34. 16．(2019·嘉兴质检)已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，求|b |的值． 解 设OB →＝b ，OC →＝c ，则∠BOC 即向量b ，c 的夹角，b －c ＝CB →.由2|b －c |＝b ·c ， 可知2|BC →|＝2|OB →|·cos ∠BOC ， 从而cos ∠BOC ＝|BC →||OB →|≥0.若|BC →|＝0，则∠BOC ＝0，不符合题意； 若|BC →|>0，则∠BOC 为锐角， 设OB ＝m ，BC ＝n ，则cos ∠BOC ＝nm，在△OBC 中，由余弦定理可知cos ∠BOC ＝OC 2＋OB 2－BC 22OC ·OB ＝4＋m 2－n 24m ，所以4＋m 2－n 24m ＝nm，即m 2＝n 2＋4n －4，从而cos 2∠BOC ＝n 2m 2＝n 2n 2＋4n －4＝1－⎝⎛⎭⎫2n －12＋2，所以当n ＝2时，cos 2∠BOC 取得最小值12，∠BOC 取得最大值，为π4，此时|b |＝m ＝n 2＋4n －4＝2 2.。

第二节平面向量基本定理及坐标运算-备考方向明确h ---------------------------- 一方向比勢力更重要 ------------粗嵌球轴护盘建总耒----------网络构鯉一、平面向量基本定理如果e i,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数入1,入2,使a=X i e i+X 2e2.其中,不共线的向量e i,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1. 概念理解(1) 平面内的基底是不唯一的，同一向量在不同基底下的表示不相同，但基底确定后，表示唯一，即入1和入2唯一确定.⑵ 用平面向量基本定理可以将平面内任一向量分解成a二入i e i+入2e2的形式,这是线性运算的延伸.(3)可将向量的基本定理和物理中“力的分解”相联系，加深理解.2. 与平面向量基本定理相关联的结论(1)0不能作为基底.⑵△ ABC中,D为BC的中点,则AD=2(AB+7C).二、平面向量的正交分解1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2. 平面向量的坐标表示(1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,这样，平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.(2) 若A(X1,y1),B(x 2,y 2),则厉=(X2-X1,y 2-y 1).1. 概念理解(1)正交分解是向量的一种特殊分解，是向量基本定理的一种特殊情况.(2) 正交分解是将基底看作x轴正方向和y轴正方向上的单位向量, 体现数学中将一般结论特殊化的思想.2. 与向量的坐标表示相关联的结论(1) 若AB=(X i,y i),则BA=(-X i,-y 1).(2) 0=(0,0).(3) a=(x i,y 1),则与a方向相同的单位向量e= a = ( J12，2y12)三、平面向量的坐标运算及共线向量的坐标表示1. 平面向量的坐标运算(1) 若a=(X1,y 1),b=(x 2,y 2),贝卩a± b=(x 1 ±X2,y 1 士y2).(2) 若a=(x,y),则入a=(入x,入y).2. 向量共线的充要条件的坐标表示若a=(X1,y 1),b=(x 2,y 2),贝y a II b? X1y2-X2y1=0.概念理解(1) 向量共线常常解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件表示为X1y2-x 2y1=0,但不能表示为凶=/ .X2 y2(2) 向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系,两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A,B,C三点满足OS =23A+J3B ,则3 3IACI_.AB= -------------解析：不妨设A(1,0),B(0,1),所以0C=( 2, 3),3 3所以| AC | =所以答案：3-高频考点先破考点一平面向量基本定理概念理解【例1] (1)下列命题：①平面内的任何两个向量都可以作为一组基底②在△ ABC中,向量7B, 'Be的夹角为/ ABC.③若a,b不共线,且入i a+卩i b二入2a+卩2b,贝卩入1二入2,卩1=卩2.其中错误的是_________ .⑵在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点，若AC =入AE + ^ AF ,其中入，卩€ R,贝卩入+卩= ___ .解析：(1)只有不共线的向量才能作为基底，所以①错误,②中两个向量的夹角指的是同起点两个向量之间的角，②错误,③正确.(2) AE =AD +1AB ,A F = AB + Z7D2 ，所以AE + AF =3AD +3AB =3AC ,2 2 2所以AC = 2AE + -AF .3 3所以入+卩=4.3答案：(1)①②(2) 43aao(i)平面向量基本定理中，作为基底的向量必须是不共线的；⑵基底选取的不同，要注意向量的表示也不相同，在平时的应用中，注意选取合理的基底能简化运算.卜迂移迪蜒在厶ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD，点0在线段CD上(与点C,D不重合),若70=x AB+(1-x) AC(x € R),则x的取值范围是(D )(A) (0鳥)(B) (0,3 )(C) (-1,0 ) (D) (-1,0 )2 3解析：依题意,设B0二入BC,其中1＜入＜4,3贝y有AO = AB +B0=A B + 入BC=AB + X ( AC - AB )=(1-入)AB + 入AC .又A0=x AB+(1-X) AC ,且AB, AC 不共线，于是有x=1-入€(-3,0 ),3即x的取值范围是(-1,0 ).