福建省龙岩市武平县第一中学2021届高三上学期过关考试数学试卷含答案

2021届福建省龙岩市武平县第一中学高三10月月考数学试题一、单选题 1．函数f (x )＝ln x －22x 的零点所在的区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【答案】B【解析】计算出(1),(2),(3),(4)f f f f ，并判断符号，根据零点存在性定理可得答案. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，函数()f x 的图象是连续不断的， 因为(0)f →-∞，(1)2f =-，21(2)ln 2ln 2042f =-=->，2(3)ln 309f =->，1(4)ln 408f =->，所以根据零点存性定理可知，函数()f x 在区间(1,2)内存在零点. 故选：B. 【点睛】本题考查了零点存在性定理，属于基础题. 2．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125B ．125-C ．512D ．512-【答案】D【解析】∵sin a =513-,且a 为第四象限角,∴1213cosa ==， 则512sina tana cosa ==-， 故选D.3．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-等于（ ） A ．43-B ．54C ．34-D ．45【答案】D【解析】利用同角三角函数的基本关系求值即可. 【详解】222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθθθθθ+-+-=+ 22tan tan 24224tan 1415θθθ+-+-===++. 故选：D 【点睛】本题主要考查同角三角函数关系，属于简单题. 4．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29- C ．29D ．79【答案】A【解析】将4sin cos 3αα-=两边平方，利用同角公式和二倍角的正弦公式可解得结果. 【详解】由4sin cos 3αα-=得216(sin cos )9αα-=， 所以2216sin 2sin cos cos 9αααα-⋅+=，所以161sin 29α-=，所以7sin 29α=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了同角公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.5．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项． 【详解】由32sin ()()xx xf x f x e-+-==-，知()f x 为奇函数，排除D ；12sin1(1)0f e -=<，排除C ；322732sin38202f e -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，排除A ． 故选：B 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项． 6．若函数()()()()2cos 20πf x x x θθθ+++<<的图象关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．12-C．D． 【答案】C【解析】利用辅助角公式化简()f x ，根据对称性求得参数θ，再求函数在区间上的值域即可. 【详解】由辅助角公式可得：()2sin 26f x x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 函数图像关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， 则当2x π=时，()7266x k k Z πθθππ++=+=∈， 即()76k k Z θππ=-∈， 由于0πθ<<，故令2k =可得56θπ=， 函数的解析式为()52sin 22sin 266f x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ232,x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在定义域内单调递减，函数的最小值为：2sin 266f ππ⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变化化简解析式，以及由对称性求正弦型三角函数参数，以及正弦型三角函数值域的求解，属综合基础题.7．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8．已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，(ln 2)(ln 2)b f =⋅，2211log log 88c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】B【解析】构造函数()()g x x f x =⋅，利用奇函数的定义得函数()g x 是奇函数，再利用导数研究函数的单调性，结合0.621log 0ln 2128<<<<，再利用单调性比较大小得结论. 【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x =-，且在R 上是连续函数， 所以函数()f x 是偶函数，不妨令()()g x x f x =⋅，则()g x 是奇函数，且在R 上是连续函数， 则()()()g x f x x f x =+⋅''，因为当(,0)x ∈-∞时，()'()0f x xf x +<成立， 所以()g x 在(,0)x ∈-∞上单调递减，又因为()g x 在R 上是连续函数，且是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减， 则()0.62a g =，(ln 2)b g =，21log8c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为0.621>，0ln 21<<，21log 308=-<， 所以0.621log 0ln 2128<<<<， 所以c b a >>， 故选：B. 【点睛】本题考查的是比较大小问题，涉及到的知识点包括函数的奇偶性以及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数()g x ，属于中档题.二、多选题9．将函数()cos2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x 具有性质（ ） A ．周期为πB ．图象关于直线2x π=对称C ．图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】AD【解析】由三角函数的图象变换及诱导公式可得()sin 2g x x =，再由三角函数的图象与性质逐项判断即可得解. 【详解】由题意可得()cos 2cos 2sin 242x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 的最小正周期22T ππ==，故A 正确； 因为si 2n 0g ππ⎛⎫⎪=⎭=⎝，所以()g x 的图象不关于直线2x π=对称，故B 错误；因为3384sin 2g ππ=⎫ ⎪⎭=⎛⎝，所以()g x 的图象不关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 错误； 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质，考查了运算求解能力，属于基础题.10．下列命题中正确的是（ ）A ．命题:0p x ∃<，1x e x ->的否定:0p x ⌝∀≥，1x e x -≤B ．已知函数()2xf 的定义域是[]1,1-，则函数()3log f x 的定义域是⎤⎦C ．函数()()2322log log 4f x x x =-+，(]1,4x ∈的值域为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．已知函数()213ln 2f x x ax x =+-在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围为8,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】BCD【解析】利用特称命题的否定可判断A 选项的正误；利用抽象函数求定义域的基本原则可判断B 选项的正误；利用换元法结合二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用导数与函数单调性之间的关系求出实数a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，命题p 为特称命题，该命题的否定为:0p x ⌝∀<，1x e x -≤，A 选项错误；对于B 选项，由于函数()2xy f =的定义域是[]1,1-，即11x -≤≤，则1222x≤≤，对于函数()3log f x ，31log 22x ≤≤9x ≤≤，所以，函数()3log f x 的定义域为⎤⎦，B 选项正确；对于C 选项，当(]1,4x ∈时，令(]2log 0,2t x =∈，则()234f x t t =-+，令234y t t =-+，当02t <≤时，2237734,4244y t t t ⎛⎫⎡⎫=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以，函数()()2322log log 4f x x x =-+，(]1,4x ∈的值域为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C 选项正确；对于D 选项，()213ln 2f x x ax x =+-，则()13f x x a x'=+-， 由于函数()f x 在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，当123x ≤≤时，()130f x x a x'=+-≥， 可得13a x x ≥-，由于函数1y x x =-在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，则max 18333y =-=，833a ∴≥，解得89a ≥，所以，实数a 的取值范围是8,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了特称命题的否定、抽象函数定义域的求解、对数型函数指数的求解以及利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题. 11．