机械振动专题复习.

高三复习机械振动知识点机械振动是指物体在某一参考点周围以某一频率往复运动的现象。

在高三物理学习中，机械振动是一个重要的知识点。

本文将从简谐振动、振动的特性、振动的能量等方面进行讨论。

一、简谐振动简谐振动是指受到一个恢复力作用，在无阻尼、无扰动的情况下，物体沿着某一直线或者某一平面做往复运动的现象。

简谐振动有如下几个特点：1. 物体做简谐振动时，其运动是周期性的，即在一定的时间内完成一次完整的振动循环。

2. 物体做简谐振动的力是恢复力，且恢复力与物体的偏离位置成正比，方向相反。

3. 物体做简谐振动的周期与振幅无关，只与质量和弹性系数有关，可以通过以下公式计算：T=2π√(m/k)其中，T为周期，m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数。

二、振动的特性1. 振幅（A）：振幅是指物体在振动过程中，离开平衡位置的最大位移距离。

振幅越大，物体的振动幅度越大。

2. 频率（f）：频率是指单位时间内振动循环的次数，用赫兹（Hz）表示。

频率可以通过以下公式计算：f=1/T其中，T为周期。

3. 角频率（ω）：角频率是指单位时间内振动角度的变化速率，用弧度/秒（rad/s）表示。

角频率与频率的关系如下：ω=2πf4. 相位（φ）：相位是指物体振动过程中离开平衡位置的位移相对于某一参考点的位置关系。

相位差可以通过以下公式计算：φ=ωt其中，φ为相位差，ω为角频率，t为时间。

三、振动的能量振动系统具有动能和势能，它们之间的转化是振动的能量变化过程。

振动系统的能量可以分为以下几个部分：1. 动能（K）：动能是指物体在振动过程中具有的运动能量，可以通过以下公式计算：K=1/2mv^2其中，m为物体的质量，v为物体的速度。

2. 势能（U）：势能是指物体在振动过程中具有的储存能量，可以通过以下公式计算：U=1/2kx^2其中，k为弹簧的弹性系数，x为物体的位移。

3. 总能量（E）：振动系统的总能量是指动能和势能之和，即E=K+U。

在简谐振动中，总能量保持不变。

机械振动专题复习本章高考的热点内容是:(1)单摆周期公式; (2)图象应用。

一、描述振动的若干概念1．回复力：使物体回到平衡位置的力。

2．位移x ：振动中的位移是指振动物体离开平衡位置的位移。

是矢量。

3．振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离，单位是米。

振幅是描述振动强弱的物理量 。

4．周期T ：振动物体完成一次全振动所需时间，单位是秒。

5．频率f ：单位时间内完成全振动的次数，单位是赫。

周期和频率都是描述振动快慢的物理量6．受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动。

物体作受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关。

7．共振：当驱动力频率等于物体的固有频率时发生共振，共振时振幅最大。

二.简谐运动1.简谐运动定义：回复力与位移成正比、且总是和位移相反指向平衡位置的振动，即符合F = -kx 的振动。

2.周期公式：gl T π2=。

摆角小于5o 。

3.简谐运动图象：表示振动物体的位移随时间变化的规律。

只有简谐运动的图象才是正、余弦函数的图象；典型问题与处理方法（一）简谐振动物体的各物理量的变化分析【例1】如图为一单摆的振动图线，从图线上可以看出此质点做的是 振动，周期是 秒，频率是 赫兹；摆长是 米，振幅是 厘米；0.4秒时的位移是 厘米，0.6秒时的位移是 厘米；正向速度最大的时刻是 ；位移最大的时刻是 ； 时间内负向加速度在逐渐减小。

（二）单摆与牛顿第二定律的综合问题【例1】如图所示，在O 点悬一细长直杆，杆上穿着一个弹性小球A ，用长为L 的细线系着另一小球B ，上端也固定在O 点。

将B 球拉开，使细线偏离竖直方向一个小角度，将A 停在距O 点L/2处，同时释放，若B 第一次回到平衡位置时与A 正好相碰（取g = 10m/s 2，π2= 10）则（ ）A. A 球与细杆之间不应有摩擦力B. A 球的加速度必须等于4 m/s 2C. A 球受到的摩擦力等于其重力的0.6倍D. A 球受到的摩擦力等于其重力的0.4倍【例2】一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，可见电梯在作加速运动，其加速度a （ ）A. 方向向上，大小为0.5gB. 方向向上，大小为0.75gC. 方向向下，大小为0.5gD. 方向向下，大小为0.75g（三）单摆与万有引力定律的综合问题【例1】一个单摆在地面上的周期是T ，当将它放到离地面某一高度的地方时，其周期变为3T ，则此高度为地球半径的（ ）A. 9倍B. 8倍C. 3倍D. 2倍【例2】火星的半径为地球半径的1/2，质量是地球质量的1/9。

