寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解

文章编号:100020240(2009)0120113206寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解 收稿日期:2008206203;修订日期:2008209217 基金项目:中国科学院知识创新工程重要方向项目(KZCX32SW 2351);国家自然科学基金项目(40730736)资助 作者简介:张耀(1968—),女,重庆人,兰州交通大学副教授,1998年在四川大学获硕士学位,现为在读博士研究生,主要从事寒区岩土工程方面的科研和力学方面的教学工作.E 2mail :zhangyao @张　耀1,2,　何树生1,　李靖波1(1.中国科学院寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室,甘肃兰州730000;2.兰州交通大学土木工程学院,甘肃兰州730070)摘　要:在多年冻土地区修建隧道,会影响到多年冻土的热稳定性,目前一般采用在隧道衬砌中设置隔热层的方法来防止冻土围岩融化.根据隧道现场实测的气温资料,考虑正弦曲线规律变化的对流换热边界条件,建立了一次衬砌、隔热层、二次衬砌及围岩4层结构的圆形隧道热传导方程.运用微分方程求解方法和贝塞尔特征函数的正交和展开定理,对4个热传导方程进行了求解,得到隧道一次衬砌、隔热层、二次衬砌及围岩4层结构温度场的解析解,将计算结果与现场实测结果进行比较,吻合良好.计算结果还表明,在衬砌中铺设厚5cm 、导热系数为0103W ・m -1・℃-1的隔热层可以保证风火山隧道围岩不发生季节性融化.该解析解可用于验证其它数值方法的计算结果,也便于工程设计人员和施工人员对同类寒区隧道进行温度场的计算,因而具有一定的工程应用价值.关键词:寒区隧道;隔热层;解析解;温度场中图分类号:TU445文献标识码:A0　引言在高原多年冻土山区开挖隧道,在夏季隧道围岩会发生季节性融化,为了使冻土围岩不融化,目前采取的方法是在一次衬砌和二次衬砌之间加防水隔热层.隧道衬砌内铺设防水隔热层以后,围岩的温度状况如何是值得研究的问题.Lai Yuanming 等[1]应用摄动技术考虑相变,推导了圆形隧道围岩的冻结深度;Lai Yuanming 等[2]考虑围岩的热传导和空气与围岩的对流换热,对风火山隧道进行了三维数值非线性温度场分析;Y igit [3]运用摄动法对有限厚度的正弦曲线模型、液相变固相的二维热传导问题进行了近似解析解的求解;张学富等[4]运用有限元法分析了施工对寒区隧道融化圈的影响;何春雄等[5]建立了隧道内空气与围岩对流换热及围岩传热模型,分析了隧道内空气分别为层流和紊流的情况时,隧道内气温及围岩的温度.到目前为止还没有含隔热层复合衬砌的寒区隧道温度场的解析解.本文考虑隧道内实测气温随时间正弦变化的对流换热边界条件,建立隧道一次衬砌、隔热层、二次衬砌和围岩的热传导方程,运用微分方程的求解方法对其进行求解,得到这4层材料的圆形寒区隧道温度场的解析解公式,该解析解既可用于工程估算也可用来校核数值计算的结果.1　问题的数学模型为了得到完备的解析解,首先将隧道假设成圆形,其次假设传递到围岩时的热量不足以使围岩融化,故没有考虑相变.隧道的计算内径为R 1,保温层内侧半径R 2,保温层外侧半径R 3,隧道外径为R 4,围岩半径取R 5.计算示意图见图1. 该问题的热传导方程[6]为:λj c j 1r 5r (r 5T j r )=5T j tR j <r <R j +1 j =1,2,3,4(1)式中:T j (j =1,2,3,4)分别为一次衬砌、隔热层、二次衬砌及围岩的温度;λj 、c j (j =1,2,3,4)分别为一次衬砌、隔热层、二次衬砌及围岩的导热系数和体积比热.边界条件为:第31卷　第1期2009年2月冰　川　冻　土J OU RNAL OF G L ACIOLO GY AND GEOCR YOLO GYVol.31　No.1Feb.2009图1　寒区含隔热层圆形隧道Fig.1　Cross2section of a circular tunnel in cold region with an insulation layerλ15T15r+α(T1-T(t))=0r=R1, t>0(2)T1=T2, λ15T15r=λ25T25rr=R2, t>0(3)T2=T3, λ25T25r=λ35T35rr=R3, t>0(4)T3=T4, λ35T35r=λ45T45rr=R4, t>0(5) T4=T04,　r=R5,　t>0(6)式中:α为空气与围岩的对流换热系数;T(t)为隧道内的气温;T04为围岩外边界处的温度.初始条件为:T j=T0j, R j<r<R j+1,t=0 j=1,2,3,4(7)式中:T0j(j=1,2,3,4)分别是一次衬砌、隔热层、二次衬砌及围岩的初始温度.2　问题的求解上述数学模型是一个非齐次边界条件的非稳态热传导问题,为了求解该问题,必须对边界条件及微分方程进行处理,将其分解成下面简单的3个问题.