下列叙述不正确的是（ ） A ．12x <的解是12x > B ．“04m <≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C ．已知x ∈R ，则“0x >”是“11x -<”的充分不必要条件D ．函数22)23(f x x x =++的最小值是2 【答案】ABCD【解析】根据充分必要条件的定义，以及基本不等式的“一正、二定、三相等”，即可得出答案. 【详解】 对于A ，12x <的解是12x >或0x <，故A 错. 对于B, ①当0m =时，2110mx mx ++=≥成立，②当0m ≠时，240m m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得： 04m <≤，故04m ≤≤才是210mx mx ++≥的充要条件，故B 错. 对于C, 由11x -<，解得：02x <<，所以“0x >”是“11x -<”必要不充分条件.故C 错.对于D ，2222332()22222f x x x x x =+=++-≥=++ （当且仅当22232x x +=+，即22x +=时，取“=”），但222x +≥>取不到“=”，故取不到最小值2，故D 错. 故答案为：ABCD. 【点睛】本题考查充分必要条件和基本不等式，属于容易题. 12．已知函数1()tan 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的周期是2πB ．()f x 的值域是{|y y ∈R ，且}0y ≠C ．直线53x π=是函数()f x 图象的一条对称轴 D ．()f x 的单调递减区间是22,233k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦，k ∈Z 【答案】AD【解析】利用正切函数的图象与性质，结合绝对值的意义，对四个选项逐一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项A ： 1()tan 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为212T ππ== ，故选项A 正确；对于选项B ：1()tan 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值域是[)0,+∞，故选项B 不正确；对于选项C ：当53x π=时，122632k x πππ-=≠，()k Z ∈，即直线53x π=不是函数()f x 对称轴，故选项C 不正确；对于选项D ：令1226k x k ππππ-+<-<，()k Z ∈，解得：233k x k ππππ-+<<+， 所以()f x 的单调递减区间是22,233k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦，()k Z ∈，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用，属于中档题.三、填空题 13．若(,)a bia b R i+∈与2(2)i -互为共轭复数，则a b -=________. 【答案】7- 【解析】对复数a bi i+，2(2)i -分别进行运算，再利用共轭复数的概念，实部相等、虚部互为相反数，求得,a b 的值，进而得到-a b 的值. 【详解】 因为2()a bi a bi i b ai i i++==-，2(2)34i i -=-， 因为两个复数互为共轭复数， 所以3,4b a ==-，所以7a b -=-. 故答案为：7- 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念，考查基本运算求解能力. 14．已知一扇形的圆心角为3π，半径为10，则扇形弧所在弓形的面积___________．【答案】503π-【解析】利用扇形面积减去三角形面积即可得出扇形弧所在弓形的面积. 【详解】由于扇形的圆心角为3π，半径为10， 则扇形的两条半径与弦所围成的三角形是边长为10的等边三角形，=因此，扇形弧所在弓形的面积为2115010102323S ππ-=⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：503π-.【点睛】本题考查弓形面积的计算，考查了扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 15．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是__________． 【答案】21y x =--【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x=-'，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--． 【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．16．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '>且(1)y f x =+是偶函数，2(0)2f e =，则不等式()2x f x e <的解集为_________．【答案】(,2)-∞ 【解析】设()()x f x g x e=，结合已知可判断()g x 在R 上单调递增，然后由(1)y f x =+是偶函数，及(0)f 可求(2)f ，进而可求(2)g ，即可求解． 【详解】设()()x f x g x e =，()()()0xf x f x x e '-'=>g ∴， ()g x ∴在R 上单调递增，(1)y f x =+是偶函数，()y f x ∴=图象关于1x =对称，2(2)(0)2f f e ∴==，2(2)(2)2f g e ∴==， ()()22x x f x f x e e<⇔<，即()(2)g x g <， 2x ∴<.故答案为：(,2)-∞. 【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及转化思想的应用，考查计算能力．四、解答题17．已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求a 的值．【答案】（1）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（2）a ＝0【解析】(1)f(x)＝2sin2x ＋122cos x ＋＋a ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋a ＋12，∴T ＝π.由2π＋2kπ≤2x ＋6π≤32π＋2kπ，得6π＋kx≤x≤23π＋kπ.故函数f(x)的单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)． (2)∵－6π≤x≤3π，∴－6π≤2x ＋6π≤56π.∴－12≤sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1.当x ∈,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，原函数的最大值与最小值的和为1111222a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋＋－＋＋＝32，∴a ＝018．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1，2])，且函数f (x )在x ＝1和x ＝－23处都取得极值． （1）求a ，b 的值；（2）求函数f (x )的单调递增区间．【答案】（1）122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；（2）21,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和(1，2]. 【解析】（1）求出导函数()'f x ，由203f ⎛⎫' ⎪⎝⎭－＝和()01f '=求得,a b ,并验证；（2）由导函数()'f x 的正负确定单调性．【详解】（1）∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题易知，()20310f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝='⎭⎨'⎪⎩，即44033320a b a b ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩， 解得 122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，此时()23232)(1()f x x x x x ==+-'--，23x <-或1x >时，()0f x '>，213x -<<时，()0f x '<，所以x ＝1和x ＝－23分别取得极小值和极大值，满足题意，1,22a b ∴=-=；（2）由（1）得23x <-或1x >时，()0f x '>，又[1,2]x ∈-，∴f (x )的单调递增区间为21,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，(1，2]． 