2021年高考物理专题复习：机械振动一、单选题1．如图所示，质量为m的物体A放置在质量M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移x时，AB间摩擦力的大小等于（）A．0 B．kx C．mkxMD．mkxM m2．如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO=OC=5cm。

若振子从B 到C的运动时间是1s，则下列说法中正确的是（）A．振子从B经O到C完成一次全振动B．振动周期是1s，振幅是10cmC．经过两次全振动，振子通过的路程是20cmD．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm3．如图甲所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定在墙壁上，另一端与一个质量为M物体相连，在物体上放质量为m的木块，压缩弹簧，释放后两者一起运动，运动过程中始终保持相对静止。

图乙是两物体一起运动的振动图像，振幅为A，则下列说法正确的是（）A．10t-内速度在减小，加速度在减小B．23t t-内木块受到的摩擦力在增大C．2t时刻木块受到的摩擦力大小为kAm M m+D．3t时刻木块受到的摩擦力大小为kAm M m+4．一个小球与弹簧连接套在光滑水平细杆上，在A、B间做简谐运动，O点为AB的中点，如图所示。

以O点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，得到小球振动图像。

下列结论正确的是（）A．小球振动的频率是2HzB．t=0.5s时，小球在B位置C．小球在A、B位置时，加速度最大，速度也最大D．如果将小球的振幅增大，则周期也会变大5．一弹簧振子沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示。

由图可知（）A ．t =1.0s 时振子的速度为零，加速度为正的最大值B ．在1.0s~1.5s 内振子的速度增加，加速度为负值C ．在2.0s~2.5s 内振子的速度减小，加速度为负值D ．t =2.5s 时振子的速度为零，加速度为负的最大值6．如图所示，轻质弹簧下端挂重为20N 的金属球A 时伸长了2cm ，再用细线在金属球A 的下面挂上重为30N 的金属球B 时又伸长了3cm ，现将A 、B 间的细线烧断，使金属球A 沿竖直直线振动，则（ ）A ．金属球A 的最大回复力为30N ，振幅为3cmB ．金属球A 的最大回复力为20N ，振为2cmC ．只减小A 的质量，振动的振幅变小D ．只减小B 的质量，振动的振幅不变7．如图所示是一单摆做阻尼振动的x t -图像，则此单摆的摆球在图中P 与N 时刻的（ ）A ．速率P N v v >B ．重力势能PP PN E E >C ．机械能P N E E <D ．受到的拉力P N F F =8．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T ，振幅为A ，已知振子从平衡位置第一次运动到2A x =处所用的最短时间为1t ，从最大正位移处第一次运动到2A x =所用的最短时间为2t ，那么1t 与2t 的大小关系正确的是（ ）A ．12t t =B ．12t t <C ．12t t >D ．无法判断二、多选题 9．质点沿y 轴做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．该质点的振动周期为0.4 sB ．t =0.04 s 时，该质点沿y 轴负方向运动C ．在一个周期内，该质点的位移为0.4 mD ．t =0.2 s 时，该质点受到的回复力等于0E.在0.3~0.5 s 内，该质点的速度先增大后减小10．如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆（称为“驱动摆”）驱动另外几个单摆。

中南大学考试试卷2005 - 2006学年上学期时间门o分钟《机械振动基础》课程32学时1.5学分考试形式：闭卷专业年级：机械03级总分100分，占总评成绩70 %注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、填空题（本题15分，每空1分）1＞不同情况进行分类，振动（系统）大致可分成，（）和非线性振动；确定振动和（）；（）和强迫振动；周期振动和（）；（）和离散系统。

2、在离散系统屮，弹性元件储存（）,惯性元件储存（），（）元件耗散能量。

3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。

4、叠加原理是分析（）的振动性质的基础。

5、系统的固有频率是系统（）的频率，它只与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。

二、简答题（本题40分，每小题10分）1、简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。

（10分）2、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。

（10分）3、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（20分）4、多自由系统振动的振型指的是什么？（10分）三、计算题（本题30分）图1 2、图2所示为3自由度无阻尼振动系统。

（1）列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）；（2）设k t[=k t2=k t3=k t4=k9 /, =/2/5 = /3 = 7,求系统固有频率（10 分）。

13 Kt3四、证明题（本题15分）对振动系统的任一位移{兀},证明Rayleigh商R（x）=⑷严⑷满足材 < 尺⑴ < 忒。

{x}\M\{x}这里，［K］和［M］分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，®和①，分别是系统的最低和最高固有频率。