前两个问题易于求解,后一个问题的求解要复杂一些,需要用到计算机数值分析来辅助求解.具体形式如下:T j(r ,t)=j(r)T(t)+φj(r)T04+θj(r,t)R j<r<R j+1, t>0 j=1,2,3,4(8)式中:函数j(r)、φj(r)和θj(r,t)(j=1,2,3,4)分别是下列三个子问题的解.2.1　函数j(r)的求解函数j(r)(j=1,2,3,4)分别是下列与原问题有相同定义域,在r=R1处有一非齐次边界条件的稳态热传导问题的解:λjc j1r55r(r5j5r)=0R j<r<R j+1 j=1,2,3,4(9) 具有边界条件:λj515r+α(1-1)=0,　r=R1(10)1=2,　λ1515r=λ2525r,　r=R2(11) 2=3,　λ2525r=λ3535r,　r=R3(12) 3=4,　λ3535r=λ4545r,　r=R4(13)4=0,　r=R5(14) 对微分方程(9)进行求解,将λ1=λ3=λc,λ2 =λi,λ4=λf代入结果可得:1(r)=ln R3rR2R4+λcλiln R2R3+λcλfln R4R5λcαR1+lnR1R3R2R4+λcλiln R2R3+λcλfln R4R5(15)2(r)=ln R3R4+λcλiln rR3+λcλfln R4R5λcαR1+lnR1R3R2R4+λcλiln R2R3+λcλfln R4R5(16)3(r)=ln rR4+λcλfln R4R5λcαR1+lnR1R3R2R4+λcλiln R2R3+λcλfln R4R5(17)4(r)=λcλfln rR5λcαR1+lnR1R3R2R4+λcλiln R2R3+λcλfln R4R5(18)式中:λc、λi和λf分别为混凝土、隔热层和围岩的导热系数.2.2　函数φj(r)的求解函数φj(r)(j=1,2,3,4)分别是下列与原问题有相同定义域,在r=R5处有一非齐次边界条件的稳态热传导问题的解:411 冰 川 冻 土 31卷　λj c j 1r55r(r5φj5r)=0R j<r<R j+1 j=1,2,3,4(19) 有下面边界条件:λ15φ15r+αφ1=0, r=R1(20)φ1=φ2, λ15φ15r=λ25φ25r,　r=R2(21)φ2=φ3, λ25φ25r=λ35φ35r,　r=R3(22)φ3=φ4, λ35φ3r=λ45φ4r,　r=R4(23)φ4=1, r=R5(24) 对微分方程式(19)进行求解,将λ1=λ3=λc,λ2=λi,λ4=λf代入结果可得:φ1(r)=-λcαR1+lnrR1-λcαR1+lnR2R4R1R3-λcλilnR2R3+λcλflnR5R4(25)φ2(r)=-λcαR1+lnR2R1+λcλiln rR2-λcαR1+lnR2R4R1R3-λcλilnR2R3+λcλflnR5R4(26)φ3(r)=-λcαR1+lnR2rR1R3-λcλiln R2R3-λcαR1+lnR2R4R1R3-λcλilnR2R3+λcλflnR5R4(27)φ4(r)=-λcαR1+lnR2R4R1R3-λcλiln R2R3+λcλfln rR4 -λcαR1+lnR2R4R1R3-λcλilnR2R3+λcλflnR5R4(28)2.3　函数θj(r,t)的求解函数θj(r,t)(j=1,2,3,4)分别是下列与原问题有相同定义域,具有齐次边界条件的非稳态热传导问题的解:λj c j 1r5r(r5θjr)=5θjtR j<r<R j+1 j=1,2,3,4(29) 具有如下齐次边界条件:λ15θ15r+αθ1=0,　r=R1,　t>0(30)θ1=θ2, λ15θ15r=λ25θ25rr=R2,t>0(31)θ2=θ3, λ25θ25r=λ35θ35rr=R3, t>0(32)θ3=θ4, λ35θ35r=λ45θ45rr=R4, t>0(33)θ4=0, r=R5, t>0(34)及初始条件:θj=T0j R j<r<R j+1,t=0 j=1,2,3,4(35) 将函数θj(r,t)分离变量为如下形式:θj(r,t)=ψj(r)Γ(t) j=1,2,3,4(36) 式(36)代入式(29)可导出下列的分离方程:dΓ(t)d t+β2nΓ(t)=0, t>0(37)1r・dd rrdψjnd r+c jλjβ2nψjn=0R j<r<R j+1 j=1,2,3,4(38)将式(36)代入边界条件式(30)～(34),可得:λ15ψ1n5r+αψ1n=0, r=R1(39)ψ1n=ψ2n,　λ15ψ1n5r=λ25ψ2n5r,　r=R2(40)ψ2n=ψ3n,　λ25ψ2nr=λ35ψ3nr,　r=R3(41)ψ3n=ψ4n,　λ35ψ3n5r=λ45ψ4n5r,　r=R4(42)ψ4n=0, r=R5(43) 下标n为有无穷多个不连续的特征值β1<β2<…<βn<…和相应的特征函数ψjn. 方程式(37)的时间变量函数Γ(t)的解为:Γ(t)=e-β2n t(44) 方程式(38)是贝赛尔微分方程,一般解为:ψjn(r)=A jn J0H jn r+B jn Y0H jn rj=1,2,3,4(45)式中:A jn,B jn为常系数;J0H jn r和Y0H jn r为贝塞尔函数;H jn=c jλjβn,j=1,2,3,4.