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第十章 图与网络分析

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6图论PPT课件

6图论PPT课件

• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条 链，称为连通图。否则称为不连通图。
• 连通分图(分图) 若G是不连通图，则它的每个连通的部 分称为连通分图。
v4
e3
v1
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
v5
e7
v6
如左图就是个不 连通图，它是由 两个连通分图构 成的。
• 支撑子图
给定一个图G=(V,E)，如果图G’=(V’,E’)，使 V’=V及E’E，则称G’是G的一个支撑子图。
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
在上,(图 v3,a3,中 v2,a5,v4,a6,v5,a8,v3)是一个回路 (v1,a2,v3,a4,v4,a7,v6)是从 v1到v6的路。也是一。 条初
• 简单有向图 • 多重有向图
三、基本定理
• 定理1 图G=(V,E)中，所有点的次之和 是边数的两倍，即
C1 根
C2
C3
C4
叶
二、性质
定理1 设图G=(V,E) 是一个树，p(G)≥2，
则G中至少有两个悬挂点。
证明 反证法 设(v1,v2,,vk )为G中边数最多的一条链。 当n 2时,即p(G) 2时, 命题成立. 当p(G) 2时, 设v1不是悬挂点,即d(v1) 2, 则存在vs , 使得(vs ,v1)为G中的一条边. 若vs在上述链中,则G含圈,与条件矛盾; 若vs不在上述链中,则存在链(vs ,v1,v2,,vk ),与假设矛盾. 所以v1为悬挂点。同理，vs也是悬挂点。
v3

电路分析第十章习题解答

电路分析第十章习题解答

Nm
=
0.3 × 1− (2×π
1 × 25 ×103 )2 × 50 ×10−3
× 0.2 ×10−6
≈ 1.22mV
信噪比 = U 2m = 0.39 ×103 = 319
Nm
1.22
6.图题 10-2 所示 RC 高通滤波器，若要求其截止频率为 200Hz，且 R=5kΩ，计算合适的电
容值，并计算当频率为 200Hz 时电路的相移（输出信号与输入信号相位差）。
解：
Q ω0 =
1 LC
∴
L
=
1
ω
2 0
C
=
(2π
1 ×106 )2 × 200 ×10−12
= 127μH
Q
Q = ω0C = R G
C = 25 L
200 ×10−12 127 ×10−6
= 31.4 ×10−3
17.一个 GCL 并联谐振电路的谐振角频率为 107 rad/s，通频带宽为 105 rad/s，已知 R=100 k Ω,求：（1）电感、电容和 Q 的值；(2) 上、下截止频率。 解： GCL 并联谐振电路
0.5μF
+
+
4kΩ
u1
0.2μF u2
-
-
解：该电路的相量模型为
图题 10-9
−
j
2π
1 × 50 × 0.5×10−6
Ω
+
+
U&1
4 kΩ
−
j
2π
1 × 50 × 0.2×10−6
Ω
U& 2
−
−
U& 2 U& 1
=
−

网络拓扑图的绘制与分析

网络拓扑图的绘制与分析

网络拓扑图的绘制与分析随着网络技术的不断发展，网络拓扑图已经成为了一个非常重要的工具。

网络拓扑图是根据网络连接情况绘制出的图表，在网络架构和规划、故障排除、安全检查等领域都有着广泛的应用。

正确绘制和分析网络拓扑图对于保障网络的稳定性和安全性具有至关重要的意义。

一、网络拓扑图的种类网络拓扑图分为逻辑拓扑图和物理拓扑图两种。

逻辑拓扑图是指网络的逻辑连接，可以理解为不同设备之间的逻辑关系。

物理拓扑图是指网络的物理连接，即不同设备之间的物理位置和连接方式。

逻辑拓扑图和物理拓扑图之间存在着密切的关系，因为逻辑拓扑图必须依赖于物理拓扑图来确定实际的网络连接情况。

在绘制网络拓扑图时，我们需要同时考虑逻辑和物理拓扑图。

二、网络拓扑图的绘制方法网络拓扑图的绘制方法有很多种，下面介绍三种常见的方法：1.手工绘制法手工绘制法是最常见的网络拓扑图绘制方法，需要使用绘图软件或手工绘图来绘制拓扑图。

