西南名校联盟2021届高三“3 3 3”高考备考诊断性联考卷文科数学试题(一)

一、单选题二、多选题1. 在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（ ）A ．45B ．-45C ．120D ．-1202. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数的周期为B ．当时，函数取得最大值C ．点是函数图象的一个对称中心D．将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象3. 已知复平面内，复数对应的点满足，则实数（ ）A．B ．0C ．1D ．24. 设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，则其内切球与四个面都相切的表面积为 A．B．C．D．6.圆与直线的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能7. 如图是相关变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（）A．B．C．D．8. 已知是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④是的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤9. 已知的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知，，的面积S 满足，点O 为的外心，满足，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．西南名校联盟2022届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）文科数学试题西南名校联盟2022届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）文科数学试题三、填空题四、解答题10.已知双曲线与椭圆的焦点相同，双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点.若，则下列说法正确的有（ ）A．双曲线的渐近线方程为B．过点存在两条直线与双曲线有且仅有一个交点C ．点在变化过程中，面积的取值范围是D ．若，则的内切圆面积为11. 2019年4月，我省公布新高考改革“”模式．“3”即语文、数学、外语为必考科目．“1”即首选科目，考生须在物理、历史中二选一．“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二．高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求．如图所示，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是（）A ．选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%B ．选物理的考生可报大学专业占47.53%C ．选历史的考生大学录取率为2.83%D ．选历史的考生可报大学专业占52.47%12.已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）A ．所有项的二项式系数和为128B ．所有项的系数和为1C ．第4项和第5项的二项式系数最大D ．有理项共3项13. 用平面截半径为的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为___________．14.设双曲线的右焦点为，圆与双曲线的两条渐近线相切于，两点，，其中为坐标原点.延长交双曲线的另一条渐近线于点，过点作圆的另一条切线，设切点为，则___________.15. 甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为.乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中次，则甲命中目标的概率为__________.16. 如图，三定点、、，三动点、、满足，，，.（Ⅰ）求动直线斜率的变化范围；（Ⅱ）求动点的轨迹方程.17. 在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：策略A ：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；策略B ：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：策略概率每题耗时（分钟）第11题第12题A选对选项0.80.53B部分选对0.60.26全部选对0.30.7已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B ，第12题采用策略A ，设他这两题得分之和为X ，求X 的分布列、均值及方差；(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．18. 一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，共抗疫情。

绝密★启用前西南名校联盟“3＋3＋3”2019-2020学年高三备考诊断性联考卷（一)文科数学试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150 B ．1380C ．1610D ．18602．若复数z 满足2iz+＝i ，则|z |=( ) A B C ．D 3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( ) A ．n =360，m =14B ．n =420，m =15C ．n =540，m =18D ．n =660，m =194．22sin cos 0x x -≥的解集为( ) A ．[2,2],2k k k Z πππ+∈ B ．[,2k k k Z πππ+∈, C ．[,],44k k k Z ππππ-+∈ D ．3[,],44k k k Z ππππ++∈…………装……………………订…………○……※请※※不※※要※※在※※装※※线※※内※※答※※题※※…………装……………………订…………○……5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=SS ( )A ．149B ．73 C ．32D ．26．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－17．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，P A ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面P AC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )……○…………线…………○……_______……○…………线…………○……A ．－iB ．iC ．0D ．1+i10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( ) A ．4B ．C ．1D ．211．对于不等式22x y m +≤的解(x ,y )，x ，y ∈R ，都能使得不等式组24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩立，则m 的取值范围是( ) A ． B ．16[0,]5C ．72[0,9+ D ．(0,2]12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明订…………○………内※※答※※题※※订…………○………二、填空题13．已知|a|=1，|b|=8，·()3a b a⋅-=，则向量a与b向量的夹角是________.14．数列{n a}的前n项和2nS An Bn=+(A≠0)，若1=1a，125,,a a a成等比数列，则3=a________.15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.16．已知点F1，F2，是椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，以F1为圆心，F1F2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P．若椭圆C的离心率为23，12PF FS=△则椭圆C的方程为________.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm至185cm之间；女性身高普遍在163cm至175cm之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm至190cm之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm”，根据直方图得到P(C)的估计值为0．5．装…………○………………线…………○……姓名：___________班级：_装…………○………………线…………○……(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围．19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2.(1)求该四棱锥P -ABCD 的表面积和体积； (2)求该四棱锥P -ABCD 内切球的表面积.20．已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．21．已知抛物线E ：2y x =，的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，两条切线的交点为D . (1)证明：∠ADB ＝90°；(2)若△ABD 的外接圆Γ与抛物线C 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围． 22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴cos x t θ=⎧(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB k ．23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2．求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．参考答案1．C 【解析】 【分析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数. 【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ．【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致. 2．D 【解析】 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模． 【详解】方法1：由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2i i z+=，可得2i1-2i z i +==，z D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3．C 【解析】 【分析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解． 【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】利用三角函数线解不等式得解. 