201力在平面坐标上的投影

F Fx2 Fy2
cos Fx
F
cos Fy
F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
F R F 1 F 2 L L F nF
F R F x i F y j,F i F x ii F y ij( i 1 ,2 ,L n )
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
合力的大小：
FR Fx2Fy217.31N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cos Fx 0 .754
FR
cos F y 0 .656
FR
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
40.99
49.01
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F2 y
三、力在空间坐标轴上的投影
力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算
直接投影法
z
Fx F cos
F
y
F
cos
F z F c o s
F
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
O
y
x
第一章 静力学的基本公理与受力分析
二次投影法
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素： （1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小； （2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面； （3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。
第一章 静力学的基本公理与受力分析

？
l
3 o
θ
2
C
1
G
解: MO(F) = Fd
位置1: MO(F) = Gd = 0 位置2: MO(F) = －G －Glsinθ
Gd=lsinθ 位置3: MO(F) = －Gl
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三、力偶及力偶矩
由大小相等、方向相反、不共线的两个力组d成 F′
的力系称为力偶。(F,F’) 力偶对物体的效应：只产生转动效应，而无F移动效应。
M=±F.d
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d F′
d F′
F
F
❖ ⑴力偶没有合力。一个力偶不能用一个力代替，也不能与一个 力平衡。力偶在任一轴上的投影为零。
平面汇交力系的合力在某轴上的投影等于力系 中各分力在同一轴上投影的代数和。即：
Rx = X1 + X2 + ···Xn= ∑ X Ry = Y1 + Y2 + ···Yn = ∑ Y
R = √ (∑X )2 + (∑ Y ) 2
∑Y Tanα= ∑ X
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合力投影定理应用
1.6 力矩和力偶
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一、力矩
❖ 定义：力与力臂的乘积冠以正、负号定义为力F对O点的力 矩。
表达式：Mo(F) = ±F·d
F1 F2
O — 转动的中心。称为力矩中
O
心，简称矩心
d — 转动中心到力作用线之 间的距离称为力臂(注意单位)
正负号规定：若力使物体绕矩心作逆时针 转向转动力矩取正号,反之取负号。
1.5 力的投影
一、力在平面直角坐标轴上的投影

6-1
空间力系沿坐标的分解与投影
空间力系 空间力的 分解 二次投影法 应用举例
A
空间力系
各力的作用线不在同一平面内 可分成
空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系(最一般的系)
与平面一般力系的不同
研究方法基本相同 概念、理论和方法要推广和引伸
B
空间力的分解
空间的力F
z
• 把其向各坐标轴分解 Z Fx,Fy,Fz •投影为 X=F cosα Y=F cosβ Z=F cosγ
x O
Fz Fx
C
E
γ
F
A
B
α
β
Fy
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y Y X
C
二次投影法
把力向z轴上投影 • 把力向oxy平面投影 • 把oxy平面上的投影
– 向x轴投影 – 向y轴投影
O z Z A C X E B
F
θ
Y
D
ϕ
Fxy
y
Z = F sin θ , X = Fxy cos ϕ = F cos θ cos ϕ , Fxy是矢量吗? Y = Fxy sin ϕ = xF cos θ sin ϕ
B
ϕ
3m
y
Y3 = − 1500 cos θ sin ϕ = − 1073 N Z 3 = 1500 sin ϕ = 671 N
z 4m
AB 5 .5 9
3 5 4 = CB 5 =
60
A
o
D 2.5m
X
1
= 500 cos 90 o = 0
Y1 = 5 0 0 c o s 9 0 o = 0 Z 1 = 500 cos180 o = −500 N

F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
• 已知力的三个投影，求力的大小和方向的公式
F Fx2 Fy2 Fz2
arccosFx
F
arccosFy
F
注意
arccosFz
F
力的投影和分量的区别：
力的投影是标量，而力的分量是矢量；
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
设直角坐标系Oxyz
如图所示，已知力 F 与
x﹑y﹑z 轴间的夹角分别
z
为 ﹑ ﹑ 。则力 F 在
x﹑y﹑z 轴上的投影Fx﹑ Fz
F
Fy﹑Fz 分别为：
Fx F cos
Fx o
y
Fy F cos
x
Fy
Fz F cos
注意 Fx﹑Fy﹑Fz为代数量。
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
例4-2 如图所示，在数控车床上加工外圆时，
已知被加工件S对车刀D的作用力（即切削抗力）的
三个分力为：Fx = 300 N，Fy = 600 N，Fz = 1500 N。 试求合力的大小和方向。
F Fz
Fx
S
Fy
D
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
F
1643
arccosFFz arccos11654030
arccos(0.9130 ) 155 o55
第三章 空间力系
解：取直角坐标系Oxyz如图所示。合力F 在 x、y、z 坐标轴上的分力为Fx、Fy 、Fz 。由于力在直角坐
标轴上的投影和力沿相应直角坐标轴的分力在数
值上相等，所以合力F 的大小和方向为