这种方法的优点是可以根据实际情况自由地调整拓扑图的布局和细节，缺点是速度相对较慢，需要花费较多的时间和劳动力。

2.自动绘制法自动绘制法是使用自动绘制工具来生成拓扑图。

这种方法的优点是速度快、精度高，并且可以自动保存拓扑图的数据，在后续的分析和维护工作中十分方便。

缺点是需要一定的技术水平和工具的支持，且可能出现错误。

3.混合绘制法混合绘制法是将手工绘制法和自动绘制法相结合，使用绘图软件对自动绘制的拓扑图进行改进和修改。

这种方法的优点是在保证速度的同时，兼顾精度和细节，缺点是较为复杂，需要技术水平和绘图工具的支持。

三、网络拓扑图的分析方法网络拓扑图的分析方法既可以从逻辑拓扑图的角度考虑，也可以从物理拓扑图的角度考虑。

1.逻辑拓扑图的分析方法从逻辑拓扑图的角度考虑，主要的分析方法有：（1）分析网络的逻辑结构，了解不同设备之间的关系和依赖。

（2）分析网络的逻辑流量，查看网络中流通的数据包，了解网络的瓶颈和热点。

（3）分析网络的逻辑隔离，查看网络中不同部分之间的隔离程度，从而保障网络的安全性和稳定性。

10.3_最短路问题

10.3_最短路问题
B）Dijkstra算法和Ford算法都适用于任意边的情况 C）Dijkstra算法仅适用于所有边的权非负的情况，Ford算
法适用于所有边的权为任意实数的情况 D）Dijkstra算法适用于所有边的权为任意实数的情况，
Ford算法适用于所有边的权非负情况
29
OR:SM
试试看——选择题
• 2、以下说法中错误的是（ ）。
4
8
1
v4
vt
1
7
3
6
1
2
v6
7
OR:SM
vs
方式之一：单标号算法
第一步：
T(vs)=∞
v1
2
3
P(vs)=0 vs
9
10
4 7
T(vs)=∞
v2 1
4
3
v3
2
T(vs)=∞
T(vs)=∞
v5
8 1
v4 T(vs)=∞
7
vt T(vs)=∞
6
1
v6
T(vs)=∞
8
OR:SM
方式之一：单标号算法
第二步：
第4年 19 3-4 18
第5年 24 4-5 27
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新设备”这 种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi, vj)表示 “第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以
wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。于是，该问题就 可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。其网络模型 如下：
本章小结
图论是应用十分广泛的运筹学分支，它已广泛应用在物 理、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等 各个领域。

图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)

图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)

e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8

第十章-重积分的应用

第十章-重积分的应用

第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。

尤其是在几何和物理两方面。

几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。

物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。

在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。

通过这一章节的学习，我们认为应到达如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。

2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。

3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。

一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。

如图： y[错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S y Dσ[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。

问题在于区域D ，假设先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题假设先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。

[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰yyDdx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。

[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。

注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(y x y x +=ρ，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。

电路第十章 网络图论及网络方程

电路第十章 网络图论及网络方程

8
1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0
习题0 ：110-07 0求0Bf、1 C-1f -1 0 -1
1

[C
f
]


0 0 1 0 010 0树支0：10、21、30、05、19
-1 1
0 -1
0 0
1 0


0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1
2、基本割集关联矩阵Cf
7
四、A、Bf、Cf关系
1 0 0 1 1 0
选一棵对树于，一支个路有编向号图，[A] 0 1 1 1 0 0
先树支后连支。则有： 0 0 1 0 1 1
A At Al
B Bt Bl Bt 1
1 1 0 1 0 0 [Bf ] 1 1 1 0 1 0
1 4
2 3
5
21
10-5 基本割集法
一、标准支路伏安关系