（提示：用展开定理{x} = y{M} + y2{u2}+……+ y n{u n}）3 •简述无阻尼单自由度系统共振的能量集聚过程。

（10 分） 4.简述线性多自由度系统动力响应分析方法。

（10 分）中南大学考试试卷2006 - 2007学年 上 学期 时间120分钟机械振动 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级： 机械04级 总分100分，占总评成绩 70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、填空（15分，每空1分）1. 叠加原理在（A ）中成立；在一定的条件下，可以用线性关系近似（B ） o2. 在振动系统中，弹性元件储存（C ）,惯性元件储存（D ） , （E ）元件耗散 能量。

1、组成振动系统的三个基本元件：质量、弹簧、阻尼。

振动现象（简谐运动）三要素：振幅、频率、初相位。

其中强调频率为0并不代表振动函数为0，只是表示其未振动，没有振荡特性，图线是一根直线而已。

(P9)2、振动问题分类：已知系统模型、外载荷、求系统响应，称为响应计算或正问题;已知外载荷响应，求系统特性，称为系统识别或参数识别，也称为第一类逆问题；已知系统特性响应求载荷称为载荷识别，也称为第二类逆问题。

（P3-P4）3、单（多）自由度线性振动系统运动方程由二阶常系数微分方程（组）表示，且自由振动问题由齐次方程表示，受迫振动问题的运动方程为非齐次方程。

（P8）4、弹簧刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需要施加的力。

在振动系统中通常假定弹簧质量为0；线性振动（微幅振动）的范围内，通常认为弹簧总在线性变形的范围内；两弹簧串联后等效弹簧刚度如何计算？并联？（P12）对于角振动系统，弹簧为扭转弹簧，其刚度系数的物理意义是：使弹簧产生单位角位移所需要施加的力矩。

（P14）5、粘性阻尼系数的特点：阻尼器产生的阻尼力与阻尼器两端的相对速度成正比。

（P32-34)6、什么是二阶线性常系数齐次微分方程的通解？非齐次微分方程的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。

（P20）7、求解无阻尼单自由度系统的自由振动响应，就是确定求系统在给定的初始位移、初始速度下，系统运动方程的一个特解和通解的系数。

8、无阻尼单自由度系统的固有频率，仅取决于系统的刚度、质量，而与系统初始条件、所受外激励无关，是系统的固有属性。

系统的质量越小，刚度越大，固有频率越高。

要求掌握弧度制单位和频率之间的换算关系。

（P10）9、简谐运动的位移、速度、加速度间的关系，速度位移间的相位差为90度，加速度和位移之间的相位差为180度。

其物理意义？（P10）10、两频率不同的简谐振动合成，若两频率比为有理数（可通约）时，合成振动为周期振动；若为无理数，合成振动为非周期振动。

机械振动全章复习资料一、简谐运动的基本概念 1.定义物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F 回= -kx （判断一个振动是否是简谐运动的方法） ⑴振动的位移必须是指偏离平衡位置的位移（实质与位置对应）。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

简谐运动的位移随时间变化的规律是正弦函数（判断一个振动是否是简谐运动的方法）。

⑵回复力是一种效果力。

是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）⑷F=-kx 是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

例1.简谐运动的判断方法。

两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K 1、K 2，它们与一个质量为m 的小球组成的弹簧振子，如图1所示。

试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。

证明：以平衡位置O 为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O 时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。

设振子沿X 正方向发生位移x ，则物体受到的合力为F=F 1+F 2=-k 1x-k 2x=-(k 1+k 2)x=-kx.所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。

要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。

然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x 轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。

《机械振动》复习要点一、机械振动的描述：1、定义：物体（或物体的一部分）在某一中心位置（平衡位置）两侧所做的往复运动，叫做机械振动，简称振动。

2、条件：（1）每当离开平衡位置，就受到回复力作用；（2）摩擦阻力足够小。

二、简谐振动：1、定义：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫做简谐振动。

2、特征：（1） 回复力：F= –k x（2） 加速度：x mk a -= （3） 振子速度：物体处于最大位移处时速度最小（等于零），处于平衡位置时速度最大。

三、描述振动的物理量：1、振幅（A ）：振动物体离开平衡位置的最大距离。

单位：米（m ）意义：表征振动强弱的物理量，振幅越大，振动能量越大；2、周期（T ）：物体完成一次全振动所经历的时间。

单位：秒（S ）频率（f ）：振动物体一秒钟内完成全振动的次数。

单位：赫兹（Hz ）意义：T 、f 表征振动快慢的物理量关系：f = T 1 ； T = f1 T 越小，f 越大，振动越快。

说明：物体的振动频率是由振动物体本身的性质决定的，与振幅的大小无关，所以又叫固有频率。

振动的周期叫做固有周期。

例如：单摆周期公式：T = 2g lπ四、振动分类：1、按振幅有无变化分：（1）：阻尼振动与无阻尼振动：(A)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动。

