同济大学数据库作业lab5

信息管理与信息系统专业教材1高等数学高等数学是大家进入大学遇到的第一门数学类课程，该课程与高中数学相比，在难度上有较大层次上的提高，所以入学同学一不小心就落下了，并且对它产生了畏惧感，希望大学新生能克服这样的畏惧感，勇敢的解决高数问题，因为后面还要学好多数学类的基础课程，虽然对就业没有多大的帮助，但是对大学成绩影响较大，希望重视，尤其打算考研的朋友们。

我个人认为高数的学习方法就是一般理工科的学习方法，大家在高中如何学好数学，物理，化学的，就按照类似的办法去学习高数就行了，简言之，就是多做题，多总结题的类型就好了。

推荐教材：《高等数学（第五版）》-同济大学出版参考书目：《高等数学习题全解指南》高等教育出版社（同济·四、五版）介绍：此书好比是高等数学教材的官方参考书，主要是以讲解教材上的例题和课后习题为主，出错率比较低，是一本基础型教参。

《高等数学全真课堂上下册合订本》学苑出版社出版《高等数学教与学参考》西北工业大学出版社以上两本教材均适合基础和提高型的学习，其中贯穿了往年的考研试题，使得想考研的同学可以早做准备，并且由于多以考研题或变形题为主，所以出错率和试题的严密科学性比较强，不会误导学生。

2线性代数线性代数是一门较特殊的课程，其中贯穿的数学思想方法和高等数学有些差别，同高中数学可以说是一点关系都没有，所以大家会感觉有些生疏，其实还是多做题多总结就是了，还有就是千万不能开始就懈怠，否则后期考试复习的时候比较难补上推荐教材：《工程数学-线性代数同济大学数学教研室编著》高等教育出版社参考书目《最新线性代数教与学参考》中国致公出版社我只用过这一种，感觉还行，同样适用于基础和提高的同学使用。

习题丰富，讲解精炼。

3 C语言C 语言本身的重要性不能说是很大，但是对于初入大学的大部分学生来说，第一次接触的编程语言应该就是C语言了，所以学好C语言的作用应该在于认识编程语言的共性，总结编程语言的思想和方法，打好学习编程语言的基础是更重要的。

MATLAB期末⼤作业学号：姓名：《Matlab/Simulink在数学计算与仿真中的应⽤》⼤作业1.假设地球和⽕星绕太阳运转的半径分别为r和2r，利⽤comet指令动画显⽰从地球到⽕星的转移轨迹（r可以任意取值，要求实时显⽰探测器、太阳、地球和⽕星的位置）。

解函数function comet(varargin)[ax,args,nargs] = axescheck(varargin{:});error(nargchk(1,3,nargs,'struct'));% Parse the rest of the inputsif nargs < 2, x = args{1}; y = x; x = 1:length(y); endif nargs == 2, [x,y] = deal(args{:}); endif nargs < 3, p = 0.10; endif nargs == 3, [x,y,p] = deal(args{:}); endif ~isscalar(p) || ~isreal(p) || p < 0 || p >= 1error('MATLAB:comet:InvalidP', ...'The input ''p'' must be a real scalar between 0 and 1.'); End指令 %particle_motiont = 0:5:16013;r1=6.7e6;%随便给定参数%---------------------------r2=2*r1;g=9.8;R=6.378e6;m=g*R^2;%内轨道v_inner=sqrt(m/r1);w_inner=v_inner/r1;x_inter=r1*cos(w_inner*t);y_inter=r1*sin(w_inner*t);%外轨道v_outer=sqrt(m/r2);w_outer=v_outer/r2;x_outer=r2*cos(w_outer*t);y_outer=r2*sin(w_outer*t);%控制器转移轨道a=(r1+r2)/2;E=-m/(2*a);V_near=sqrt(m*(2/r1-2/(r1+r2)));%转移轨道在近地点的速度V_far=sqrt(m*(2/r2-2/(r1+r2)));%转移轨道在远地点的速度h=r1*V_near;%由于在近地点的速度垂直于位置失量, h是转移轨道的⽐动量矩e=sqrt(1+2*E*h^2/m^2);%e为椭圆轨迹的偏⼼率TOF=pi*sqrt(a^3/m);%转移轨道是椭圆的⼀半及飞⾏时间是周期的⼀半(开普勒第三定律) w=pi/TOF;%椭圆轨迹的⾓速度c=a*e;b=sqrt(a^2-c^2);x_ellipse=a*cos(w*t)-0.5*r1;y_ellipse=b*sin(w*t);%动画显⽰运动轨迹x=[x_inter;x_outer;x_ellipse]';y=[y_inter;y_outer;y_ellipse]';comet(x,y)%---------------------------动态图像如下：2．利⽤两种不同途径求解边值问题dfdxf gdgdxf g f g=+=-+==34430001,,(),()的解.途径⼀：指令syms f g[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1'); disp('f=');disp(f)disp('g=');disp(g)结果（Matlab 7.8版本）f=i/(2*exp(t*(4*i - 3))) - (i*exp(t*(4*i + 3)))/2g=exp(t*(4*i + 3))/2 + 1/(2*exp(t*(4*i - 3)))（Matlab 6.5版本）f=exp(3*t)*sin(4*t)g=exp(3*t)*cos(4*t)>>途径⼆：%problem2function dy=problem2(t,y)dy = zeros(2,1);dy(1) = 3*y(1)+4*y(2);dy(2) = -4*y(1)+3*y(2);[t,y] = ode45('problem2',[0 2],[0 1]);plot(t,y(:,1),'r',t,y(:,2),'b');图23．假设著名的Lorenz 模型的状态⽅程表⽰为-+-=+-=+-=)()()()()()()()()()()()(322133223211t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x σρρβ其中，设28,10,3/8===σρβ。

