人教版平行线的判定条件

1.同位角相等，两条线平行。

2.内错角相等，两条线平行。

3.同旁内角互补，两条线平行。

4.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

5.如果两条直线都与第三条直线直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

（内错角相等，两直线平行）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（同旁内角互补，两直线平行）
（3）两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（若直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c）（等量代换）。

初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。

在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。

同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。

2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。

即如果l||n且m||n，则l||m。

3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。

即如果l∠n且m∠n，则l||m。

4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。

5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。

即如果l||m且m||n，则l||n。

6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。

即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。

7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。

8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。

9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。

以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。

平行线的判定平行线的判定是几何学中非常重要的内容之一，它涉及到平行线的性质和特点。

本文将详细介绍平行线的判定方法，并通过示例来加深对该概念的理解。

一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。

平行线之间的距离始终保持相等。

平行线的标志是使用双竖杠 || 进行符号表示。

二、平行线的判定方法1. 直线与直线的判定a. 同位角相等判定法：如果两条直线被一条横截线所截，而对应的同位角互相等于或补角互相等于，则这两条直线是平行的。

b. 平行线的性质判定法：若两条直线分别与一条第三条直线相交，而对应的同位角相等或补角相等，则这两条直线是平行的。

2. 直线与平面的判定a. 直线与平面平行判定法：如果一条直线与一个平面内的另一直线平行，则该直线与该平面平行。

b. 平面切割法：若一个平面通过一条直线并与一平行于该直线的另一平面相交，则截下的直线与初始直线平行。

3. 平面与平面的判定a. 平面切割法：如果一个平面被一条与另一平面相交的直线切割，且所切割处所得的直线分别平行，则两个平面平行。

三、示例分析1. 例题一已知直线AB // 直线CD，直线AD与直线BC相交于点O。

证明：∠AOC = ∠BOD。

解析：根据已知条件可知直线AD与直线BC平行，根据平行线的性质判定法，可得∠AOC = ∠BOD。

2. 例题二已知平面α内一条直线与平面β内的另一直线平行。

证明：平面α与平面β平行。

解析：根据已知条件可得到一条直线与平面β内的另一直线平行，根据直线与平面平行判定法，可知平面α与平面β平行。

通过以上示例可以看出，平行线的判定方法是根据已知条件和平行线的性质来进行推导和证明的，具体应用要根据题目中给出的条件进行分析。

在几何学中，平行线的判定在解决实际问题和证明定理时发挥着重要的作用。

正确掌握平行线的判定方法，对于理解空间关系和几何形状的特性有着重要意义。

总结起来，平行线的判定方法包括直线与直线的判定、直线与平面的判定以及平面与平面的判定。

平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的 关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分 平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。

平行线的判定公理（定理）（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简称“同位角相等，两直线平行”）．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简称“内错角相等，两直线平行”）．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（简称“同旁内角互补，两直线平行”）．2．平行线的性质公理（定理）如果两条平行线被第三条直线所截，那么（1）同位角相等（简称“两直线平行，同位角相等”）．（2）内错角相等（简称“两直线平行，内错角相等”）．（3）同旁内角含有未知数的等式叫方程。

等式的基本性质1：等式两边同时加〔或减〕同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。

用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。

则：〔1〕a+c＝b+c 〔2〕a-c＝b-c 等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的的数所得的结果仍是等式。

3若a=b,则b=a（等式的对称性）。

4若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。

【方程的一些概念】方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。

方程有整式方程和分式方程。

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

编辑本段一元一次方程人教版7年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到。

定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。

通常形式是kx+b=0(k，b为常数，且k≠0）。

一般解法：⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。

⒉去括号一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率。

⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

5．2平行线及其鉴定【知识要点】平行线旳鉴定（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行（4）在同一平面内，垂直于同一条直线旳两条直线互相平行（5）平行公理旳推论：假如两条直线都与第三条直线互相平行，那么这两条直线也互相平行。

【配套练习】一．判断题：1．两条直线被第三条直线所截，只要同旁内角相等，则两条直线一定平行。

（）2．如图②，∵∠GMB=∠HND（已知）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）（）二．填空题：1．∵a∥b，b∥c（已知）∴______ ∥______（）2．如图：1234ab c（1）∵______=∠3，∴a∥b （）。

（2）∵∠2=∠4，∴______∥________（）（3）∵∠2+∠3=180°，∴______∥________（）3．如图③∵∠1=∠2，∴______∥________（）∵∠2=∠3，∴______∥_______（）4．如图④∵∠1=∠2，∴______∥________（）∵∠3=∠4，∴______∥________（）5．如图⑤∠B=∠D=∠E，那么图形中旳平行线有________________________________。

6．如图⑥∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）∴∠B=∠D=90°（）∴∠B+∠D=180°∴AB∥CD ( )又∵∠1+∠2 =180°（已知）∴AB∥EF ( )∴CD∥EF ( )三．选择题：1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（）A．AD∥BC B．AB∥CDC．EF∥BC D．AD∥EF2．如图⑧，鉴定AB∥CE旳理由是（）A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE3．如图⑨，下列推理错误旳是（）A．∵∠1=∠3，∴a∥b B．∵∠1=∠2，∴a∥bC．∵∠1=∠2，∴c∥d D．∵∠1=∠2，∴c∥d4.如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b旳是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④四．完毕推理，填写推理根据：1．如图⑩∵∠B=∠______，∴AB∥CD（）∵∠BGC=∠____，∴CD∥EF（）∵AB∥CD ，CD∥EF，∴AB∥_______（）2．如图⑾填空：（1）∵∠2=∠3（已知）∴AB__________（）（2）∵∠1=∠A（已知）∴__________（）（3）∵∠1=∠D（已知）∴__________（）（4）∵_______=∠F（已知）∴AC∥DF（）3.填空。