(B)无阻尼振动：振幅不变的振动叫做无阻尼振动。

2、按振动的形成原因分：1）自由振动：不受其它外力，只在系统内部的弹力或重力作用下的振动叫做自由振动；2）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动。

(A)驱动力：作用于质点的周期性的外力叫做驱动力；(B)受迫振动特点：(1)物体做受迫振动达到稳定时的振动频率等于驱动力的频率，而与物体的固有频率无关；(2)物体做受迫振动的振幅与驱动力的频率和物体的固有频率有关，二者相差越小，物体做受迫振动的振幅越大。

五、共振：1、作受迫振动的物体的振幅随驱动力的频率变化曲线如图所示：（横坐标为驱动力的频率）2、条件：当驱动力的频率跟物体的固有频率相等（固驱f f =）时，受迫振动物体的振幅最大，这种现象叫做共振。

机械振动复习提纲知识点一、简谐运动1、机械运动：物体相对与参考系位置发生改变叫机械运动。

常见的机械运动形式有：匀速直线运动、匀变速直线运动、非匀变速直线运动、自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、圆周运动、类平抛运动、机械振动等。

2、机械振动：物体在某一平衡位置附近的往复运动叫机械振动，简称振动。

3、简谐运动：物体在与位移成正比方向相反的回复力作用下的机械振动叫简谐运动。

注意：（1）、简谐运动是机械振动中最简单、最基本的运动、是理想的物理模型。

（2）、做简谐运动的物体的位移默认指的是物体离开平衡位置的位移，因此位移的方向始终从平衡位置指向物体所在的位置。

（3）、简谐运动的平衡位置就是运动轨迹的对称中心的位置，也就是物体静止时所在的位置。

（4）、简谐运动中的物体到达平衡位置时速度最大，位移为0，在离开平衡位置最远的位置时位移最大，速度为0。

4、简谐运动的两个常见模型：（1）、弹簧振子（2）、单摆例题1、下述说法中正确的是（ ）A ．树枝在风中摇动是振动B ．拍篮球时，篮球的运动是振动C ．人走路时手的运动是振动D ．转动的砂轮的边缘上某点的运动是振动，圆心可以看作是振动中心知识点二、描述简谐运动的物理量1、简谐运动的位移在简谐运动中，通常研究物体在某一时刻或到达某一位置时的位移，因此默认是离开平衡位置的位移，方向总是从平衡位置指向物体所在的位置。

2、回复力：回复力是根据力的效果命名的，回复力的方向总是指向平衡位置，其作用效果是要把物体拉回到平衡位置。

注意：（1）、回复力可能是物体受到的某一个力、可能是物体受到的合力、也可能是物体受到的某一个力的分力。

（2）、在简谐运动中，回复力和位移的关系是：kx F -=例题1、关于机械振动，下列说法正确的是（ ）A ．往复运动就是机械振动B ．机械振动是靠惯性运动的，不需要有力的作用C ．机械振动是受回复力作用的D ．回复力是物体所受的合力例题2、物体做机械振动的回复力（ ）A ．必定是区别于重力、弹力、摩擦力的另一种力B ．必定是物体所受的合力C ．可以是物体受力中的一个力D ．可以是物体所受力中的一个力的分力3、加速度：简谐运动的加速度是指回复力产生的加速度，由牛二定律可知它和物体的位移成正比，方向相反。

期末复习四机械振动知识总结1、机械振动(简称)是一种运动；平衡位置指振动物体时所处位置，它是位移的点，是回复力的点；偏离平衡位置的最大叫振幅，用符号表示；振动物体循环一次又回到位置的过程叫一次全振动，其过程所经历的路程等于振幅的倍，所用时间为，倒数为频率f (两者关系为= 1/f )。

Q P2、简谐运动的两种判断方式：(1)物体的位移-时间(x-t)图象(也叫图象)遵从函数规律，即位移x = A sin(ωt+ φ)，其中A叫，ω叫圆频率，可用公式计算；(2)物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移的大小成比，并且总是指向位置，即F= 。

3、简谐运动的位移－时间图象(ｘ-ｔ图象，也叫振动图象)：纵坐标x表示质点振动的，横坐标ｔ表示质点振动的时刻(横坐标也表示质点的位置)，用来表示质点的随时间的变化．４、单摆振动过程的回复力是力沿圆弧切线方向的分力，其在摆角θ很小(θ小于)时可看作简谐运动；确定了单摆的周期公式，可用它测量重力加速度g= 。