第二次计算实验：SVD及其应用梁杰存2014310739航博1431.方法求矩阵A奇异值分解一个途径是求解A T A的特征值，但因为舍入误差容易丢掉小奇异值。

因此通常先将矩阵上双对角化，即构造正交阵Q和W,使得Q T AW=B(upper−bidiagnal)。

这一过程可以通过逐次Household变换或逐次Given’s变换完成，还有一种基于待定系数法思想的Lanczos算法。

由于Linpack中SVD算法需要输入上双对角矩阵，本文采用Lanczos 算法实现上双对角化。

1.1.隐式零移位QR法（implicit zero-shift QR）与传统移位QR迭代算法不同，隐式零移位QR算法不进行移位，并且第一步构造右乘Given’s变换矩阵GR(1,2)将上双对角矩阵B的(1,2)位置上的元素12b消零，而不是传统方法中引入一个非零元素21b。

但这一步可能会使原来为零的b12变为非零。

第二步左乘Given’s阵GL(1,2)使得12b为0，但可能会使为零b13变为非零。

与上述步骤类似，将b13变为0后可能会使b23非零。

如下图所示，重复上述步骤最终将恢复为上双对角矩阵，即完成一步隐式零移位QR迭代。

反复迭代，矩阵B将趋近与对角阵阵，对角元即特征值。

图1隐式QR迭代1.2.分而治之(Divide-and-conquer)分而治之算法将上双对角阵B分成有两个互相独立对角块矩阵与另一矩阵之和，即：B=B100B2+b m vvT=Q1Σ1Q1T00Q2Σ1Q2T+b m vv T =Q100Q2(Σ100Σ1+b m uuT)Q1T00Q2T所以矩阵B的特征值与矩阵D+ρu u T的特征值相同，其中D=Σ100Σ1为对角阵，又：det D+ρu u T−λI=det⁡((D−λI)(I+ρD−λ−1u u T))由于D−λI非奇异，则det I+ρD−λ−1u u T=1+ρu T D−λ−1u=1+ρu i2d i−λ=0ni=1在每个d i与d i+1之间分布着一个特征值，可用牛顿法快速找到该特征值。

实验五：数据库综合查询一、实验目的1.掌握SELECT语句的基本语法和查询条件表示方法；2.掌握查询条件种类和表示方法；3.掌握连接查询的表示及使用；4.掌握嵌套查询的表示及使用；5.了解集合查询的表示及使用。

二、实验环境已安装SQL Server企业版的计算机(120台)；具有局域网环境,有固定IP;三、实验学时2学时四、实验要求1.了解SELECT语句的基本语法格式和执行方法；2.了解连接查询的表示及使用；3.了解嵌套查询的表示及使用；4.了解集合查询的表示及使用；5.完成实验报告；五、实验内容及步骤1.利用Transact-SQL嵌套语句实现下列数据查询操作。

1) 查询选修了计算机体系结构的学生的基本信息。

select*from studentwhere Sno in(select Sno from coursewhere Cno in(select Cno from sc where Cname='计算机体系结构'))2) 查询年龄比李勇小的学生的学号和成绩。

select a.sno,grade from student a,coursewhere a.sno=course.sno and sage<(select sage from student where sname='李勇')3) 查询其他系中比系编号为‘D1’的学生中年龄最小者要大的学生的信息。

select*from student where dnum<>'D1'AND SAGE>(select min(sage)from student where dnum='D1')4) 查询其他系中比系编号为‘D3’的学生年龄都大的学生的姓名。

select*from student where dnum<>'D3'AND SAGE>all(selectsage from student where dnum='D3')5) 查询‘C1’课程的成绩高于70的学生姓名。

中南大学matlab课后习题（10）Unit 1实验内容1.答：用help命令可以查询到自己的工作目录。

输入help命令：help <函数名>2.答：MATLAB的主要优点：通过例1-1至例1-4的验证，MATLAB的优点是MATLAB以矩阵作为数据操作的基本单位，使得矩阵运算变得非常简捷，方便，高效。

还提供了丰富的数值计算函数。

MATLAB绘图十分方便，只需输入绘图命令，MATLAB便可自动绘出图形。

3.答：INV(X) is the inverse of the square matrix X。

A warning message is printed if X is badly scaled or nearly singular. PLOT(X,Y) plots vector Y versus vector X. If X or Y is a matrix, then the vector is plotted versus the rows or columns of the matrix, whichever line up. If X is a scalar and Y is a vector, length(Y) disconnected points are plotted. PLOT(Y) plots the columns of Y versus their index. If Y is complex, PLOT(Y) is equivalent to PLOT(real(Y),imag(Y)).In all other uses of PLOT, the imaginary part is ignored. For vectors, MAX(X) is the largest element in X. For matrices,MAX(X) is a row vector containing the maximum element from each column. For N-D arrays, MAX(X) operates along the first non-singleton dimension. [Y,I] = MAX(X) returns the indices of the maximum values in vector I. If the values along the first non-singleton dimension contain more than one maximal element, the index of the first one is returned. ROUND(X) rounds the elements of X to the nearest integers. MAX(X,Y) returns an array the same size as X and Y with the largest elements taken from X or Y. Either one can be a scalar。