【详解】原不等式等价于|sin ||cos |x x ≥，即正弦线长度大于或等于余弦线长度，故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．B 【解析】 【分析】 先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题. 6．C 【解析】 【分析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 8．D 【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由P A ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面P AC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题. 9．C 【解析】 【分析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-0=，故选C ．【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项. 10．D 【解析】 【分析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是找到等量关系，进而求出双曲线的实轴长． 【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，c e a ===由O A F △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ． 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 11．B 【解析】 【分析】首先由()0,0在区域内，可求得此时m=0,即可排除AD,当0m >时，表示圆在不等式表示的可行域内，进而利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出m 的取值范围. 【详解】当00x y ==，时，即220x y +≤符合题意，此时0m =，排除A ，D ，由题意可知，以(00)，为圆心的圆在不等式24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩所表示的区域内，半径最大的圆22x y m +=应与直线相切，圆心到240x y --=的距离为1d ===x y +=的距离为22d ==，由于12d d <，∴符合题意的最大的圆为222165x y +==，故选B ． 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定参数的范围. 12．B 【解析】 【分析】首先设出11()E x y ，，22()F x y ，，进而可得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断. 【详解】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀) 【点睛】本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题. 13．π3【解析】 【分析】由()3a b a ⋅-=，运算可求得4a b ⋅=，再由平面向量的数量积即可求出向量a 与b 向量的夹角.【详解】由()3a b a ⋅-=，得3a b a a ⋅-⋅=，即4a b ⋅=，故1cos 2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅，，则向量a 与b 的夹角为π3． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，由公式cos ||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅，即可求出夹角,属于基础题. 14．5 【解析】 【分析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由125,,a a a 成等比数列，求得0d =或2d =，进而求得3a . 【详解】由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，． 【点睛】本题主要考查了等比数列和等差数列的前n 项和公式的应用，其中根据等差数列的前n 项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理与运算能力.15．3【解析】 【分析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由边长为2==2=【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.16．22195x y +=【解析】 【分析】首先由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，再求得21sin PF F ∠，结合三角形12PF F 的面积，即可求得椭圆的方程. 【详解】依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12212||||PF F F ⋅21sin PF F ∠=2()a c -=，又12PF F S =△24c =，所以2295a b ==，故椭圆C 的方程为22195x y +=．【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题. 17．(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++， 0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴． （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题. 18．(1) π3B =．(2) 2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ；（2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， 12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC 的内角，π3B ∴=． （2）ABC 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +=+=⨯+=+，ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数 ππ1cos 1cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴，2b c <+，即b c +的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．(1) S ＝8＋，，V ＝83(2) (24－)π.【解析】 【分析】(1) 四个侧面都是直角三角形，进而求出边长，即可求得侧面积，底面是正方形，二者相加即可求出表面积，PD ⊥平面ABCD ，故四棱锥的高为PD ，再由棱锥的体积公式求出体积；(2) 设内切球的半径为r ，球心为O ，根据等体积法求出内切球的半径，则由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，即可求得半径,进而求出内切球的表面积.【详解】(1) 解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，得PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ⊥AB ．又PD AD D ⋂=，∴AB ⊥平面P AD ，∴P A ⊥AB ，∴PA =PB =∴PABS=2PAD S =△，同理PCBS=2PCD S =△，4ABCD S =，∴8S =四棱锥表面积， 1833P ABCD ABCD V S PD -=⋅=．S ＝8＋，，V ＝83（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面P AB ，平面P AD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ， 由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，可得11111113333333ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅△△△△正方形四棱锥表面积，∴2ABCD S PD r S ⋅==正方形四棱锥表面积∴24π(24πS r ==-内切球表面积.∴r ＝2，S ＝(24－)π. 【点睛】此题考查求锥体的表面积和内切球的表面积，考查通式通法，尤其是几何体内切球的大小通常用等体积法求其半径．20．(1) ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， (2)2max ()(1)e k f x k k k =-- 【解析】 【分析】 (1) 首先求出()'fx ，再由()'0f x >求得单调递增区间，由()'0f x <，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x '=，结合k 的范围，可求得函数在20ln k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k ，的大小，即可求得最大值. 【详解】解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=， 故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，． 令2()ln [12]g k k k k=-∈，，， 211()21102k g k k k⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng k g k k=-<⇒<≤， 故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+， 令()(1)e 1[12]k h k k k k =--+∈，，， ()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．(1)证明见解析 (2) k > k <【解析】 【分析】(1)首先设出直线l 的方程，再设1122()()A x y B x y ，，，，直线与抛物线联立方程组，进而求出1212x x x x +，的值，再对抛物线求导，结合导数的几何意义，即可证明；(2)外接圆的直径为AB,进而写出圆的方程，圆和抛物线联立方程组，消去y,等价于方程有两个不同的根，即可求出k 的范围. 【详解】（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，所以，121214x x k x x +==-，． 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222k x =， 所以，121241k k x x ==-，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，， 消去y ，得422130216x k x kx ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾， 所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩，综上所述，k k >< 【点睛】本题考查了直线、圆和抛物线的交汇，联立方程组，运用韦达定理是解题的关键，考查了运算求解能力和化归思想，属于难题. 22．(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±． 【解析】 【分析】（1）运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

