《傅里叶光学导论》历年考题要点

《傅里叶光学导论》历年考题2002/2003(开卷)1.(24分) 一个衍射屏的振幅透射率函数为)()cos 2121()(2lr circ r r t β+=。

(1)这个屏的作用在什么方面像透镜？(2)给出此屏焦距的表达式。

(3)当用波长为m μλ6.0=的单色平面波垂直照明时，若23.0mm =β，mm l 20=，在其中的会聚焦点处的艾里斑半径0r 为多大（略去其他两项光束背景影响）？2.(20分) 某周期性物体的振幅透过率)()(nd x x t n -∑=∞-∞=δ，假定用均匀的平面波垂直照明，试证明这个物体是“自成像”的，意即物体后面周期性距离上能成自身的理想像，而不需要透镜。

3.(24分) 一成像系统光瞳函数为)2/()2/()()(),(l y rect l x rect l y rect l x rect y x P -=，mm l 20=，成像透镜焦距mm f 200'=，物像距mm d d o i 400==，照明波长m μλ5.0=。

(1)用非相干光照明时，求)2(2000ix d l f f f f λ=≤≤，这一区间的光学传递函数)0,(x f ℘，画出截面图（请注明标度尺）。

(2)用非相干光照明强度透射率)2cos 1(21)(02x f m x I π+=的物体，其中mm f 周252=，试求出其像的强度分布。

(3)用相干光照明时，求其频率传递函数)0,(x f H ，画出)0,(x f H 的截面图（请注明横纵坐标的标度尺）。

(4)用相干平面波垂直照明振幅透射率为)2cos 1(21)(01x f m x t π+=的物体，其中mm f 周5.371=，试求出其像的强度分布。

4.(20分) (1)波长m μλ5.0=的单色平面波。

（cm x 1043⨯=，cm y 1041⨯=，cm z 1023⨯=）。

试求光场x 轴和y 轴的空间频率。

(2)已知一个相干成像系统的截止频率cm c f 5000=，像面大小为cm cm 11⨯，最少可用多少个抽样点取值来表示。

1 h( x ) = 0 − 1〈 x〈3 其他
计算
f ( x ) ∗ h( x )
y
并作图
y
y
-3
-2
-1
1
2
3
x

-3
-2
-1
0
1
2
3
x
X-3
-3
-2
x X+1
-1 0
1
2
3
x
第一步
翻 转
第二步 平 移
17
第三步 乘 积
习 题 一 解 答
y y
求面积） 第四步 积 分（求面积）
y
?
X-3
f(x)*h(x)
3 2 1
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
19
傅里叶光学
习 题 一 解 答
x x − a / 2 1 x 1．7 求证： rect + rect ． 求证： ∗ comb = 1 b a − b a a
分析
0<x<a
y
x a2 − x2 1 1 f ( x ) Λh ( x ) = a − × x × = 2 2 a 2a
a/2
1
-a -3
-2
-1
1
2
3
a
x
25
习 题 一 解 答
• 同理
a2 − x2 2a h ( x ) Λf ( x ) = (a − x) 2 2a
可见， 可见，求相关不满足交换律
点的矩形函数， （1）第一项是宽度为 、中心在 点的矩形函数， ）第一项是宽度为b、中心在0点的矩形函数 第二项是宽度为（ － ）、中心在a/2处的矩形函数 ）、中心在 处的矩形函数， 第二项是宽度为（a－b）、中心在 处的矩形函数， 由图可见，两者相加得到一个宽度为a的矩形函数 的矩形函数。 由图可见，两者相加得到一个宽度为 的矩形函数。 （2）Comb函数由间隔为 的一系列δ函数组成 ） 函数由间隔为a的一系列 函数组成 函数由间隔为 的一系列 1 a x b/2 a－b/2 -2a -a 1 0 a x 2a

3.6光学成像系统的频率特性及其传递函数
MTF的重要性
调制度 modulation , 又称为对比度、反衬度，是评价像质 的定量方法之一。
像的调制度V的定义:
V IM Im IM Im
IM : 最大光强 Im : 最小光强
0, 即IM= Im，像面光强无变化; V= 1, 即Im=0，对比度最高, 条纹结构最清晰。
输入像调制度: V入 = m 调制传 递函数
M TF
V出
V出 V入