【点睛】本题考查导数与极值的关系，考查用导数求函数的单调区间，解题基础是正确求出导函数()f x '，要注意导函数等于零和极值的关系，属于基础题． 19．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． （1）判断函数f (x )的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切的x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）f (x )是增函数，奇函数；（2）存在，t ＝－12. 【解析】（1）根据奇偶性定义判断奇偶性，利用复合函数的单调性确定函数的单调性；（2）根据奇偶性与单调性把不等式化这22t t x x +≤+，即存在t ，使得12t ⎛⎫+⎪⎝⎭2≤ 2min12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭恒成立，由此可得t 值．【详解】（1）∵f (x )＝e x －1e ⎛⎫⎪⎝⎭x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 是增函数，所以f (x )是增函数． 由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．（2）由（1）知f (x )是增函数和奇函数，∴f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立， 即 f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立，即x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立，所以，t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立，即存在实数t 使得12t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2≤ 2min12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭恒成立所以存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题，解题中不等式恒成有两个变量，一个是存在t ，一个是所有x ，要注意它们的区别，注意问题的转化．20．设p ：实数a 满足不等式3113a -≥（），:q 函数3213()392a f x x x x -=++无极值点.（1）若p q ⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p q ∧为真命题，并记为r ，且t ：12a m >+或a m <，若t 是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.【答案】（1）5a >或13a ≤≤ ；（2）512m ≤≤. 【解析】（1）求得命题p 可得3a >，化简命题q 可得15a ≤≤，由p q ⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，则p ⌝与q 一真一假，分两种情况讨论,分别解不等式组，然后求并集即可求得结果；（2）求得命题r 的范围，求得r ⌝的范围，结合命题t 的范围，利用包含关系列不等式求解即可. 【详解】若p 为真，则3a ≤，又21'()(3)33f x x a x =+-+，若q 为真，令0∆≤，则15a ≤≤； （1）由p q ⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，则p ⌝与q 一真一假 若p ⌝为真，q 为假，则351a a a >⎧⎨><⎩或，5a ∴>若p ⌝为假，q 为真，则315a a ≤⎧⎨≤≤⎩，13a ∴≤≤综上，实数a 的取值范围为5a >或13a ≤≤ ； （2）若p q ∧为真，则13a ≤≤，:3r a ∴⌝>或1a <1:2t a m ∴>+或a m < 又t 是r ⌝的必要不充分条件，1132m m ≥⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩，512m ∴≤≤. 【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.21．某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：()()212kt x b p --=，其中,k b 均为常数.当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件.（1）试确定,k b 的值.（2）市场需求量q (单位：万件)与市场价格x (单位：千元)近似满足关系式：2xq -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.【答案】（1）1k =，5b =；（2）500%.【解析】（1）将关税税率75%t =，市场价格5x =代入()()212kt x b p --=中，列出关于k 与b 的方程组求解；（2）利用p q =，将t 表示成关于x 的函数，然后确定t 的最大值. 【详解】 (1)由已知得：()()()()2210.75510.7571222k b k b ----⎧=⎪⎨⎪=⎩，得()()()()2210.755010.7571k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 解得5b =，1k =.(2)当p q =时，()()21522t x x ---=，所以()()215t x x --=-，则()211125510xt x x x=+=+-+-. 设()25f x x x=+，则()f x 在(]0,4上单调递减， 所以当4x =时，()f x 有最小值414， 故当4x =时，关税税率的最大值为500%. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查学生分析问题、处理问题的能力，数学建模的能力，难度一般.解答时，要灵活运用题目所给条件，建立函数模型然后求解. 22．设函数()()2ln f x ax x a R =--∈.（1）若()f x 在点()(),e f e 处的切线为0x ey b -+=，求,a b 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）若()xg x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >.【答案】(1) 2a e=，2b e =-,(2) 当0a ≤时，()f x 的单调减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单调减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（3）见解析． ．【解析】【详解】（1）∵()()2ln f x ax x a R =--∈，∴()11ax f x a x x-'=-=， 又()f x 在点()(),e f e 的切线的斜率为1e ，∴()11ae f e e e-'==，∴2a e =， ∴切点为(),1e -把切点代入切线方程得：2b e =-； （2）由（1）知：()()110ax f x a x x x-'=-=> ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上是单调减函数，②当0a >时，令()0f x '=，解得：1x a=，当x 变化时，()(),f x f x '随x 变化情况如下表：当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调减，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，单()f x 单调增，综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单调减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.(3)当0x >时，要证()0xf x ax e -+>，即证ln 20x e x -->，令()()ln 20x h x e x x =-->，只需证()0h x >，∵()1x h x e x'=-由指数函数及幂函数的性质知：()1xh x e x'=-在()0,∞+上是增函数又()110h e '=->，131303h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，∴()1103h h ⎛⎫' ⎝'<<⎪⎭，()h x '在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点，也即()h x '在()0,∞+上有唯一零点设()h x '的零点为t ，则()10h t e t'-'==，即1113e t t ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭'，由()h x '的单调性知：当()0,x t ∈时，()()0h x h t ''<=，()h x 为减函数当(),x t ∈+∞时，()()0h x h t ''>=，()h x 为增函数，所以当0x >时，()()11ln 2ln 2h x h t e t t e ≥=---'=-'，又113t <<，等号不成立，∴()102220h x t t>=+-≥-=.点睛: 本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，(1)利用导数的几何意义；（2）研究单调性，即研究导函数的正负；（2）：证明恒成立，转化为函数最值问题．。