秘密★启用前2023届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(一)数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|6x²+7x-3≤0}, B=Z,则A∩B=A.{- 1 ,0,1 }B.{-1 ,0}C.{0 ,1 }D.{ 0,1 ,2 }2.关于函数ff(xx)=2sin�2xx−ππ3�图象的对称性，下列说法正确的是A.关于直线xx=ππ3对称B.关于直线xx=ππ6对称C.关于点�ππ3,0�对称D.关于点�ππ6,0�对称3.已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,m,40,50;乙组：24,n,33,44,48,52.若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则mm nn等于AA.43BB.107CC.127DD.744.已知函数ff(xx)=aa−2xx2xx+1,aa∈RR,则“aa=12”是“函数f(x)为奇函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若M是圆C:( x+3)²+( y-2)²=1上任一点，则点M到直线y=kx-2的距离的值不可能等于A.4B.6 CC.2√6+1D.86.已知F₁,F₁是双曲线(CC:xx2aa2−yy2bb2=1(aa⟩0,bb>0)的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C 的一个交点，且|MMFF1��������⃗+MMFF2��������⃗|=|MMFF1��������⃗−MMFF2��������⃗|,则双曲线C的离心率为A.2 BB.2+√3CC.√3+1DD.√3数学·第1页(共4页)7.中国空间站(China Space Station)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安排甲、乙、丙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有A.9种B.24种C.26种D.30种8.已知数列{an}满足a₁=2,a₁=6,且aaₙ₊₂−2aaₙ₊₁+aaₙ=2,若[x]表示不超过x的最大整数(例如[ 1 .6 ] = 1 ,[ -1 .6 ] = -2 ) ,则�22aa1�+�32aa2�+⋯+�20222aa2021�=A.2019B.2020C.2021D.2022二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.已知复数zz=21+ii,其中i为虚数单位，则A.|z| =2B.z²=-2iC.z的共轭复数为1+iD.z的虚部为110.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DD�EE,ÂCC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC=120°，则该圆台的A.高为2√2B.体积为16√23ππC.表面积为14πD.内切球的半径为√211.已知在△ABC中,角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,c=2b,下列说法正确的是A.若BB=ππ6,则△ABC是直角三角形B.若aa=√7bb,则AA=2ππ3C.若a=2,则△ABC的面积有最大值53D.若△ABC的面积为2，则BC的最小值是√6数学·第2页(共4页)12.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与�(xx−aa)2+(yy−bb)2相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是A.函数ff(xx)=√xx2+4xx+8−√xx2−4xx+8有1个零点B.函数gg(xx)=√xx2+4xx+8−、xx−4xx+8−2有2个零点C.函数ℎ(xx)=√xx2+4xx+8+√xx2−4xx+8有最小值4√2D.关于x的方程√xx2+4xx+8+√xx2−4xx+8=6的解为xx=±3√55三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若函数f(x)=alnx+bx在x=1处取得极值3,则b-a=14.若�aaxx2−bb xx�6的展开式中x³项的系数为-160，则a²+b² 的最小值为15.设抛物线C: x²=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于M,N两点.若∠FMN=60°,且△AMN的面积为12,则p= .16.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD,PPAA=AABB=√2,BBCC=2,点E在棱PB上，且EEBB�����⃗=2PPEE�����⃗,过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是 .四、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数ff(xx)=cos xx�2√3sin xx+cos xx�−sin2xx.(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期；(2)若当xx∈�ππ12,ππ2�时，关于x的不等式.ff(xx)≥mm¯,求实数m的取值范围.请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2)，并求解.注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.18.(本小题满分12分)已知各项均为正数的等差数列aaₙ的前n项和为SSₙ,,4是a₁,a₁的等比中项,且S₆-3S₁=12.(1)求aaₙ的通项公式；(2)设数列�1SS nn+nn�的前n项和为TTₙ，试比较TTₙ与aa nn aa nn+1的大小，并说明理由.数学·第3页(共4页)19.(本小题满分12分)如图2,C是以AB 为直径的圆O 上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l.20.(本小题满分12分)已知椭圆E ： xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa ⟩bb >0)的一个焦点F 在直线√3xx −yy −3=0上。

西南名校联盟高考诊断性联考卷2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(一)文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为A ．1150B ．1380C ．1610D ．18602．若复数z 满足2i z+＝i ，则|z|=BC． D3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组A ．n=360，m=14B ．n=420，m=15C ．n=540，m=18D ．n=660，m=194．22sin cos 0x x -≥的解集为 A.[2,2],2k k k Z πππ+∈ B.[,],2k k k Z πππ+∈, C.[,],44k k k Z ππππ-+∈ D.3[,],44k k k Z ππππ++∈ 5.已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S A.149 B.73 C.32D ．2 6．已知函数sin a x y x =在点M(π，0)处的切线方程为x b y π-+=，则 A ．a ＝－1，b =l B ．a =－1，b =－1 C ．a ＝1，b =l D ．a =1，b =－17．函数2cos2()1x x f x x =+的图象大致为图 2 图18．如图1，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是A.1B.2C.3D.49.已知i 为虚数单位，执行如图2所示的程序框图，则输出的z 为A.－iB.iC.0D.1+i 10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是为原点)，则双曲线E 的实轴长是A ．4B ．C ．1D ．211.对于不等式22x y m +≤的解(x ,y )，x ，y ∈R ，都能使得不等式组24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩m 的取值范围是A. B.16[0,]5C.72[0,9+D.(0,2]12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y=kx+b(k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：①当k 为常数，b 为变数时，sin(α＋β)是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin(α＋β)是定值；③当k 和b 都是变数时，sin(α＋β)是定值．其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知|a |=1，|b |=8，；·()3a b a ⋅-=，则向量a 与b 向量的夹角是 .14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a .。

2021年西南名校联盟高考数学联考试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x ≤4}，a =3√3，则下列关系正确的是( )A. a ⊄AB. a ∈AC. a ∉AD. {a}∈A2. i 是虚数单位，复数z 满足(1+i)z =1+3i ，则z =( )A. 1+2iB. 2+iC. 1−2iD. 2−i3. 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是( )A. 瑞雪兆丰年B. 名师出高徒C. 吸烟有害健康D. 喜鹊叫喜4. 下列有关命题的叙述错误的是( )A.B.C.D.5. 已知{a n }是公差为2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若a 2，a 5，a 17成等比数列，则S 7=( )A. 73B. 42C. 49D. 76. f(x)=7sin(π6x +π6)的周期与最大值分别是( )A. 12π，7B. 12π，−7C. 12，7D. 12，−77. 已知a >2，函数f(x)={log a (x +1)+x −2,x >0x +4−(1a )x+1 x ≤0，若函数f(x)有两个零点x 1，x 2，则( )A. ∃a >2，x 1−x 2=0B. ∃a >2，x 1−x 2=1C. ∀a >2，|x 1−x 2|=2D. ∀a >2，|x 1−x 2|=38. 