Ik Yk Uk Yk Usk Isk
二、矩阵形式支路伏安关系:



Ib Yb Ub Yb Us Is
其中： Yb : 支路导纳矩阵
三、支路电流关系:

Cf Ib 0
i1 - i4 + i6 = 0 i2 + i4 + i5 = 0
3
2、回路（Loop)
回路是连通图G的一个子图， 满足：
1）连通图
2）每个节点仅关联两条支路
3）移去任一支路，则无闭合 路径
基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。
3、割集（Cut) 割集是连通图G的一些支路的集合，满足： 1）移去该支路集合，则图恰好分成两部分；

8.1__图与网络分析基本概念

8.1__图与网络分析基本概念

• 不连通图中的每个连通的部分,称为原图的连通分图. 链、圈、路、回路都是原图的连通分图.
16
5、连通图、连通分图、子图
• 给定图 G
(V , E )
,如果有 (V , E ),使得 V V,E E ， G 为 则称 G 为 G 的一个子图.当 V V 时, 则称 G G 的一个
而 e i 是 v i , v j的关联边. • 同一条边的两个端点称为相邻顶点.具有共同端点的边 称为相邻边. • 一条边的两个端点相同,称为环.具有两个共同端点的
两条边称为多重边. • 既没有环也没有多重边的图称为简单图.
9
3、端点、关联边、相邻、次
• 一个没有环,但允许有多重边的图称为多重图. 今后若不加特别说明,所研究的图均为简单图. • 在无向图中,以顶点 v 为端点的边的数目,称为该顶点 的次,记作 d ( v ) . 次为1的点称为悬挂点,连接悬挂点的边称为悬挂边. 次为0的点称为孤立点. 仅有孤立点的图为零图. 次为奇数的点称为奇点,次为偶数的点称为偶点. 图中顶点均为偶点的图称为偶图.
链中没有重复点和重复边的链称为初等链. • 链 ( v i , v i , v i ) 中,若 v i v i ,则称此链为圈.
1 1 k
1
k
没有重复点和重复边的圈称为初等圈.
14
4、链、圈、路、回路
• 设D是一个有向图, G是它的基础图.若 ( v i , e i , ...., e i , v i )
6
无向图
有向图
混合图
• 图G或D的边数记作 m ( G ) 或 m ( D ) , 顶点个数记作n ( G ) 或 n ( D ) .在不引起混淆情况下,也简记为m , n .

电路分析第十章-二端口网络

电路分析第十章-二端口网络
2‘
双口网络参数间的相互换算
一般情况下，一个双口网络可以用以上四种参数中 的任何一种进行描述 （只要它的各组参数有意义），这 四种参数之间可以相互转换
Y参数方程
I1
I2
= =
Y11U1 Y21U1
+ Y12U 2 + Y22U 2
Z参数方程
U1 = Z11I1 + Z12I2 U 2 = Z21I1 + Z22I2
Y参数与Z参数的关系
I1 I2
=
[Y
]
UU12
UU12
=
[Z
]
II12
I1 I2
=
[Y
][Z
]
I1 I2
∴[Y][Z]=[E] [Y]=[Z]-1 [Z]=[Y]-1
例10.2-4: 求图(a) 所示电路的Z参数矩阵和Y参数矩阵。 .
3U3
.
1 I1
2Ω
+. U1
. 1 I1 Z1 +. U1 -
Z3
. I2 2
Z2
- +.
(Z21-Z12)I1
+. U2
-
1‘
2‘
图(b) 含受控源的T形等效电路
Z2 Z1
= Z12 = Z11 −
Z12
Z3 = Z 22 − Z12
U1 = Z11I1 + Z12I2 = Z11I1 + Z21I2 + (Z12 − Z21)I2 U 2 = Z21I1 + Z22 I2
1Ω
+ .2I1 2Ω
+. U3
. I2 2
+. U2
1‘
解：由Z参数方程：