晨鸟教育“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市/区）一中联考2020-2021 学年第一学期半期考高三数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）命题人：长汀一中上杭一中漳平一中试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确答案的代号涂在答题卡上。

1.设全集U{x|x0}，集合A{1}，则C A=（）UA. (,1)(1,)B. (,1)C.[0,1)(1,)D. (1,)2. 命题p:ABC为锐角三角形，命题q:ABC中，sin A cos B. 则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.幂函数f(x)满足f(4)3f(2),则)等于()f(2113 3A. B. C. D.333sin(2)sin cos444.若，则的值为（）254343A．B．C．D．5555Earlybird晨鸟教育ln ln 3ln25.设,则下列判断中正确的是( )a ,b,c2 3A. a b cB.b c aC. a c bD.c b a6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征。

函数2f(x ) (1) s in xe 1xππ(, )在区间上的图象的大致形状是()2 2A．B．C．D．7.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2020 5 1 12 35000年月日2020 5 15 60 35600年月日注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程。

在这段时间内，该车每百千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升a, x 0x28.若函数f ( (a R) 在R上没有零点,则的取值范围是()x ) a3x a, x 0－A.(0,）B.（1,) {0}C.(,0]D.(,1]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年福建省龙岩市高三教学质量检查理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2sin15cos15︒︒=（ ）A ．21B ．21- C ．23 D ．23- 2．命题“对任意实数x [1,2]∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．3a ≥D ．3a ≤3．某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：），下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）A ．20B ．22.5C ．22.75D ．254．已知复数(2)z a a i =+-（,a R i ∈为虚数单位）为实数，则0)a x dx ⎰的值为（ ）A ．π+2B ．22π+C ．π24+D ．π44+5．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）A．3 B．2 CD1正视图 侧视图俯视图6．如图，分别是射线上的两点，给出下列向量：①2OA OB +；①1123OA OB +； ①3143OA OB +；①3145OA OB +；①3145OA OB - 若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①① 7．已知过抛物线x y 122=焦点的一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若||14AB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数1)62sin(2)(-++=a x x f π)(R a ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点21,x x )(21x x ≠，则a x x -+21的取值范围是（ ）A ．)13,13(+-ππB ．)13,3[+ππ C ．)132,132(+-ππ D ．)132,32[+ππ 9．已知函数)(x f y =是R 上的减函数，且函数)1(-=x f y 的图象关于点A )0,1(对称．设动点M ),(y x ，若实数y x ,满足不等式 0)6()248(22≥-++-x y f y x f 恒成立，则OM OA ⋅的取值范围是（ ）A ．),(∞+-∞B ．]1,1[-C ．]4,2[D ．]5,3[10．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++， 依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++， 其中n m ≤，*,m n ∈N ．设n y m x ≤≤≤≤1,1，则12+++x y x 的最小值为（ ） A ．223 B ．25 C ．78 D ．334二、填空题11．如图所示的程序执行后输出的结果S 为 ．12．若(x 2+1x 3)5展开式中的常数项为 ．（用数字作答）13．已知点P 在渐近线方程为034=±y x 的双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上，其中1F ，2F 分别为其左、右焦点．若12PF F ∆的面积为16且120PF PF ⋅= ，则a b +的值为 ．14．若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有 个（用数字作答）．15．已知动点P 在函数24)(+-=x x f 的图像上，定点)2,4(--M ，则线段PM 长度的最小值是 ．三、解答题16．（本小题满分13分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，()()()b b a c a c =-+，且B ∠为钝角．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若12a =，求b 的取值范围． 17．（本小题满分13分）某运动队拟在2021年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为91的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过94，且他直到第二次测试才合格的概率为278． （Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为1i =0S =WHILE 5i <=S S i=+1i i =+WENDPRINT SENDξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分13分）如图，已知,AC BD 是圆O 的两条互相垂直的直径，直角梯形ABEF 所在平面与圆O 所在平面互相垂直，其中90FAB EBA ∠=∠=︒，2BE =，6AF =，AC =N 为线段EF 中点．（Ⅰ）求证：直线//NO 平面EBC ；（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且点M 在平面CEF 上的射影为线段NC 的中点，请求出线段AM 的长．19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右顶点分别为12(3,0),(3,0)A A -．一条不经过原点的直线l y kx m =+：与该椭圆相交于M 、N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若0m k +=，直线1A M 与2NA 的斜率分别为12,k k ．试问：是否存在实数λ，使得120k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数1)()(+⋅+=x e a x x f x（e 为自然对数的底数），曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线与直线0134=++ey x 互相垂直．（Ⅰ）求实数a 的值；AFD CB E NO（Ⅱ）若对任意),32(+∞∈x ， )12()()1(-≥+x m x f x 恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设()g x = ，123112[g()g()g()g()]n n T n n n n-=+++++ (2,3)n =．问：是否存在正常数M ，对任意给定的正整数(2)n n ≥，都有36931111nM T T T T ++++<成立？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由． 21．已知二阶矩阵21M a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若矩阵属于特征值的一个特征向量，属于特征值3的一个特征向量． （①）求实数的值；（①）若向量，计算的值．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23221（t 为参数），若以原点O为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为θρcos 4=，设M 是圆C 上任一点，连结OM 并延长到Q ，使MQ OM =．（Ⅰ）求点Q 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与点Q 轨迹相交于B A ,两点，点P 的直角坐标为(0,2)，求PB PA +的值． 23．已知函数． （①）当时，解不等式； （①）当时，若函数既存在最小值，也存在最大值，求所有满足条件的实数的集合．参考答案1．A【解析】 试题分析：012sin15cos15sin 302︒︒==,选A ． 考点：1．三角函数的倍角公式；2．