大学物理(9.2.2)--单摆复摆简谐运动的能量

简谐运动的回复力和能量简谐运动是一种在物理学中经常出现的现象，它是指一种物体在作往复振动时，其位移随时间变化呈现出正弦曲线的运动。

简单来说，就是物体在一定的位置上来回振动，比如一个摆锤在悬挂在绳子上摆动，或者是一个弹簧在振动。

这种运动具有回复力和能量的特点，下面将分别进行讨论。

回复力的定义和特点在简谐运动中，回复力指的是弹性势能的作用力，它是当物体离开平衡位置时，受到的恢复力，使物体朝向平衡位置方向移动。

回复力的大小和方向与物体离开平衡位置的距离成正比，反向指向平衡位置。

具体来说，回复力的公式为F = -kx，其中k是弹性系数，x是物体离开平衡位置的距离。

回复力对于简谐运动来说是一个非常重要的特性，因为它是使物体朝向平衡位置恢复的力量，同时也是振动维持的关键因素。

在简谐运动中，振动的频率、周期和振幅都取决于回复力的大小和弹性系数的变化。

当振幅变大时，回复力也会变大，当弹性系数增大或减小时，回复力的大小也会发生相应的变化。

能量的定义和特点能量是指物体的运动状态所具有的“有用”的物理量。

在简谐运动中，能量由动能和势能组成，它们之间通过运动的转化实现互相转换。

简谐运动的总能量等于动能和势能的和，它是一个守恒量，也就是说在运动过程中能量的总和始终保持不变。

具体来说，当物体在平衡位置附近振动时，它具有最小的动能和弹性势能；当物体脱离平衡位置时，弹性势能会转化为动能，同时物体有更大的动能；当物体到达到最远的位置时，它的动能最大，而弹性势能为零。

这意味着，简谐运动所产生的能量是从一种形式到另一种形式的转化。

简谐运动是一种常见的物理现象，它具有回复力和能量的特点。

回复力是指物体朝向平衡位置方向恢复的力量；能量由动能和势能组成，是物体运动状态的“有用”物理量。

回复力和能量是简谐运动的关键特性，它们直接决定了运动的频率、周期和振幅变化，因此在研究简谐运动时非常重要。

简谐运动的回复力和能量、单摆 编稿：张金虎 审稿：吴嘉峰【学习目标】1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。

2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。

3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

4．知道什么是单摆。

5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

6．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。

【要点梳理】要点一、简谐运动的回复力、能量 1．回复力物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回复力．F kx =－．要点诠释：（1）负表示回复力的方向是与位移方向相反．（2）k 为F 与x 的比例系数，对于弹簧振子，k 为劲度系数．（3）对水平方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供．（4）物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为0（但合力可能不为0）．（5）回复力大小随时间按正弦曲线变化．2．简谐运动的能量（1）弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒． （2）水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零．（3）简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即212E kA =。

（4）简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能 量越大．（5）在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小．要点二、简谐运动的特征1．物体做简谐运动的三个特征 （1）振动图像是正弦曲线；（2）回复力满足条件F kx =－；（3）机械能守恒．2．简谐运动的判定方法（1）简谐运动的位移一时间图像是正弦曲线或余弦曲线．（2）故简谐运动的物体所受的力满足F kx=－，即回复力F与位移x成正比且方向总相反．（3）用F kx=－判定振动是否是简谐运动的步骤：①对振动物体进行受力分析；②沿振动方向对力进行合成与分解；③找出回复力，判断是否符合F kx=－．要点三、简谐运动的运动特点1．简谐运动的加速度分析方法简谐运动是一种变加速的往复运动，由ka xm=-知其加速度周期性变化，“－”表示加速度的方向与振动位移x的方向相反，即总是指向平衡位置，a的大小跟x成正比．2．简谐运动的运动特点物体位置位移x回复力F加速度a速度v势能pE动能kE方向大小方向大小方向大小方向大小平衡位置O 零零零mv零kmE最大位移处M 指向MA指向OkA指向OkAm零pmE零O M →指向MA→零指向OkA→零指向OkAm→零指向Mmv→零pmE→零kmE→零M O→指向MA→零指向OkA→零指向OkAm→零指向Omv→零pmE→零kmE→零通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反．通过上表可看出两个转折点：平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处是速度方向变化的转折点．还可以比较出两个过程的不同特点，即向平衡位置O靠近的过程及远离平衡位置O的过程的不同特点：靠近O点时速度大小变大，远离O点时位移、加速度和回复力大小变大3．弹簧振子在光滑斜面上的振动光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动．分析如下：如图所示，小球静止时弹簧的伸长量为0sin mg x kθ=， 往下拉后弹簧相对于静止位置伸长x 时，物体所受回复力()0sin F k x x mg kx θ=++=－－．由此可判定物体是做简谐运动的．要点四、单摆 1．单摆单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置．单摆是实际摆的理想化的物理模型．实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略．一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆．在实验室里，如果悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆． 单摆做简谐运动的条件：小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角．偏角很小时，单摆做简谐运动． 2．单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 sin F mg θ=切提供（不要误认为是摆球所受的合外力）．当θ很小时，圆弧s 可以近似地看成直线x ，sin xlθ=．切线的分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明mgF x kx l=-=-．可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动． 3．单摆的周期公式荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即 2l T gπ= 式中l 为悬点到摆球球心间的距离，g 为当地的重力加速度．（1）单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等时性．（2）单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式2m T kπ=， 对于单摆mgk l=， 所以2l T gπ=． 周期为2 s 的单摆，叫做秒摆，由周期公式2l T gπ= 得秒摆的摆长222229.8m 1m 44 3.14T g l π⋅⨯==≈⨯． 4．单摆的应用（1）计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等．由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢．（2）测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得224/g l T π=．由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度g 。