为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力，某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n 件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=√n n <M √Mn ≥M(k 、M 为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M 件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是( )A. 40分钟B. 35分钟C. 30分钟D. 25分钟9. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 是127，则条件①可以为( )A. n ≤5B. n ≤6C. n ≤7D. n ≤810. 已知点P 是双曲线E ：x 216−y 29=1的右支上一点，F 1，F 2为双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的个数是( )①点P 的横坐标为203；②△PF 1F 2的周长为803；③∠F 1PF 2小于π3；④△PF 1F 2的内切圆半径为34．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 已知f(x)为R 上的可导函数，且满足f(x)>f′(x)，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是( )A. f(a)>f(0)e aB. f(a)<f(0)e aC. f(a)>e a f(0)D. f(a)<e a f(0)12. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点P(x 0,12)在C 上，且|PF|=34，则P =( )A. 14B. 12C. 34D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，a ⃗ =(3,4)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ −2b ⃗ |______． 14. 若x,y 满足{x −2≤0,x +y ≥0,x −3y +4≥0,则x +2y 的最大值为________． 15. 14.在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，并且、、的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为________16. 下列四个命题中真命题的是 ；①“若，则”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”；④“若∪，则”的逆否命题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的外接圆半径，角的对边分别是，且(1)求角和边长；(2)求的最大值及取得最大值时的的值，并判断此时三角形的形状．18.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市2017年对共享单车的使用情况进行了调查，数据显示，该市共享单车用户年龄分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用共享单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用共享单车用户”.已知在“经常使用共享单车用户”是“年轻人”．中有56(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的分析，采用随机抽样的方法，抽取了一个容量为200的样本.请你根据题目中的数据，补全下列2×2列联表：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车用户120不常使用共享单车用户80合计16040200根据列联表独立性检验，判断有多大把握认为经常使用共享单车与年龄有关？参考数据：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635，n=a+b+c+d．其中，K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)以频率为概率，用分层抽样的方法在(1)的200户用户中抽取一个容量为5的样本，从中任选2户，求至少有1户经常使用共享单车的概率．19.如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=3√2，D，E分别是AC，AB上的点，CD=BE=√2将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′−BCDE，使得A′B=A′C=2√3．(1)证明：平面A′BC⊥平面BCD；(2)求A′B与平面A′CD所成角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，F1，F2为椭圆的左右焦点，A1，A2；B1，B2分别为椭圆的长轴和短轴的端点(如图).若四边形B1F1B2F2的面积为2√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程．(Ⅱ)抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的右焦点重合，过点N(5,2)任意作一条直线l，交抛物线E于A，B两点．证明：以AB为直径的所有圆是否过抛物线E上一定点．21.设.(是自然对数的底数)(1)若对一切恒成立，求的取值范围；(2)求证：．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4cosαy =2sinα(α为参数)，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若P ，Q 分别是曲线C 1，C 2上的动点，求|PQ|的最大值．23. 选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a + b + c =1，证明：(1) ab + bc + ac ≤；(2)．【答案与解析】1.答案：C解析：解：因为A={x|x≤4}，a=3√3，且3√3>4，故a∉A．故选C．根据元素与集合的关系进行判断，只需要a=3√3符合集合A中元素的属性即可．本题考查了元素与集合、集合与集合间关系的判断与辨析，要注意两者的区别．2.答案：B解析：解：由(1+i)z=1+3i，得z=1+3i1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：解：根据两个变量之间的相关关系，可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，故选D．瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系．得到结论．本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．4.答案：C解析：本题考查了复合命题的真假判断、特称命题的否定、命题的逆否命题、充分必要条件等知识，解答此题的关键是牢记有关概念及格式。

2021届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）文科数学注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效，3. 考试结束后，清将本试卷和答题卡一并交回，满分150分， 考试用时120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题且要求的）1.已知集合A={}(2)0x x x -≤， B={}1x x >，则AB=A.（0,1) B. (1,2) C. [0,1) D. (1,2] 2.设复数z 满足(2)1z i +=，则z 的虚部A. 13-B. 13i -C. 15-D. 15i - 3.设一组样本数据划x 1，x 2，……x n 的均值为1.1，若121,1,,1(0)n ax ax ax a +++> 的均值为3.2，则a 的值分别为A.2B.1C.2.2D.2.1 4. 某项研究成果发现，试管内某种病毒细胞的总数y 和天数t 的函数关系为13t y -=，且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天 （1g3≈0 477）.A.15B.16C. 17D.185.2sin cos (0,)ααααπ+=∈，则cos()4πα-的值为A.4或2 B. 4 C. 4或4 D. 46.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M （1,1），N (1,2)-，点P 满足12()()OM t OP t OM ON ON OM =+-,其中1220t t -=，则点P 的轨迹是A.椭圆B.直线C.双曲线D.抛物线7.已知抛物线22(0)y px p =>与椭圆22162x y +=交于A. B 两点，且3AOB π∠=， O 为坐标原点，则p=A.3B. 23C.33020 D. 368.设直线l 1: 3x -y -1=0与直线l 2: x +2y -5=0的交点为A ，则A 到直线1:x +b y +2+b=0的距离的最大值为A.4 10 C. 32 D. 119,某几何体的三视图如图1所示，则这个几何体的体积为A. 323B. 163C.16D.4810.已知3124413123log ,log ,log a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为 A. a >b >c B. b >a >c C. c >b >a D. c >a >b 11. 在△ABC 中，已知1cos 5A = AC=5. ∆A BC 的面积为6，点M 为BC 边上的中点，则AM= A.21 B.212C. 33D.33212. 已知以下四个结论:①函数tan y x =图象的一个对称中心别(,0)2π-;②函数1sin 2y x =+的最小正周期为π; ③咱数sin(2)3y x π=+的图象与函数7()cos(2)6f x x π=-的图象重合 ④若A+B=4π，则1tan )(1tan )2A B ++=（ 其中、正确的结论是__________________________A ①③ B.①④ C. ②③ D.②④ 二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分）13.已知实数x ，y 满足28280x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则z=x -2y 的最小值是__________。