Hc Hc I0

Hc Hc
h ' x dx
I

F T h ' I x F T h ' I x
0
OTF
空频为ξ0，调制度为m的余弦条纹，经过非相干成像系统后，成为空频ξ0 ， 调制度为 m|OTF|ξ= ξ0的余弦条纹。这也是OTF的物理意义。


衍射受限系统的相干传递函数是光瞳函数的连续两次傅里叶变换。 当光学成像系统存在像差时，用广义光瞳函数代替光瞳函数，并 对其进行两次傅里叶变换得
m 2





h 'I
1
x d x
e
i 2 0 xi


h 'I
xe
2
2
i 2 0 x
dx
m 2

e
i 2 0 xi


h 'I ( x ) e
3
i 2 0 x
dx
第一项是像强度的直流分量（均值） 第二项中的积分是
F T h ' I x
I i xi 1 x x x 1 e x p i 2 i e x p i 2 i 1 c o s 2 i 2 d d d

因位置不同而引起的位相色散
x , y
z z
菲涅耳衍射可视为函数
U
0
(
x0
,
y0 ) exp[
j
k 2z
( x0 2
y
0
2
)]
的傅里叶变换在处的值
（3）频域（角谱）表达式： A(u,v) A0 (u,v)exp( jkz)exp[ jz(u2 v2 )]
A(u, v) A0 , • H , H(u,v) exp( jkz)exp[ jz(u2 v2 )] A(u, v) 衍射场角谱 A0 , 孔径后角谱
3、脉冲响应是孔径的傅里叶变换或夫朗和费衍射图样，中心在（-Mx0, -My0）点。 8. 衍射受限系统, 阿贝成像理论；
所谓衍射受限 是指仅仅考虑系统的衍射限制， 不考虑系统的几何像差。
在衍射受限系统中，光的衍射仅受到系统孔径光阑尺寸的限制，因此在考察衍射受限系统时，实际上主要考察
孔径光阑的衍射作用。如果入（出）射光瞳无限大，则光的衍射不受系统的限制，点物应该成理想的点像。然而，
δ 函数的性质：①偶函数性质： （- x) （x) ②坐标缩放性质： (ax) 1 (x)
a
③筛选性质： f (x) (x x0 )dx f (x0 )
④乘积性质： f x• x x0 f x0 • x x0
⑤卷积性质： f x x f x
f x x x0 f x x0
成像过程包含了两次衍射过程：由物面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱分量，即不同方向传播
的平面波分量，在后焦面上得到物体的频谱。这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为
像，这是一次傅里叶变换逆过程。
9. 相干成像系统的点扩展函数, 相干传递函数； 相干照明系统中，脉冲响应是点物产生的衍射斑的振幅分布。

考点一：矩形函数
1()20a x x rect a other ⎧≤⎪=⎨⎪⎩
（1）讨论特殊情况：
11()02x rect ξ⎧--=⎨⎩
性质：中心点是 –(x-1) ，宽度是2，高度是1，左端是x-1-1，右端是x-1+1。

（2）二维矩形函数可以表示成两个一维函数的乘积 如图：(,)()()x y f x y rect rect a b
=
考点二：什么叫卷积、卷积的四个步骤。

估计会考课件上的卷积计算！！！
考点三：有关傅里叶变换的计算题
考点四：证明傅里叶变换的反比性。

反比性即其频谱的有效宽度与原函数的有效宽度之间存在一定的反比关系1x f
∆⋅∆=。

其
物理意义是原函数越窄，则其频谱函数就越宽
考点五：证明卷积定理[(,)(,)](,)(,)x y x y F g x y h x y G f f H f f *=
考点六：设一实函数h(x)，其频谱为H(f)，即()[()]()()i f a F h x H f H f e φ==
证明其与余弦函数的卷积为：0000()cos 2()cos[2()]a h x f x H f f x f ππφ*=⋅+ 考点七：菲
涅尔衍射积分公式的表达式221101111()()exp()(,)(,)exp 2x x y y jkz U x y U x y jk dx dy j z z λ∞-∞⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ 考点七：问答：用菲涅耳衍射公式可以计算的情况：会聚球面波照明衍射屏，衍射花样是屏函数的傅里叶变换。