习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(b>a及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a, b]内插入n-1个分点(i=1, 2, , n-1, 把区间[a, b]分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, , n.第二步: 在第i个小区间[x i-1, x i] (i=1, 2, , n上取右端点, 作和.第三步: 令⎣=max{x1, x2, , x n}, 取极限得所求面积.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1(a<b;(2.解 (1取分点为(i=1, 2, , n-1, 则(i=1, 2, , n. 在第i个小区间上取右端点 (i=1, 2, , n. 于是.(2取分点为(i=1, 2, , n-1, 则(i=1, 2, , n. 在第i个小区间上取右端点(i=1, 2, , n. 于是.3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:(1;(2;(3;(4.解 (1表示由直线y=2x、x轴及直线x=1所围成的面积, 显然面积为1.(2表示由曲线、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2y2=1的面积的:.(3由于y=sin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[- , ]上与x轴所夹的面积的代数和为零, 即.(4 表示由曲线y=cos x与x轴上一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为, 即.4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小是水深h的函数, 且有p=98h (kN/m2. 若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P.解建立坐标系如图. 用分点(i=1, 2, , n-1将区间[0, H]分为n分个小区间, 各小区间的长为(i=1, 2, , n.在第i个小区间[xi-1, xi]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为Pi=9.8x i lx i .闸门所受的水压力为.将L=2, H=3代入上式得P=88.2(千牛.5. 证明定积分性质:(1;(2.证明 (1.(2.6. 估计下列各积分的值:(1;(2;(3;(4.解 (1因为当1x4时, 2x2117, 所以,即.(2因为当时, 11sin2x2, 所以,即.(3先求函数f(x x arctan x在区间上的最大值M与最小值m.. 因为当时, f (x0, 所以函数f(x=x arctan x在区间上单调增加. 于是, .因此,即.(4先求函数在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m., 驻点为.比较f(0=1, f(2=e 2, ,得, M=e 2. 于是,即.7. 设f(x及g(x在[a, b]上连续, 证明:(1若在[a, b]上, f(x0, 且, 则在[a, b]上f(x0;(2若在[a, b]上, f(x0, 且f(x≢0, 则;(3若在[a, b]上, f(xg(x, 且, 则在[a b]上f(xg(x.证明 (1假如f(x≢0, 则必有f(x0. 根据f(x在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使f(x00, 且f(x0为f(x在[a, b]上的最大值.再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x0[c, d], 使当x[c, d]时, . 于是.这与条件相矛盾. 因此在[a, b]上f(x0.(2证法一因为f(x在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x00, 且f(x0为f(x在[a, b]上的最大值.再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x0[c, d], 使当x[c, d]时, . 于是.证法二因为f(x0, 所以. 假如不成立. 则只有,根据结论(1, f(x0, 矛盾. 因此.(3令F(x=g(x-f(x, 则在[a, b]上F(x0且,由结论(1, 在[a, b]上F(x0, 即f(xg(x.4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:(1还是？(2还是？(3还是？(4还是？(5还是？解 (1因为当0x1时, x2x3, 所以.又当0x1时, x2x3, 所以.(2因为当1x2时, x2x3, 所以.又因为当1x2时, x2x3, 所以.(3因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x2, 所以.又因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x2, 所以.(4因为当0x1时, x ln(1x, 所以.又因为当0x1时, x ln(1x, 所以.(5设f(x=e x-1-x, 则当0x1时f (x =e x-10, f(x=e x-1-x是单调增加的. 因此当0x1时,f(xf(0=0, 即e x1x, 所以.又因为当0x1时, e x1x, 所以.习题5-21. 试求函数当x=0及时的导数.解, 当x=0时, y=sin0=0; 当时, .2. 求由参数表示式, 所给定的函数y对x的导数.解x(t sin t , y(t cos t , .3. 求由所决定的隐函数y对x的导数.解方程两对x求导得e y y cos x 0,于是.4. 当x为何值时, 函数有极值？解, 令I (x=0, 得x=0. 因为当x0时, I (x0; 当x0时, I (x0, 所以x=0是函数I(x的极小值点.5. 计算下列各导数:(1;(2;(3.解 (1.(2.(3=-cos( sin 2x(sin x cos( cos 2x( cos x=-cos x cos( sin 2x-sin x cos( cos 2x=-cos x cos( sin2x- sin x cos( - sin2x=-cos x cos( sin2x sin x cos( sin2x=(sin x-cos x cos( sin2x.6. 计算下列各定积分:(1;解.(2;解.(3;解. (4;解.(5;解.(6;解.(7;解.(8;解. (9;解.(10;解.(11;解 cos x|cos x|cos cos0cos2cos4. (12, 其中.解.7. 设k为正整数. 试证下列各题:(1;(2;(3;(4.证明 (1.(2.(3.(4.8. 设k及l为正整数, 且kl . 试证下列各题:(1;(2;(3.证明 (1.(2.(3..9. 求下列极限:(1;(2.解 (1.(2.10. 设. 求在[0, 2]上的表达式, 并讨论∏(x在(0, 2内的连续性.解当0x1时, ;当1x2时, .因此.因为, , ,所以∏(x在x=1处连续, 从而在(0, 2内连续.11. 设. 求在(-, 内的表达式.解当x0时, ;当0x 时, ;当x 时, .因此.12. 设f(x在[a, b]上连续, 在(a, b内可导且f (x0,.证明在(a, b内有F (x0.证明根据积分中值定理, 存在⎩[a, x], 使. 于是有.由f (x0可知f(x在[a, b]上是单调减少的, 而a⎩x, 所以f(x-f(⎩0. 又在(a, b内, x-a0, 所以在(a, b内.习题5-31. 计算下列定积分:(1;解.(2;解.(3;解. (4;解.(5;解.(6;解.(7;解.(8;解. (9;解.(10;解.(11;解.(12 ;解. (13;解. (14;解. (15;解.(16;解.(17;解. (18;解.(19;解(20.解.2. 利用函数的奇偶性计算下列积分:(1;解因为x 4sin x在区间[- , ]上是奇函数, 所以. (2;解.(3;解.(4.解因为函数是奇函数, 所以.3. 证明: , 其中∏(u为连续函数.证明因为被积函数∏(x2是x的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有.4. 设f(x在[-b, b]上连续, 证明.证明令x=-t, 则dx=-dt, 当x=-b时t=b, 当x=b时t=-b, 于是,而,所以.5. 设f(x在[a, b]上连续., 证明.证明令x=ab-t, 则dx=d t, 当x=a时t=b, 当x=b时t=a, 于是,而,所以.6. 证明: .证明令, 则, 当x=x时, 当x=1时t=1, 于是,而,所以.7. 证明: .证明令1xt , 则, 即.8. 证明: .证明,而,所以.9. 设f(x是以l为周期的连续函数, 证明的值与a无关.证明已知f(xl f(x.,而,所以.因此的值与a无关.10. 若f(t是连续函数且为奇函数, 证明是偶函数; 若f(t是连续函数且为偶函数, 证明是奇函数.证明设.若f(t是连续函数且为奇函数, 则f(-t=-f(t, 从而,即是偶函数.若f(t是连续函数且为偶函数, 则f(-t=f(t, 从而,即是奇函数.11. 计算下列定积分:(1;解.(2;解.(3(⎤为常数;解.(4;解.(5;解. (6;解.(7;解所以,于是(8;解.(9;解. (10;解法一.因为,所以.因此.解法二,故.(11;解.(12(m为自然数;解.根据递推公式,.(13(m为自然数.解因为,所以(用第8题结果. 根据递推公式,.习题5 71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1;解因为,所以反常积分收敛, 且.(2;解因为, 所以反常积分发散. (3(a>0;解因为,所以反常积分收敛, 且.(4(p>1;解因为, 所以反常积分收敛, 且.(5(p0, ω0;解,所以.(6;解.(7;解这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点..(8;解这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点. 因为,而,所以反常积分发散.(9;解这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点..(10.解这是无界函数的反常积分, x=e是被积函数的瑕点..2. 当k为何值时, 反常积分收敛? 当k为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k1时, ;当k=1时, ;当k1时, .因此当k1时, 反常积分收敛; 当k 1时, 反常积分发散.当k1时, 令, 则.令f (k=0得唯一驻点.因为当时f (k0, 当时f (k0, 所以为极小值点, 同时也是最小值点, 即当时, 这反常积分取得最小值3. 利用递推公式计算反常积分.解因为,所以I n= n(n-1(n-2 2I1.又因为,所以I n= n(n-1(n-2 2I1=n!.总习题五1. 填空:(1函数f(x在[a, b]上(常义有界是f(x在[a, b]上可积的______条件, 而f(x在[a, b]上连续是f(x在[a, b]上可积______的条件;解函数f(x在[a, b]上(常义有界是f(x在[a, b]上可积的___必要___条件, 而f(x在[a, b]上连续是f(x在[a, b]上可积___充分___的条件;(2对[a, +上非负、连续的函数f(x, 它的变上限积分在[a, +上有界是反常积分收敛的______条件;解对[a, +上非负、连续的函数f(x, 它的变上限积分在[a, +上有界是反常积分收敛的___充分___条件;(3绝对收敛的反常积分一定______;解绝对收敛的反常积分一定___收敛___;(4函数f(x在[a, b]上有定义且|f(x|在[a, b]上可积, 此时积分______存在.解函数f(x在[a, b]上有定义且|f(x|在[a, b]上可积, 此时积分___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1;解.(2(p>0;解.(3;解.(4, 其中f(x连续;解法一(用的是积分中值定理.解法二(用的是洛必达法则.(5.解.3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1;解计算不正确, 因为在[-1, 1]上不连续.(2因为, 所以.解计算不正确, 因为在[-1, 1]上不连续.(3.解不正确, 因为.4. 设p>0, 证明.证明. 因为,而, ,所以.5. 设f (x、g (x在区间[a, b]上均连续, 证明:(1;证明因为[f(x-⎣g(x]20, 所以⎣2g 2(x-2⎣f(xg(xf 2(x0, 从而.上式的左端可视为关于⎣的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即,亦即.(2,证明,又,所以.6. 设f (x在区间[a, b]上连续, 且f (x>0. 证明.证明已知有不等式, 在此不等式中, 取,, 则有,即.7. 计算下列积分:(1;解.(2;解.令则,所以.(3;解令x a sin t, 则.又令, 则,所以.(4;解.(5.解.8. 设f(x为连续函数, 证明.证明.9. 设f(x在区间[a, b]上连续, 且f(x>0, , x[a, b]. 证明:(1F (x2;(2方程F(x=0在区间(a, b内有且仅有一个根.证明 (1.(2因为f(x0, ab, 所以, ,由介值定理知F(x=0在(a, b内有根. 又F(x2, 所以在(a, b内仅有一个根.10. 设 , 求.解.11. 设f(x在区间[a, b]上连续, g(x在区间[a, b]上连续且不变号. 证明至少存在一点x[a, b], 使下式成立(积分第值定理 .证明若g(x=0, 则结论题然成立.若g(x0, 因为g(x不变号, 不妨设g(x>0.因f(x在[a, b]上连续, 所以f(x在[a, b]上有最大值M和最小值m即mf(xM,因此有m g(xf(xg(xM g(x.根据定积分的性质, 有,或.因为f(x在[a, b]上连续, 根据介值定理, 至少存在一点x(a, b, 使,即.*12.(1证明:证明=(2证明。