５、振动的能量与有关；振幅随时间逐渐的振动叫阻尼振动；系统在力作用下的振动叫受迫振动，其特点为物体振动的频率于驱动力的频率；当驱动力的频率于物体固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到，叫共振。

针对训练1、(多选)作简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，一定相同的物理量是( )A、速度B、位移C、回复力D、加速度２、关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是()A、平衡位置就是物体振动范围的中心位置B、机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移C、机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大D、机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移３、如图所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间是1 s ，则下列说法正确的是 ( ) A 、振子从B 经O 到C 完成一次全振动 B 、振动周期是1 s ，振幅是10 cmC 、经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD 、B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm４、(多选)一弹簧振子振动时，先后以相同的速度通过路径上的A 、B 两点，从A 到B 历时1s ，过了B 点后继续运动，再经过1s 振子又回到B 点，则可判断这个弹簧振子（ ） A 、振动的周期为4s B 、在A 、B 两点的加速度相同 C 、在A 、B 两点的位移相同 D 、在A 、B 两点的弹性势能相同一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm 的A 、B 两点，历时0.5 s(如图)。

机械振动专题归纳Organized at 3pm on January 25, 2023Only by working hard can we be better一、题型归纳1. 巧用时间的对称性例1一质点在平衡位置O 点两侧做简谐运动,在它从平衡位置O 出发向最大位移A 处运动过程中经s 15.0第一次通过M 点,再经s 1.0第2次通过M 点;则此后还要经多长时间第3次通过M 点,该质点振动的频率为多大解析：由于质点从A M →和从M A →的时间是对称的,结合题设条件可知A M →所需时间为s 05.0,所以质点从平衡位置A O →的时间为s s t t t MA OM OA 2.0)05.015.0(=+=+=,又因为4T t OA =,所以质点的振动周期为s T 8.0=,频率Hz T f 25.11==;根据时间的对称性可知O M →与M O →所需时间相等为s 15.0,所以质点第3次通过M 点所需时间为s t T t OM 7.022=+=;2. 巧用加速度的对称性例3 如图3所示,质量为m 的物体放在质量为M 的平台上,随平台在竖直方向上做简谐运动,振幅为A ,运动到最高点时,物体m 对平台的压力恰好为零,当m 运动到最低点时,求m 的加速度;解析：我们容易证明,物体m 在竖直平面内做简谐运动,由小球运动到最高点时对M 的压力为零,即知道物体m 在运动到最高点时的加速度为g ,由简谐运动的对称性知道,物体m 运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等,方向相反,故小球运动到最低点时的加速度的大小为g ,方向竖直向上;例4轻弹簧劲度系数为k 的下端固定在地面上,其上端和一质量为M 的木板B 相连接,在木板B 上又放有一个质量为m 的物块P ;当系统上下振动时,欲使P 、B 始终不分离,则轻弹簧的最大压缩量为多大解析：从简谐运动的角度看,木板B 和物块P 的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力,即kx F =合；从简单连接体的角度看,系统受到的合外力产生了系统的加速度a ,即a m M F )(+=合,由以上两式可解为a m M kx )(+=;当P 和B 在平衡位置下方时,系统处于超重状态,P 不可能和B 分离,因此P 和B 分离的位置一定在上方最大位移处,且P 和B 一起运动的最大加速度g a m =;由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为g a m =,所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式m m a m M g m M kx )()(+=+-,即得k g m M x m )(2+=;3. 巧用速度的对称性例5 如图所示是一水平弹簧振子在s 5内的振动图象;从图象中分析,在给定的时间内,以s 5.0为起点的哪段时间内,弹力所做的功为零;解析：由速度的对称性可知,图5中与s 5.0具有相同速率的时刻为s 5.1、s 5.2、s 5.3、s 5.4;结合动能定理可知,从s 5.0到以上时刻所对应的时间内弹力所作的功均为零;4. 