（详细计算见ppt ）。

考点八：空间频率的定义（两种定义方式）。

考点九：阐述傅里叶光学，*计算题为课件上讲的，证明题为重点。

信息光学复习第一部分基本概念第二部分基本技能简单和复合孔径的数学描述矩孔、圆孔、单缝、位相板等；它们的中心位置、缩放比例及其它参数多孔、多缝、线光栅、余弦光栅等；它们的各种参数线光栅的线间距余弦光栅的空间频率、调制度、尺寸会用单个孔径函数与δ函数或梳状函数的卷积表示重复性孔径多缝和矩形光栅的缝宽、缝间距、缝数卷积和相关的运算)()( ) () ()(x h x f d x h f x g ∗=−=∫+∞∞−ξξξ有限宽度的两个函数，卷积后的宽度通常是两函数宽度的和卷积的位移不变性： 若f (x )*h (x ) = g (x ), 则f (x- x 0) * h (x ) =g (x - x 0) 或 f (x ) *h (x - x 0) = g (x - x 0) f (x )*δ(x - x 0) = f (x - x 0) 包含脉冲函数的卷积:基本卷积：rect(x )*rect(x )=tri(x )相关运算主要化为卷积进行，并结合OTF 性质常用基本函数的傅里叶变换和逆变换要求会利用傅里叶变换的性质和卷积定理，借助图解，计算较复杂函数的卷积和傅里叶变换利用傅里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶变换和卷积会用图解表示卷积定理第三部分综合能力用解析法和图解法处理衍射受限系统的成像问题注意区分相干照明和非相干照明给出物函数（复振幅或光强透射率），会写出其频谱函数；给出光学系统参数，会写出其相干传递函数或光学传递函数，画出草图，算出相应的截止频率；计算像（复振幅或强度）的频谱，再反算出相应的空间分布，或用图表示；相干照明下，由像的复振幅分布再求像强度.。

傅里叶光学课后答案傅里叶光学课后答案【篇一：光学第二章习题】择题：2008．在菲涅耳圆屏衍射的几何阴影中心处（ b ）（a）永远是个亮点，其强度只与入射光强有关。

（b）永远是个亮点，其强度随着圆屏的大小而变。

（c）有时是亮点，有时是暗点。

2014．一波长为500nm的单色平行光，垂直射到0.02cm宽的狭缝上，在夫琅禾费衍射花样中心两旁第二条暗纹之间的距离为3mm，则所用透镜的焦距为（ d ）（a）60mm （b）60cm （c）30mm （d）30cm2026．一个衍射光栅宽为3cm，以波长为600nm的光照射，第二级主极大出现于衍射角为300处。

则光栅的总刻度线数为a（a）1.25*104 （b）2.5*104（c）6.25*103（d）9.48*1032028．x 射线投射在间距为d的平行点阵面的晶体中，试问发生布拉格晶体衍射的最大波长为多少？d（a）d/4（b）d/2 （c）d （d）2d2128. 菲涅尔圆孔衍射实验表明，几何光学是波动光学在一定条件下的近似，如果从圆孔露出来的波面对所考察的点作出的的半波带的数目为k，这种条件下可表达成：（ d ）（a）衍射波级数k~0；（b）衍射波级数k=1；（c）衍射波级数k〉1；（d）衍射波级数k〉〉1。

2129. 用半波带法研究菲涅尔圆孔的衍射的结果说明，圆孔轴线上的p点的明暗决定于：（c）（a）圆孔的大小；（b）圆孔到p点的距离；（c）半波带数目的奇偶；（d）圆孔半径与波长的比值。

2130 用半波带法研究菲涅尔圆孔衍射时，圆孔线上p点的明暗决定于：（d）（a）圆孔的直径；（b）光源到圆孔的距离；（c）圆孔到p的距离；（d）圆孔中心和边缘光线到p点的光程差。