将式(44)和式(45)代入式(36)得:θj(r,t)=∑∞n=1c n e-β2n tψjn(r) j=1,2,3,4(46)式中:c n为常系数,累加号是对上面所有的特征值βn求和.由于方程式(38)是贝赛尔微分方程,它的特征函数ψjn应满足下列正交关系式:5111期张　耀等:寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解　∑4j =1∫R j+1R jrψjn (r )・ψjm (r )d r =0　n ≠mN n n =m(47)式中:范数N n 定义为:N n =∑4j =1∫R j +1R jrψ2jn (r )d r (48) 将式(46)代入初始条件(35)得到:T 0j =∑∞n =1c nψjn(r ) j =1,2,3,4(49) 利用下面的算子:∫R j +1R jrψjm (r )d r j =1,2,3,4 分别对式(49)的两边进行运算,然后相加得:∑4j =1∫R j+1R jr T 0j ψjm(r )d r=∑∞n =1c n∑4j =1∫R j +1R jr ψjn(r )ψjm (r )d r 根据正交关系式(47),于是系数c n 为:c n =1N n∑4j =1∫R j+1R jr T 0j ψjn(r )d r (50) 式(45)中的8个系数可由边界条件式(39)～(43)给出的8个线性齐次方程来求解,这些系数可由其中一个系数(不为零的数)或系数再乘以任意一个常数来表示.结果很复杂,这里不再罗列.为了求得特征值βn 需要一个附加关系式,即要使8个边界齐次方程有非零解,只有系数行列式为零.由这个条件可得到确定特征值βn 的超越方程,求解超越方程可得βn 值.将以上3个问题的解答代入式(8),就可以得到二次衬砌、隔热层、一次衬砌和围岩温度的解析解.3　计算结果与分析以青藏铁路线风火山隧道为例,隧道的计算内径为315m ,复合衬砌中二次衬砌厚015m ,隔热层厚0105m ,一次衬砌厚013m.钢筋混凝土的比热为21465×106J ・m -3・℃-1,导热系数为11355W ・m -1・℃-1;隔热层材料为聚氨酯泡沫,比热为01072×106J ・m -3・℃-1,导热系数为0103W ・m -1・℃-1;隧道D K 1159+046断面围岩的导热系数11825W ・m -1・℃-1,围岩的比热为11617×106J ・m -3・℃-1;空气与隧道的对流换热系数α=1510W ・m -2・℃-1.二次衬砌的初始温度T 01=10℃,隔热层的初始温度T 02=8℃,一次衬砌的初始温度T 03=5℃,围岩的初始温度T 04=-2℃.根据实测气温资料(由中铁西南科学研究院提供),2004年隧道DK 1159+046断面的气温边界条件为:T (t )=-4.46+8.56sin2π8760t -π2(51)式中:t 为时间(h ).将以上参数代入式(15)～(18)计算,可得:1(r)=1.977-0.764・ln r (52)2(r )=48.773-34.521・ln r(53)3(r )=1.558-0.764・ln r (54)4(r )=1.268-0.567・ln r(55) 将以上参数代入式(25)～(28)计算,可得:φ1(r )=-0.977+0.764・ln r (56)φ2(r )=-47.773+34.521・ln r (57)φ3(r )=-0.558+0.764・ln r (58)φ4(r )=-0.268+0.567・ln r (59) 最后可求得二次衬砌、隔热层、一次衬砌和围岩温度的解析解公式为:T 1(r,t )=(1.977-0.764ln r )-4.46+8.56sin2π8760t -π2-2・(-0.977+0.764ln r )+1.150e -5.184×10-5t[J 0(0.162r )+2.761Y 0(0.162r )]3.5≤r ≤4.0(60)T 2(r,t )=(48.773-34.521ln r )-4.46+8.56sin2π8760t -π2-2・(-47.773+34.521ln r )+1.150e -5.184×10-5t[19.617J 0(0.186r )+141.230Y 0(0.186r )]4.0≤r ≤4.05(61)T 3(r,t )=(1.558-0.764ln r )-4.46+8.56sin2π8760t -π2-2・(-0.558+0.764ln r )+1.150e -5.184×10-5t[-1.465J 0(0.162r )+2.659Y 0(0.162r )]4.05≤r ≤4.35(62)T 4(r,t )=(1.268-0.567ln r )-4.46+8.56sin2π8760t -π2-2・(-0.268+0.567ln r )+1.150e -5.184×10-5t[-0.771J 0(0.113r )+2.315Y 0(0.113r )]4.35≤r ≤9.35(63) 计算时间取隧道建成后的第1年,即2004年,代入二次衬砌、隔热层、一次衬砌和围岩的温度解611 冰 川 冻 土 31卷　析解公式(60)～(63)进行计算,可得到温度随时间或半径的分布值,如图2,3所示. 