数值分析试题A标准答案

-*+ 密 封 线2019-2020学年 第 1学 期 数值分析（A ） 答案一、填空题（每空2分，共10分）1. 模型误差、测量误差、截断误差、舍入误差2. ()010()[,,,],!n n n f f x x x x x n ξξ=K 其中介于、之间。

3. 2n+14. 213123k k k k k x x x x x +++=−+5. 8二 简答题（10分）1. 有效数字各有 6位、3位、5位；误差限为0.00005、0.00005、0.5. ……….4分2.112222ππ解：令f(x)=2x-sinx-2,则f(x)在[,]连续,且f()<0,f()>0,且 f'(x)=2-cosx>0,所以有唯一根。

…….3分1*1sin 1.211()sin 12221()|'()|<1,22122|'()|01k x x x x x x x πϕπϕϕπϕ+=+=+≤≤≠建立迭代格式：由于在区间[,]满足，所以，迭代格式对任意初值属于[,]都收敛。

因为，所以阶收敛。

……….6分三、计算题（共20分）1.（10分）注：本题中误差限可以适当放松。

30011223332()()()()()(0)(1)(2)(1)(1)(2)0(1)(10)(11)(12)(01)(01)(02)(1)(0)(2)(1)(0)(1)215(11)(10)(12)(21)(20)(21)21L x l x y l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x x x =+++---+--=??------+--+--+--+??+--+--=+-………………………….5分001001201012301232()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()0(1)(1)2(1)(0)(1)(0)(1)1N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---=+--+--+---=+-…………………………10分 2. （10分）令所要求的多项式为1()p x a bx =+，取()()011,x x x ϕϕ==，计算()1000,11dx ϕϕ==⎰，()10101,2xdx ϕϕ==⎰，()121101,3x dx ϕϕ==⎰，()100,x f e dx e ϕ==⎰，()110,e 1x f x dx ϕ==⎰……………………………………………………………….…….5’得法方程组1e 211123a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………….7’解之，得： 4.87, 4.31a b ==−，于是得一次最佳平方逼近多项式为1() 4.87 4.31.p x x =−.………………………………………………………………………….10’四、计算题（共30分）1. （10分）()a(()4()())62bb a a bf x dx f a f f b −+++⎰的辛普森公式：验证代数精度： 取f (x ) = 1, 有：左边＝()baf x dx b a =−⎰=右边；取f (x ) = x , 有：左边＝()221()2baf x dx b a =−⎰=右边；……………（4分） 取2()f x x = ，有：左边＝()331()3baf x dx b a =−⎰=右边； 取3()f x x = ，有：左边＝()441()4baf x dx b a =−⎰= 右边；当4()f x x = ，左边＝()441()4baf x dx b a =−≠⎰右边；…………（8分）故公式对4()f x x =不精确成立，其代数精度为4；…………………………………………（10分）2.（10分）解：{}1max 83,78A ==， （2分）{}max 54,99A ∞==， （4分）111213212223212133100212100=013,100612u u u A LU l u u l l u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………………………（6分）121201,013.3212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦所以，L=U=………………………（10分）3. （10分）由题意可知，()()2014,1,1,,1i m n x x x ϕϕω=====()4000,15i ϕϕ===∑，，()()4201100,,5327i x ϕϕϕϕ====∑，()44110,7277699i x ϕϕ===∑，()()400,271.4i i f f x ϕ===∑，()()4210,369321.5i i f f x x ϕ===∑…………（4分）可得55327271.453277277699369321.5a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得0.050.97a b =⎧⎨=⎩故此多项式为20.050.97y x =+…………………………………………………………（10分） ’五、计算题（10分）方程组的Gauss-Seidel 迭代格式为(1)()()123(1)(1)21(1)(1)31522(1)/3(22)/7k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=++⎪=−+⎨⎪=−⎩(5分) 其迭代矩阵为10221022221300033207044077G B −⎡⎤−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−⎢⎥⎣⎦（8分） 其特征方程为32223021260207λλλλλλλ−−=−= 解之得123260,21λλλ===谱半径26()121G B ρ=>，故迭代发散。