巧用回复力的对称性例6在质量为M 的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为)(m M m ≥的A 、B 两物块,箱子放在水平地面上,平衡后剪断A 、B 间细线,此后A 将做简谐运动;当A 运动到最高点时,木箱对地面的压力为A.MgB.g m M )(-C.g m M )(+D.g m M )2(+解析：剪断细线后的瞬间,弹簧对A 的弹力为mg kx 2=,所以A 受到向上的合外力回复力为mg ;当A 运动到上方最大位移处时,由于简谐运动的回复力的对称性,A 将受到竖直向下的合外力回复力,其大小仍为mg ,也就是说,此时弹簧中没有弹力,所以木箱对地面的压力为Mg ;选项A 正确;例7质量为m 的木块放在弹簧上端,在竖直方向上做简谐运动,当振幅为A 时,物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的5.1倍,则物体对弹簧的最小压力是_____；欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧,其振幅不能超过_____;分析与解答：物体对弹簧压力最大应是物体振动到最低点时,最小应是物体振动到最高点时;对物体进行受力分析,在最低点受两个力：重力和弹簧弹力,根据题中信息可知这两个力的合力大小为mg 5.0,方向向上,充当回复力;根据力大小的对称性可知,物体振动到最高点时,回复力大小也应为mg 5.0,方向向下,则物体在最高点所受弹簧的弹力应为mg 5.0,方向向上,根据牛顿第三定律物体对弹簧的最小压力为mg 5.0；物体脱离弹簧时应是弹簧恢复到自由伸长时,根据弹力x k F ∆=可知,在原来的基础上弹簧再伸长一个振幅A 就可恢复到原长,所以欲使物体不离开弹簧,其振幅不能超过A 2;例8用质量不计的弹簧把质量为m 3的木板A 与质量为m 的木板B 连接组成如图所示的装置,B 板置于水平地面上,现用一个竖直向下的力F 向下压木板A ,撤消F 后,B 板恰好被提离地面,由此可知力F 的大小是A. mg 7B. mg 4C. mg 3D.mg 2解析：没撤去力F 时,物体A 静止,所受合力为零,把力F 撤去,物体A 受合力大小为F ,方向向上,开始向上振动,所以最大回复力为F ,根据力大小的对称性,A 振动到最高点时,回复力大小也为F ,对物体A 在最高点进行受力分析：重力mg 3和弹簧的弹力F ',合力为F ;即mg F F 3+'=；再对物体B 进行受力分析,B 恰好被提离地面可得：mg F =',所以力F 的大小为mg 4;选项B 正确;5. 巧用能量的对称性例9 一轻弹簧直立在地面上,其劲度系数为m N k /400=,弹簧的上端与盒子A 连接在一起,盒子内装物体B ,B 的上下表面恰好与盒子接触,A 和B 的质量kg m m B A 1==,2/10s m g =,不计阻力,先将A 向上抬高使弹簧伸长cm 5后从静止释放,A 和B 一起做上下方向的简谐运动,已知弹簧的弹性势能决定于弹簧的形变大小;试求：1A 的振幅；2B 的最大速率；3在最高点和最低点时A 对B 的作用力;解析：1设A 和B 做简谐运动到平衡位置时,弹簧的压缩量为0x ,由平衡条件g m m kx B A )(0+=,得cm x 50=,故A 的振幅为cm A 10=;2当B 运动到平衡位置时速率最大,A 和B 由静止释放到平衡位置过程中,弹簧的伸长量与压缩量相等,弹性势能不变,由动能定理2)(21)(v m m gA m m B A B A +=+,得s m v /2=;3设A 、B 一起运动的最大加速度大小最高点和最低点为a ,由牛顿第二定律a m m kx g m m B A B A )()(1+=++,得2/20s m a =;取B 为研究对象,在最高点时有a m F g m B B =+1,得A 对B 的作用力N F 101=,方向向下；在最低点时有a m g m F B B =-2,得A 对B 的作用力N F 302=,方向向上;例10质量分别为kg m A 2=和kg m B 3=的A 、B 两物块,用劲度系数为k 的轻弹簧相连后竖直放在水平面上,今用大小为N F 45=的力把物块A 向下压而使之处于静止,突然撤去压力,则A. 物块B 有可能离开水平面B. 物块B 不可能离开水平面C. 只要k 足够小,物块B 就可能离开水平面D. 只要k 足够大,物块B 就可能离开水平面解析：撤去压力后,物体A 在竖直方向上做简谐运动,下压的的初始位置即为振幅位置,此时最大回复力为N F 45=学生可类比水平方向得出结论,也可间接由受力分析得出,由回复力的对称性特点,当A 运动到最高点时,回复力也为N 45,方向向下,设此时弹簧中的弹力为x F ,有g m F F A x +=,得N F x 25=,g m F B x <,因此,物体B 不可能离开水平面;6.