统计学-第5章 概率与概率分布

第五章 概论与概率分布重点知识1．样本、样本空间、随机事件的定义；2．事件的运算：交、并、对立事件、互斥事件；3．概论的定义：古典定义、统计定义、经验定义；4．概率的计算：加法公式，乘法公式，条件概率，事件的独立性，全概率公式，贝叶斯公式； 5．随机变量的定义，有几种类型；6．离散型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解二项分布及其简单性质； 7．连续型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解正态分布及其简单性质，会根据标准正态分布计算任何正态分布随机变量的概率；复习题一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设 。

2．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是 事件。

3．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是 ；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是 。

4.甲、乙各射击一次，设事件A 表示甲击中目标，事件B 表示乙击中目标，则甲、乙两人中恰好有一人不击中目标可用事件 表示.5.已知甲、乙两个盒子里各装有2个新球与4个旧球，先从甲盒中任取1个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球，设事件A 表示从甲盒中取出新球放入乙盒，事件B 表示从乙盒中取出新球，则条件概率P(B A )=＿＿．6.设A,B 为两个事件，若概率P (A )=41,P(B)=32,P(AB)=61,则概率P(A+B)=＿＿．7.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3，若事件A,B 互斥，则概率P(A+B)=＿＿． 8.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.8，P(B)=0.4，若事件A ⊃B ，则条件概率P(B A )=＿＿． 9.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=103,P(B A )=61,P(A+B)=54,则概率P(A)=＿＿．10.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A )=0.7，P(B)=0.6,若事件A,B 相互独立，则概率P(AB)=＿＿． 11.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4，P(B)=0.3,若事件A,B 相互独立，则概率P(A+B)=＿＿． 12.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=0.84，P(A B)=0.21，则概率P(AB)=＿＿． 13.设离散型随机变量X 的概率分布如下表ccccPX 4322101-则常数c =＿＿．14.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表４１４１21P321X则概率P ｛3<X ｝=＿＿．15.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表6632P213-X１１则数学期望)(X E =＿＿．16.设离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，若离散型随机变量X 取1的概率p 为它取0的概率q 的3倍，则方差)(X D =＿＿.17.设连续型随机变量的概率X 密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0210,1)(2x x k x ϕ 则常数k =＿＿．18.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他,00,24)(2rx x x ϕ 则常数r =＿＿．19.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他,00,2)(2x xex xϕ 则概率}11{<<-X P =＿＿．20.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,021,2)(2x x x ϕ 则数学期望)(X E =_____．21.设X 为随机变量，若数学期望1)12(=-X E ，则数学期望)(X E =＿＿．22.设X 为随机变量，若方差3)63(=-X D ，则方差)(X D =＿＿．二、单项选择1.设A,B 为两个事件，若事件A ⊃B ，则下列结论中( )恒成立.(a)事件A,B 互斥 （b)事件A,B 互斥 (c)事件A ,B 互斥 (d)事件A ,B 互斥 2.设A,B 为两个事件，则事件B A +=( ).(a)A +B (b)A-B (c)A B （d)AB3.投掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为( ).(a)111 (b)115 (c)361 (d)3654.盒子里装有10个木质球与6个玻璃球，木质球中有3个红球、7个黄球，玻璃球中有2个红球、4个黄球，从盒子里任取1个球．设事件A 表示取到玻璃球，事件B 表示取到红球，则条件概率P(A B )=( )．(a)114 (b)74 (c)83 (d)535.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(A B ）=32,P(A B )=53,则概率P(B)=＿＿．(a)51 (b)52 (c)53 (d)546.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)＞0，若事件A ⊃B,下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A-B)=P(A)-P(B)(c)P(AB)=P(A)P(B) (d)P(B A )=17.设A,B 为两个事件，则概率P(A+B)=( ).(a)P(A)+P(B) (b)P(A)+P(B)-P(A)P(B)(c)1-P （B A ) (d)1-P( A )P(B ) 8.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(B)=41,P(AB)=121，则( ).(a)事件A 包含B (b)事件A ，B 互斥但不对立 (c)事件A ，B 对立 (d)事件A ，B 相互独立 9.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=53,P(A+B)=107,若事件A,B 相互独立，则概率P(B)=( ).(a)161 （b)101 (c)41 (d)5210.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)>O ，若事件A,B 相互独立，则下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A+B)=P(A) (c)P(A-B)=P(A)-P(B) (d)P(A-B)=P(A)P(B )11.中（ ）可以作为离散型随机变量X 的概率分布．(a)6321-P321X１１ (b)653-21P321X１(c)6321P321X １１ (d)65321P321X １12.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表52511015110142101PX-则下列概率计算结果中（ ）正确．(a)0}3{==X P (b)0}0{==X P . (c)1}1{=->X P (d)1}4{=<X P13.设离散型随机变量X 的所有可能取值为-1与l ，且已知离散型随机变良X 取-1的概率为)10(<<p p ，取1的概率为q ，则数学期望=)(2X E ( ).(a)O (b)l (c)p q - (d)2)(p q - 14.设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥+=其他,00,1)(2x x kx ϕ 则常数k =( ).(a)π1(b)π (c)π2(d)2π15.下列函数中（ ）不能作为连续型随机变量X 的概率密度．(a)⎩⎨⎧≤≤-=其他,001,3)(2x x x f (b)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021,2)(x x x g(c)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,020,cos )(πx x x h (d)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,02,sin )(ππx x x h 16.设X 为连续型随机变量,若b a ,皆为常数，则下列等式中（ ）非恒成立．(a)}{}{a X P a X P ==≥ (b)}{}{b X P b X P <=≤ (c)1}{=≠a X P (d)0}{==b X P 17.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,040,81)(x x x ϕ 则数学期望)(X E =( ).(a)21 (b)2 (c)83 (d)3818.设X 为随机变量，若数学期望)(X E 存在，则数学期望))((X E E =（ ）.(a)O (b))(X E (c))(2X E (d)2))((X E 19.设X 为随机变量，若方差)(X D =4，则方差)43(+X D =（ ）.(a)12 (b)16 (c)36 (d)4020.设X ,Y 为随机变量，已知随机变量X 的标准差等于4，随机变量Y 的标准差等于3，若随机变量X ,Y 相互独立，则随机变量X -Y 的标准差等于（ ）.(a)1 (b)7 (c)5 (d)7四、名词解释1、 数学期望：2、 对立事件：3、 随机事件：4、 事件和：5、 事件积：6、 互斥事件：7、 互相独立事件：五、判断题1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。