2021年西南名校联盟高考数学联考试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.Z(M)max表示集合M中整数元素的最大值.已知集合A={x|(2x+1)(3x−13)≤0}，则Z(A)max=()D. 4A. 0B. 5C. 1332.若z(2+i)=4−3i，则z的实部为()A. 2B. −2C. 1D. −13.已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46，0.79，−0.92，0.85，则()A. 甲组数据变量间的线性相关程度最强B. 乙组数据变量间的线性相关程度最弱C. 丙组数据变量间的线性相关程度最强D. 丁组数据变量间的线性相关程度最强4.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为底面ABCD内一点，则“F为棱BC的中点”是“EF//平面ABC1D1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有()A. 10层B. 11层C. 12层D. 13层6. 函数f(x)=1−3sin2x 在(π2,11π12)上的值域为( )A. (1,52)B. (1,4]C. (1,2)D. (52,4]7. 已知函数f(x)为偶函数，且f(x)在R 上有3个零点，则f(x)的解析式可以为( )A. f(x)=x 2(2x +2−x −4)B. f(x)=x 2(2x −4x 2)C. f(x)=x 3(2x +2−x −4)D. f(x)=x(2x −2−x )8. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y =e ax+b (a,b 为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( )A. 9℃B. 12℃C. 18℃D. 20℃9. 执行如图所示的程序框图，若输入的k =3，则输出的S =( )A. √32B. −√32C. 12 D. 010. 设双曲线C ：x 2a 2−y 224a 2=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若P 为C 右支上的一点，且PF 1⊥PF 2，则tan∠PF 2F 1=( )A. 43B. 74C. 2D. 12511. 已知函数f(x)=(x −32)e x ，则( )A. f(log 279)>f(log 85)>f(79) B. f(79)>f(log 85)>f(log 279) C. f(log 85)>f(79)>f(log 279)D. f(79)>f(log 279)>f(log 85)12. 已知抛物线C ：y 2=6x 的焦点为F ，准线为l 0，过F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，过点A 作AP ⊥l 0，垂足为P ，点G 为∠PAB 的角平分线与l 0的交点，则|FG|=( )A. 4B. 2√3C. 3√2D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为120°，|a⃗|=2，|b⃗ |=1，若(a⃗+3b⃗⃗⃗⃗ )⊥(a⃗+λb⃗ )，则λ=______ ．14.若x，y满足约束条件{x+y−6≤02x+y−4≥0x−2y+4≤0，则z=x+2y的最大值为______ ．15.如图，已知面积为4的正方形ABCD的四个顶点均在球O的球面上，⊙O1为正方形ABCD的外接圆，△AO1O为等腰直角三角形，则球O的体积为______ ．16.设{a n+n2}为等比数列，且a1=1，a2=0，现有如下四个命题：①a1，a2，a3成等差数列；②a9不是质数；③{a n+n2}的前n项和为2n+1−2；④数列{a n}存在相同的项．其中所有真命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(√3−cosA)c=acosC．(1)求cb；(2)若cosA=c2b ，且△ABC的面积为9√114，求a．18.针对偏远地区因交通不便、消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如表：(1)估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；(2)根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．19.如图，四棱锥P−ABCD的侧棱PD垂直底面，AB//CD，AB=PD=1，BC=CD=2，∠BCD=60°，M为线段BC上一点．(1)当BC=2CM时，证明：平面PBC⊥平面PDM；(2)若四棱锥P−ABMD与三棱锥C−PDM的体积相等，求三棱锥C−PDM的侧面积．20.以原点O为中心的椭圆C的焦点在x轴上，G为C的上顶点，且C的长轴长和短轴长为方程x2−8x+12=0的两个实数根．(1)求C的方程与离心率；(2)若点N在C上，点M在直线y=2上，|GN|=2|GM|，且GN⊥GM，求点N的坐标．21.已知函数f(x)=x3−3x2+2．(1)设a∈R，讨论f(x)在(a,+∞)上的单调性；(2)证明：f(x)+4lnx>1x −1x4−x24对x∈[1,+∞)恒成立．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−4+tcosαy=−3+tsinα(t为参数，−π4<α<π2).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+6sinθ=0．(1)求曲线C与直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有公共点，求tanα的取值范围．23.设x，y，z均为正实数，且x+2y+z=4．(1)证明：x2+2y2+z2≥4．(2)求√x+√y+√z的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的运算，理解Z(A)最大值的定义是解题的关键．解一元二次不等式求出x的范围，得到集合A，然后列举出集合A的元素，找出最大值，从而得出Z(A)的最大值．【解答】解：由(2x+1)(3x−13)≤0得−12≤x≤133，∴A={x|−12≤x≤133}，∴A中的整数有0，1，2，3，4 ∴Z(A)的最大值为4，故选D．2.【答案】C【解析】解：由z(2+i)=4−3i，得z=4−3i2+i =(4−3i)(2−i)5=5−10i5=1−2i，所以z的实部为1．故选：C．先利用复数的运算求出z的代数形式，然后由复数z的定义即可得到答案．本题考查复数的四则运算与实部，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为0.46，0.79，−0.92，0.85，所以丙组数据的线性相关性最强．故选：C．根据题意，由线性相关系数的定义，判断个选项可得答案．本题考查线性相关系数的定义，解题的关键是理解线性相关系数的统计意义，是基础题．4.【答案】A【解析】解：取AD的中点G，连接EG、FG，如图所示：当F为棱BC的中点时，FG//AB，EF//BC1，且EF∩FG=F，则平面EFG//平面ABC1D1，又EF⊂平面EFG，所以EF//平面ABC1D1，充分性成立，显然，GF上的点都满足EF//平面ABC1D1，即必要性不成立，所以“F为棱BC的中点”是“EF//平面ABC1D1”的充分不必要条件．故选：A．取AD的中点G，连接EG、FG，判断充分性和必要性是否成立即可．本题考查了线面平行的判定与充要条件应用问题，也考查了直观想象与逻辑推理的核心素养．5.【答案】C【解析】解：根据题意，设该数列为{a n}，塔群共有n层，即数列有n项，数列{a n}为1，3，3，5，5，7，…，则S4=1+3+3+5=12，该数列从第5项开始成等差数列，而a5=5，a6=7，则其公差d=2，=n(n−4)，则有S n−S4=a5+a6+⋯…+a n=5×(n−4)+(n−4)(n−5)×22又由S n=108，则有12+n(n−4)=108，即n(n−4)=96，解可得n=12或−8(舍)，则n=12．故选：C．根据题意，设该数列为{a n}，塔群共有n层，即数列有n项，求出S4以及S n−S4表达式，又由S n的值可得关于n的方程，计算可得答案．本题考查数列的应用，涉及等差数列的通项公式以及数列的求和，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵x∈(π2,11π12)∴2x∈(π,11π6)∴sin2x∈[−1,0)∴−3sin2x∈(0,3]∴1−3sin2x∈(1,4]即f(x)的值域为(1,4]．故选：B．找到角的取值范围，利用正弦函数求值域得出答案．本题考查了三角函数求值域，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=x2(2x+2−x−4)，其定义域为R，f(−x)=x2(2x+2−x−4)=f(x)，是偶函数，对于方程2x+2−x−4=0，设t=2x，则有t+1t−4=0，变形可得t2−4t+1=0，方程有2个正根，则2x+2−x−4=0有两解，则函数f(x)=x2(2x+2−x−4)有3个零点，A正确，对于B，f(x)=x2(2x−4x2)，其定义域为R，有f(−x)=x2(2−x−4x2)≠f(x)，不是偶函数，不符合题意，对于C，f(x)=x3(2x+2−x−4)，其定义域为R，有f(−x)=−x3(2x+2−x−4)=−f(x)，是奇函数，不符合题意，对于D，f(x)=x(2x−2−x)，其定义域为{x|x≠0}，有f(x)=(−x)(2−x−2x)=f(x)，是偶函数，对于方程2x−2−x=0，设t=2x，则有t−1t=0，解可得t=±1，只有1个正根，则方程2x−2−x=0有1解，即x=0，则函数f(x)=x(2x−2−x)有1个零点，不符合题意，故选：A．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和零点的个数，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，以及函数零点的定义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：当x=6时，e6a+b=216；当x=24时，e24a+b=8，则e6a+be24a+b =2168=27，整理可得e6a=13．则72=13×216=e6a×e6a+b=e12a+b，所以该果蔬所需物流时间为3天，故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12℃．故选：B．利用题中的条件，列出等式，根据函数的性质，即可解出结果．本题考查函数模型与指数的运算，考查数学建模与数学运算的核心素养．9.【答案】B【解析】解：设第n次循环后输出，k=3+4n≥2021，解得n≥504.5，可知第505次循环后结束循环，此时k=3+4×505=2023，S=cos2023π6=cos7π6=−cosπ6=−√32．故选：B．根据程序框图的运行过程，得出第n次循环后输出k=3+4n≥2021，求出n的最小正整数，再计算k和S的值．本题考查了程序框图与等差数列的应用问题，也考查了逻辑推理与数学运算的核心素养．10.【答案】A【解析】解：易知c2=25a2，则c=5a，|F1F2|=2c=10a．因为P为C右支上的一点，所以|PF1|−|PF2|=2a．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则(|PF2|+2a)2+|PF2|2=100a2，解得|PF1|=8a，所以|PF2|=6a，故tan∠PF2F1=|PF1||PF2|=43．故选：A ．利用已知条件，求出a ，c 关系，利用双曲线的定义，勾股定理，转化求解三角形，推出结果即可．本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想，是中档题．11.【答案】B【解析】解：函数f(x)=(x −32)e x ，则f′(x)=(x −12)e x ， 令f′(x)>0，可得x >12，令f′(x)<0，可得x <12， 所以f(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增， 因为log 279=23log 33=23>12，log 85=13log 25>13log 24=23，79=733log 22=log 8(273)，又因为273=22×213，(54)3=12564<2，所以213>54，所以273>5，所以log 8(273)>log 85，所以79>log 85>log 279>12，因为f(x)在(12,+∞)上单调递增， 所以f(79)>f(log 85)>f(log 279)． 故选：B ．对f(x)求导，利用导数可求得f(x)的单调性，由对数的运算性质比较log 279，log 85，79的大小，再利用单调性即可比较函数值的大小．