简谐振动的图象和能量例11一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动,若从O 点开始记时,经过s 3质点第一次经过M 点；再继续运动,又经过s 2,它第二次经过M 点；则该质点第三次经过M 点所需的时间是A. s 8B. s 4C. s 14D. s 310解析：设图2中a 、b 两点为质点振动过程中的最大位移,若开始记时时刻质点从O点向右运动,M O →运动过程经历s 3,M b M --过程经历s 2,显然s T 44=,s T 16=,质点第三次经过M 点所需的时间s s s s T t 1421623=-=-=∆,故C 正确；若开始记时时刻质点从O 点向左运动,M O a O ---运动过程经历了s 3,M b M --过程经历s 2,显然s T T 424=+,s T 316=,质点第三次经过M 点所需的时间s s s s T t 310231623=-=-='∆,故D 正确;因此选C 、D;例12 如图是一个单摆的共振曲线,则该单摆的摆长约为多大共振时单摆的振幅多大共振时摆球的最大加速度和最大速度分别为多大2/10s m g =解析：这是一道根据共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目,本题涉及到的知识点有受迫振动、共振的概念和规律、单摆摆球做简谐运动及固有周期、频率、能量的规律等;由题意可知,当单摆振动时频率Hz f 5.0=,即Hz f f 5.0==固,振幅m cm A 08.08==,由g l T π2=,解得m f g L 1422==π;如图5所示,当最大摆角共振时m θ很小时,L mgAmg mg F m m ===θθsin ,其中m θ为弧度;当m θ很小时,m m θθ=sin ,弦A 近似为弧长;图5其最大加速度2/8.0sin s m L gA g a m m ===θ根据机械能守恒有)cos 1(22m m mgL mv θ-=且22222)2(22sin 2cos 1L A m m m ===-θθθm θ很小,所以s m v m /25.0= 二．2012高考题型归类 1．简谐运动基本概念解图像问题1．2012·北京17一个弹簧振子沿x 轴做简谐运动,取平衡位置O 为x 轴坐标原点．从某时刻开始计时,经过四分之一的周期,振子具有沿x 轴正方向的最大加速度;能正确反映振子位移x 与时间t 关系的图像是解析：由振子受到的力,则加速度；加速度与位移成正比,方向与位移方向相反;根据以上四幅图可知答案为A; 点评：振动与波动是每年的必考题,以往北京出题都是振动图像和波动图像一起出现的,而今年只出现的振动图像,考察的也是比较基础的质点振动时的加速度问题,没有变型,比较常见,所以其实题目的难度和前几年高考相比是有所下降了;2．2012·重庆14装有砂粒的试管竖直静立于小面,如题14图所示,将管竖直提起少许,然后由静止释放并开始计时,在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动;若取竖直向上为正方向,则以下描述试管振动的图象中可能正确的是解析：试管竖直提起少许后释放,说明试管从正向最大位移处开始做简谐运动运动,从以上选项可得D 正确2．单摆问题3．2012上海卷在“利用单摆测重力加速度”的实验中1某同学尝试用DIS 测量周期;如图,用一个磁性小球代替原先的摆球,在单摆下方放置一个磁传感器,其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方;图中磁传感器的引出端A 应接到__________;使单摆做小角度摆动,当磁感应强度测量值最大时,磁性小球位于__________;若测得连续N 个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t ,则单摆周期的测量值为__________地磁场和磁传感器的影响可忽略;2多次改变摆长使单摆做小角度摆动,测量摆长L 及相应的周期T ;虎后,分别取L 和T 的对数,所得到的1g T -1g L 图线为______填“直线”、“对数曲线”或“指数曲线”；读得图线与纵轴交点的纵坐标为c ,由此得到该地的重力加速度g ＝__________; 答案：1数据采集器,最低点或平衡位置,,2直线,42/102c ;解析：1只有小球在最低点时,磁感应器中的磁感强度才最大；连续N 个磁感应强度最大值应有N-1个时间间隔,这段时间应为N-1/2个周期,即：因此T=2根据：,取对数得：因此图象为一条直线；图象与纵坐标交点为C,则整理得：;4． 2012·全国大纲25一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k;设地球的半径为R;假定地球的密度均匀;已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零,求矿井的深度d;解析：单摆在地面处的摆动周期,在某矿井底部摆动周期,已知,根据,;表示某矿井底部以下的地球的质量,表示某矿井底部处的重力加速度,又由,联立解得：三．2013新题演练1.若单摆的摆长不变,摆球的质量由20g 增加为40g,摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°,则单摆振动的A.频率不变,振幅不变B.频率不变,振幅改变C.频率改变,振幅不变D.频率改变,振幅改变解析：单摆的摆长不变时,单摆振动的周期gl T π2=不变,频率f=1/T 不变；摆长不变时,摆角越大,振幅越大,选项B 正确;本题答案为B;2.