第一章导论1.什么是统计学？统计学是搜集、处理、分析、解释数据并从中得出结论的科学。

2.解释描述统计与推断统计。

描述统计研究的是数据搜集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。

推断统计研究的是如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。

3.统计数据可分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？按照计量尺度可分为分类数据、顺序数据和数值型数据；按照数据的搜集方法，可以分为观测数据和试验数据；按照被描述的现象与实践的关系，可以分为截面数据和时间序列数据。

4.解释分类数据、顺序数据和数值型数据的含义。

分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据；顺序数据是只能归于某一有序类别的非数字型数据；数值型数据是按照数字尺度测量的观测值，其结果表现为具体的数值。

5.举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念。

总体是包含所研究的全部个体的集合，样本是从总体中抽取的一部分元素的集合，参数是用来描述总体特征的概括性数字度量，统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量，变量是用来说明现象某种特征的概念。

6.变量可分为哪几类？变量可分为分类变量、顺序变量和数值型变量。

分类变量是说明书屋类别的一个名称，其取值为分类数据；顺序变量是说明十五有序类别的一个名称，其取值是顺序数据；数值型变量是说明事物数字特征的一个名称，其取值是数值型数据。

7.举例说明离散型变量和连续型变量。

离散型变量是只能去可数值的变量，它只能取有限个值，而且其取值都以整位数断开，如“产品数量”；连续性变量是可以在一个或多个区间中取任何值的变量，它的取值是连续不断的，不能一一列举，如“温度”等。

第二章数据的搜集1.什么是二手资料？使用二手资料需要注意些什么？与研究内容有关、由别人调查和试验而来、已经存在并会被我们所利用的资料为二手资料。

使用时要评估资料的原始搜集人、搜集目的、搜集途径、搜集时间且使用时要注明数据来源。

2.比较概率抽样和非概率抽样的特点。

举例说明什么情况下适合采用概率抽样，什么情况下适合采用非概率抽样。

第5章 概率与概率分布一、思考题5.1、频率与概率有什么关系？5.2、独立性与互斥性有什么关系？5.3、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。

5.4、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。

二、练习题5.1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。

（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。

（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

5.2、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。

5.3、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是31，A 发生且B 不发生的概率是91，求B 发现的概率。

5.4、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=31，P(A ｜B)= 61，求P(A ｜B ) 5.5、有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。