习题 10-11. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L , 在点(x , y )处它的线密度为μ(x , y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x , I y ; (2)这曲线弧的重心坐标x , y .解 在曲线弧L 上任取一长度很短的小弧段ds (它的长度也记做ds ), 设(x , y )为小弧段ds 上任一点.曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )ds , dI y =x 2μ(x , y )ds . 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量分别为 ⎰=Lx ds y x y I ),(2μ, ⎰=Ly ds y x x I ),(2μ.曲线L 对于x 轴和y 轴的静矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )ds , dM y =x μ(x , y )ds . 曲线L 的重心坐标为 ⎰⎰==L L ydsy x ds y x x MM x ),(),(μμ, ⎰⎰==L L x dsy x ds y x y MM y ),(),(μμ.2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L 分为两段光滑曲线L 1和L 2, 则⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L dsy x f ds y x f ds y x f .证明 划分L , 使得L 1和L 2的连接点永远作为一个分点, 则∑∑∑+===∆+∆=∆111111),(),(),(n n i i i i ni n i i i i i i i s f s f s f ηξηξηξ.令λ=max{∆s i }→0, 上式两边同时取极限∑∑∑+=→=→=→∆+∆=∆nn i i i i n i i i i ni i i i s f s f s f 11111),(lim),(lim),(lim ηξηξηξλλλ,即得⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L dsy x f ds y x f ds y x f .3. 计算下列对弧长的曲线积分:(1)⎰+Ln ds y x )(22, 其中L 为圆周x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π);解⎰+Ln ds y x )(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n=⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n⎰++==ππ2012122n n a dt a .(2)⎰+Lds y x )(, 其中L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解 L 的方程为y =1-x (0≤x ≤1);⎰⎰'-+-+=+102])1[(1)1()(dx x x x ds y x L22)1(1=-+=⎰dx x x .(3)xdx L⎰, 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) .x d x L ⎰x d x x d x L L⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=121022)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=1102241x d x dx x x )12655(121-+=.(4)dsey x L22+⎰, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤,因而ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axaaxdx e dt t a t a edx e220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.(5)⎰Γ++ds z y x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧; 解 dt dtdz dt dy dtdx ds 222)()()(++= dt e t e t e t e t e t t t t t 222)cos sin ()sin cos (+++-=dt e t 3=,⎰⎰++=++Γ20222222223s i n c o s 11dt e e t e t e ds z y x t tt t⎰----=-==2220)1(23]23[23e e dt e t t .(6)⎰Γyzds x 2, 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、 (0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 Γ=AB +BC +CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3), CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3), 故y z d sx y z d s x y z d s x y z d s xCDBCAB2222⎰⎰⎰⎰++=Γ 901020030222301=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .(7)⎰Lds y 2, 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解⎰⎰'+'--=Ldt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023c o s 1)c o s 1(2dt t t a 315256a =.(8)⎰+Lds y x )(22, 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解 dt dtdy dtdx ds 22)()(+=atdt dt t at t at =+=22)sin ()cos (a t d tt t t a t t t a ds y xL ])cos (sin )sin (cos [)(22202222-++=+⎰⎰π⎰+=+=πππ2023223)21(2)1(a t d t t a .4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解 建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知0=y , 又 ⎰==Lx x d s aMM x ϕ21⎰-⋅=ϕϕθθϕa d a ac o s 21ϕϕs i n a =,所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心. 解 dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=. (1)⎰+=Lz ds z y x y x I ),,()(22ρds z y x y x L))((22222+++=⎰dt k a t k a a ⎰++=π20222222)()43(32222222k a k a a ππ++=.(2)⎰⎰++==LLds z y x ds z y x M )(),,(222ρ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=,ds z y x x M x L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(c o s 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+=,ds z y x y My L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(s i n 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+-=,ds z y x z Mz L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(1dt k a t k a kt M22222243)2(3ka k a k πππ++=,故重心坐标为)43)2(3 ,436 ,436(22222222222222k a k a k k a ak k a ak πππππππ+++-+.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明:⎰=L dx y x P 0),(.证明 设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段, 则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是00) ,())(,(),(2121⎰⎰⎰=⋅==b b b b L dt t a P dt dtdat a P dx y x P .2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线, 证明⎰⎰=Lba dx x P dx y x P )0 ,(),(.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以⎰⎰⎰='=baLb adx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1)⎰-Ldx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以⎰⎰-=-=-Ldx x x dx y x 242221556)()(. (2)⎰Lxydx , 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L Lx y d xx y d x x y d x ⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π302232)s i n s i ns i n (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰. (3)⎰+Lxdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到2π的一段弧;解⎰⎰+-=+L dt t tR R t R t R xdy ydx ]cos cos )sin (sin [20π⎰==20202c o s πt d t R .(4)⎰+--+Ly x dyy x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行);解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+Ly x dyy x dx y x 22)()(⎰---+=π202)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1dt t a t a t a t a t a t a a⎰-=-=ππ202221dt a a.(5)ydz zdy dx x -+⎰Γ2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧; 解⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x233220331)(a k d a k ππθθπ-=-=⎰.(6)dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1.⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(⎰-+++++++=10)]1211(3)21(2)1[(dtt t t t⎰=+=1013)146(dt t .(7)⎰Γ+-ydz dy dx , 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1, 故y d z dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx CA BC AB +-++-++-=+-⎰⎰⎰⎰Γ⎰⎰⎰+-+'--+'--=111)]1()1([])1(1[dx dt z z dx x 21=.(8)dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()2(22⎰--+-=113432]2)2()2[(dx x x x x x1514)4(2142-=-=⎰dx x x4. 计算⎰-++Ldy x y dx y x )()(, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧; 解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(⎰=⋅-+⋅+=2122334]1)(2)[(dy y y y y y .(2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(11]1)23()23[(21=⋅+-+⋅+-=⎰dy y y y y y(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2, L 2: x =x , y =2, x 从1变到4, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰14)2()1(4121=++-=⎰⎰dx x dy y .