2131 一波带片主焦点的光强约为入射光强的400倍，则波带片的开带数为：（ a ）（a）10；（b）20；（c）40；（d）100。

2132 在夫琅和费单缝衍射中，当入射光的波长变大时，中央零级条纹：（b ）（a）宽度变小；（b）宽度变大；（c）宽度不变；（d）颜色变红。

称为匹配滤波器 匹配滤波器（ ∴ F(fx,fy) = S*(fx,fy) 称为匹配滤波器（Matched Filter） ） 它的脉冲响应为： 它的脉冲响应为： F.T.-1{F(fx,fy) } = s*(- x’, -y’)
5、光学图像识别 、
2. 匹配滤波器的制作 匹配滤波器的制作—Van der Lugt滤波器 滤波器 全息方法: 傅里叶变换全息图的光路: 全息方法 傅里叶变换全息图的光路 平面x 平面 0-y0: 放置滤波函数的脉 冲响应， 冲响应，实际上可 以用待识别的目标 函数s(x0,y0). 函数
G ( f x , f y ) = T ( f x , f y )⋅ F ( f x , f y )
将此滤波器放置在4 f系统的频谱平面， 系统的频谱平面， 将此滤波器放置在 系统的频谱平面 系统的焦距f与记录时用的 相同。 设4f系统的焦距 与记录时用的 相同。 系统的焦距 与记录时用的f相同
= R0 + S
输入与目标函数的 + {R 0 t ( x ' , y ' ) ∗ s ( x ' , y ' )}∗ δ ( x '− b , y ' ) 卷积,出现在 3平 卷积 出现在P 出现在 面x’ = b附近 附近 + R0t ( x' , y ' ) ∗ s * (− x' ,− y ' ) ∗ δ ( x'+b, y ' ) 输入与目标函数的 互相关,出现在 3平 互相关 出现在P 出现在 的附近 t(x’,y’)☆s(x’,y’) 面x’ = -b的附近 ☆
2
(
2
)T ( f , f ) + R T ( f , f )⋅ S ( f , f )exp (− j 2π bf

相位变换函数： ~ tP ( x, y ) ei ei k ( n 1) d k ( n 1) x e ik ( n 1) d e ik ( n 1) x 简写成： ~ tP ( x, y ) e ik ( n 1) x
棱镜傍轴成像公式
s
~ 傍轴条件：U1 ( x, y ) A1e
f
f
f
f
物平面
频谱面
像平面
光
傅里叶频谱面的光学分析优势
光
图象识别和比较
（1）振幅型
把标准图象放在物平面上，在频谱平面上放一张照相底片，以单色相 干光照明而获得频谱图的负片，把负片放在原来频谱的位置上，由于原来 频谱图的亮斑恰好为负片的暗处，而原来的频谱图的暗处正好为负片的亮 斑。把待检测的图样放在物平面上，如果待检测图样和标准图象完全一样， 频谱图和负片互补，这样在像平面出现一片黑暗。如果两个图样有一点不 图，则在像面上出现亮点。
第五章 傅立叶变换光学
复习内容
1、 波前变换和相因子分析
2、 余弦光栅的衍射场 3、 傅立叶变换光学 4、 阿贝成像原理与空间滤波 5、 泽尼克的相衬法
对于一些结果的推导，不要去记忆结果是什么，而是要知道结果 是怎么来的。
一、波前变换和相因子分析
(x,y) (x’,y’)
U1 U2
U
~ ~ ~ 入射场U1 ( x, y) 衍射屏的作用 出射场U 2 ( x, y) 波的传播行为 衍射场U ( x' , y' )
光经物平面发生夫琅和费衍射 , 在透镜焦面（频谱面） 上形成一系列衍射光斑 , 各衍射光斑发出的球面次波在 相面上相干叠加,形成像.
F
A B C C’ B’ A’