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

数值分析试题院系： 专业： 分数：姓名： 学号： 日期：2006.5.27 一、 填空题(每空2分，共20分) 1．设1221A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则A 的奇异值1_____.σ= 2. 已知2()P x 是用极小化插值法得到的sin x 在[0,3]上的二次插值多项式，则2()P x 的 截断误差上界为2()sin ()R x x P x =-≤_________. 3. 设42()231f x x x =++和节点,0,1,2,2k k x k ==则015[,,,]________f x x x = 和40()_________f x ∆=.4．如下两种计算1e -近似值的方法中哪种方法能够提供较好的近似。

_____方法1： 19101!n en --=⎛⎫≈ ⎪⎝⎭∑ 方法2：19101(9)!n e n --=⎛⎫≈ ⎪-⎝⎭∑5. 已知α是非线性方程f (x )=0的二重根，试构造至少二阶收敛的迭代格式__________________.6．给出求解线性方程组1231231238892688x x x x x x x x x -++=-⎧⎪-+=⎨⎪-+-=⎩ 的收敛的Jacobi 迭代格式（分量形式）______________________及相应的迭代矩阵______________________。

7. 解线性方程组Ax=b 的简单迭代格式(1)()k k xB xg +=+收敛的充要条件是__________.8. 下面Matlab 程序所解决的数学问题为____________________. function x=fun(A,b)n=length(b);x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n);for i =n-1:-1:1x(i )=(b(i )-A(i ,i +1:n)* x(i +1:n))/A(i ,i);end二、(15分) 已知方程组Ax=b ，即12121.000122x x x x +=⎧⎨+=⎩有解x =（2，0）T，(1) 求()cond A ∞；(2) 求右端项有小扰动的方程组12121.00012.00012x x x x +=⎧⎨+=⎩的解x x +∆；(3) 计算b b∞∞∆和x x∞∞∆，结果说明了什么问题。

《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级 考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。

---------------------------------------- -------10分二、 证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。

--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。

--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。

武理数值分析考试试题纸（A 卷）课程名称 数值分析 专业年纪 一、计算题（本题满分100分，共5小题，每小题20分） 1． 已知函数表(1) 求f(x)的三次Lagrange 型插值多项式及其插值余项（要求化成最简形式）. (2) 求f(x)的Newton 插值多项式（要求化成最简形式）. 2. 已知A=[212013612]，求‖A ‖1，‖A ‖∞，A 的LU 分解.3. 叙述m 阶代数精度的定义，写出求∫f (x )dx ba 的Simpson 公式，并验证Simpson 公式的代数精度为3阶.4. 设矩阵A=012α11，求当α为何值时，解线性方程组Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代法收敛.5. 叙述最小二乘法的基本原理，并举例说明其应用.参考答案一、计算题1、解：（1）L 3(x )=l 0(x )y 0+l 1(x )y 0+l 2(x )y 2+l 3(x )y 3=(x−0)(x−2)(x−2)(−1−0)(−1−1)(−1−2)×0+(x+1)(x−1)(x−2)(0+1)(0−1)(0−2)×(−1)+(x+1)(x−0)(x−2)(1+1)(1−0)(1−2)×2+(x+1)(x−0)(x−1)(2+1)(2−0)(2−1)×15=x 3+2x 2−1R 3(x )=f (x )−L 3(x )=f (4)(ε)4!ω4(x )(2) 均差表如下：N (x )=f (x 0)+f ,x 0,x 1-(x −x 0)+f ,x 0,x 1,x 2-(x −x 0)(x −x 1)+f ,x 0,x 1,x 2,x 3-(x −x 0)(x −x 1)(x −x 2)=0+(−1)(x +1)+2×(x +1)(x −0)+1×(x +1)(x −0)(x −1) =x 3+x 2−12、 解： ‖A ‖1=max 1≤j≤3∑|a ij |3i=1=2+0+6=8‖A ‖∞=max 1≤i≤3∑|a ij |3j=1=6+1+2=9A =LU =[1l 211l 31l 321][u 11u 12u 13u 22u 23u 33]=[212013612] 由u 11=2 u 12=1 u 13=2l 21=0 u 22=1 u 23=3 l 31=3 l 32=−2 u 33=2所以 A =LU =[1013−21][212132] 3. 解：定义：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。

武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将227和355113作为 3.14159265358979π=L 的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L ，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L .(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =L L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。

由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。

由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。

(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。

解 ()()101011322I A λλλλλλλ--=-=---矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为，较小的特征值为，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********cond A A A -∞∞∞=⨯=⨯= (3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（ ）2. 为了减少误差,进行计算。