特殊角的三角函数值．2．C【解析】试题分析：即由“对任意实数x [1,2]∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x [1,2]∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”．因为x [1,2]∈，所以2[1,4]x ∈，20x a -≤恒成立，即2x a ≤， 因此4a ≥；反之亦然．故选C ．考点：1．充要条件；2．不等式及不等关系．3．B【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得；①0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；①中位数应在20～25内，设中位数为x ，则0.3+（x -20）×0.08=0.5，解得x=22.5；①这批产品的中位数是22.5考点：频率分布直方图4．A【解析】试题分析：因为复数(2)z a a i =+-（,a R i ∈为虚数单位）为实数，所以20,2a a -==． 222200001)|22x dx xdx x ππ=+=+=+⎰⎰⎰，选A ． 考点：1．微积分基本定理、定积分的几何意义；2．复数的概念．5．D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面等腰三角形底边长为2，高为1，棱锥的高为，有一个侧面垂直于底面，另两个侧面全等，边长分别为2==，所以几何体的表面积为11121221222⨯⨯+⨯⨯=S=，选D ． 考点：1．三视图；2．几何体的表面积．6．B【解析】试题分析：在ON 上取C 使2OC OB =，以,OA OC 为邻边作平行四边形,2OCDA OD OA OB =+，其终点不在阴影区域内，排除选项,A C ；取OA 的中点E ，作1//3EF OB ，由于12EF OB <,所以1123OA OB +的终点在阴影区域内；排除选项C ，故选B ．考点：1．平面向量的线性运算；2．平面向量的几何运算．7．D【解析】试题分析：抛物线x y 122=焦点(3,0)F ，准线方程为．由抛物线的定义可知，,A B 到准线的距离之和等于||14AB =，由梯形的中位线定理，线段AB 的中点到准线轴的距离等于1||72AB =，所以，线段AB 的中点到y 轴的距离等于734-=，选D 考点：1．抛物线的定义；2．抛物线的几何性质．8．B【解析】 试题分析：函数1)62sin(2)(-++=a x x f π)(R a ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点，即2sin(2),16y x y a π=+=-的图象在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个交点．由于6x π=是2sin(2)6y x π=+（x R ∈）图象的一条对称轴，所以123x x π+=．又0x =时，1y =，所以112,01a a ≤-<≤-<，故12133x x a ππ≤+-<+，选B ．考点：1．函数与方程；2．三角函数的图象和性质．9．C【解析】试题分析：因为函数)1(-=x f y 的图象向左平移一个单位即可得到函数)(x f y =的图象，所以函数)(x f y =的图象关于原点对称，即函数)(x f y =是奇函数．所以，0)6()248(22≥-++-x y f y x f 可化为22(824)(6)f x y f y x -+≥--，即22(824)(6)f x y f y x -+≥-+，又函数)(x f y =是R 上的减函数，所以，222222824668240341x y y x x y x y x y -+≤-++--+≤-+-≤，，（）（），点M),(y x 在圆22341x y -+-=（）（）内或其边界上．而OA OM ⋅=⋅ （1，0）（x,y ）=x ，故其范围是]4,2[，选C ．考点：1．函数的奇偶性、单调性；2．圆的方程．10．C【解析】 试题分析：因为11111111()2362323=++=++-11111111111()()24612242334=+++=++-+-11111111111111()()()256122025233445=++++=++-+-+- 依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++ 1111111111111111111111()()()()()()()()()(22334566778899101011111212m n =+-+-+++-+-+-+-+-+-+-+所以111111,,13,20134520m n m n ==-===，即113,120x y ≤≤≤≤．又21111x y y x x +++=+++，把11y x ++看成点(,),(1,1)x y --连线的斜率，结合n m ≤，*,m n ∈N ．在满足条件的整点中，(13,1),(1,1)--连线的斜率最小为111,1317+=+故12+++x y x 最小值为78，选C ．考点：1．归纳推理；2．简单线性规划的应用；3．裂项相消法．11．15【解析】试题分析：根据算法语句可知，1,i =符合条件，01S =+；2,i =符合条件，012S =++； ，直到6i =时，不符合条件，输出1234515S =++++=，结束．考点：算法与程序框图．12．10【解析】试题分析：由题意得，令x =1，可得展示式中各项的系数的和为32，所以2n =32，解得n =5，所以(x 2+1x 3)5展开式的通项为T r+1=C 5r x 10−5r ，当r =2时，常数项为C 52=10，故答案为10．考点：二项式的系数的性质及二项式定理的应用．【易错点晴】本题主要考查了二项式的系数的性质及二项式定理的应用，是一个典型的试题，利用了赋值法求解，易出现计算错误，但二项式的考题中难度相对较小，主要三基训练，本题的解答中利用展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，得到n =5，再利用二项展开式的通项求解展开式中的常数项，其中准确计算是解答的一个易错点．13．7【解析】 试题分析：由双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为034=±y x 知，43b a =①；由120PF PF ⋅= 知12,PF PF ⊥ 12PF F ∆为直角三角形，所以22212||||PF PF +=（2c ），由双曲线的定义得12||||||2,PF PF a -=222222212121212(||||)(2),||||2||||4,||||2()PF PF a PF PF PF PF a PF PF c a -=+-⋅=⋅=-，所以，221211||||2()1622PF PF c a ⋅⋅=⨯-=，2216c a -=，而222a b c += ，所以4,b =结合①得3,7a a b =+=．考点：1．双曲线的几何性质；2．双曲线的定义；3．勾股定理． 14．288 【解析】试题分析：奇数字有1,3,5,7，偶数字有2,4,6,为使六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，应首先从1,3,5,7中任选3个排好，有3424A =种方法；然后将2,4,6排入所造空中，有33212A =种方法，根据分步计数原理得334322412288.A A ⨯=⨯=考点：1．分步计数原理；2．简单排列问题． 15．32 【解析】 试题分析：依题意设42P x +（x,-），则2222244()(4)(2)(22)(2)22g x PM x x x x ==++-+=+++-+++，221616(2)4(2)44(2)2x x x x =+++++-+++244[(2)]4[(2)]1622x x x x =+-++-+++，令4(2)2t x x =+-+， 2()416u t t t =++，则2t =-时，2()416u t t t =++最小为12，此时4(2)2,2t x x =+-=-+方程260x x ++=有实数解，所以线段PM 长度的最小值为32．考点：1．两点间距离公式；2．二次函数图象和性质；3．转化与化归思想．16．（Ⅰ）6A π= ；（Ⅱ）b 11,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()()()b b a c a c -=+-得222b a c =-，得222b c a +-=，应用余弦定理即得．（Ⅱ）由B 为钝角知2A C π+<，推出03C π<< 应用正弦定理12211sin 2a R A ===，进一步bsin B C =-cos()3C π=+11,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭试题解析：（Ⅰ）由()()()b b a c a c -=+-得222b ac =-，得222b c a +-=于是222cos 2b c a A bc+-=2= 又(0,)A ∈π，∴6A π= 6分 （Ⅱ）∵B 为钝角于是2A C π+<，又6A π=，∴03C π<< 由正弦定理可知，12211sin 2aR A ===所以bsin B C =5sin()6C C π=-1cos 22C C =-cos()3C π=+ 又03C π<<， 2333C πππ<+<∴b -cos()3C π=+11,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭13分 考点：1．正弦定理、余弦定理的应用;2．三角函数的图象和性质． 17．（Ⅰ）31． （Ⅱ）ξ的分布列为45241212943123.8181818127E ξ=⨯+⨯+⨯== 【解析】试题分析：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为12344,,,,()99999p p p p p p ++++≤，由,274)91)(1(=+-p p 解得31=p 或95=p （舍去）（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，计算12545(1)39981P ξ==+==， 5624(2)(1)9981P ξ==-=， 5612(3)(1)(1)9981P ξ==--=，即得分布列，数学期望．