关于单摆的运动有下列说法,正确的是①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力O A B C x ②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力③单摆的周期与质量无关与振幅无关,与摆长和当地的重力加速度有关④单摆做简谐运动的条件是摆角很小如小于5°⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快A ．①③④B ．②③④C ．③④⑤D ．①④⑤3.沿x 轴方向的一条细绳上有O 、A 、B 、C 四点,AB OA =,AB BC 5=,质点O 在垂直于x 轴方向做简谐运动,沿x 轴传播形成横波．t = 0时刻,O 点开始向上运动,经t = ,O 点第一次到达上方最大位移处,这时A 点刚好开始运动．那么在t = 时刻,关于质点B 和C 运动情况, 以下描述中正确的是A ．B 点位于x 轴下方 B ．C 点位于x 轴下方C ．B 点正向上运动D ．C 点正向上运动解析：根据题意,机械波的振动周期T =4t =,波长λ=4AB ,在t 1=时刻,B 点刚好开始向上运动,在t = 时刻,即再经过=T 852,B 点位于x 轴下方,且正向下运动,所以选项A 正确,C 错误；在t 2=时刻,C 点刚好开始向上运动,在t = 时刻,即再经过=T 831,C 点位于x 轴上方,且正向下运动,所以选项BD 错误;本题答案为A;4.如图所示,两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上,已知甲的质量大于乙的质量．当细线突然断开后,两物块都开始做简谐运动,在运动过程中A ．甲的振幅大于乙的振幅B ．甲的振幅小于乙的振幅C ．甲的最大速度小于乙的最大速度D ．甲的最大速度大于乙的最大速度5.一水平弹簧振子在平衡位置O 点附近做简谐运动,它离开O 点经过 s 后第一次到达M 点,再经过 s 第二次到达M 点,从弹簧振子离开O 点开始计时,则A ．t 1 = s 时刻和t 2 = s 时刻弹簧长度可能相同B ．振子第三次到达M 点还要经过的时间可能是 sC ．t 1 =31s 时刻和t 2 =32s 时刻振子的动量一定相同D ．t 1 =31s 时刻和t 2 =32s 时刻振子加速度大小一定相等6．振源A 带动细绳上各点上下做简谐运动,t = 0时刻绳上形成的波形如图所示;规定绳上质点向上运动的方向为x 轴的正方向,则P 点的振动图象是7.质点P 以O 点为平衡位置竖直向上作简谐运动,同时质点Q 也从O 点被竖直上抛,它们恰好同时到达最高点,且高度相同,在此过程中,两质点的瞬时速度v P 与v Q 的关系应该是A ．v P ＞v QB ．先v P ＞v Q ,后v P ＜v Q ,最后v P =v Q AC ．v P ＜v QD ．先v P ＜v Q ,后v P ＞v Q ,最后v P =v Q解析：在此过程中,质点P 做加速度逐渐增大的减速运动,而质点Q 做匀减速直线运动,它们的末速度均为零,运动时间相等,位移也相等,据此可在同一坐标系中作出它们的v-t 图象,如上图所示,其中两图线与坐标轴围成图形的面积是相等的,据图可知,选项D 正确;本题答案为D;8.正在做简谐运动的单摆,摆球到达最高点时的机械能为E 1,摆线对摆球的拉力大小为F 1；摆球通过最低点时的机械能为E 2,摆线对摆球的拉力大小为F 2,若不计空气阻力,以下结论正确的是=E 2,F 1＜F 2 ＜E 2,F 1＜F 2 ＜E 2,F 1＞F 2 =E 2,F 1=F 2解析：摆球摆动过程中,只有重力做功,机械能守恒,所以E 1=E 2；设摆球质量为m ,摆长为l ,摆角为θ,摆球通过最低点时的速度为v ,则F 1=mg cos θ,F 2=mg+mv 2/l ,显然F 1＜F 2;本题答案为A;9.某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x 随时间t 变化的关系式为x=A sin ωt ,图象如图所示,则A ．弹簧在第ls 末与第5s 末的长度相同B ．简谐运动的圆频率4π=ωrad/sC ．第3s 末弹簧振子的位移大小为22AD ．第3s 末至第5s 末弹簧振子的速度方向都相同解析：在x-t 图象中,位移x 具有方向性,即有正、负之分,这里的正、负表示弹簧被拉伸或压缩,所以弹簧在第ls 末与第5s 末时,虽然位移大小相等,但方向不同,所以弹簧长度不同,选项A 错误；根据x-t 图象可知,周期T =8s,所以,圆频率ω=4π2=πT rad/s,选项B 正确；x=A sin 4πt ,将t=3s 代入可得,x =22A ,选项C 正确；弹簧振子在第3s 末至第5s 末这段时间内,沿同一方向经过平衡位置,所以选项D 正确;本题答案为BCD;10.如图所示;曲轴上挂一个弹簧振子,转动摇把,曲轴可带动弹簧振子上下振动;开始时不转动摇把,让振子自由振动,测得其频率为2Hz;现匀速转动摇把,转速为240r/min;则： v t Ov Qv P11.如图所示,单摆的摆线长为L是绝缘的,摆球带正电,可视为质点,单摆悬挂于O点,当它摆过竖直线OC时,便进入或离开一个匀强磁场,磁场的方向垂直于单摆的摆动平面,在摆角小于5°时,摆球在AB间来回摆动,下列说法正确的是。