图与网络分析试题及答案

图与网络分析试题及答案

图与网络分析试题及答案一、填空题1．图的最基本要素是点、点与点之间构成的边2．在图论中，通常用点表示，用边或有向边表示研究对象，以及研究对象之间具有特定关系。

3．在图论中，通常用点表示研究对象，用边或有向边表示研究对象之间具有某种特定的关系。

4．在图论中，图是反映研究对象_之间_特定关系的一种工具。

5．任一树中的边数必定是它的点数减1。

6．最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接所有结点，而且连接的总长度最小。

7．最小树的算法关键是把最近的未接_结点连接到那些已接结点上去。

8．求最短路问题的计算方法是从0≤f ij≤c ij开始逐步推算的，在推算过程中需要不断标记平衡和最短路线。

二、单选题1、关于图论中图的概念，以下叙述(B)正确。

A图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。

B图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。

C图中任意两点之间必有边。

D图的边数必定等于点数减1。

2．关于树的概念，以下叙述(B)正确。

A树中的点数等于边数减1 B连通无圈的图必定是树C含n个点的树是唯一的D任一树中，去掉一条边仍为树。

3．一个连通图中的最小树(B)，其权(A)。

A是唯一确定的 B可能不唯一 C可能不存在 D一定有多个。

4．关于最大流量问题，以下叙述(D)正确。

A一个容量网络的最大流是唯一确定的B达到最大流的方案是唯一的C当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案D当最大流方案不唯一时，得到的最大流量亦可能不相同。

5．图论中的图，以下叙述(C)不正确。

A．图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。

B．图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。

C．图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。

D．图论中的图，可以改变点与点的相互位置。

只要不改变点与点的连接关系。

6．关于最小树，以下叙述(B)正确。

A．最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B．最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图C．一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D．一个网络的最小树一般是不唯一的。

《图与网络分析》课件

《图与网络分析》课件

网络的定义与分类
总结词
网络的定义与分类是理解图与网络分析的关键。
详细描述
网络是由节点和边构成的集合，用于描述系统中各个组成部分之间的关系。根据 不同的分类标准，网络可以分为多种类型，如无向网络和有向网络、单层网络和 多层网络等。
图与网络的应用领域
总结词
图与网络的应用领域广泛，包括计算机科学、交通运输、生物信息学等。
从任意一个顶点开始，每次选择一条与已选顶点集合相连的边中权 重最小的边，将其加入最小生成树中。
最短路径算法
Dijkstra算法
01
用于求解图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法
02
用于求解图中所有顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法
03
用于求解图中所有顶点之间的最短路径，时间复杂度较低。
网络流算法
01
Ford-Fulkerson算法
用于求解最大网络流问题，通过不断寻找增广路径来增加网络的流量。
02
Dinic算法
基于层次搜索和增广路径的算法，用于求解最大网络流问题。
03
Edmonds-Karp算法
基于广度优先搜索的算法，用于求解最大网络流问题。
03
网络分析与应用
网络中心性分析
节点中心性
社区结构特征
包括社区大小、社区密度、社区连通性等。
社区结构分析的应用
在社交网络中识别用户群体，在组织结构中划分部门和团队等。
网络动态分析
网络动态模型
常见的网络动态模型有随机游走、马尔科夫链和自组 织映射等。
网络动态特征
包括节点的活跃度、网络的演化规律和网络的鲁棒性 等。
网络动态分析的应用

图与网络分析-(共34张PPT)

图与网络分析-(共34张PPT)
4、环：某一条孤起点=终点，称为环。 5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所有
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。