试题解析：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为12344,,,,()99999p p p p p p ++++≤，则,274)91)(1(=+-p p即0524272=+-p p ，0)59)(13(=--p p ， 解得31=p 或95=p （舍去） 所以小刘第一次参加测试就合格的概率为31． 6分 （Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，12545(1)39981P ξ==+==， 5624(2)(1)9981P ξ==-=， 5612(3)(1)(1)9981P ξ==--=，所以ξ的分布列为45241212943123.8181818127E ξ=⨯+⨯+⨯== 13分 考点：1．随机变量的分布列与数学期望；2．等差数列的性质．18．（Ⅰ）见解析； 2= ．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设,AB AF ⊥且平面⊥ABEF 平面ABCD ，可知⊥AF 平面ABCD 根据BD 是圆的直径，,AD AB ⊥以点A 为原点可建立空间直角坐标系由图形特征及数据，得到)0,0,4(B ，，)0,4,4(C ，)0,2,2(O ，)2,0,4(E ，)6,0,0(F ，)4,0,2(N根据,AB EB ⊥，BC AB ⊥,，得到(4,0,0)AB =是平面EBC 的法向量，由于(0,2,4)NO =-，0)4,2,0()0,0,4(=-⋅=⋅，得证．（Ⅱ）点M 在线段AC 上，可设)0,4,4()0,4,4(λλλλ===AC AM ，NC 的中点为)2,2,3(Q ，)2,42,43(λλ--=，由⊥MQ 平面CEF ，)4,0,4(-= ，)2,4,0(-=，根据向量的数量积为零，解得41=λ，进一步求得向量的模即得． 试题解析：（Ⅰ）由题设,AB AF ⊥且平面⊥ABEF 平面ABCD ，可知⊥AF 平面ABCD 又BD 是圆的直径，,AD AB ⊥因此，以点A 为原点可建立空间直角坐标系如图由于,AC BD 是圆O 的两条互相垂直的直径，且AC =所以四边形ABCD 是边长为4的正方形则)0,0,4(B ，，)0,4,4(C ，)0,2,2(O ，)2,0,4(E ，)6,0,0(F ，)4,0,2(NEB AB ⊥, ，BC AB ⊥,，)0,0,4(=∴是平面EBC 的法向量)4,2,0(-=NO ，0)4,2,0()0,0,4(=-⋅=⋅NO AB所以直线//NO 平面EBC 7分 （Ⅱ）点M 在线段AC 上，可设)0,4,4()0,4,4(λλλλ===AC AMNC 的中点为)2,2,3(Q ，)2,42,43(λλ--=，由题设有⊥MQ 平面CEF)4,0,4(-=EF ，)2,4,0(-=EC ， ⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=+--=⋅∴04)42(408)43(4λλEF MQ 解得41=λ)0,1,1()0,4,4(==λλ，线段AM2=13分考点：1．空间向量方法；2．空间距离；3．平行关系．19．（Ⅰ）2219x y +=；（Ⅱ）存在12λ=- 使得使得120k k λ+=． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设可知3a =及3c a =、222b ac =-确定22,a b ． （Ⅱ）思路一：由0m k +=知:(1,0)D ，设直线1A M 的方程为1(3)y k x =+，直线2NA 的方程为2(3)y k x =-．分别联立方程组得点M 的坐标为21122113276(,)1919k k M k k -++．N 的坐标为22222222736(,)1919k k N k k --++．由,,M D N 三点共线，确定得到121()02k k +-=． 思路二：由0m k +=知，k m -=，直线l 方程化为)1(-=x k y ，其过定点(1,0)D ．当直线l 的倾斜角∞→α时，)322,1(→M ，)322,1(-→N 此时621→k ，322→k ，2121-=-→k k λ 由此可猜想：存在21-=λ满足条件，下面证明猜想正确 联立方程组09918)91(19)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ， 设),(),,(2211y x N y x M ，得到22219118k k x x +=+，22219199k k x x +-=⋅ 3111+=x y k ，3222-=x y k 12λ=-时，证得3213221121--+=+x y x y k k λ0)3)(3)(91(2)8199099(212222=-++++--=x x k k k k k ． 试题解析：（Ⅰ）由题设可知3a =因为3e =即3c a =，所以c =222981b a c =-=-= 所以椭圆C 的方程为： 2219x y += 4分 （Ⅱ）解法一：由0m k +=知:(1,0)D ， 5分设直线1A M 的方程为1(3)y k x =+，直线2NA 的方程为2(3)y k x =-．联立方程组122(3)19y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得:222111(19)548190k x k x k +++-=解得点M 的坐标为21122113276(,)1919k k M k k -++． 8分 同理，可解得点N 的坐标为22222222736(,)1919k k N k k --++ 9分由,,M D N 三点共线，有12221222122212661919327273111919k k k k k k k k -++=----++， 10分 化简得2112(2)(182)0k k k k -+=．由题设可知k 1与k 2同号，所以212k k =，即．121()02k k +-= 12分 所以，存在12λ=- 使得使得120k k λ+=． 13分 解法二：由0m k +=知，k m -=，直线l 方程化为)1(-=x k y ，所以l 过定点(1,0)D 5分当直线l 的倾斜角∞→α时，)322,1(→M ，)322,1(-→N 此时621→k ，322→k ，2121-=-→k k λ 由此可猜想：存在21-=λ满足条件，下面证明猜想正确 7分 联立方程组09918)91(19)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ， 设),(),,(2211y x N y x M ，则22219118k k x x +=+，22219199k k x x +-=⋅ 10分3111+=x y k ，3222-=x y k 所以12λ=-时，3213221121--+=+x y x y k k λ =)3)(3(2)3)(1()3)(1(2211221-++----x x x x k x x k=-++--)3)(3(2)955(211221x x x x x x k )3)(3(2)9911859199(212222-+++-+-x x k k k k k0)3)(3)(91(2)8199099(212222=-++++--=x x k k k k k 12分 由此可得猜想正确，因此，存在21-=λ使得120k k λ+=成立 13分 考点：1．椭圆的标准方程及其几何性质；2．直线与椭圆的位置关系．20．（Ⅰ）0a =;（Ⅱ）e m ≤∴;（Ⅲ）不存在正常数M ，对任意给定的正整数(2)n n ≥，都有36931111nM T T T T ++++<成立． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数由e e a f 434)3()1(=⋅+='即得； （Ⅱ）对任意的),32(+∞∈x ，)12()()1(-≥+x m x f x 恒成立等价于0)12(≥--x m xe x对),32(+∞∈x 恒成立，即12-≤x xe m x 对),32(+∞∈x 恒成立令)32(12)(>-=x x xe x t x , 有最小)(x t m ≤ 应用导数研究函数的单调性、最值即得．（Ⅲ研究）()g x ==x x e e e +e e ee e e e e e e x g x x x x +=+⋅=+=---11)1(， 知)1,,3,2,1(,1)()(-==-+n k nkn g nkg 利用“错位相减法”求123112[g()g()g()g()]n n T n n nn-=+++++ 得到n T n =，求3693111111111()3123n T T T T n++++=++++，取2m n =(*m N ∈)， 则=++++n 1312111 111111111()()123456782m +++++++++ 0121231111122222222m m -≥+⨯+⨯+⨯++⨯12m =+，当m 趋向于+∞时，12m+趋向于+∞．作出判断．试题解析：（Ⅰ）2)1()()1]()([)(+⋅+-+⋅++='x e a x x e a x e x f xx x 22)1(]1)1([++++=x x a x e x依题意得：e e a f 434)3()1(=⋅+='， 0=∴a 4分（Ⅱ）对任意的),32(+∞∈x ，)12()()1(-≥+x m x f x 恒成立等价于0)12(≥--x m xe x对),32(+∞∈x 恒成立，即12-≤x xe m x 对),32(+∞∈x 恒成立令)32(12)(>-=x x xe x t x , 则最小)(x t m ≤ 22)12()12()(---='x x x e x t x 由0)(='x t 得：1x =或12x =-（舍去） 当)1,32(∈x 时，0)(<'x t ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x t)(x t ∴在)1,32(上递减，在),1(+∞上递增e t x t ==∴)1()(最小e m ≤∴ 9分（Ⅲ）()g x ==x x e e e +ee ee e e e e e e x g xx x x +=+⋅=+=---11)1(， 1)1()(=++=-+∴xx ee ee x g x g 10分 因此有)1,,3,2,1(,1)()(-==-+n k n kn g nk g 由123112[g()g()g()g()]n n T n n n n -=+++++)]1()2()1([21ng n n g n n g T n ++-+-+=得n n T n 2)1(22]111[222=-+=++++= ，n T n =∴ 11分 3693111111111()3123n T T T T n++++=++++，取2m n =(*m N ∈)， 则=++++n 1312111 111111111()()123456782m +++++++++ 0121231111122222222m m -≥+⨯+⨯+⨯++⨯12m=+， 12分当m 趋向于+∞时，12m+趋向于+∞． 