在两批种子中各随机取一粒，试求：（1）两粒都发芽的概率。

（2）至少有一粒发芽的概率。

（3）恰有一粒发芽的概率。

5.6、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少？5.7、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为43，用到10000小时未坏的概率为21。

现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少？5.8、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。

从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少？5.9、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。

概率分布是统计学中一个重要的概念，它描述了随机变量取各个值的概率。

统计学则是研究如何收集、分析和解释数据的科学。

概率分布与统计学密切相关，它们共同帮助我们理解和解释各种现象和现实问题。

概率分布有很多种类，常见的有离散概率分布和连续概率分布。

离散概率分布适用于随机变量只能取有限个或可数个值的情况，如二项分布、泊松分布等。

连续概率分布则适用于随机变量可以取无限个值的情况，如正态分布、指数分布等。

概率分布可以通过概率密度函数或累积分布函数来描述。

统计学则是运用数学和概率论等工具对数据进行收集、整理和分析的过程。

它提供了一种科学的方法来理解和解释各种现象和现实问题，如经济学、医学、社会学等领域。

统计学可以帮助我们从大量数据中获取有用的信息，并对未知情况进行预测和推断。

概率分布与统计学的关系非常紧密。

在统计学中，我们经常需要根据已有的数据来估计和推断概率分布的参数。

例如，我们可以通过样本数据来估计总体的均值、方差等参数。

同时，概率分布也可以用来描述和解释观测数据的分布情况。

例如，正态分布可以用来描述身高、体重等连续变量的分布情况。

通过统计学方法，我们可以根据样本数据来推断总体的分布情况，并作为决策和预测的基础。

概率分布与统计学在实际问题中有广泛的应用。

在金融领域中，我们可以利用概率分布和统计学的方法来分析股票价格的波动情况，进行风险评估和投资决策。

在医学领域中，我们可以利用概率分布和统计学的方法来分析临床试验数据，评估药物的疗效和副作用。

在市场研究中，我们可以利用概率分布和统计学的方法来分析消费者行为、市场趋势等数据，为企业决策提供支持。

概率分布和统计学的研究不仅有助于我们对现实世界的理解，也为决策和预测提供了科学的依据。

通过对数据进行收集、整理和分析，我们可以发现隐藏在数据背后的规律和信息。

这些规律和信息可以帮助我们预测未来的趋势，制定合理的决策，并应对各种不确定性和风险。

总而言之，概率分布与统计学是统计学中重要的概念和方法。

第5章概率与概率分布一、单项选择题1．一项试验中所有可能结果的集合称为（）。

A．事件B．简单事件C．样本空间D．基本事件【答案】C【解析】在同一组条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验称作试验，观察或试验的结果称作事件。

如果一个事件不能分解成两个或更多个事件，则这个事件称为基本事件或者简单事件。

一个试验中所有的简单事件的全体称为样本空间或基本空间。

2．每次试验可能出现也可能不出现的事件称为（）。

A．必然事件B．样本空间C．随机事件D．不可能事件【答案】C【解析】随机事件是指在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件，也叫偶然事件。

必然事件是指在同一组条件下，每次试验一定出现的事件。

不可能事件是指在同一组条件下，每次试验一定不出现的事件。

3．抛3枚硬币，用0表示反面，l 表示正面，其样本空间为Ω=（）。

A．{000，001，010，100，011，101，110，111}B．{l，2，3}C．{0，1}D．{01，10}【答案】A【解析】样本空间为一个试验中所有的简单事件的全体。

抛3枚硬币，每抛一次都是由0和1组成的一个三位数的组合，所有的组合构成了样本空间，即{000，001，010，100，011，101，110，111}。

4．随机抽取一只灯泡，观察其使用寿命t ，其样本空间为Ω=（）。

A．{0t =}B．{0t <}C．{0t >}D．{0t ≥}【答案】D【解析】一个试验中所有的简单事件的全体称为样本空间或基本空间。

灯泡的使用寿命样本空间为Ω={0t ≥}。

5．观察一批产品的合格率p ，其样本空间为Ω=（）。

A．{01p <<}B．{01p ≤≤}C．{1p ≤}D．{0p ≥}【答案】B【解析】一个试验中所有的简单事件的全体称为样本空间或基本空间。

产品的合格率样本空间为Ω={01p ≤≤}。

6．抛掷一枚硬币，观察其出现的是正面还是反面，并将事件A 定义为：事件A=出现正面，这一事件的概率记作P(A)。