根据隧道D K 1159+046断面在2004年的实测地温资料(由中铁西南科学研究院提供),可以做出实测地温的温度分布图(图4,5):图4　2004年衬砌和围岩的温度实测值随时间的分布图Fig.4　In 2situ observed lining and adjacent rocktemperatures changing with time in 2004 对图3与图5、图2与图4进行对比分析可得到以下两点结论:(1)对图3和图5进行对比分析,发现半径4m 至4105m 处,二者的温度曲线都发生了剧烈变化,这是因为在这里铺设了厚度为0105m 、导热系数为0103W ・m -1・℃-1的隔热层,正是隔热层的作用才使得曲线发生了突变.还可以看出,二者的温度曲线在经过隔热层以后都降到了零度以下,可见隔热层起到了预先构想的作用,能保证多年冻土围岩不发生季节性融化.图5　2004年衬砌和围岩的温度实测值沿半径的分布图Fig.5　In 2situ observed lining and adjacent rock temperatures changing with radius in 2004 (2)对图2和图4进行对比分析,发现温度曲线的变化趋势是相似的,都近似正弦曲线的规律.解析解公式计算的结果与实测结果很接近,说明推导的温度场解析解公式可用于计算寒区有隔热层隧道及附近围岩的温度场.4　结语(1)为了得到完备的解析解,采用了圆形截面的假设,这与实际断面是有一定差距的,因而解析解的结果与实测值会有一定的差别.(2)假设隔热层起到了隔热的效果,围岩维持原来的热状态;另外也是为了得到完备的解析解,所以在公式推导过程中没有考虑相变.本文的例子正好符合这种情况,所以解析解计算值与实测值吻合较好.(3)推导的解析解可用于验证寒区有隔热层隧道的数值方法计算结果,也便于工程设计人员和施工人员对同类寒区隧道进行温度场的计算,因而具有一定的工程应用价值.参考文献(R eferences):[1]Lai Yuanming ,Liu Songyu ,Wu Z iwang ,et al.Approximate analytical solution for temperature fields in cold regions circu 2lar tunnels[J ].Cold Regions Science and Technology ,2002,34(1):43-49.[2]Lai Yuanming ,Zhang Xuefu ,Yu Wenbing ,et al .Three 2di 2mensional nonlinear analysis for t he coupled problem of t he heat transfer of t he surrounding rock and t he heat convection between t he air and t he surrounding rock in cold 2region tunnel [J ].Tunnelling and Underground Space Technology ,2005,20(4):323-332.[3]Y igit F.Approximate analytical solution of a two 2dimensional heat conduction problem wit h phase 2change on a sinusoidal mold[J ].Applied Thermal Engineering ,2008,28(10):11967111期张　耀等:寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解-1205,doi:10.1016/j.applt hermaleng.2007.08.001. [4]Zhang Xuefu,Su Xinmin,Lai Yuanming,et al.Analyzingt he effect of tunneling on temperature of permafrost in t heKunlun Mountains,Tibetan Plateau[J].Journal of G laciolo2 gy and Geocryology,2003,25(6):621-627.[张学富,苏新民,赖远明,等.昆仑山多年冻土隧道施工温度影响分析[J].冰川冻土,2003,25(6):621-627.][5]He Chunxiong,Wu Z iwang,Zhu Linlan.Analysis of freeze2t haw condition in t he surrounding rock wall of t he DabanshanTunnel in t he Qilian Mountains[J].Journal of G laciology andGeocryology,2000,22(2):113-120.