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(332]2)()14)(23[(1022=⋅--++++=⎰dt t t t t t t .5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时 场力所作的功.解 已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到2π, 于是场力所作的功为R F d R F dx F d W LL||)sin (||||20-=-⋅==⋅=⎰⎰⎰πθθr F .6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1) 沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解 已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线, 则重力所作的功为⎰⎰⎰ΓΓ-==++=⋅=21)(0012z z z z mg dz mg mgdz dy dx d W r F .7. 把对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:(1)在xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1);解 L 的方向余弦214cos cos cos ===πβα,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰ ⎰+=Ld s y x Q y x P 2),(),(.(2)沿抛物线y =x 2从点(0, 0)到(1, 1);解 曲线L 上点(x , y )处的切向量为τ=(1, 2x ), 单位切向量为 )412,411()c o s ,(c o s 22xx x++==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰++=Lds xy x xQ y x P 241),(2),(.(3)沿上半圆周x 2+y 2=2x 从点(0, 0)到(1, 1). 解 L 的方程为22x x y -=, 其上任一点的切向量为 )21 ,1(2xx x --=τ,单位切向量为)1 ,2()c o s ,(c o s 2x x x --==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰-+-=Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.8. 设Γ为曲线x =t , y =t 2, z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧, 把对坐标的曲线积分⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分.解 曲线Γ上任一点的切向量为 τ=(1, 2t , 3t 2)=(1, 2x , 3y ), 单位切向量为)3 ,2 ,1(9211)c o s ,c o s ,(c o s 22y x yx ++==τγβαe ,ds R Q P Rdz Qdy Pdx L ]cos cos cos [γβα++=++⎰⎰Γ⎰++++=Lds yx yR xQ P 2294132.习题 10-31. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性:(1)⎰++-ldy y x dx x xy )()2(22, 其中L 是由抛物线y =x 2及y 2=x 所围成的区域的正向边界曲线; 解 L =L 1+L 2, 故⎰++-L dy y x dx xxy )()2(22⎰⎰++-+++-=21)()2()()2(2222L L dy y x dx x xy dy y x dx x xy⎰⎰++-+++-=1012243423)](2)2[(]2)()2[(dy y y y y y dx x x x x x301)242()22(101245235=++--++=⎰⎰dy y y y dx x x x , 而 d x d y x d x d y yPx Q DD )21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=102)21(y y dx x dy301)(42121=+--=⎰dy y y y y , 所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQ d y P d x d x d y yPx Q )(.(2)⎰-+-ldy xy y dx xy x )2()(232, 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界. 解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x)2()(232dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+=20200222222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x848202=-+=⎰⎰y d y x d x ,而d x d y xy y dxdy yPx Q DD)32()(2+-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰+-=20220)32(dy xy y dx 8)48(2=-=⎰dx x ,所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQ d y P d x d x d y yPx Q )(.2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积: (1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ; 解 ⎰⎰-⋅⋅-=-=Ldt t t a t a ydx A π2023)sin (cos 3sin⎰==ππ20224283c o s s i n 3a t d t t a.(2)椭圆9x 2+16y 2=144;解 椭圆9x 2+16y 2=144的参数方程为 x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故 ⎰-=Ly d x x d y A 21⎰-⋅-⋅=πθθθθθ20)]sin 4(sin 3cos 3cos 4[21d ⎰==ππθ20126d .(3)圆x 2+y 2=2ax .解 圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π, 故 ⎰-=Ly d x x d y A 21⎰-⋅-⋅+=πθθθθθ20)]sin (sin cos )cos 1([21d a a a a 2202)c o s 1(2a d a ⎰=+=ππθθ.3. 计算曲线积分⎰+-Ly x xdy ydx )(222, 其中L 为圆周(x -1)2+y 2=2, L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=, )(222y x xQ +-=. 当x 2+y 2≠0时 y P x Q ∂∂=∂∂0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周 l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π),在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰-+d x d y yPx Q Q d y P d x D l L ε, 即⎰⎰⎰+=+-=+-lL ldy Pdx Qdy Pdx QdyPdx .因此⎰⎰+-=+-l L y x x d yy d x y x x d yy d x )(2)(22222⎰--=πθεθεθε20222222c o s s i n d ⎰-=-=ππθ2021d .4. 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关, 并计算积分值: (1)⎰-++)3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x ;解 P =x +y , Q =x -y , 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏 导数, 而且1=∂∂=∂∂xQy P , 故在整个xOy 面内, 积分与路径无关.取L 为点(1, 1)到(2, 3)的直线y =2x -1, x 从1变到2, 则⎰⎰-+-=-++)3 ,2()1 ,1(21)]1(2)13[()()(dx x x dy y x dx y x⎰=+=2125)1(dx x .(2)⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy ;解 P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一 阶连续偏导数, 并且2312y xy xQy P -=∂∂=∂∂, 故积分与路径无关, 取路径 (1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线, 则⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy236)6496()3642312=-+-=⎰⎰dx x dy y y .(3)⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy .解 P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一 阶连续偏导数, 并且342y x xQ y P -=∂∂=∂∂, 所以在整个xOy 面内积分与 路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx yxy⎰⎰=++-=12135)1(2)41(dx x dy y .5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰-+++-Ldy x y dx y x )635()42(, 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yPx Q , 故由格林公式,得⎰-+++-L dy x y dx y x )6315()42(d x d y yPx Q D)(∂∂-∂∂=⎰⎰ 124==⎰⎰d x d y D.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正向星形线323232a y x =+(a >0);解 x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=,0)2c o s s i n 2()2c o s s i n 2(22=-+--+=∂∂-∂∂x x ye x x x x ye x x x x yPx Q , 由格林公式⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (2220)(=∂∂-∂∂=⎰⎰d x d y yPx Q D. (3)⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2(π的一段弧;解 x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=,0)c o s 26()6c o s 2(22=--+-=∂∂-∂∂x y xy xy x y yPx Q , 所以由格林公式0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰++-d x d y yPx Q Q d y P d x DOBOA L , 其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示. 故⎰⎰++=+AB OA L QdyPdx Qdy Pdx4)4321(02201022πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx . (4)⎰+--Ldy y x dx y x )sin ()(22, 其中L 是在圆周22x x y -=上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧. 解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y , 0)1(1=---=∂∂-∂∂yPx Q , 由格林公式有0)(=∂∂-∂∂-=+⎰⎰⎰++d x d y yPx Q Q d y P d x DBO AB L , 其中L 、AB 、BO 及D 如图所示. 故⎰⎰++--=+--L OBBA dy y x dx y x dy y x dx y x)sin ()()sin ()(22222s i n 4167)s i n 1(102102+-=++-=⎰⎰dx x dy y .6. 验证下列P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在整个xOy 平面内是某一函数 u (x , y )的全微分, 并求这样的一个u (x , y ): (1)(x +2y )dx +(2x +y )dy ; 证明 因为yPx Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整 个xOy 面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰++++=),()0,0()2()2(),(y x C dy y x dx y x y x u C y xy x +++=22222.