故选D.3考点二平面向量基本定理的应用【例2】已知点O是厶ABC的外接圆圆心，且AB=3,AC=4若存在非零实数x,y,使得AO =XA B +y7C ,且x+2y=1,则cos / BAC 的值为() (A) | (B) £ (C)彳(D) 1解析：设M为AC的中点，则AO =X AB +y AC =XA B +2yA M ,又x+2y=1,所以O,B,M三点共线,又O是厶ABC的外接圆圆心，因此BML AC,从而cos/ BACW 故选A.3用平面向量基本定理解决问题的一般思路：(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量形式通过向量的运算解决问题.(2)基底未给出时，合理地选择基底.［匚迂移迪箋在厶ABC中,点P是AB上一点，且CP =?CA,Q是BC的中点,AQ与3 3CP的交点为M,又CM =t CP,则实数t的值为__________ .解析:因为CP =-CA+1CB ,3 3所以3CP=2CA + CB ,即2CP -2 CA=CB- CP ,所以 2 AP =PB ,即P为AB的一个三等分点(靠近A点),又因为A,M,Q三点共线，设AM 二入AQ (入€ R),所以CM = A M - AC = X AQ - AC = X ( 1A B +1 AC ) - "AC 二二7B + 2AC ,'22， 2 2又CM=t CP=t( AP- AC )=t ( 1AB- AC ) =-AB-t AC ,3 3故/ "3，解得广4,故t的值为3 .[上―?-1 4I 2 ，[_2、答案：34考点三平面向量的坐标运算【例3】(2018 •全国皿卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1, X ).若 c // (2a+b),则X 二_____ .解析：由题易得2a+b=(4,2),因为c // (2a+b),所以4X =2,得X =!.答案:12©三■©瀚(1)向量的坐标表示是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键•⑵要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两个信息，两向量共线有方向相同和相反两种情况•⑶两向量共线的充要条件有两种形式：①若a=(X1,y 1),b=(x 2,y 2),则a // b? X1y2-x 2y1=0;②若a // b(b 工0),贝U a= X b.(4) 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可由平行求参数：当两向量坐标均非零时，也可利用坐标对应比例来求解.已知向量AB =(2,x-1), "CD=(1,-y)(xy>0), 且AB // C D ,则？+丄的最小yx值等于(C )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析：由A B // C D得x-1+2y=0,即x+2y=1.又xy>0,所以2 + l= ( 2+丄)(x+2y)x y x y=4+皱+△> 4+2 4x y=8.当且仅当x=1 ,y= 4时取等号.故选C.-课堂类题精练' ------------------------ 服w中带铮学帀的z -------类型一平面向量基本定理的理解1. 若a , B是一组基底，向量丫=x a +y p (x,y € R),则称(x,y)为向量丫在基底a , p下的坐标，现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1) 下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2) 下的坐标为(D )(A)(2,0) (B)(0,-2)(C)(-2,0) (D)(0,2)解析：因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),即a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn二(-x+y,x+2y),所以「X g即x=°,A +2y =4, y =2.所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).故选D.2. 非零不共线向量OA, OB ,且2oP=x oA+y oB,若P A=入AB（入€ R）,贝卩点Q（x,y）的轨迹方程是（A ）(A)x+y-2=0 (B)2x+y-1=0 (C)x+2y-2=0 (D)2x+y-2=0解析：PA二入AB ,得OA- OP = X ( OB - oA),即OP =(1+ X ) OA- X OB.又2OP =x OA+y OB,所以x=2 2',消去X得x+y=2.故选A.类型二平面向量基本定理的应用3. 正三角形ABC内一点M满足CM =m cA+n CB(m,n € R), / MCA=45 ,则(A) 3-1 (B) 3+1(C)弓(D)宁解析:令m CA=CD ,n CB=C E ,由已知CM =m CA +n CB 可得CM =C D +C E .根据向量加法的平行四边形法则可得四边形CDM为平行四边形.由已知可得△ MCD^/ MCD=45 , / CMD=6° -45 ° ,由正弦定理可得sin45CD = sin (60 —45 )= sin 60 cos45 —cos60 sin 45 = Q3 —1 即CD 一岛-1 MD sin 45 sin45 2 ' CE 2由ITCA=CD ,n CB =CE ,因为△ ABC 为正三角形，所以CB=CA. 所以m 二虽.故选D.n 2类型三 平面向量的坐标运算4. (2018 •嘉兴模拟)设 0< B <n ,向量 a=(sin 2 0 ,cos 0 ,1),若 a II b,贝卩 tan 0 = ________ . 解析：由 a I b 得 sin 2 0 =cos 0 , 又因为0< 0 <]cos 0工0,所以 2sin 0 =cos 0 ,即 tan 0 =-.2答案:1 2 得 m=CD ,n=昌, CA CB n CE CE CA 2 CA 'cB\0 ),b=(cos。