（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

1《数值分析》考试试卷A适用专业：计信081 考试日期：2021年6月 试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100一、 填空题： （6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数231.0=*x 关于精确值229.0=x 有 位有效数字.2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =. 4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是 .5、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1==∞AA ，_____________,__________2==AAF.6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ，其中迭代矩阵为 .二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( ).2、高精度运算可以改善问题的病态性( ).3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( ).4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( ).5、高次拉格朗日插值是常用的( ).6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( ).7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到2n+1次( ).8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( ).9、奇异矩阵的范数一定是零( ).10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( ).三、（10分）已给sin0.32=0.314 567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差.四、（10分）求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件P(0)=0，P ’(0)=1,P(1)=1,P ’(1)=2.五、（10分）确定求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh ++-≈--⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.六、（10分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++822185141319615141321321321x x x x x x x x x七、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x 考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯—塞德尔迭代法的收敛性.八、（10分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式.（1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+；（2）123+=x x ，迭代公式3211+=+k k x x ；（3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x ；试分析每种迭代公式的收敛性.2《数值分析》试卷A 答案适用专业：计信081 考试日期：2021年6月 试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100一、填空题： （6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有 2 位有效数字.2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =.(1,0) 4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是 .()('1)(1n n n n n x f x f x x x ---=+)5、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1==∞AA ，____________,2==AAF.(6; 7; 5.477; 5.46)6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ，其中迭代矩阵为 .（U L D A U L D J J --=+=<-),(,1)(1ρ）二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( √ ).2、高精度运算可以改善问题的病态性( Ⅹ ).3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( Ⅹ ).4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( √ ).5、高次拉格朗日插值是常用的( Ⅹ ).6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( √ ).7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到2n+1次( √ ).8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( √ ).9、奇异矩阵的范数一定是零( Ⅹ ).10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( Ⅹ ).三、（10分）已给sin0.32=0.314 567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线性插值 及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差. 解：用线性插值计算：330365.00167.002.001892.0314567.0)3367.0()3367.0(3367.0sin 0010101=⨯+=---+=≈x x x y y y L截断误差：5111092.0)3367.0(3367.0sin )3367.0(-⨯≤-≤L R . 用抛物插值计算：Sin0.3367=0.330 374； 误差：62100132.20233.0033.00167.09493.061)3367.0(-⨯<⨯⨯⨯⨯≤R 四、（10分）求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件P(0)=0，P ’(0)=1,P(1)=1,P ’(1)=2.解：本题是标准的埃尔米特插值问题，可直接套用公式，利用两点的埃尔米特插值公式，xx x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+-+-=∴-=---=-=---=-=----+=23222221011221010022101011)1(2)1()23()(,)1())(()(,)1())(()(),23())(21()(ββα五、（10分）确定求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh ++-≈--⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.解：)(3)0(34)(3)(h f hf h h f hdx x f hh++-≈⎰- 具有3次代数精度.3六、（10分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++822185141319615141321321321x x x x x x x x x解：08.227,92.476,69.177;154,4,9,151300451601061514113620134001123321-==-=⇒=-=-==⇒=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==x x x y Ux y y y b Ly LU A七、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x ， 考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯—塞德尔迭代法的收敛性. 解：（1）雅可比迭代法的迭代矩阵10928203.1)()32.08.0)(8.0(08.04.08.004.04.04.00)(21>=-+-=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+=-J JJB B I U L D B ρλλλλ所以，雅可比迭代法不收敛. (2)高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵18.0)(672.0032.0064.016.004.04.00)(1<=≤⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=∞-BB U L D B s sρ 所以 ，高斯—赛德尔迭代法收敛.八、（10分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式. （1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+；（2）123+=x x ，迭代公式3211+=+k k x x ；（3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x ；试分析每种迭代公式的收敛性.解：考虑5.10=x 的邻域[1.3,1.6].(1)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(2∈+=x x ϕ，1910.03.122)('23<=≈≤-=L x x ϕ，故迭代2111k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛. (2)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[)1()(312∈+=x x ϕ，1522.0)3.11(36.12)1(32)('32322<=≈+⨯≤+=L x x x ϕ，故迭代3211+=+k k x x 在[1.3,1.6]整体收敛(3)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(∈-=x x ϕ，1)16.1(21)1(21)('23>->--=x x ϕ，故迭代111-=+k k x x 在[1.3,1.6]上整体发散.。