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数值大小的比较，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得|AF|=|AP|，又∠FAG =∠PAG ，AG 公用， 所以△PAG≌△FAG ，因为AP ⊥PG ，所以GF ⊥AF ， 因为k AB =1，所以k GF =−1，而F(32,0)，所以直线FG 的方程为：y =−(x −32)， 联立{y =−(x −32)x =−32可得y =3，所以G(−32,3)， 所以|FG|=√(−32−32)2+32=3√2．故选：C ．由抛物线的性质可得|AP|=|AF|，再由角平分线可得三角形全等，可得GF ⊥AF ，由F 的坐标求出直线FG 的方程，与准线方程联立求出G 的坐标，进而求出|FG|的值． 本题考查抛物线的性质及角平分线的性质，属于中档题．13.【答案】−12【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2×1×cos120°=−1， ∵(a ⃗ +3b ⃗⃗⃗⃗ )⊥(a ⃗ +λb⃗ )， ∴(a ⃗ +3b ⃗⃗⃗⃗ )⋅(a ⃗ +λb ⃗ )=a ⃗ 2+(λ+3)a ⃗ ⋅b ⃗ +3λb ⃗ 2=4+(λ+3)×(−1)+3λ=0，则λ=−12，故答案为：−12．由题意利用两个平面向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得λ的值． 本题考查两个平面向量的数量积，两个向量垂直的性质，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】14【解析】解：作出可行域如图所示，将目标函数化为y =−12x +z2， 由图可知，当直线y =−12x +z2经过点A(−2,8)时， 目标函数取得最大值，且最大值为：−2+16=14．故答案为：14．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，是基础题．15.【答案】32π3【解析】解：设⊙O1的半径为r，球O的半径为R，易知O1为AC的中点，由正方形ABCD的面积为4，可知正方形的边长为2，因此r=|AO1|=12|AC|=√22|AB|=√2，R=√2r=2，故球O的体积v=4πR33=32π3．故答案为：32π3．设出圆的半径，球的半径，转化求解球的半径，然后求解球的体积即可．本题考查球面的性质与体积，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．16.【答案】①③④【解析】解：{a n+n2}为等比数列，且a1=1，a2=0，令b n=a n+n2，所以b1=a1+1=2，b2=a2+4=4，由于数列{b n}为等比数列，设公比为q，则q=b2b1=2，则b n=b1q n−1=2n，则a n=b n−n2=2n−n2，所以对于①，a1=2−1=1，a2=22−4=0，a3=23−9=−1，所以2a2=a1+a3，故a1，a2，a3成等差数列，故①正确；对于②，a 9=29−92=431，除了1和本身没有别的约数，故431为质数，故②错误； 对于③，由于b n =a n −n 2=2n ，所以数列{b n }的前n 项和为S n =21+22+⋯+2n =2×(2n −1)2−1=2n+1−2，故③正确；对于④，由于a 2=22−22=0，a 4=24−42=0，故a 2=a 4=0，故④正确． 故答案为：①③④．直接利用等比数列的性质的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的和，再利用赋值法的应用求出数列中的相同项，最后确定①②③④的结论．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法和应用，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)因为(√3−cosA)c =acosC ，所以由正弦定理可得√3sinC −cosAsinC =sinAcosC ， 即√3sinC =sinCcosA +sinAcosC =sin(A +C)， 而sin(A +C)=sinB ， 所以√3c =b ， 故cb=√33．(2)由(1)知cosA =√36，则sinA =√336，又△ABC 的面积为12bcsinA =√114c 2=9√114，则c =3，b =3√3．由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =27，解得a =3√3．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式即可求解．(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，利用三角形的面积公式进而可求c ，b 的值，利用余弦定理可求得a 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为1−5+3+2100=0.9，本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值为5+3+2100×7500+3+21+34100×12500+2+6+24100×17500=13600(元)．(2)列联表如下：人均可支配年收入≤10000元人均可支配年收入>10000元电商扶贫年度总投入不超过1000万832电商扶贫年度总投入超过1000万258因为K2=100×(8×58−2×32)210×90×40×60=20027≈7.407>6.635，所以有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．【解析】(1)先求出该年度内贫困地区人均可支配年收入不过万的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出结果；利用区间中点值乘以该组的频率，依次相加，即可求出平均值的估计值．(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了频数分布表的实际应用，考查了估计平均值，同时考查了独立性检验的的应用，是基础题．19.【答案】解：(1)连接BD，因为BC=CD=2且∠BCD=60°，所以△BCD是等边三角形，因为BC=2CM，则M为BC的中点，所以BC⊥DM，因为PD⊥平面ABCD且BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又PD∩DM=D且PD、DM⊂平面PDM，所以BC⊥平面PDM，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDM；(2)因为AB//CD且△BCD是边长为2的等边三角形，所以∠ABD=60°，DM=√3，由余弦定理可得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos∠ABD =3， 得AD 2+AB 2=BD 2，即AD ⊥AB ，所以AD ⊥CD ， 因为四棱锥P −ABMD 与三棱锥C −PDM 体积相等， 所以S ABMD =S △CDM ，设BM 1=x ，那么CM 1=2−x ，所以S △ABD +S △BDM 1=S △CDM 1，得√32+√32x =√32(2−x)，解得x =12，且PM =√DM 2+PD 2=2，M 1C =1+12=32， 所以S △CDM 1=12CM 1⋅DM =12×32×√3=3√34， S △PCM 1=12CM 1⋅PM =12×32×2=32， S △PCD =12PD ⋅CD =12×1×2=1，所以三棱锥C −PDM 的侧面积为S △CDM 1+S △PCM 1+S △PCD =3√34+32+1=52+3√34．【解析】(1)连接BD ，先利用线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面ABCD ，然后利用面面垂直的判定定理证明结论即可；(2)根据四棱锥P −ABMD 与三棱锥C −PDM 体积相等，得到S ABMD =S △CDM ，求出BM 1的长，而三棱锥C −PDM 的侧面积为S △CDM 1+S △PCM 1+S △PCD ，从而可求出所求． 本题主要考查了线面垂直面面垂直的判定定理，以及棱锥侧面积的求法，同时考查了空间想象能力和运算求解的能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可设C 的方程为x 2a 2+y2b 2=1，(a >b >0, 因为x 2−8x +12=0的两根为x 1=2，x 2=6， 所以2a =6，2b =2 则a =3，b =1， 则C 的方程为x 29+y 2=1， 离心率e =ca=2√23；(2)易知G(0,1)．设M(x M ,2)，N(x N ,y N )，则k GM =2−1x M=1x M，由GN ⊥GM ，得k GN =−1kGN=−x M ．由|GN|=2|GM|，得√1+x M 2|x N −0|=2√x M 2+1，因此|x N |=2． 由x N29+y N 2=1，得|y N |=√53， 故点N 的坐标为(2,√53)或(2,−√53) 或(−2,√53)或(−2,−√53).【解析】(1)由方程解出方程的解，由题意可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的离心率；(2)设M ，N 的坐标，由|GN|=2|GM|，可得M ，N 的坐标的关系，再由GN ⊥GM ，可得斜率之积为−1，求出M ，N 的坐标的关系，两式联立求出N 的坐标． 本题考查求椭圆的方程及椭圆的性质，两条直线垂直的性质，属于中档题．21.【答案】(1)解：函数f(x)=x 3−3x 2+2，则f′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，令f′(x)=0，解得x =0或x =2，所以f(x)在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，①当a <0时，则f(x)在(a,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增； ②当0≤a <2时，f(x)在(a,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增； ③当a ≥2时，f(x)在(a,+∞)上单调递增．(2)证明：先证明f(x)+4lnx ≥0，令g(x)=f(x)+4lnx =x 3−3x 2+2+4lnx ， 则g′(x)=3x 2−6x +4x =1x (3x 3−6x 2+4)=3x (x 3−2x 2+43)， 令ℎ(x)=x 3−2x 2+43，则ℎ′(x)=3x 2−4x =x(3x −4)， 当x ∈(0,43)时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)单调递减， 当x ∈(43,+∞)时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增， 所以当x =43时，ℎ(x)取得最小值为ℎ(43)=427>0，所以g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，即g(x)在[1,+∞)上单调递增， 又g(1)=0，所以g(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，即x 3−3x 2+2+4lnx ≥0在[1,+∞)上恒成立， 下证1x −1x4−x 24≤0在[1,+∞)上恒成立，即证x 3−x 64−1≤0[1,+∞)上恒成立，令H(x)=x 3−x 64−1，则H′(x)=3x 2−3x x 5=3x 2(1−12x 3)，当x ∈(1,√23)时，H′(x)>0，则H(x)单调递增，当x ∈(√23,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)单调递减，所以当x =√23时，H(x)取得最大值为H(√23)=0，所以H(x)≤0，即1x−1x4−x 24≤0在[1,+∞)上恒成立．