13分所以，不存在正常数M ，对任意给定的正整数(2)n n ≥，都有36931111nM T T T T ++++<成立． 14分 考点：1．数列的求和；2．应用导数研究函数的单调性、最值；3．转化与化归思想．21．（①）3{0a b ==；（①）241249-⎛⎫ ⎪-⎝⎭【解析】试题分析：（1）（①）由211133a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2111311a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得33{3a b a b -+=-+=即得；（①）设311531m n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3{35m n m n -+=-+=解得2{1m n ==- 计算122βαα=-，555122M M M βαα=-．试题解析：（①）由211133a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2111311a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得33{3a b a b -+=-+=解得3{0a b ==4分 （①）设311531m n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则3{35m n m n -+=-+=解得2{1m n ==- ①122βαα=-①7分考点：1．矩阵与变换；2．方程思想．22．（Ⅰ）22(4)16x y -+=；（Ⅱ）4+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）化圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，设(,)Q x y ，根据 (,)22x y M 代入上述方程化简即得．（Ⅱ）把1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(4)16x y -+=，可得2(440t t +++=令,A B 对应参数分别为12,t t ，则0)324(21<+-=+t t ，1240t t ⋅=>根据参数的几何意义即得．试题解析：（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，设(,)Q x y ，则(,)22x y M ， ∴22(2)()422x y -+=∴22(4)16x y -+=这就是所求的直角坐标方程． 3分（Ⅱ）把122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(4)16x y -+=，即代入2280x y x +-=得2211()(2)8()022t t -++--=，即2(440t t +++= 令,A B 对应参数分别为12,t t ，则0)324(21<+-=+t t ，1240t t ⋅=> 所以3242121+=+=+=+t t t t PB PA ． 7分考点：1．极坐标与参数方程;2．直线与圆的位置关系．23．（①）．（①）． 【解析】试题分析：（①）由得， （①）当时，因为()f x 既存在最大值，也存在最小值，分析图象—折线的形态知，．试题解析：（①）, 由得， 所以所求不等式的解集为． 4分（①）当时，因为()f x 既存在最大值，也存在最小值，所以，所以所以a 的取值集合为． 7分 考点：1．不等式选讲;2．分段函数及其图象．。

数学练习题5-1一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣3x﹣4≤0}，B={x|x=，x∈Z，k∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，1，3} C．{﹣3，﹣1，1} D．{﹣3，﹣1，1，3}2．已知命题p：∃x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）垂直，则（）A．p是假命题；￢p：∀x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）不垂直B．p是假命题；￢p：∀x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）垂直C．p是真命题；￢p：∀x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）不垂直D．p是真命题；￢p：∃x∈R，使得向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）不垂直3．设a=cos，b=30.3，c=log53，则（）A．c＜b＜q B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a4．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（）A．14400亩B．172800亩C．17280亩D．20736亩5．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．6．已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞07．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44 D．44+18．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B． 3 C． 6 D．99．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A ． f （x ）在区间上是增函数B ． f （x ）在区间上是增函数C ． f （x ）在区间上是减函数D ． f （x ）在区间上是减函数10．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=2，对任意x ∈R ，f′（x ）＞2，则f （x ）＞2x+4的解集为（ ）A ． （﹣1，1）B ． （﹣1，+∞）C ． （﹣∞，﹣1）D ． （﹣∞，+∞） 二、填空题11.若实数满足，则的最小值为．12．设，则m 与n的大小关系为 ．13．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为 ．14．设 与的等比中项，则的最小值为 ． 15．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①y=x ﹣；②y=x+；③y=中满足“倒负”变换的函数是 ．三、解答题16.如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，∠BAC=∠ACD=，∠EAC=，AB=AC=AE.,x y 22x y +0,0a b >>2a2b11a b+︒90︒60（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得DP//平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ACDE 所成的锐二面角的余弦值.17.设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，； 当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，. （1）求概率P （）；（2）求的分布列，并求其数学期望E （）.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csinA=acosC （1）求角C 大小； （2）求sinA ﹣cos （B+）的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．19.已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A ，B ，经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于C 、D （异于A ，B ）两点．(1)求椭圆标准方程；θξ0=ξξ1=ξ0=ξξξ2y =22221(0)x y a b a b+=>>l(2)求四边形的面积的最大值；(3)若是椭圆上的两动点，且满，动点满足（其中O 为坐标原点），是否存在两定点使得为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．20．已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）≤，求k 的取值范围．21.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.22.设函数的最大值为M ．（1）求实数M 的值；（2）求关于的不等式的解集．