简谐运动的回复力和能量、单摆【学习目的】1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。

2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。

3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

4．知道什么是单摆。

5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

6．知道单摆的周期跟什么因素有关，理解单摆的周期公式，并能用来进展有关的计算。

【要点梳理】要点一、简谐运动的回复力、能量 1．回复力物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回复力．要点诠释：〔1〕负号表示回复力的方向是与位移方向相反．〔2〕k 为F 与x 的比例系数，对于弹簧振子，k 为劲度系数．〔3〕对程度方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供．〔4〕物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为0〔但合力可能不为0〕．〔5〕回复力大小随时间按正弦曲线变化．2．简谐运动的能量〔1〕弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒． 〔2〕程度方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零．〔3〕简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即212E kA =。

〔4〕简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能 量越大．〔5〕在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小． 要点二、简谐运动的特征1．物体做简谐运动的三个特征 〔1〕振动图像是正弦曲线；〔2〕回复力满足条件F kx =－；〔3〕机械能守恒．2．简谐运动的断定方法〔1〕简谐运动的位移一时间图像是正弦曲线或余弦曲线．〔2〕故简谐运动的物体所受的力满足F kx =－，即回复力F 与位移x 成正比且方向总相反．〔3〕用F kx =－断定振动是否是简谐运动的步骤： ①对振动物体进展受力分析；②沿振动方向对力进展合成与分解；③找出回复力，判断是否符合F kx =－． 要点三、简谐运动的运动特点1．简谐运动的加速度分析方法简谐运动是一种变加速的往复运动，由ka x m=-知其加速度周期性变化，“－〞表示加速度的方向与振动位移x 的方向相反，即总是指向平衡位置，a 的大小跟x 成正比．通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反．通过上表可看出两个转折点：平衡位置O 点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处是速度方向变化的转折点．还可以比拟出两个过程的不同特点，即向平衡位置O 靠近的过程及远离平衡位置O 的过程的不同特点：靠近O 点时速度大小变大，远离O 点时位移、加速度和回复力大小变大 3．弹簧振子在光滑斜面上的振动光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段间隔 后释放，小球的运动是简谐运动．分析如下：如下图，小球静止时弹簧的伸长量为往下拉后弹簧相对于静止位置伸长x 时，物体所受回复力 由此可断定物体是做简谐运动的． 要点四、单摆 1．单摆单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置．单摆是实际摆的理想化的物理模型．实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略．一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆．在实验室里，假如悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆． 单摆做简谐运动的条件：小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角．偏角很小时，单摆做简谐运动． 2．单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 sin F mg θ=切提供〔不要误认为是摆球所受的合外力〕．当θ很小时，圆弧s 可以近似地看成直线x ，sin xlθ=．切线的分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明mgF x kx l=-=-． 可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动．3．单摆的周期公式荷兰物理学家惠更斯发如今偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即式中l 为悬点到摆球球心间的间隔 ，g 为当地的重力加速度．〔1〕单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等时性．〔2〕单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式 对于单摆 所以周期为2 s 的单摆，叫做秒摆，由周期公式 得秒摆的摆长 要点五、单摆的应用1．单摆的应用〔1〕计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等．由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢．〔2〕测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得224/g l T π=．由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度g 。

简谐运动能量公式
简谐运动能量公式是描述简谐运动能量的公式，它是物理学中非常重要的公式之一。

简谐运动是指物体在一个周期内做往复运动的运动形式，例如弹簧振子、摆锤等。

简谐运动的能量公式为：
E = 1/2 kA^2
其中，E表示简谐运动的总能量，k表示弹性系数，A表示振幅。

这个公式告诉我们，简谐运动的能量与弹性系数和振幅的平方成正比。

弹性系数是描述物体弹性的物理量，它越大，物体的弹性就越强。

振幅是指物体在简谐运动中的最大位移，它越大，物体的能量就越大。

因此，简谐运动的能量与物体的弹性和振幅密切相关。

简谐运动的能量公式还可以用来计算简谐振动的频率。

频率是指物体在单位时间内完成的周期数，它与简谐运动的周期T的倒数成正比。

简谐振动的周期T可以表示为：
T = 2π√(m/k)
其中，m表示物体的质量。

将周期T代入简谐运动能量公式中，可以得到简谐振动的能量公式：
E = 1/2 kA^2 = 1/2 mω^2A^2
其中，ω表示简谐振动的角频率，它等于2π/T。

这个公式告诉我们，简谐振动的能量与物体的质量、角频率和振幅的平方成正比。

简谐运动能量公式是物理学中非常重要的公式之一，它不仅可以用来描述简谐运动的能量，还可以用来计算简谐振动的频率和角频率。

在实际应用中，我们可以利用这个公式来设计和优化各种简谐振动系统，例如弹簧振子、摆锤等。