运筹学图与网络分析

运筹学图与网络分析
v6
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。

网络数学实验6图与网络分析-最短路问题

网络数学实验6图与网络分析-最短路问题

实验六：图与网络分析-最短路问题
一、实验目的：掌握不同问题的输入方法，求解网络模型，观察求解步骤，显示并读出结果。

二、内容和要求：用WinQSB软件求解最短路问题，并对结果进行简单分析。

例：求下图的最短路。

三、操作步骤：
1．“开始”菜单→“winQSB”→“Network Modeling”（网络模型）。

2．建立新问题：File→New Problem，出现下面界面。

选择Shortest Path Problem、Minimization、输入问题标题、节点的个数，然后单击“OK”。

3．修改节点名称：菜单“Edit”→“Node Names”，编辑完点“OK”，如下图。

4．按下图输入图的权矩阵，本例是无向图，每一条边必须输入两次。

5．菜单“Solve and Analyze”→“Solve the Problem”，出现以下对话框，
6．然后选择起点v1和终点v10，点“Solve”按键，出现下图：
从图中可以看到v1到v10的最短路径为v1→v3→v7→v10，总长为6，另外从v1到其他各点的最短距离也都计算了出来。

7．实例求解：有九个城市v1，v2…，v9，其公路网如下图，弧旁数字是该段公路的长度，有一批货物从v1运到v9，试用Dijkstra方法求出走哪条路最短？
自己先用标号法求出最短路，然后用winWSB软件进行验证。

8．思考题：教育部门打算在某新建城区建一所学校，让附近七个居民区的学生就近入学。

七个居民区之间的道路如下图所示，学校应建在哪个居民区，才能使大学都方便？(图中距离单位：百米)。

运筹学图与网络模型以及最小费用最大流

运筹学图与网络模型以及最小费用最大流
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中， 找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终 点以双标号（scd,c）,返回步骤2。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。