ADBC 1122(,)(,)M x y N x y 121220x x y y +=P 2OP OM ON =+12,F F 12PF PF+xoy 1C ⎩⎨⎧==a y ax sin cos 3a o x 2C 24)4sin(=+πθρ1C 2C P 1C P 2C P ()f x =x 12x x M -++≤数学练习题5-1答案1．解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤4，即A=，由B中x=，x∈Z，k∈Z，得到2k﹣1可能为﹣3，﹣1，1，3，解得：k=﹣1，0，1，2，即x=﹣1，﹣3，3，1，∴B={﹣3，﹣1，1，3}，则A∩B={﹣1，1，3}，故选：B．2．解：命题p：∃x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）垂直，它的否定是：￢p：∀x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）不垂直，如果垂直则有：2x2+1﹣3x=0，解得x=1或x=，显然命题的否定是假命题．故选：C．3．C 解：∵＜＜，∴a=cos＜，b=30.3＞1，c=log53＞log5=，c=log53＜log55=1；故a＜c＜b，4．解：由题设知该林场第二年造林：10000×（1+20%）=12000亩，该林场第三年造林：12000×（1+20%）=14400亩，该林场第四年造林：14400×（1+20%）=17280．故选C．5．D解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ= 6．解：∵已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），可令h（x）=，g（x）=﹣，如下图：当0＞x＞x0，时g（x）＞h（x），h（x）﹣g（x）=＜0；当x＜x0时，g（x）＜h（x），h（x）﹣g（x）=＞0；∵x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），∴f（x1）＞0，f（x2）＜0，故选C；7．解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），两式相减得：a n+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A8．解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，由于函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0），由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3取最大值9．故选D．9．解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，∴f（x）=2sin（φ），∵当x=时，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）=2，φ=+2kπ，∵﹣π＜φ≤π，∴φ=，∴，由可得函数的单调增区间：，由可得函数的单调减区间：，结合选项可知A正确，故选A．10．解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g （x ）＞g （﹣1）=0得x ＞﹣1，即f （x ）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B 11．. 12、解：∵e x ，lnx 的导数等于e x ，，∴m=e x |=e 1﹣e 0=e ﹣1；n=lnx|=lne ﹣ln1=1．而e ﹣1＞1∴m ＞n ．故答案为：m ＞n ．13、解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2 下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2 ∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m 3，故答案为：4 14．【解析】，又，，所以的最小值为. 15、①③16．（一）解：（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P 。

福建省武平县第一中学2021-2022学年高一上学期学业水平检测数学试卷一、选择题1.函数()2f x x x =-的单调递减区间是( ) A.[]1,2 B.[]1,0-C.[]0,2D.[)2,+∞2.已知函数3y ax =+在区间[]2,3-上有最小值0,则实数a 的值为( )A. 1-B. 3-C.32 D. 1-或323.如图,U 是全集,,,M P S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( ) A.()M P S ⋂⋂ B.()M P S ⋂⋃C.()()U M P S ⋂⋂D.()()U M P S ⋂⋃4.如果定义在R 上的奇函数()=y f x 同时也是增函数，且(2)(9)0+->f m f m ，则实数m 的取值范围是( )A.(),3-∞-B.()0,+∞C.()3,+∞D.()(),33,-∞-⋃+∞ 5.设a 是实数，则5a <成立的一个必要不充分条件是( ) A.6a < B.4a <C.225a <D.115a>6.定义在R 上的运算：*(1)x y x y =-.若不等式()*()1x a x a -+<对任意实数x 都成立，则( )A.3122a -<< B.1322a -<< C.11a -<< D.02a <<7.下列不等式中，正确的是( )A ．44a a +≥B ．224a b ab +≥C ．22323x x+≥ D ．2a bab +≥ 8.已知()f x 是R 上的偶函数,()g x 是R 上的奇函数,它们的部分图像如图所示,则()()f x g x 的图像大致是( )A. B. C. D .二、多项选择题9.下列选项中,结论正确的是( ) A.偶函数的图像一定与y 轴相交 B.奇函数的图像一定过原点C.偶函数的图像一定关于y 轴对称D.奇函数的图像一定关于原点对称10.若函数244y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为[8,4]--,则m 的值可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.511.已知函数()21([2,2])f x x x =-+∈-，2()2([0,3])g x x x x =-∈，则下列结论正确的是( )A.[2,2]x ∀∈-，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-B.[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,3)-∞-C.[0,3]x ∃∈，()g x a =，则a 的取值范围是[1,3]-D.[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t = 12.设0a >,则下列运算中正确的是( )A.4334a a a = B.5233a a a ÷= C.55330a a -= D.5335a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭三、填空题13.已知17a a+=，则22a a -+=______．14.已知()f x 是一次函数, ()()22315f f -=,()()2011f f --=,则()f x = . 15.设全集{1,2,3,4,5}U MN ==，(){2,4}UMN =，则N =______.16.设函数()236f x x x =-+在区间[,]a b 上的值域是[9,3]-,则b a -的取值范围是___________________. 四、解答题 17、已知 ; ,若是的充分而不必要条件,求实数 的范围.18、(满分14分)已知不等式 的解集为A ，不等式的解集为B 。

龙岩市2021年高中毕业班第一次教学质量检测数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项CDDCCABA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

题号 9 10 11 12 选项 ADBCABDCD12．简解A ．若直线l 过点F Q 、且与y 轴垂直，可得2p =,当直线l 过点F Q 、但不与y 轴垂直时，得不出2p =，故A 错;B ．当点Q 在抛物线的内部时,由抛物线的定义得1222PPQ PF PQ PN P +≥+≥+=⇒=(N 为抛物线准线上的点); 当点Q 在抛物线的外部时,连接FQ , 2PQ PF QF +≥==,得2P =+,故B 错C ．由条件知直线l 的斜率存在，设其方程为2p y kx =+与22x py =联立消去y 得2220,x pkx p --=设1122(,),(,)A x y B x y ,2221212122()1,,,444OA OBx x p x x p y y k k p =-∴==∴=-则故C 正确; D ．设1122(,),(,)A x y B x y ,由22x py =得'12211,1y x x x p p=∴=-,212x x p ∴=-,22212121211()(),22y y x x x x p p p∴+=+=++所以当120x x +=时,12y y +取得最小值4p ∴=,从而求得1212,4,2x y y =±==,18142ABQ S ∆∴=⨯⨯=,故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1 ； 14. 337 ； 15. 3(,0)2， 3 ；（第一空2分，第二空3分） 16. 32a16．解：动点P 的轨迹是以A为球心，半径为的球与平面A B C D ''''，平面DCC D ''，平面CBB C ''的交线，这三条弧长之和为32a π.四、解答题：本题共6小题，共70分。