因为x 3−3x 2+2+4lnx ≥0中取等号的条件是x =1，而1x −1x 4−x 24≤0中取等号的条件是x =√23， 又g(1)>H(1)=−14， 所以g(x)>H(x)， 故f(x)+4lnx >1x −1x4−x 24对x ∈[1,+∞)恒成立．【解析】(1)求出f′(x)，求出f(x)在R 上的单调区间，然后分a <0，0≤a <2，a ≥2分别求解f(x)在(a,+∞)上的单调性即可；(2)分别利用导数证明f(x)+4lnx ≥0在(0,+∞)上恒成立和H(x)=x 3−x 64−1≤0在(0,+∞)上恒成立，分析取等号的条件即可证明原不等式．本题考查了函数与不等式的综合应用，主要考查了函数奇偶性的判断、不等式的证明等问题，涉及知识点多，综合性强，考查学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于较难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ+6sinθ=0，整理得ρ2+6ρsinθ=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+(y +3)2=9．直线l 的参数方程为{x =−4+tcosαy =−3+tsinα(t 为参数，−π4<α<π2)，转换为直角坐标方程为y+3x+4=tanα，整理得xtanα−y +4tanα−3=0．(2)由(1)知，曲线C 表示圆心为(0,−3)，半径为3的圆，直线l 与曲线C 有公共点，所以圆心到直线l 的距离d =√1+tan 2α≤3， 解得tan 2α≤97， 解得−3√77≤tanα≤3√77， 又−π4<α<π2， 所以−1<tanα≤3√77，故tanα的取值范围是(−1,3√77].【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的求值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)证明：∵x2+1≥2x，2(y2+1)≥4y，z2+1≥2z，∴x2+2y2+z2+4≥2(x+2y+z)=8，即x2+2y2+z2≥4，当且仅当x=y=z=1时，等号成立，∴x2+2y2+z2≥4．(2)由柯西不等式，得(x+2y+z)(4+2+4)≥(2√x+2√y+2√z)2，当且仅当x4=2y2=z4，即x=z=85，y=25时，等号成立．∵x+2y+z=4，∴(√x+√y+√z)2≤10，则√x+√y+√z≤√10，故√x+√y+√z的最大值为√10．【解析】(1)利用基本不等式可得x2+2y2+z2+4≥2(x+2y+z)，从而证明x2+2y2+z2≥4成立；(2)由柯西不等式，得(x+2y+z)(4+2+4)≥(2√x+2√y+2√z)2，进一步得到(√x+√y+√z)2≤10，再求出√x+√y+√z的最大值．本题考查了利用柯西不等式求最值，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。

2021届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）英语注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

第一部分听力（共两节，满分30分）注意，听力部分答题时请先将答案标在试卷上，听力部分结束前你将有两分钟的时间将答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每题1.5分，满分7. 5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What is the man going to do in Seattle?A. Visit his brother.B. Meet his partner.C. Do some business.2. What will the woman help the man with?A. Writing a history paper.B. Giving him a newspaper.C. Finding some information.3. Why will the man go to the woman's office at 4： 00?A. To have a class.B. To take a test.C. To see a doctor.4. What does the man mean?A. The woman's idea is not practical.B. The woman should find her own apartment.C. The woman should start her own tour company.5. Where does the conversation probably take place?A. In a hotel.B. In a hospital.C. In a restaurant.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。

2020届西南名校联盟“3＋3＋3”高三备考诊断性联考（一）数学（文）试题一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150 B ．1380C ．1610D ．1860【答案】C【解析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数. 【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有23000.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ． 【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致. 2．若复数z 满足2iz+＝i ，则|z |=( )A B C ．D 【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模． 【详解】方法1：由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2i i z+=，可得2i1-2i z i +==，z D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( ) A ．n =360，m =14 B ．n =420，m =15 C ．n =540，m =18 D ．n =660，m =19【答案】C【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解． 【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n nm m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题． 4．22sin cos 0x x -≥的解集为( ) A ．[2,2],2k k k Z πππ+∈ B ．[,],2k k k Z πππ+∈, C ．[,],44k k k Z ππππ-+∈ D ．3[,],44k k k Z ππππ++∈ 【答案】D【解析】利用三角函数线解不等式得解. 【详解】原不等式等价于|sin ||cos |x x ≥，即正弦线长度大于或等于余弦线长度，故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=SS ( )A ．149B ．73 C ．32D ．2【答案】B【解析】先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题. 6．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－1【答案】C【解析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x-'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由PA ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面PAC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确； 由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题.9．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i【答案】C【解析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L 0=，故选C ． 【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项.10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( )A ．4B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =， c e a ===OAF △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ． 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．11．对于不等式22x y m +≤的解(x ,y )，x ，y ∈R ，都能使得不等式组24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩立，则m 的取值范围是( )A ．B ．16[0,]5C ．D ．(0,2] 【答案】B12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B二、填空题13．已知|a r |=1，|b r |=8，·()3a b a ⋅-=r r r，则向量a r 与b r 向量的夹角是________.【答案】π314．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.【答案】515．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.【答案】82316．已知点F 1，F 2，是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，F 1F 2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ．若椭圆C 的离心率为23，1215PF F S =△则椭圆C 的方程为________.【答案】22195x y +=三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm 至185cm 之间；女性身高普遍在163cm 至175cm 之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm 至190cm 之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm ”，根据直方图得到P (C )的估计值为0．5．(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 【答案】(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++， 0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴． （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围．