输入
1 x x g ( x) = comb rect ∗ Λ ( x) 3 50 3
间隔为3的 脉冲阵列, 基频为1/3 g(x) 1 在有限空间 区域不为零, |x|<25 三角波, 底宽为2
......
-25 -3 0 3
......
x 25
光栅由无穷多狭缝构成,每条狭缝的宽度均为a, 相邻缝的中心矩(光栅常数)为d(d›a),且光栅被 限制在边长为L的正方形内,求光栅频谱
+∞ −∞ +∞ −∞
f (ξ )h( x − ξ )d ξ
f (ξ − x0 )h( x − ξ )dξ
设ξ − x0 = ξ ′, 则ξ = x0 + ξ ′, d ξ = d ξ ′ 则f ( x − x0 ) * h( x) = ∫ =∫
+∞ −∞ +∞ −∞
f (ξ ′)h( x − ( x0 + ξ ′))d ξ
−∞
exp[ −i 2π ( f xα + f y β )]dαdβ
H ( fx, f y )
= ∫ ∫ H ( f x , f y ) g (α , β ) exp[ −i 2π ( f xα + f y β )]dαdβ
= H ( f x , f y ) ⋅ G( f x , f y ) = G ⋅ H
{1}= δ (fx,fy);
{δ (fx,fy)}= 1
1 与δ 函数互为F.T.
{comb(x)}= comb(f) x 1 comb( ) = comb(τ f) τ τ
{rect(x)}= sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) {exp(j2πfax)}= δ (fx-fa) {δ (x-a)}= exp(-j2πfxa)

一、选择题（每题2分，共40分）1．三角函数可以用来表示光瞳为________________的非相干成像系统的光学传递函数。

A 、矩形B 、圆孔C 、其它形状2．Sinc 函数常用来描述________________的夫琅和费衍射图样A 、圆孔B 、矩形和狭缝C 、其它形状3．高斯函数)](exp[22y x +-π常用来描述激光器发出的________________A 、平行光束B 、高斯光束C 、其它光束4．圆域函数Circ(r)常用来表示________________的透过率A 、圆孔B 、矩孔C 、方孔5．卷积运算是描述线性空间不变系统________________的基本运算A 、输出-输入关系B 、输入-输出关系C 、其它关系6．相关（包括自相关和互相关）常用来比较两个物理信号的________________A 、相似程度B 、不同程度C 、其它关系7．卷积运算有两种效应，一种是展宽，还有一种就是被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑，这种效应是________________A 、锐化B 、平滑化C 、其它8互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度。

两个完全不同的，毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关的结果应该为________________A 、0B 、无穷大C 、其它9．周期函数随着其周期逐渐增大，频率（即谱线间隔）________________。

当函数周期变为无穷大，实质上变为非周期函数，基频趋于零A ．愈来愈小B 、愈来愈大C 、不变10．圆对称函数的傅立叶变换式本身也是圆对称的，它可通过一维计算求出，我们称这种变换的特殊形式为________________。

这种变换只不过是二维傅立叶变换用于圆对称函数的一个特殊情况A 、贝塞尔变换B 、傅立叶-贝塞尔变换C 、贝塞尔-傅立叶变换11．函数)()(b x a x -+-δδ的傅立叶变换为________________A 、1B 、),(y x f f δC 、)](2ex p[b f a f i y x +-π 12．函数),(y x δ的傅立叶变换为________________ A 、1 B 、),(y x f f δC 、)sgn()sgn(y x 13．函数)()(y Comb x Comb 的傅立叶变换为________________ A 、),(y x f f δB 、1C 、)()(y x f Comb f Comb 14．函数rect(x)rect(y)的傅立叶变换为________________ A 、),(y x f f δ B 、1C 、)(sin )(sin y x f c f c 15．对于电路网络 ，输入和输出都是一维 的实值函数 ，即随时间变化的 电压 或电流信号 。