(2)2xydx +x 2dy ; 解 因为yPx x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个 xOy 面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰++=),()0,0(22),(y x C dy x xydx y x u ⎰⎰+=++=y yC y x C x y d x dy 0220.(3)4sin x sin3y cos xdx –3cos3y cos2xdy 解 因为yPx y x Q ∂∂==∂∂2sin 3cos 6, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个 定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰+-=),()0,0(2c o s 3c o s 3c o s 3s i n s i n 4),(y x C x d y y x d x y x y x uC y x C x d y y dx x y+-=+-+=⎰⎰3sin 2cos 2cos 3cos 300.(4)dy ye y x x dx xy y x y )128()83(2322++++ 解 因为yPxy x x Q ∂∂=+=∂∂1632, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定 义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分.⎰+++++=),()0,0(232)128()823(),(y x y C dy ye y x x dx xy iy xh y x uC dx xy y x dy ye y xy +++=⎰⎰022)83(12C e ye y x y x y y +-++=)(124223.(5)dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++ 解 因为yPy x x y x Q ∂∂=-=∂∂sin 2cos 2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是 某个函数u (x , y )的全微分⎰⎰+-+=xyC dy y x x y xdx y x u 02)sin sin 2(2),(C y x x y ++=c o s s i n 22.7. 设有一变力在坐标轴上的投影为X =x +y 2, Y =2xy -8, 这变力确 定了一个力场, 证明质点在此场内移动时, 场力所做的功与路径无关. 解 场力所作的功为⎰Γ-++=dy xy dx y x W )82()(2.由于yX y x Y ∂∂==∂∂2, 故以上曲线积分与路径无关, 即场力所作的功 与路径无关.习题10-41. 设有一分布着质量的曲面∑, 在点(x , y , z )处它的面密度为μ(x , y , z ), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x 轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS , 对于x 轴的转动惯量为dS z y x z y I x ),,()(22μ+=∑⎰⎰.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式dSz y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明 划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S m ; 划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S m +n , 则∆S 1, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且 i i i i nm m i i i i i mi i i i i nm i S f S f S f ∆+∆=∆++==+=∑∑∑),,(),,(),,(111ζηξζηξζηξ.令}{max 11i mi S ∆=≤≤λ, }{max12i nm i m S ∆=+≤≤+λ, } ,max{21λλλ=, 则当λ→0时, 有dSz y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,d x d y d x d yz z dS y x =++=221, 故d x d y z y x f dS z y x f D ),,(),,(⎰⎰⎰⎰=∑.4. 计算曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下: (1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,d x d y y x d x d yz z dS y x 22224411++=++=. 因此d x d y y x dS z y x f xyD 22441),,(++=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+=πθ202241r d r r d ππ313])41(121[2202/32=+=r .(2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,d x d y y x d x d yz z dS y x 22224411++=++=. 因此d x d yy x y xdS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+=πθ202241r d r r d ππ30149412222=+=⎰rdr r r .(3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,d x d y y x d x d yz z dS y x 22224411++=++=. 因此dS z y x f ),,(∑⎰⎰d x d y y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰ ⎰⎰+-=πθ2022241)2(3r d r r r d ππ1011141)2(6222=+-=⎰rdr r r .5. 计算dS y x )(22+∑⎰⎰, 其中∑是:(1)锥面22y x z +=及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面; 解 将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中 ∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:22y x z +=, D 2: x 2+y 2≤1, dxdy dxdy z z dS y x 2122=++=.dS y x dS y x dS y x )()()(22222221+++=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d x d y y x d x d y y x D D )()(222221+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=πθ20103dr r d +⎰⎰πθ20132dr r dπππ221222+=+=.提示: dxdy dxdy yx y y x x dS 21222222=++++=.(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:223y x z +=, D xy : x 2+y 2≤3,d x d y d x d yz z dS y x 2122=++=, 因而πθπ922)()(32202222==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑r d r r d d x d y y x dS y x xyD .提示: dxdy dxdy y x y y x x dS 2])(326[])(326[1222222=++++=.6. 计算下面对面积的曲面积分:(1)dS y x z )342(++∑⎰⎰, 其中∑为平面1432=++z yx 在第一象限中的部分;解 y x z 3424:--=∑, x y x D xy 2310 ,20 :-≤≤≤≤,d x d y z z dS y x 221++=d x d y 361=,61436143614)342(==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdydxdy dS y x z xyxyD D .(2)dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰, 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分;解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,d x d y d x d yz z dS y x 3122=++=,dS z x xxy )22(2+--∑⎰⎰d x d yy x x xxy xyD 3)22622(2--+--=⎰⎰ ⎰⎰--+--=xdy y xy x x dx 30230)22236(3427)9103(3323-=+-=⎰dx x x . (3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分; 解 ∑:222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,d x d y z z dS y x 221++=d x d y yx a a 222--=,d x d yyx a ay x a y x dS z y x xyD 222222)()(----++=++⎰⎰⎰⎰∑)(||22h a a D a a d x d y xy D xy-===⎰⎰π(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示: dxdy yx a y yx a x dS 22222222)()(1+--++--+=dxdyyx a a 222--=,(4)dS zx yz xy )(++∑⎰⎰, 其中∑为锥面22y x z +=被x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分.解 ∑: 22y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2ax , dxdy dxdy z z dS y x 2122=++=,d x d yy x y x xy dSzx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰++=-θππθθθθc o s202222)]sin (cos cos sin [2a rdr q r r dθθθθθθππd a)c o s s i n c o s c o s (s i n 24422554⎰-++=421564a =.提示: dxdy yx y y x x dS 2222221++++=.7. 求抛物面壳)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: )(2122y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2,d x d y y x d x d yz z dS y x 222211++=++=. 故 d x d yy x y x z d S M xyD 22221)(21+++==⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+=πθ20222121r d r r r d )136(152+=π.8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解 ∑: 222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2,d x d y z z dS y x 221++=d x d y yx a a 222--=,d x d yyx a a y x dS y x I z 22222022)()(--+=+=∑∑⎰⎰⎰⎰μμ ⎰⎰-=πθμ202230adr ya r d a 4034a πμ=.提示: dxdy yx a y yx a x dS 22222222)()(1---+---+=dxdyyx a a 222--=,习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:d y d z z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰d y d z z y x P d y d zz y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=. 解 证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面 积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点,λ是各小块曲面的直径的最大值, 则d y d z z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰yz i i i i i i i ni S P P ))](,(),([lim ,2,110∆±==→∑ζηξζηξλyz i i i i ni yz i i i i ni S P S P ))(,(lim ))(,(lim ,210,110∆±∆==→=→∑∑ζηξζηξλλdydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdy z y x R ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？ 