图论

图论

2. 破圈法： ⑴ ⑵ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， 重复，至图中不存在任何的圈为止。
A
S
5
×
B
5
×
D
5
T
C
4
×
E
最小生成树长Lmin=14
3. 最小边生成最小树法 将图中所有边按权值从小到大排 列，依次选所剩最小的边加入边集 T，只 要不和前面加入的边构成圈，直到 T 中 有 n1 条边，则 T 是最小生成树.
若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联 e1 e2 e3 e4 e5 1 0 0 0 1 v1 M= 1 1 0 1 0 v 2 0 0 1 1 0 v 3 0 1 1 0 1 v 4
返回
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u , v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径， 则称 w( P)
eE ( P )
w(e) 为路径 P 的权．
(2)
在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
d (v) = d ＋(v) + d －(v) 称为 v 的次数．
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１
vV (G )
d (v) 2 (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
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  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
D
17
解中国邮递员问题的步骤
0、将图中的所有悬挂点依次摘去 1、求所有奇次点间的最短距离和最短路径 2、根据奇次点间的最短距离求最小完全匹配 3、根据最小完全匹配和最短路径添加重复边 4、将悬挂点逐一恢复，并加重复边 5、根据得到的偶图，给出欧拉回路的若干种走法
3
5 2
6
4
9
3 5
3
2
6
4
9
3
2
15
6.4.5 以最短路为基础汇总网路上的流
1 2 3 电路交换网 4 5 4 5 2 1 3 传输网
• 在电路网中每两点之间都有中继电路群需求，但并不是任 两点都有物理传输链路 • 根据两点间最短传输路径将该两点间的电路需求量加载到 这条传输路径上去：设 a25=10 是节点2 和 5 之间的电路需 求，节点2 和 5 之间的最短传输路径为 2135，则加载过 程为: T21=T21+10, T13=T13+10, T35=T35+10； Tij 是传输链路 ij 上加载的电路数；当所有点间电路都加载完则算法结束
1 1
3
10
1
2
1 3 17 8 6 1
5
6
4
5
4
初始解：1-2-3-4-5 1-3-2-4-5
2
2 1
3 2 1 1
23
3
10
1
3 2
1 1
3
10
5
6
4
5
4
1-3-2-4-5 1-3-4-2-5
1-3-4-2-5 1-3-4-5-2 5-3-4-2-1 3-1-4-2-5 23
( n 1)n( 2n 1)
1 3
n ( n 1)
2
k 1
• Dijkstra算法 – i=1 n 1 次临时标记，永久标记 n 1 次比较和赋值 – i=2 n 2 次临时标记，永久标记 n 2 次比较和赋值 – i=k n k 次临时标记，永久标记 n k 次比较和赋值
0、令始点Ts=0，并用• 住，所有其它节点临时标记 Tj= ； 框
1、从 vs 出发，对其相邻节点 vj1 进行临时标记，有 Tj1=ds,j1 ； 2、在所有临时标记中找出最小者，并用• 住，设其为 vr 。若此 框
时全部节点都永久标记，算法结束；否则到下一步；
3、从新的永久标记节点 vr 出发，对其相邻的临时标记节点进行 再标记，设 vj2 为其相邻节点，则 Tj2=min{Tj2, Tr+dr,j2 }，返回 第2步。
16
6.5 欧拉回路和中国邮递员问题
• 中国邮递员问题(Chinese Postman Problem, CPP)是由我国 管梅谷教授于1962年首先提出并发表的 • 问题是从邮局出发，走遍邮区的所有街道至少一次再回到 邮局，走什么路由才能使总的路程最短？ • 如果街区图是一个偶图，根据定理 3，一定有欧拉回路， CPP 问题也就迎刃而解了 • 若街区图不是偶图，则必然有一些街道要被重复走过才能 回到原出发点 A • 显然要在奇次点间加重复边 • 如何使所加的边长度最少 • 归结为求奇次点间的最小 C 匹配( minimum weighted match) — 由Edmons 给出 多项式算法(1965)
11
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围
• 一种隐阶段的动态规划方法 • 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上 节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一 个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 • 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij0， 第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因 此最多有n1 次迭代 • 可以应用于简单有向图和混合图，在临时标记时，所谓相邻 必须是箭头指向的节点；若第 n1 次迭代后仍有节点的标记 为 ，则表明 vs 到该节点无有向路径 • 如果只求 vs 到 vt 的最短路，则当 vt 得到永久标记算法就结束 了；但算法复杂度是一样的 • 应用 Dijkstra 算法 n1 次 ，可以求所有点间的最短路 • vs 到所有点的最短路也是一棵生成树，但不是最小生成树
v1 e12 e'13 e13 e34 v3 v4 e24 e45
6
e22 v2
v5
二、树与最小支撑树
• 树：无圈的连通图 • 管理的指标体系、家谱、分类学、组织结构等都是典 型的树图
C1
根
C2
C3
C4
叶
7
图的支撑树
A C A C A C
图
B Hale Waihona Puke B D B D图的支撑树
A C A C A C A C
A
A
D C
C D
B
B
3
图与网路的基本概念
• 图 (Graph)
– 节点和边的集合
– 一般用 G(V,E) 表示
– 点集 V={v1,v2,…, vn} – 边集E={eij }
e22 v1 e12 e'13 e13 e34 v3 图 6.1 v4
4
v2 e24 e45
v5
无向图与有向图
• 边都没有方向的图称为无向图
• 模拟退火 (Simulated Annealing)
– 随机地采用二交换法 – 当交换后没有使目标函数改善，也可能以玻尔兹曼分布概率 被接受，但这种概率是随模拟的温度下降而减少的 – 发挥了计算机的优点，尽量减少陷入局部极值点 – 模拟物理机制
22
二交换法举例
11
2
23
23
2
11
1 3
10 2
20
6.6.2 旅行推销员问题(Traveling Salesman Problem)
• 旅行推销员问题(TSP)：设v1, v2, ...,vn 为 n 个已知城市，城市 之间的旅程也是已知的，要求推销员从 v1出发，走遍所有城 市一次且仅一次又回到出发点，并使总旅程最短 • 这种不允许点重复的旅行推销员问题就是最小哈密尔顿回路 问题 • 一般旅行推销员问题(GTSP)：允许点重复的TSP • 当网路边权满足三角不等式时，一般旅行推销员问题就等价 于最小哈密尔顿回路问题 • 当网路边权不满足三角不等式时，只要用两点间最短路的距 离代替原来的边权，就可以满足三角不等式，在此基础上求 最小哈密尔顿回路 典型的应用： • 乡邮员的投递路线 • 邮递员开邮箱取信的路线问题 • 邮车到各支局的转趟问题 21
12
四、网络系统的最大流问题
网络系统最大流的概念 • 定义网路上支路的容量为其最大通过能力，记为 cij ， 支路上的实际流量记为 fij • 容量限制条件：0 fij cij • 平衡条件：