[何春雄,吴紫旺,朱林楠.祁连山区大坂山隧道围岩的冻融状况分析[J].冰川冻土,2000,22(2):113-120.][6];zisik M N.Heat Conduction[M].Translated by YuChangming.Beijing:Higher Education Press,1984.[奥齐西克M N.热传导[M].俞昌铭译.北京:高等教育出版社, 1984.]Analytic Solutions for the T emperature Fields of a Circular Tunnel with Insulation Layer in Cold R egionZHAN G Yao1,2,　H E Shu2sheng1,　L I Jing2bo1(1.S tate Key L aboratory of Frozen S oil Engineering,CA R E ER I,CA S,L anz hou Gansu730000,China;2.School of Civil Engineering,L anz hou J iaotong Universit y,L anz hou Gansu730070,China)Abstract:The t hermodynamic stability of perma2 f ro st will be influenced when a t unnel built into t he permafro st.In order to keep t he surrounding rock of t unnel fro m t hawing,t he usual measure is to place an insulation layer between t he linings.Ac2 cording to t he in2sit u observed air temperat ures of t he t unnel,taking into account t he convection boundary condition of air temperat ures changed wit h sinusoid,t he governing differential equations of heat conduction of t he first lining,t he insulation layer,t he second lining and t he surrounding rock of t unnel are established.U sing t he solution of dif2 ferential equation and t he ort hogonal and expan2 sion t heorem of Bessel eigenf unction,t he four dif2 ferential equations are solved.The temperat ure an2alytic solutions of t he first lining,he insulation layer,t he second lining and t he surrounding rock of t unnel are pared t he calculation result s of t he analytic solutions wit h t he in2sit u ob2 served data,it is found t hat t he calculated one is very clo se to t he observed one.The result s also show,suppo se t he insulation material,whose con2 ductio n coefficient is0103W!m-1!℃-1and widt h is5cm,was applied to t he Fenghuo shan t unnel, t he rock surrounding t he t unnel will not occur sea2 sonal t haw.The analytical solutions can be used bot h to verify t he numerical met hod result s,and to calculate t he temperat ure field of a cold region t un2 nel wit h an insulation layer,so t hey are very usef ul for engineers and technicians.K ey w ords:t unnel in cold regions;insulation layer;analytic solution;temperat ure field 811 冰 川 冻 土 31卷　。