解 因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故d x d y z y x R d x d yz y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑, 当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号. 3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是z d x d yy x22∑⎰⎰d x d yy x R y xxyD )(22222----=⎰⎰ ⎰⎰⋅-⋅⋅=πθθθ2022222s i n c o s r d r r R r r d R⎰⎰-=πθθ20052222s i n 41Rdr r r R d 71052R π=.(2)ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰, 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧; 解 ∑在xOy 面的投影为零, 故0=∑⎰⎰zdxdy .∑可表示为21y x -=, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑30112221311dy y dy y dz dydz y xdyz yzD∑可表示为21x y -=, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故d z d x x y d z d x zxD 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=301122131dx x dx x dz .因此 y d z d x x d y d z z d x d y ++∑⎰⎰)13(212dx x ⎰-=ππ2346=⨯=.解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为 )0 , ,(1)c o s ,c o s ,(c o s 22y x yx +=γβα,由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy)cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰π23)(222222==+=+⋅++⋅=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS dS y x dS y x y y y x x x . 提示:dS ∑⎰⎰表示曲面的面积.(3)dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰, 其中 f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧; 解 曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为)31,31 ,31()c o s ,c o s ,(c o s -=γβα, 由两类曲面积分之间的联系可得d x d y z z y x f d z d x y z y x f d y d zx z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰ dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(⋅++-⋅++⋅+=∑⎰⎰2131)(31===+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑d x d ydS dS z y x xyD .(4)⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy , 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中 ∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z , ∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x , ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x , 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑+++=4321xzdxdyx z d x d y4000∑⎰⎰+++= d x d y y x x xyD )1(--=⎰⎰⎰⎰-=--=110241)1(xdy y x xdx. 由积分变元的轮换对称性可知241⎰⎰⎰⎰∑∑==yzdzdx xydydz .因此 ⎰⎰∑=⨯=++812413yzdzdx xydydz xzdxdy .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块; ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x . 显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是⎰⎰∑++yzdzdxxydydz xzdxdyy z d z d x x y d y d z x z d x d y ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰81)]1)(([3=--++=⎰⎰dxdy y x y x xy xyD .4. 把对坐标的曲面积分d x d y z y x R d z d x z y x Q d y d zz y x P ),,(),,(),,(++∑⎰⎰化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧; 解 令63223),,(-++=z y x z y x F , ∑上侧的法向量为: )32 ,2 ,3(),,(==z y x F F F n , 单位法向量为)32 ,2 ,3(51)c o s ,c o s ,(c o s =γβα,于是R d x d y Q d z d x P d y d z ++∑⎰⎰ dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R Q P )3223(51++=∑⎰⎰.(2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧. 解 令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量 n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1), 单位法向量为)1 ,2 ,2(4411)c o s ,c o s ,(c o s 22y x yx ++=γβα,于是R d x d y Q d z d x P d y d z ++∑⎰⎰ dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dSR yQ xP yx )22(441122++++=∑⎰⎰.10-61. 利用高斯公式计算曲面积分:(1)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a ,y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;解 由高斯公式 原式dv z y x dv zRy Q x P )(2)(++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ωaaaa dz dy xdx xdv 040366(这里用了对称性).(2)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;解 由高斯公式 原式dv z y x dv zRy Q x P )(3)(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ204s i n 3adr r d d 5512a π=. (3)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧; 解 由高斯公式 原式dv y x z d zRy Q x P )()(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ202022s i n adr r r d d 552a π=. (4)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2≤9的整个表面的外侧; 解 由高斯公式 原式π813)(==∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dv dv zRy Q x P . (5)⎰⎰∑+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1,y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧. 解 由高斯公式原式dv y y z dv zRy Q x P )24()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=-=1010123)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量:(1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy , ⎰⎰∑++=Φxydxdy xzdzdx yzdydzdv zxy y xz x yz ))()()((∂∂+∂∂+∂∂=Ω⎰⎰⎰00==Ω⎰⎰⎰d v . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a , 的全表面, 流向外侧;解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2, ⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv xz x dv zr y Q x P )22()(2-+=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=-+=aaaa a dz xz x dy dx 02320)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧.解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z , ⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv dv zRy Q x P )212()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰π1083==Ω⎰⎰⎰dv . 3. 求下列向量A 的散度: (1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ; 解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy ,)(2222d i vz y x z y x zRy Q x P ++=++=∂∂+∂∂+∂∂=A .(2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ; 解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2),)s i n (2s i n d i v2xz xz xy x ye zRy Q x P xy --=∂∂+∂∂+∂∂=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ; 解 P =y 2, Q =xy , R =xz , x x x zRy Q x P 20d i v =++=∂∂+∂∂+∂∂=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续 偏导数的函数, nu ∂∂, nv ∂∂依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向的方向导数. 证明dS nu v n v udxdydz u v v u )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明 由第一格林公式(见书中例3)知d x d y d z zvy v x v u )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ d x d y d z zv z u y v y u x v x u dS n v u)(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, d x d y d zzuy u x u v )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ d x d y d zzvz u y v y u x v x u dS n u v)(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω. 将上面两个式子相减, 即得d x d y d zuy u x u v z v y v x v u )]()([222222222222∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰⎰⎰∑∂∂-∂∂=dS nu v n v u)(.。