v j A ( vi )
fij

v j B ( vi )
v( f ) f ji 0 v( f )
5
6
5
4
8
4 5 2
2
6
5
4
8
4
1
6
4
4
7
0
1
6
4
4
7
18
解中国邮递员问题的步骤
2 4 6 8 2 0 4 10 0 6 7 7 0 8 10 8 7 0 2 4 6 8 2 4 5 6 3 5 8 5 5,7 5,9 -
最短距离矩阵
添 加 重 复 边 0
2
转接矩阵
找 出 所 有 基 本 回 0 路
TSP 的启发式算法(Heuristic algorithm)
• 穷举法：指数算法 • 分支定界法：隐枚举法 • 二交换法 (two-option, Lin’s algorithm)
– 哈密尔顿回路可以用点的序列表示 – 从任一个哈密尔顿回路(即任何一个序列)出发 – 按照一定顺序试图交换相邻两个点的顺序，若路程减少则完 成交换，继续下一个交换；若没有改善，则不进行本次交换， 尝试下一个交换；若所有的相临交换都试过而不能改善，则 算法结束，得到一个局部最优点
第十章 图与网络分析
• • • • • •
图的基本概念 最小支撑树 最短路问题 网络系统最大流问题 网络系统中的最小费用最大流问题 中国邮递员问题
2
一、图的基本概念
• 哥尼斯堡七桥问题 (Kö nigsberg Bridge Problem)。 • Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论 方面的论文，奠基了图论中的一些基本定理。
算法复杂度
• Prim算法 – i=1 n 1 次比较，最多 n 1 次赋值 – i=2 2(n 2) 次比较，最多 2(n 2) 次赋值 – i=k k(n k) 次比较，最多 k(n k) 次赋值
n1
2k ( n k ) 2n
n( n 1) 2

2 6
19
3
5
2
6
4
9
3
3
6
9
2
5
6
5
4
8
4
2
5
8
1
6
4
4
7
1
4
7
6.6 哈密尔顿回路及旅行推销员问题
6.6.1 哈密尔顿回路( Hamiltonian circuit)
• 连通图G(V,E)中的回路称为哈密尔顿回路，若该回路包括图中 所有的点。显然哈密尔顿回路有且只有 n 条边，若|V|=n • 连通图具有哈密尔顿回路的充分必要条件是什么？这个问题是 由爱尔兰数学家哈密尔顿1859年提出的，但至今仍未解决 • 欧拉回路是对边进行访问的问题，哈密尔顿回路是对点进行访 问的问题 • 搜索哈密尔顿回路的难度是 NP-complete • 任两点间都有边的图称为完全图(或全连接图) • 完全图中有多少个不同的哈密尔顿回路？ (n1)!/2 • 完全图中有多少个边不相交的哈密尔顿回路？ (n1)/2 • 最小哈密尔顿回路问题 (NP-complete) • 哈密尔顿路径：包含图中所有点的路径 • 为什么说找两点间的最长路是非常困难的问题？