2024年高考数学平面向量的基本定理总结平面向量是高考数学中的重要内容之一，也是一道很多学生所困扰的难题。

2024年高考数学试卷中关于平面向量的命题主要以基本定理为主。

基本定理是矢量分解定理和平行四边形定理的推论，也是解决平面向量问题的基础。

下面我将就2024年高考数学试卷中出现的平面向量基本定理进行总结，以便为考生复习提供参考。

一、平面向量的矢量分解定理平面向量的矢量分解定理是高考数学中使向量具有普通向量性质的基础。

矢量分解定理有两种表达形式：平行四边形法则和三角形法则。

1. 平行四边形法则平行四边形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用平行四边形的两条对角线表示。

对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + ED其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和ED是两向量的矢量共线分解。

2. 三角形法则三角形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用构成由这两个向量所在的两条边所组成的三角形的一条边和该边上的向量的和表示。

对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + DE其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和DE是两向量的矢量共线分解。

二、平面向量的平行四边形定理平面向量的平行四边形定理是基本定理的推论，也是较为重要的定理之一。

平行四边形定理有两个推论，分别是相等条件和平行条件。

1. 相等条件平行四边形定理的相等条件是指对于平行四边形形状的两个向量，它们互为相等向量。

对于平面中的向量AC和BD，如果满足AC = BD，则可以得出以下的结论：ABCD为平行四边形2. 平行条件平行四边形定理的平行条件是指对于平面中的两个向量，如果它们的终点相同，则这两个向量是平行向量。

对于平面中的向量AC和BD，如果满足C = D，则可以得出以下的结论：AC // BD三、基本定理的应用基本定理是解决平面向量问题的基础，通过运用矢量分解定理和平行四边形定理，可以解决各种与平面向量相关的问题，如求向量的模、方向、分解等问题。