光学信息处理
第1 节
第2节 第3节 第4节
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
4、函数comb(x)
设X为实数常数，则有
(1/X)g(x) comb(x/X) = (1/X) ∞- ∞g() comb[(x -)/X]d = (1/X) ∞- ∞g() ∞-∞[(x- )/X - n] d = ∞-∞ ∞- ∞g[X(/X)][x/X-/X-n]d(/X)
目 录
2018/11/7
光学信息处理
第1 节
第2节 第3节 第4节
第一章
傅里叶光学基础
第1章
1
目 录
2018/11/7
光学信息处理
第1 节
第2节 第3节 第4节
第一章 傅里叶光学基础
1．1 二维傅里叶分析 1．2 空间带宽积和测不准关系式 1．3 平面波的角谱和角谱的衍射 1．4 透镜系统的傅里叶变换性质
第1章
2
目 录
2018/11/7
光学信息处理
第1 节
第2节 第3节 第4节
1.1 二维傅里叶分析
1.1.1 定义及存在条件
复变函数器 g(x,y) 的傅里叶变换可表为
G(u,v) = F {g(x,y)} = ∞- ∞g(x,y)exp[-i2(ux+vy)]dxdy (1) 称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。 (1)式的逆变换为
G(u) = ∞-∞ Cn (u - n fo)
4、函数comb(x)
(40)
comb(x) = ∞-∞(x - n)
= ∞-∞exp(i2nx) 函数的傅立叶级数表达式) 系数Cn =1．因此由(40)式可得 comb(x) comb(u)

衍射受限的成像系统的点扩散函数是 光瞳函数的傅里叶变换 。
强度点扩散函数是（复振幅）点扩散函数的 模的平方 。
衍射受限系统的传递函数
衍射受限系统的光瞳函数是P(x,y),则它的相干传递函数（CTF） 是 P(ldifx, ldify) ,光学传递函数(OTF)是 光瞳函数的归一化自相关 ，也 是 光强点扩展函数的归一化频谱 。
非相干照明
像的频谱: 相干 Gc f x , f y Ggc f x , f y Hc f x , f y ☆ Ggc f x , f y Hc f x , f y 非相干 Gi f x , f y [Ggc ( f x , f y ) ☆ Ggc ( f x , f y )][Hc ( f x , f y ) ☆ Hc ( f x , f y )] 在两种情况下像强度的频谱可能很不相同. 成像结果不仅依赖于系统的结构与照明光的相干性， 而且也与物的空间结构有关。
物体的强度透过率:
t0 ~0 x
n
x ~

0
nd （理想光栅）
（无限窄的单缝∥y0轴的阵列，周期d = 0.01mm）求像的强度分布.
§ 3.6 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF 例3
系统与相干照明的例3相同, 但光阑缝宽l=2cm.非相干照明.物 体是强度透过率τ0(x0)=∑δ(x-nd) 的理想光栅, 周期d=0.01mm,求 像的强度分布.
1
-f0
=
-1/d 0 1/d
fx
实际像强度分布 Ii(xi) = |Ui(xi)|2 -d d
§3-8 相干与非相干成像系统的比较 1. 截止频率 Cutoff Frequency

傅里叶光学全复习资料1 傅里叶变换F f _ , f y f _, y e2i f_ _ fy y d_dy F{f (_, y )}式中H 0 (f_,fy)f_ 和 fy 称为空间频率，F f_ , f yF f_ , f y出瞳重叠面积 (f_, fy) 出瞳总面积 0称为 F(_,y)的傅里叶谱或空间频谱。

F (f_,fy)和 F(_,y)分别称为函数 f(_,y)的振幅谱和相位谱，而称为 f(_,y)的功率谱。

2 逆傅里叶变换f ( _, y )F ( f_ , fy )e[ 2 i ( f _ _ f y y )f_fy F 1 {F ( f_ , fy )}3 函数 f(_,y)存在傅里叶变换的充分条件是： f(_,y)必须在 _y 平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续结点 f(_,y)在 _y 平面域内绝对可积 f(_,y)必须没有无穷大间短点4 物函数 f(_,y)可看做是无数振幅不同，方向不同的平面线性叠加的结果5 sinc 函数常用来描述单缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样6 在光学上常用矩形函数不透明屏上矩形孔，狭缝的透射率7 三角状函数表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数8 高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，又是用于光学信息处理的“切趾术” 9 δ函数表示某种极限状态。