数据库实验五在学习数据库的过程中，实验是巩固理论知识、提高实践能力的重要环节。

本次实验五主要围绕数据库的某些关键操作和应用展开，通过实际动手操作，让我们对数据库的理解更加深入和全面。

本次实验的环境是常见的数据库管理系统，如 MySQL 或 SQL Server 等。

实验的目的是让我们熟练掌握数据库的查询、更新、插入和删除等基本操作，同时能够运用这些操作解决一些实际的问题。

实验的第一个任务是进行数据的查询操作。

查询是从数据库中获取所需信息的重要手段。

我们需要根据给定的条件，从数据表中筛选出符合要求的数据。

这就涉及到了使用 WHERE 子句来设定条件，以及各种运算符如等于（＝）、大于（＞）、小于（＜）、不等于（＜＞）等的运用。

同时，还需要掌握连接（JOIN）操作，将多个相关的数据表连接起来，以获取更全面和准确的信息。

例如，在一个学生成绩管理系统中，要查询某个班级中数学成绩大于 80 分的学生名单，就需要先从学生表中获取班级信息，再从成绩表中筛选出数学成绩符合条件的记录，最后通过学生学号将两个表连接起来，得到最终的结果。

接下来是数据的更新操作。

这包括对已有数据的修改和删除。

在进行更新操作时，必须格外小心，因为一旦操作失误，可能会导致数据的丢失或错误。

在修改数据时，同样要使用 WHERE 子句来指定要修改的记录。

例如，要将某个学生的数学成绩从 80 分修改为 90 分，就需要明确指定该学生的学号或其他唯一标识。

而删除数据则需要更加谨慎，通常建议先进行查询，确认要删除的记录准确无误后，再执行删除操作。

数据的插入操作也是实验的重要部分。

插入新的数据可以增加数据库的信息量。

在插入数据时，需要注意数据的类型和格式要与数据表的定义相匹配。

比如，一个学生信息表中，学号是整数类型，姓名是字符串类型，出生日期是日期类型，如果插入的数据类型不正确，就会导致插入失败。

在实验过程中，我也遇到了一些问题和挑战。

比如，在进行复杂的查询操作时，由于条件设置不当，导致查询结果不准确。