【答案】(1) π3B =．(2) 3132⎫+⎪⎪⎝⎭，【解析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ； （2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， 12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC V 的内角，π3B ∴=． （2）ABC QV 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +==⨯+=+， ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数ππ1cos 1cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴，2b c <+，即b c +的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2.(1)求该四棱锥P -ABCD 的表面积和体积； (2)求该四棱锥P -ABCD 内切球的表面积.【答案】(1) S ＝8＋2，，V ＝83(2) (24－2)π.【解析】(1) 四个侧面都是直角三角形，进而求出边长，即可求得侧面积，底面是正方形，二者相加即可求出表面积，PD ⊥平面ABCD ，故四棱锥的高为PD ，再由棱锥的体积公式求出体积；(2) 设内切球的半径为r ，球心为O ，根据等体积法求出内切球的半径，则由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，即可求得半径,进而求出内切球的表面积. 【详解】(1) 解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，得PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ⊥AB ．又PD AD D ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∴PA ⊥AB ，∴PA 2=，PB 23=， ∴22PAB S =V ，2PAD S =△，同理22PCB S =V ，2PCD S =△，4ABCD S =， ∴428S =四棱锥表面积， 1833P ABCD ABCD V S PD -=⋅=．S ＝8＋2，，V ＝83（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面PAB ，平面PAD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ， 由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，可得11111113333333ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅△△△△正方形四棱锥表面积，∴2ABCD S PD r S ⋅==正方形四棱锥表面积∴24π(24πS r ==-内切球表面积.∴r ＝2S ＝(24－)π. 【点睛】此题考查求锥体的表面积和内切球的表面积，考查通式通法，尤其是几何体内切球的大小通常用等体积法求其半径．20．已知函数2()(1)xf x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， (2)2max ()(1)e k f x k k k =-- 【解析】(1) 首先求出()'fx ，再由()'0f x >求得单调递增区间，由()'0f x <，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x '=，结合k 的范围，可求得函数在20ln k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k ，的大小，即可求得最大值. 【详解】解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=， 故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，． 令2()ln [12]g k k k k=-∈，，， 211()21102k g k k k⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng k g k k=-<⇒<≤，故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+， 令()(1)e 1[12]k h k k k k =--+∈，，， ()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．已知抛物线E ：2y x =，的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，两条切线的交点为D . (1)证明：∠ADB ＝90°；(2)若△ABD 的外接圆Γ与抛物线C 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2) k >k <【解析】(1)首先设出直线l 的方程，再设1122()()A x y B x y ，，，，直线与抛物线联立方程组，进而求出1212x x x x +，的值，再对抛物线求导，结合导数的几何意义，即可证明； (2)外接圆的直径为AB,进而写出圆的方程，圆和抛物线联立方程组，消去y,等价于方程有两个不同的根，即可求出k 的范围. 【详解】（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，所以，121214x x k x x +==-，． 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222k x =， 所以，121241k k x x ==-，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，， 消去y ，得422130216x k x kx ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾，所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩，综上所述，k k >< 【点睛】本题考查了直线、圆和抛物线的交汇，联立方程组，运用韦达定理是解题的关键，考查了运算求解能力和化归思想，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sin θ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|ABk ． 【答案】(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±．【解析】（1）运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB率． 【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=， 化简得22sin 80t t θ--=．设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-故12||||AB t t =-=得sin θ=， 得1k =±． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题．23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2．求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）运用柯西不等式，求1134()2a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值，即可证明；（2）运用柯西不等式，计算2221()2c a b a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，即可证明. 【详解】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=+ ⎪⎝⎭≥，所以1346a b c++≥+． （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以2222c a b a b c++≥．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.。

西南名校联盟2021届高考数学联考试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合B={a,a2,2}，1∈B，则实数a的值为()A. 1B. −1C. ±1D. −√22.已知i是虚数单位，则3+i的虚部为()1−iA. 2B. −2C. 1D. −13.对变量X与Y的卡方统计量Χ2的值，说法正确的是()A. Χ2越大，“X与Y有关系”可信程度越小B. Χ2越小，“X与Y有关系”可信程度越小C. Χ2越接近0，“X与Y无关”程度越小D. Χ2越大，“X与Y无关”程度越大4.“m≥8”是“方程x2−mx+2m=0有两个大于2的根”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列{a n}为“L数列”()A. 若{a n}是等差数列，且首项a1=0，则数列{a n}是“L数列”B. 若{a n}是等差数列，且公差d=0，则数列{a n}是“L数列”C. 若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|<1，则数列{a n}是“L数列”D. 若{a n}是等比数列，也是“L数列”，则数列{a n}的公比q满足|q|<1−1在区间[0,π]的最小值是()6.已知函数f(x)=cosx+4cos x2A. −2B. −4C. 2D. 47.下列函数中，图象不关于原点对称的是()−1A. y=e x−e−xB. y=2e+1C. y=ln(x+√x2+1)D. y=lnsinx8.某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场()A. 不赚不亏B. 赚了80元C. 亏了80元D. 赚了160元9.按如图的程序框图运行后，输出的S 应为( )A. 7B. 15C. 26D. 4010. 设双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为( ) A. √52B. √5+12C. √2D. √311. 已知函数f(x)=(x 2−2ax)e x ，若f(x)在[−1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,34)B. (12,34)C. [34,+∞)D. (0,12)12. 已知抛物线 y =14x 2的焦点为F ，若P 为抛物线上一点，且|PF|=4，则P 到X 轴的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,|a ⃗ −b ⃗ |=√7，则<a ⃗ ,b ⃗ >为______ °.14. 已知区域D ：{x +y −1≥0x −y +1≥03x −y −3≤0，直线y =kx +1等分区域D 的面积，则实数k 的值为______ ．15. 已知正四棱棱锥P −ABCD 的底面边长和高都为2，O 是底面ABCD 的中心，以O 为球心的球与四棱锥P −ABCD 的各个侧面都相切，则球O 的表面积为______ ． 16. 给出下列命题： ①存在实数，使得； ②函数的图象向右平移个单位，得到的图象；③函数是偶函数；④已知是锐角三角形ABC 的两个内角，则。