可用来描述高度集中的物理量。

如点电荷、点光源、瞬间电脉冲等，所以δ函数又称为脉冲函数。

δ函数只有通过积分才有定值 10 在光学上，单位光通量间隔为 1 个单位的点光源线阵之亮度可用一个一维梳状函数表示：42 非相干成像系统的截止频率是相干成像系统的两倍 43 具有像差的系统其调制传递函数只可能下降而绝不会增大，结果会使像面上光强度分布在多个空间频率处的对比率降低，这是一个具有普遍性的重要结论 44 在相干照明条件下，光学成像系统对光场的复振幅变换而言，是线性不变系统；对于光强度的变换，则不是线性系统。

傅里叶光学教程（黄婉云）课后习题解答第一章数学基础知识在信息光学中，有一些广泛使用的函数，包括脉冲函数、梳状函数等，用于描述各种物理量。

另外还有一些重要的数学运算，如卷积、相关、傅里叶变换等，用于讨论和分析各种物理过程。

本章主要介绍这些函数及计算方法。

1.1 常用函数1. 阶跃函数(Step function)x,00,,a,xx1,一维: step()0,,,aa2,x,10,,a,a的正负决定阶跃函数的取向，阶跃函数作用如同一个开关，可在某点开启或关闭一个函数。

2. 符号函数(Sign function)x,10,,a,xx, sgn()00,,,aa,x,,,10,a,a的正负决定符号函数的取向，符号函数用来改变一个变量或函数的正负。

xxx,,sgn11阶跃函数与符号函数的关系: stepxx()sgn(),，223. 矩形函数(Rectangle function)a,1x,x,rect(),一维: 2,a,0others,表示函数以0为中心，宽度为a(a>0)，高度为1的矩形。

在时间域，矩形函数可以描写照相机快门;在空间域，矩形函数可以描写无限大不透明屏上单缝的透过率，故被称为门函数。

并且矩形函数可以作为截取函数。

2xyxy二维: rectrectrect(,)()(),,ababab,1,,xy,,,, 22,,0,others,二维矩形函数可以描写无限大不透明屏上矩形孔的透过率。

矩形函数可以移位和改变比例以及高度:a,hxx,,,xx,,00 hrect(),2,a,0,others,4. 三角函数(Triangle function),xx1,,xa,一维: tri(),a,a,0others,xyxx二维: ,,,,(,)()()abab,xxxy(1)(1),,1,,,, ,abab,,0,others,可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。

5. Sinc 函数(Sinc function)xxasin(),,,sin(),0ca一维: axa,xxc,,0sin()1时， axxnac,,,时，sin()0 axyxy二维: sin(,)sin()sin()ccc, abab3可用来描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布，其平方表示衍射图样6. 高斯函数(Gaussian function)x2一维: Gausxa()exp[/],,,，，a高斯函数也称为正态分布函数。

傅⽴叶光学习题与答案云南师范⼤学2005-2006学年上学期统⼀考试学院物理与电⼦学院专业光学⼯程年级 2005级班级学号姓名⼀、⼀个正复振幅光栅，振幅透过率为：0002cos 22),(fx ll y x t π+=放在⼀个直径为的圆形会聚透镜(焦距为f )之前,并且⽤平⾯单⾊波倾斜照射,平⾯波的传播⽅向在z x 0平⾯内，与轴夹⾓为θ，如图1所⽰。

(1) < (2) 求通过物投射的光振幅分布的频谱。

(3) 假定f d d i 20==，问像平⾯上会出现强度变化的⾓θ是多少(4) 假定⽤的倾斜⾓就是这个最⼤值，求像平⾯上的强度分布。

它与0=θ时相应的强度分布⽐较,情况如何(5) 假定照明倾⾓θ采⽤上述极⼤值，问使得像平⾯上出现强度变化的最⼤光栅频率是多少这个频率与0=θ时的截⽌频率⽐较，结论如何(40%)(1) 解：倾斜单⾊平⾯波⼊射，在物平⾯上产⽣的⼊射光为)sin ex p(0θjRx A ，则物平⾯的投射光场为：=)sin ex p(),(0000θjRx A y x U )2cos 1(21)sin exp(,(00)00fx jRx A y x t πθ+?= <)]}sin (2exp[21)sin (2exp[21)sin 2{exp(2000λθπλθπλθπ--+++=f x j f x j x j A 它的频谱为：)},({),({),(00000y x U F y x U F f f A y x ==)};sin ([21]),sin ([21),sin ({2λθδλθδλθδ+-++-+-=f f f f f f f A x y x x x (2) 解: 在相⼲光照明下，系统的截⽌频率为id lf λ20=，为了取到尽可能⼤的θ，即取最低的两个频率分量)0,sin (),0,sin (λθλθ+-f于是要求;2sin i d l λλθ≤及 ii d l f d l λλθλ2sin 2≤+-≤- 将f d i 2=代⼊上述两个不等式,得到满⾜两个频率分量通过系统的条件,4sin 4f l f l f ≤≤-θλ最⼤值为)4(sin 1max fl-=θ；（3）解：直径为的圆形透镜相⼲传递函数为)2(),(322d l f f circ f f H y x y x λ+=，;当θ取最⼤值，fl4sin =θ；此时物场的三个频率分量中只有⼀个较⾼频率分量超出系统的截⽌频率，因⽽()=y x f f H ,{,sin 0,sin 0,sin 1=+==+-===y x y x y x f f f f f f f f λθλθλθ当以及当像的频谱为：()()()()???+--+??? ??-=??+--+??? ??+-+??? ??-==],sin [21,sin 2,],sin [21],sin [21,sin 2,,,03y x y x y x y x y x y x y x y x y x f f f f f A f f H f f f f f f f f A f f H f f A f f A λθσλθσλθσλθσλθσ像平⾯复振幅分布为：()(){}()]2exp 211[42exp 2]sin 2exp[21sin 2exp 2,,33333133f x j f l x j A f x j x j A f fA f y x u y xsi πλπλθπλθπ-+????? ?=??+-+??? ??==- 光强分布为：()()()()]2cos 45[4]2ex p 211[]2ex p 211[4,,23322333333fx A f x j f x j A y x u y x I πππ+=+?-+== …………………………①当 0=θ时；设0f f ≤ ，则()()33332cos 12,fx Ay x u π+=相应光强分布为：()??++=332334cos 212cos 2234,fx fx A y x I i ππ…………………②通过①②两式⽐较，可看出max θθ=时，条纹对⽐度较差，且没有倍频成分。

傅里叶光学一 选择1. 《付里叶光学》课程采用的主要数学分析手段是________________。

A 光线的光路计算B 光的电磁场理论C 空间函数的付里叶变换2. 1的付里叶变换为_________________。

A ),(y x f f δB )sgn()sgn(y xC )()(y x f Comb f Comb 3．余弦函数x f 02cos π的付里叶变换为_________________。

A )]()([2100f f f f x x ++-δδ B )sin()sin(y x f f C14．函数)()(b x a x -+-δδ的傅立叶变换为________________A1 B ),(y x f f δC )](2exp[b f a f i y x +-π 5．相干传递函数是相干光学系统中_________________的付里叶变换。

A 点扩散函数B 脉冲响应C 复振幅6．通过全息技术可以记录物体的全息图，光波再次照明全息图。

由于____________可产生物体全部信息的三维象。

A 干涉效应B 衍射效应C 投影效应 7在衍射现象中，当衍射孔越小，中央亮斑就_________________。

A 越大 B 越小 C 不变8．光学成象系统类似一个_________________滤波器，它滤掉了物体的高频成分，只允许一定范围内的低频成分通过系统，这正是任何光学系统不能传递物体全部细节的原因。

A 高通B 低通C 带通 9．光波是横波，所以→E 与传播方向A 垂直B 相同C 相反10．由非单色性引起的光场的部分相干性称为_______A 时间相干性B 空间相干性二 填空1.傅里叶变换公式___________2.若 )()(t f t f -=-是偶函数则)()-(w F w F =是______函数3.高斯函数经傅里叶变换变为______函数4一波长为λ沿（α、β、γ）方向传播的光波，其空间频率大小为 5叠加原理是____________6光波完全相干的三个条件是_________________7惠更斯菲涅尔原理___________8全息术的分为两步：______和__________9高通滤波用于___________10夫琅禾费衍射后焦面上距离中心越远频率越______三计算平面波照射衍射孔径，衍射孔径由双缝构成，狭缝宽度为a，中心相距为d。